Существование слабых решений моделей Маргерра - Власова термоупругих колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.944

СУЩЕСТВОВАНИЕ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ МОДЕЛЕЙ МАРГЕРРА - ВЛАСОВА ТЕРМОУПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С МАЛОЙ ИНЕРЦИЕЙ ПРОДОЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

© 2015 г. В.И. Седенко, Т.В. Богачев, Т.В. Алексейчик

Седенко Василий Игоревич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой фундаментальной и прикладной математики, Ростовский государственный экономический университет, ул. Б. Садовая, 69, г. Ростов н/Д, 344002, e-mail: [email protected]

Sedenko Vasilii Igorevich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of Department of the Fundamental and Applied Mathematics, Rostov State Economic University, B. Sadovaya St., 69, Rostov-on-Don, 344002, Russia, e-mail: [email protected]

Богачев Тарас Викторович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра фундаментальной и прикладной математики, Ростовский государственный экономический университет, ул. Б. Садовая, 69, г. Ростов н/Д, 344002, e-mail: [email protected]

Bogachev Taras Viktorovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of the Fundamental and Applied Mathematics, Rostov State Economic University, B. Sadovaya St., 69, Rostov-on-Don, 344002, Russia, e-mail: [email protected]

Алексейчик Тамара Васильевна - кандидат экономических наук, доцент, кафедра фундаментальной и прикладной математики, Ростовский государственный экономический университет, ул. Б. Садовая, 69, г. Ростов н/Д, 344002, e-mail: [email protected]

Alekseichik Tamara Vasil'evna - Candidate of Econimic Science, Associate Professor, Department of the Fundamental and Applied Mathematics, Rostov State Economic University, B. Sadovaya St., 69, Rostov-on-Don, 344002, Russia, e-mail: [email protected]

Доказываются теоремы существования слабых решений моделей Маргерра - Власова, учитывающих эволюцию тепла, инерцию поворота точки оболочки, внутреннее трение в оболочке. Определяются приближения Бубнова -Галеркина. Доказывается локальная разрешимость системы обыкновенных дифференциальных уравнений для временных коэффициентов приближений. Описываются дифференциальные свойства. Наличие энергетического соотношения позволяет обосновать продолжимость приближений на любой промежуток времени и получить равномерные по номерам приближения оценки. С помощью соображений сильной и слабой компактности предельный подход позволяет получить интегральные соотношения, определяющие слабое решение.

Ключевые слова: термоупругость, слабые решения, глобальные по времени оценки, слабая компактность, сильная компактность, дифференциальные свойства.

In this paper prove the theorem of existence of weak solutions Marguerre - Vlasov's models with the evolution of the heat, the inertia of the turn of the casing's point, the inner friction in the casing. It define the approximation of Bubnov - Galerkin. It prove the local existence the system ofpartial differential equations for time coefficients of approximation. We study it differential properties. We prove with the energetic correlation the existence of approximation for the every section of a time and the existence of the equilibriums valuations of the approximation, which helps to prove integral correlations, defined of the weak solutions.

Keywords: termoelastic, weak solutions, global in time estimates, weak compactness, strong compactness, differential properties.

Рассматривается один из аспектов глобальной по времени разрешимости эволюционных динамических моделей механики сплошной среды - существование слабых решений начально-краевых задач моделей Маргерра - Власова нелинейной теории колебаний пологих оболочек, учитывающих дополнительные физические эффекты: эволюцию тепла, инерцию поворота точки оболочки, внутреннее трение в оболочке. Для этого используются средства, являющиеся развитием методов, предложенных в [1-3].

Начально-краевая задача

Пусть оболочка проектируется на плоскую ограниченную область О с границей Г класса С1. Рассмотрим систему уравнений

щ - уЬмп + DA2w + + аАг = I + ()ж +

+(N2^ )х2 + (И^ )X! - ИА - М2к2 , (1)

кг{ -/Зкг-аЬщ1 = 0, с краевыми

w 1г = 1г = 0 , г 1г = 0 dn

и начальными условиями

w(x,0) = w0(x), wt(х,0) = Wj(x), r(x,0) = r0(x) . Здесь

-1 1 2

N1 = 2(1 - И) + > = ux, + klW + - wXi

N2 = 2(1-и)-1(^2 + И1),

(2)

(3)

(4)

1 2

£2 = + k2W + -WXz , N12 = £12, % = U4 + ^ + W^ .

Функции u, v — решения краевой задачи

-Ди _ = 2(1 -M)-1[(k1w)Xl + wXiXi wXi +

1 -ц 1111

+ u(k2w)x + uwxx wx ] + wxxwx + wxwxx + X,

/ \ 2 ' Xj ' xjx2 X2 J xjx2 X2 xj X2X2

-ДУ - 1±£ 0 = 2(1 -u)-1[(k2 W) X2 + WX2X2 WX2 +

1 - Ц 2 2 2 2 2

+ u(kxw)

X2 UwX1X2 X1 ] X1X2 X1 X2 X1X1 ,

0 = + VX1, u |r = v |r = 0. (5)

Здесь w - поперечное перемещение; u, v - продольные перемещения точки оболочки; Z, X, Y -составляющие массовых сил; kx, k2 — кривизны, которые считаются непрерывно дифференцируемыми; — ytwtt определяет при у>0 инерцию поворота точки оболочки; S^wt описывает при ¿>0 внутреннее трение в оболочке; D - изгибная жестокость; /л - упругая постоянная; N1, N2, N12 — продольные усилия в оболочке; е1, е2, е12 — характеристики деформации срединной поверхности оболочки; r — мера количества тепла.

Слабые решения начально-краевой задачи (1)-(5)

Функциональные пространства Mt (fix [0, tf ]),

/=1,2,3 - это пополнения множества бесконечно дифференцируемых на fix[0,tf] функций, финитных на Q при каждом фиксированном t, по нормам, порожденным скалярными произведениями

tf

(W1, W2)M1(fix[0,tf ]) = J [(W1t, W2t)L2 (fi) + (W1, w2),2 ]dt,

0 H2(Q)

(wl5 W2) M2(üx[0,tf ]) = J [(w1t, w2t )01 + (w1' w2)0 2 ]dt,

0 H 2 H 2(Q)

tf

(w1,> w2 )M3 (Qx[0,tf ]) = J [(w1t > w2t) „ 2 + (w1 > w2 ) „ 2 ]dt •

Здесь tf - момент времени, на который не накладывается никаких ограничений, кроме положительности. Через M(fix[0, tf ]), /=1,2,3 обозначим

замыкания в нормах Mi (fix[0,ty ]) множества бесконечно дифференцируемых на fix[0,tf] функций ю таких, что w(xl, x2, t) = 0, если tf —S< t < tf, где

ö - некоторое положительное определённое для w число.

Слабыми решениями начально-краевой задачи (1)-(5) называются при ö>0 функции w и r, w еM(fix [0,tf ], r eM1 (fix[0,tf ]); при ö=0 и

y>0 - функции w и r, w eM2(fix [0,tf]), удовлетворяющие интегральным тождествам

's

I [ I ((—wtwt + /Vwt + DAwAw + SAwt Aw +«VrVw —

0 fi

— Zw' + (Nxky + N2^2 )w' + Nxw — NX2 w^w +

+ (Naw^ + N12wxi )wX2 )dx]dt + J w1(x)w'(x,0) -

Q

- f7w1 (x)Vw (x,0)dx = 0,

tf , J J(-krrt + ßVrVr + awtAr )dxdt+

0 Q

+ J r0 (x)r' (x,0)dx =0

(6)

(7)

H 2(Q )

H 2(Q )

для любых функций w e M2(fix [0, tf ]), r e Mj [(fi x [0, tf ]) и начальным условиям

lim w(, tf2 2) = w lim r(, tf2 2) = r . (8)

t0 tt

Слабые решения определены аналогично тому, как это сделано в [2, 4].

Приближения Бубнова - Галеркина решений начально-краевой задачи (1)-(5)

Как известно, задача на собственные значения

A2^ = , £ |r = ^^ |r = 0 в случае, когда Г е С3, dn

имеет ограниченные производные четвертого порядка и счётное число положительных собственных

значений /¿k, k = 1,2,...,Л} <?t2 <... <?tn <..., стремящихся к бесконечности, каждому из которых соответствует лишь конечное число линейно независимых собственных функций £k . Собственные функции образуют полную ортонормированную

Q

0

систему вЬ2(о) и полную ортогональную систему С учетом формы уравнений (9)-(12) непосред-

0

'2 2

ственно из теоремы Коши — Пикара следует

в Н2(О) . Теорема 1. Пусть X,У,I е С([0,^],Ьр(О))

Аналогично задача на собственные значения для некоторого p>1. Тогда найдется ¿0 > 0 такое,

- ЛС = АС , С \т =0 если Г е С , имеет ограни- что на отрезке [0, ] существуют решения

ченные производные второго порядка, обладает т , ч ^2/г/Л ,

г а, (О е С (10,и I), / = 1, ..., m, системы обыкновен-

счетным множеством положительных собственных 1 ' ' ' '

02 у 1 ч2 ^ о2 ^ ^ ч2 ^ о2 ных уравнений с начальными условиями (8), (10).

значений А2, к = 1,2..., А < А <... < А < ...,Ап, „ - 0 , &

к 1 2 к п 1еорема 2. В условиях теоремы 1 приближе-

стремящихся к бесконечности, каждому из которых ния Бубнова - Галеркина имеют следующие диф-

соответствует лишь конечное число линейно неза- ференциальные свойства:

висимых собственных функций Се. Собственные 0 2

функции образуют полную ортонормированную щ е С ([0,^0],Н2(О))пС ([0,^0],Н2(О)),

систему в Ь (о) и полную ортогональную систему 0 1

01 2 ит,е С([0,д,Н2(О))пЬ([0,Н2р(О)),

вН^2(О). 0 1

Приближения Бубнова - Галеркина для w и г г е С ([0,^0],Н2(О))п С ([0,^0],Н2(О))•

будем искать соответственно в виде Кроме того, если Х,У е С*([0,^],Ь (О)) для

т т

щт(х,о=та;(ос(х), гт = ;ъ;(ос,(х), где 01

>=1 ' ]=1 ' ' некоторогор> 1, то ит, ут е С1 ([0, ¿0 ],Н2 (О)) .

функции времени ат(?), Ът(?) , / = 1,...,т, опреде- Теорема 2 локальна по времени. Для продолжения приближений Бубнова - Галеркина на весь от-

ляются как решения следующей системы обыкно- г т

ляююя как решения следующей системы обыкно- г -1

венных дифференциальных уравнений: резок времени [0, ^ ] используем энергетическое

« - уЛЩт + DЛ¿wm + 5Л2< + аЛг -1 - (ИЩ)х - соотношение.

(\Т^лл>т Ч (\Ттллт\ (АТ^ллт Ч мти ,

- (И2 Щх2 )х2 - (И12Щх2 )х1 - (И12Щх1)х2 + И к1 + Глобальные по времени, равномерные по т

+ Итк С) = 0 (9) оценки приближений Бубнова - Галеркина

агт(0) = (щ0,С])ь2(О), ат(0) = (щ1,,Су)Ь(О), Функционал энергии Ф для приближений Буб-

нова — Галеркина имеет следующий вид:

1 Jl „, Л2 ,11 , J|2 1

j=1, m,

km-ßArm-aAwm )=0, ъm «»-^), (ю> Фт (t)=^m (, оц;(й)++(оц;(й)x

j=1, m, 2 ^

Где , X f[(^m(x,t))2 + 2usm(x,t)sm(x,t) + (x,t))2]Jx.

жт=2(1 -^)-1(,т+AB2-), Nim=2(1 -^)-1(,2+^1), i 1 (,)) (,)2(,) 2 (12(,))J

Arm m _ m ^ m ^ К m,2 nn Теорема 3. В условиях теоремы 2 Для всех

n12 "£12 , S1 - ux1 + k1w + 2(wV , (11) ^, t2 g [0, ^ ] имеет место соотношение баланса

1 энергии

£2m - vx2 + k2wm+^wmy, <2 - < + vm2+«. ......t2

Функции um,vm являются решениями краевой задачи „ ^ М2 t2

1 + Vam 2

Фт (t2) - Фm (h) +\($\< (.t^lj» ^ + (13)

t12

-a um - 1+^em-~^[(kwm) x1 + wxmx1 wm + 11 ■ ш 2(i)

1 -ß 1 -ß 111

+ a\\rm (, tl 01 )dt -ff Xum + Yvf + Zwf )dxdt.

, /7 m \ , m m л . m m , m m , тл +ß(k2w )x + ßwx,x2 wx2 ] + wx,x2 wx2 + wx,x2 wx, + X

^ О

Из (13) при к>0 извлекаются глобальн^1е по времени и независящие от т оценки аг ((¿), т 1 + т 2 Г/7 ^ т т . / = 1,.т, что, в частности, позволяет определить

-Ли - = 7Г^[(к2Щ ) х2 + х 2 х2 х 2 + т и , Г ]р

1 ^ 1 Р щ иг на всём отрезке времени [0,^] и полу-

+ ц(кщт) + !М1т Щт ] + Щт Щт + Щт Щт + У т т

1 /х2 г- х1х2 хн х1х2 х1 х1х2 х2 ' чить равномерные оценки норм щ и г в функ-

ит \г = ут \г = 0 . (12) циональных пространствах.

Теорема 4. В условиях теоремы 2 для всех т е N и г е [о, г у ] имеют место оценки

(' )* с,, \\wrn уг1с, \*т (,, | * с,,

(•11H J1(D)+I К С11 н !■(„)< С

нcm

этом t

И (,' 1 нр(О) + 1 К (,' I н;<О)* С, 1 < Р < 2

!Гт (, 1 ^ (П) * С6 , ||Гт|| (¿2 [оЛ/ \н°1 (О)) * С7 •

КРоме того, если у > 0, то (, го 1 (а) * С8 •

Если ¿> 0 , то (, г|^2 ^ ], но 2 ( П))* С9 , ГДе константы Сг, г = 1,...9 не зависят от / и т .

Существование слабых решений (1)-(5) начально-краевой задачи (12)

Лемма 1. В условиях теоремы 2 из последова-

ч т „т

тельностеи w , г можно выделить подпоследовательности М!т , гт слабо сходящиеся к некоторым функциям в М,(Ох[о,г1 ]) (в М2(Ох[о,г1 ]) при у> 0 ив М (Ох[о, ^ ]) при 5> 0) и Р2о2 (ох[о, г^ ]) соответственно. При wе ^»(ох^гу^^ох^гу]) при у > 0, w е ¿2;° (О х [о, ])о (О х [о, ]) •

При 5> 0 дополнительно е (ох[о, гу ]),

г е ¿2,ГО(ох[0, Ь 4,2 (0х[0, ^ ]) •

Лемма 2. Функция г( ,г) слабо сходится к г

в ¿2 (о) •

Лемма 3. В условиях теоремы 2 из последовательности wm можно выделить подпоследовательность wm , сходящуюся к ^ в С(0,^],¿2(о)). Доказывается с помощью теоремы Арцела — Асколи.

Доказательство аналогично тому, которое приведено в [5, с. 222, 223].

Лемма 4. В условиях теоремы 2 последовательность wm сходится к ^ в С ([о,/] (О)) для

всех г е [1, + го) •

Доказывается на основе леммы 3 с использованием мультипликативных неравенств вложения Гальярдо — Ниренберга [6, 7]

Лемма 5. В условиях теоремы 2 последова-

2 2 ш т 1

тельности и , V сходятся к функциям и, V в

с(0, ] Я201(о)), где и, V — решения краевоИ задачи (8), где w — указанный выше предел приближении Бубнова — Галеркина.

Сходимость приближений Бубнова - Галеркина к слабым решениям

Пусть ^ е МММ2 (О х [о, г г ]). Тогда

го

w'(x, г )=£ С, (г )£■ (х ) •

i=1

Положим (р>')х, г)=£ Сг (г)£ (х) •

г=1

, что РОО> '^ w' М2 (о х [о, гг ]). Умножим (8) на Сг (г), просумми-

Очевидно, что PfiV' ^ w' в норме

руем по г от 1 до т. Получим

— уА^ + + ¿А2 wm +аАг — 2 — ^ —

— (N2mwm2 —(^>т )х —N>1 \ + N^1 +

+ N2^, Р>' \ (о)= о •

Проинтегрируем полученное соотношение по ? от 0 до г/ с использованием интегрирования по

частям. Имеем

I j((— <pyt —yVwypyt +DPy t +8A wfA PfiV +

0 q

+«Vrm vpfiw—zpmw+(Nx+nw Px +

+ (n2X + N>x"1 )pfi^w'x2 )dxdt+ |Vi(x)PfiV (x,0)-

уVw1 (х^р> ' (х,о))йх = о •

Переидя к пределу по т в последовательности т2 с учётом лемм 1, 3, 4 получим (6); (7) получается аналогично и проще. Выполнение начальных условий (8) следует из лемм 2, 3. Тем самым доказана

Теорема 5. В условиях теоремы 2 существуют слабые в смысле (6)—(8) решения начально-краевой задачи (1)—(5) со следующими дифференциальными свойствами:

wе Ь220го(Ох [о,г/])п Ьо2,ГО(0х[о,г/])пc{о,гf ]Щ(о))

для всех г > 1 • При 1 < р < 2

u,v е ьш([о, ][ Но1(о))о ьш([о, ][ нр (о))

При р > 2

u,v е Ьш([о, гу ^ Но1(о))о Ьш([о, гу Н2 (о))

для всех д < 2 •

При y> 0 w е L12:100(fix [0, tf ]).

M

fi

При 5 > 0 w е L2i1 (i x [0, tf ]). Кроме того, r е L^ (i x [0, tf Jn ¿;02(i x [0, tf ]). Сформулируем окончательный результат. Теорема 6. Пусть граница области i Ге С3 и имеет ограниченные производные четвёртого порядка. w0 е H\2(i), щ е H^i), X(,0),

Y(,0)g Lp(i), X,Y еL0i(ix[0,tf]), р > 1, Z е L2 (ix[ö, tf ]). Тогда существуют слабые в

смысле (6)—(8) решения начально-краевой задачи (1)—(5) с дифференциальными свойствами, описанными в теореме 5.

Литература

1. Hopf E. Über die Anfangswertaufgabe für die hydrodynamischen Grundgleichungen // Math. Nachrichten. 1950—1951. № 4. P. 213—231.

2. Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории колебаний пологих оболочек // Изв. АН СССР. Математика. 1957. Т. 21, № 6. С. 747—784.

3. Морозов Н.Ф. О нелинейных колебаниях тонких платин с учётом инерции вращения // Докл. АН СССР. 1967. Т. 176, № 3. С. 523—525.

4. Власов В.З. Общая теория оболочек и её приложения в технике. М., 1949. 789 с.

5. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М., 1970. 288 с.

6. Gagliardo E. Ulteriori proprieta di alcune classi di funzioni in piu variabili // Ricerche Mat. 1959. № 8. P. 24-51.

7. Nirenberg L. On elliptic partial differential equations // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. 1959. Vol. 13, № 2. P. 115-162.

References

1. Hopf E. Über die Anfangswertaufgabe für die hydrodynamischen Grundgleichungen. Math. Nachrichten, 1950/1951, no 4, pp. 213-231.

2. Vorovich I.I. O nekotorykh pryamykh metodakh v nelineinoi teorii kolebanii pologikh obolochek [On some direct methods in the nonlinear theory of oscillations of shallow shells]. Izvestiya AN SSSR. Matematika, 1957, vol. 21, no 6, pp. 747-784.

3. Morozov N.F. O nelineinykh kolebaniyakh ton-kikh plastin s uchetom inertsii vrashcheniya [On nonlinear oscillations of thin plates with the rotational inertia]. Doklady AN SSSR, 1967, vol. 176, no 3, pp. 523-525.

4. Vlasov V.Z. Obshchaya teoriya obolochek i ee pri-lozheniya v tekhnike [The general theory of shells and its application in engineering]. Moscow, 1949, 789 p.

5. Ladyzhenskaya O.A. Matematicheskie voprosy di-namiki vyazkoi neszhimaemoi zhidkosti [The mathematical theory of viscous incompressible fluid]. Moscow, 1970, 288 p.

6. Gagliardo E. Ulteriori proprietà di alcune classi di funzioni in più variabili. Ricerche Mat., 1959, no 8, pp. 24-52.

7. Nirenberg L. On elliptic partial differential equations. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 1959, vol. 13, iss. 2, pp. 115-162.

Поступила в редакцию

20 февраля 2015 г.