CC BY
15
УДК 517.944
ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МОДЕЛЕЙ МАРГЕРРА-ВЛАСОВА КОЛЕБАНИЙ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С ШАРНИРНЫМ ЗАКРЕПЛЕНИЕМ КРАЯ
© 2009 г. С.А. Батыгова
Ростовский государственный экономический университет, ул. Б. Садовая, 69, г. Ростов-на-Дону, 344002, [email protected]
Rostov State Economic University. B. Sadovaya St., 69, Rostov-on-Don, 344002, [email protected]
Приводится доказательство теоремы единственности обобщенных решений начально-краевой задачи моделей Маргерра—Власова колебаний пологих оболочек с шарнирным закреплением края.
Ключевые слова: нелинейная теория, начально-краевая задача, обобщенное решение, теорема единственности.
In this paper we proof the uniqueness theorem for generalized solutions of initial-boundary problems for the Marguerre—Vlasov vibrations of shallow shells with clamped boundary conditions of type of the hinge.
Keywords: nonlineary theory, initial boundary value problem, weak solution, uniqueness theorem.
Начально-краевая задача
Предположим, что оболочка проектируется на плоскую ограниченную область (Л с границей ГеС1. Поперечное перемещение w точек срединной поверхности оболочки удовлетворяет уравнению »2... , «2. - У, >
phwtt -yAwtt + DA2w + SA2wt = Z +
12W
>
'1
N
2 wx
>
'2 X
1 X
^ -N2k2
с краевыми условиями шарнирного защемления
dn2
dw
-их—
dn
= 0.
(1)
(2)
Nx =Е1г(г/л N2=Eh{-M
>1 >
> <2 +l«:\ .
N
12
= -Ehi+My
2
(3)
1
Е и //е ~~ упругие постоянные. В свою оче-
редь . й'2 . £\2 вьфажаются через продольные перемещения и и V, поперечное перемещение средин-
ной поверхности оболочки w и кривизны к, к2, которые считаются непрерывно дифференцируемыми.
sl-u + кгм> + —W
1 2> 2
7 1 2
= V*2 + k2W + '
(4)
Продольные перемещения и и V точек срединной поверхности оболочки удовлетворяют начально-краевой задаче
л 1 + Ма 2 ии - Аи — -—— 6Х =
\
1W^X + WX1X1 +
+ +ßwxlx2wx2 J-hwwv. + + X,
где п - внешняя нормаль к Г. В (1) р - массовая
плотность оболочки; к - высота оболочки; Б - из-гибная жесткость; у - константа, пропорциональная
к ; 2 - поперечная составляющая массовых сил, действующих на оболочку; N, N2, N12 - продольные усилия, которые вьфажаются через характеристики деформации срединной поверхности оболочки ^,
£2, £\2 следующим образом:
1 — JLl £ 1-JLI
Xj Х2 Х2
Y
2WI
-wr
Xj X2X2
w
>
' f*'1 x\x2 " X1
+ /JWX
Wv.
Xj X2 Xj
w„ +w„ w„ „ +7,(5)
X1 X9 Xi Xi 7 \ /
X , У - продольные составляющие внешних сил, действующих на оболочку; с)/\2 м'( моделируют внутреннее трение в оболочке, в = их + ух . Начальные условия имеют вид
и>0 < " щ <;03= Щ С •
^ м0 v и, <-,0 J= щ
и<
3= V0 <V, V! ( , х<=п. (6)
Предполагается в дальнейшем, что массовая плотность и линейные размеры измеряются в таких единицах,
что имеют место соотношения ф = 1, 2 рЕ ' (+// }= 1.
Относительно начально-краевой задачи (1) - (6) с жестким закреплением края оболочки см. [1 - 3].
Гильбертовы пространства !'>\ (> / /у J и В1 ^х _
Пусть И] 0 х I-' / _ - пополнение <"' ^./у . п0 норме, порожденной скалярным произ-
->0 Ht, w2t
Пусть В2 х \jf_- пополнение С1 /у О по норме, порожденной скалярным произведением
£
32 ^ х |,гу __ определяется аналогично Сх |-'у
V Xj Х2 ^^ Xj
X2
1-м 2
2 (, , 1 2 1 2 | ,
+ "-\ k]W +/ж2м> + — м>х +—/м>х nXl +
k7w + цк-tw +—w2 +—uw2 \v' +
1-/Д 2 h 1 2 xi Ъ ) Xl
1 +v'Xl }Zw' -Xu' -Yv'dx-
Y ly dn dn dn dn
— J 4yiw' +щи' +V]V'^X = 0 Q
для
(7)
любых функций м>' е В2 ^ х м', у' е х
х ij и начальным условиям lim D^C^-wol
L2Cf
(С t
i2C!
4*3-vo|
¿2 О
= 0.
(8)
ведением ^ <2Х 1 ^ + - и'2 <)^ • гДе функциональное пространство определено в [4, 5]. Через (> х ^ обозначим замьпеание в !'>\ /у J
множества бесконечно дифференцируемых на О у \.1/ функций у? таких, что если
tf-(J<t<tf, где ст - некоторое определенное для
м> число.
Гильбертовы пространства В2^х ' /
И |,/у]
Приведенное определение обобщенных решений аналогично предложенному в [3].
Теорема существования обобщенного решения начально-краевой задачи (1) - (6) в смысле (7), (8)
Теорема 1. Пусть граница области О Г е С3 и имеет ограниченные четвертые производные. Пусть
м>0 е#|<2,/Г, м^еХзСГ, Х,Г, г е Ь2 (2х _]
¿> > 0. Тогда существуют обобщенные в смысле (7), (8) решения н , и , V начально-краевой задачи (1) -(6), удовлетворяющие следующим условиям:
W
M,V(
tf _.,
Определение обобщенных решений
Обобщенными решениями начально-краевой задачи (1) - (6) называются функции и'еЯ2{2х ,
м> е В2§.х у удовлетворяющие следующему интегральному соотношению:
| || [и^и^ -+ ОАм>Ам>' + ЗАм>(Ам>' + о [а
+ + N2¿2 +у'ъ +
+ +М2™Х2 -
+Уи(Уи'( + +
1 +и +——
1-М
Доказательство осуществляется при помощи метода Бубнова-Галеркина по схеме, сходной с предложенной в [3], при учете оценок, следующих из энергетического соотношения.
Теорема единственности обобщенных решений
Теорема 2. В условиях теоремы 1 обобщенное решение единственно.
Доказательство. Предположим, что существуют
обобщенные решения н1, и1, V1 и н1, и1, V1 с одинако-
0 12 0 12 выми данными. Положим м> =м> -м> , и =и —и ,
0 1 2 V =У -V .
Из (7) получаем, что w0, u0.
.0
V удовлетворяют следующему интегральному соотношению:
j jj ¡Wf0*^ -fVwj'wf +DAw°w' + SAwtAw' +
-N
2^.1
1 w.
+ N2 w0 +
xi>
1 2 0 ,
Wx +
X1
12
-N
12
Nj22 W1
N22w^ N2 - N2 W1 + N22w°J
r2..0
xw'X2 —uj>u't—vj>vt+Vu0Vu' + Vv°Vv' +
+ ^ 10 +v 0
X,
1
v
1 _ . . 'Xj X2 ^^"Xj X2
1 f-l
x^w0 + fjk2w® ^
/1 2 Л 2
x W + w u^. ч--x
A; ^
t
> 2! -x
'V
2
2 xj ^ xj xj ^ 2 x2
+ wXj vX2
i+w
.2
. 4--UW X
x2 x2 ^ ^ X1 _
0 w1 +w0 w2 1' +v' dX-
Xj X2 X2 X1 ^X1 X2
+
1
Г
(
D
dw° dw' „ dwt dw'
■ + S
dn dn dn dn
v /
для любых м>
tf , и , v
ds\dt = 0 (9) 'eß^xj,^]
при
1ш1
'<• 'I
L2 О,
'°<, t
L20
= 0.
Здесь N, N2, N12 получены по формулам (3), (4) с использованием м>', и1 V1 / = 1.2.
Собственные значения и собственные функции краевой задачи для бигармонического оператора с шарнирным закреплением края
Пусть граница ограниченной области О ГеС3 и имеет ограниченные производные четвертого порядка. Рассмотрим задачу на собственные значения
А2^ =к
( 9
сГС de
мх-
dn
2
dn
= 0.
(10)
Так как оператор А симметричен и положительно определен, то задача (10) имеет дискретный спектр \ < - • • • - Л - • • • из счетного числа стремящихся к бесконечности положительных собственных значений А;, каждому из которых соответствует лишь конечное число линейно независимых собственных функций. Собственные функции 1=1,2,... образуют полную ортонормированную систему в ¿2 О и полную ортогональную систему в Поскольку
о
я| 0,/Г, то ^ е#2 <С 1 = 1,2,... [4, 5].
Собственные значения и собственные функции краевой задачи для продольных перемещений
9 1
Пусть - область в Л с границей ГеС, обладающей ограниченными производными 2-го порядка. Рассмотрим задачу на собственные значения
-Аи —1 + ^вХ1 = Ли,
и|г=Иг=0. (11)
В силу симметрии и положительной определенности задача (11) имеет дискретный спектр
Л1 < Л2 <...</! <... из счетного числа стремящихся к бесконечности положительных собственных значений
Л , каждому из которых соответствует лишь конечное число линейно независимых собственных вектор-функций (¡¡1,^1 1 = 1,2,..., образующих полную ортонормированную систему в и пол-
ную ортогональную систему в II \ СО II \ О Согласно результатам [6, 7], ^, ц/г е п\ О ...
Однородная задача Коши для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных
уравнений для коэффициентов разложения w0 по собственным функциям краевой задачи (10)
Поскольку и'' С-' З Ф-/' , для почти всех
1 00 / е | /у / =0.1.2 . имеем \г' С-' £ «} СД/С •
7 = 1
/ = 0,1,2 , причем су ( у а ■ ( у ау ( . у = 1,2....
Лемма 1. Для всех у = 1,2... <:/,' ( обладает на _ 2-й обобщенной производной, причем для почти всех / е [ имеет место уравнение
а
J СTYT'ät X <> - ПЛ.,,' • «й.,/'.' =/,. ( (12)
¿=1 *"
с начальными данными а■ ( = ¿1. ( = 0. где
il-Nika^j
fjO-sJkl-Nik+il
'rl лг2^д " n ^
-NnW0 2 z
(13)
+ -^2 Д
Доказательство. Поскольку с н\ О.//.
У = 1,2,..., то в интегральном соотношении (9) можно положить ч>'и'^,/^0, где /? ( финитна и бесконечно дифференцируема на 0, /у _. Согласно определению обобщенной производной, получим (12) и (13). Лемма доказана.
Первое интегральное неравенство
Положим 1
1
Ь2СС 2
2
+ 1 D
2
Ч ^
Щ <1,/.Г
+ S\ w°i
Od -<
2
ЩЪ
dz.
Лемма 2. Для всех I <е имеет место неравен-
t 8
ство с ( ^ С7| | V. 1/ , где ст\ не зависит от време-
0г=1
ни. Величины Д ( имеют вид
A tj= w twt t
A2 О I
i, j, k=1
° j d^ ° d
wXi <Wjk <Wt <
2
i=1
A3 Ozl С
e
"Lid
о
о
w
u
t
w
0
x
^ 2 A4 О I
i, J, к=1 ^ 2 A5 О 2
i, j,k=1
^ 2 Аб О S
i, J,к ,1, г, s= 1
^ 2 Ау О S
i, J,к ,г=1
0i0
Ь-1 <з1
<->0 0 g * <Ущ У
j к о о ^ i "J ^ <^г
L1O:
<> и ^ > и g
<> и j л и ^
^ ^ <
Хк txr \
L<2
-V
As О Z
i, ],к ,г=1
о J g~> о g >
Хк txr
\
Lid,.
о J g~> о g >
vx <wX <wtx v > _
Лемма 3. Для всех te \,t / имеет место неравен-
ство
1
/=1
ÎAiO Т^Г1 w?<, t*
-а2\£, О u °<, t*
о g / <
,t
«H 20;
где константа (Т2 не зависит от времени г.
Лемма 4. Для всех I е \,tf имеет место неравенство:
о g
< t
tfi О
dr, (14)
где константа <73 не зависит от времени t.
Однородная задача Коши для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных
о о
уравнений для коэффициентов разложения и , V по собственным функциям краевой задачи (11)
Поскольку для почти всех
te \,tf , i = 0,1,2, имеем
и1 < / j= I < g>/ (
v! <-.0= i ь) <-:
7 = 0,1,2 , ¿5 <> ъ) С- b] < j = 1,2,....
gi О
w
2
i-AnL' 1 2 > 1
1 +w2
x1 x2 ^ 2
, 0,7 0,1 0
/qw + ßi2w x
X %<* + —W"1 \iPiv +
x9 ^ о r x2 лх2 x2 1
2
+ f iiW0 + + — C1 + + —¿¿W" X
I z ^ 1 2 X2 2 X2 2 1
#1 2 ^ #01 X %> +W ltfiT + V w WÎT ,
^X2 X2 Л>1Х2 ^Xj X2 X2 Xj r ix2
Доказательство полностью аналогично доказательству леммы 1.
Второе основное неравенство
Введем в рассмотрение величину
H\<lZ
2)'
о ...2 I У"
3Х •
1+ш
Лемма 6. Для всех te \,tf имеет место следую-
щее неравенство:
(15)
где константа <т4 не зависит от времени t.
7=1
Лемма 5. Для всех у = 1,2,..., ( обладает на 2-й обобщенной производной, причем для почти всех I е \,tf имеет место уравнение
bj С у €.J-AJbj g j ( с начальными данны-/—1
ми О Щ О 0, где
Завершение доказательства теоремы единственности
Положим не-
очевидно, что непрерывна и неотрицательна. Из (14) и (15) получаем, что для всех te \,tf
имеет место неравенство , откуда в
о
силу неравенства Гронуола следует, что в (3е 0.
Автор выражает благодарность за постановку задачи и помощь в работе профессору В. И. Седенко.
ъ
Литература
1. Marguerre K. Zur Theorie der gertümmten Platte grosser
Formänderung // Proc. 5th Internat. Congress Appl. Mech. Cambridge, Mass., 1938; N.Y., 1939. P. 109-140.
2. Власов В.С. Основные дифференциальные уравнения
общей теории упругих оболочек // ПММ. 1944. Т. 8, вып. 2. С. 109-140.
3. Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелиней-
ной теории колебания пологих оболочек // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1957. Т. 21, № 6. С. 747-784.
4. Седенко В.И., Батыгова С.А., Сердюкова Е.В. Теорема
существования и единственности обобщенных решений моделей Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений с шарнирным закреплением края. 1: Теорема существования // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2005. № 1. С. 28-31.
5. Седенко В.И., Мартынов В.А. Разрешимость в целом по
времени начально-краевых задач для уравнений Мар-герра-Власова колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений и шарнирным защемлением края // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. Спецвыпуск. С. 200-206.
X
X
v
X
0
V
2
V
о
о
6. Теорема существования обобщенных решений краевой задачи для продольных перемещений срединной поверхности оболочки модели Маргерра-Власова нелинейной теории колебаний пологих оболочек / В.И. Се-денко [и др.] // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2005. № 3. С. 21-22.
7. Седенко В.И. Разрешимость в краевой задачи
для продольных перемещений срединной поверхности оболочки в модели Маргерра-Власова // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2006. Приложение. № 3. С. 37-41.
Поступила в редакцию_21 марта 2008 г.
