CC BY
46
ВЕСТНИК
6/2013.
ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ
СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ
УДК 624.075.23
В.П. Агапов, А.В. Васильев*
ФГБОУВПО «МГСУ», *ООО «Родник»
СУПЕРЭЛЕМЕНТ КОЛОННЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ С ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Разработанный авторами на основе трехмерной теории упругости суперэлемент колонны прямоугольного сечения, предназначенный для линейных расчетов, развит применительно к расчету подобных колонн с учетом геометрической нелинейности. Элемент адаптирован к вычислительному комплексу ПРИНС и в составе этого комплекса может использоваться для геометрически нелинейного расчета строительных сооружений, содержащих колонны прямоугольного сечения.
Ключевые слова: строительные конструкции, колонны прямоугольного сечения, метод конечных элементов, суперэлементы, геометрическая нелинейность.
В практике строительства широкое применение находят металлические и железобетонные здания каркасного типа с несущими элементами в виде ригелей и колонн [1]. Расчет таких конструкций на прочность ведется чаще всего методом конечных элементов, реализованным в различных компьютерных программах [2—4]. Во всех этих программах для моделирования колонн используются одномерные конечные элементы. Преимущества и недостатки одномерных элементов хорошо известны [5—9]. Одним из основных недостатков является сложность учета нелинейности деформирования при совместном действии растяжения-сжатия, изгиба в двух плоскостях и кручения. С целью избавиться от этого недостатка авторами предложен новый способ моделирования колонн прямоугольного сечения, основанный на использовании трехмерной теории и суперэлементной технологии формирования характеристик элемента [10].
Суперэлемент, описанный в [10] и реализованный в вычислительном комплексе (ВК) ПРИНС [11], предназначался для расчета линейно деформируемых систем. В данной работе этот элемент модернизирован с целью использования его в расчетах геометрически нелинейных конструкций.
Статический расчет геометрически нелинейных конструкций ведется в ВК ПРИНС шагово-итерационным методом с использованием нелинейного уравнения равновесия, имеющего вид [11]
где [К], [Кп^ ^ и [Кп^ ^ — матрицы жесткости нулевого, первого и второго порядков, соответственно; [ Кп ] — матрица начальных напряжений; {Дд} — вектор приращений узловых перемещений; {ДР} — вектор приращений узло-
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве
VESTNIK
JVIGSU
вых нагрузок. Уравнение (1) решается в ВК ПРИНС итерационным способом дополнительной нагрузки, что равносильно применению модифицированного метода Ньютона — Рафсона. При этом
[+kJ>;;) = {AP(-[ + knh ]-1) ЗД
(i-1)
(2)
номер итерации на данном шаге.
}}
(3)
где у — номер шага нагружения; 1
Обозначив
(*}? = -[ + Кпк ]] (а,}}
запишем уравнение (2) в виде
[К + К о] у {Ад}(;° = {АР} + {Я}« (4)
Вектор невязки {щ}(г) может быть найден как разность между вектором суммарной нагрузки и узловым эквивалентом внутренних напряжений.
Таким образом, адаптация нового конечного элемента к ВК ПРИНС требует разработки методики, алгоритма и программ вычисления матрицы [К ст ] и вектора {Щ^.
Для суперэлемента колонны прямоугольного сечения эта задача решается следующим образом.
Колонна разбивается на шестигранные объемные элементы, как показано на рис. 1. Для каждого элемента находятся матрицы жесткости [К] и начальных напряжений ], определяемые формулами
К = |БтСБёУ и Кст = | ОтБОёУ, (5)
V V
где [й] — геометрическая матрица, связывающая компоненты деформаций с узловыми перемещениями; [с] — физическая матрица, связывающая компоненты напряжений с компонентами деформаций; О ] — матрица, связывающая компоненты углов поворота с узловыми перемещениями; [5" ] — матрица, составленная из компонентов напряжений [11].
n+1
к
j
а б
Рис. 1. Суперэлемент колонны: а — разбивка по слоям; б — нагружение
n
ВЕСТНИК 6/2013
6/2013
Суммированием матриц, полученных для отдельных элементов, находятся матрицы жесткости для отдельных слоев колонны (см. рис. 1, а) и по методике, описанной в [10], осуществляется послойное редуцирование (исключение степеней свободы для узлов, лежащих на границе между слоями). В результате этого матрица жесткости колонны приводится к узлам, лежащим на ее торцах.
Узловой эквивалент внутренних напряжений для каждого элемента находится по формуле
{экв }=-Л5 Г М^., (6)
V
где {а} — вектор, составленный из компонентов напряжений.
При вычислении всех характеристик шестигранника в данной работе используются как стандартные функции формы в виде
N = 8(1 + Ц0(1 + ПЛ)(1 + Ш, « = 1,2,. ., 8,
где а — номер узла; п, С — нормализованные координаты, каждая из которых изменяется от -1 до +1, так и дополнительные функции
N9 = 2 М2), N10 = 2 (1-П2), Лл = 2 М2),
которым соответствуют девять внеузловых степеней свободы. Дополнительные функции существенно улучшают изгибные свойства элемента.
Интегралы, входящие в формулы (5) и (6), находятся численным способом с использованием нормализованных координат.
При использовании как узловых, так и внеузловых степеней свободы уравнения равновесия отдельного конечного элемента имеют вид
ку,у ку,в
К,у кв,в
(6)
Входящая в это уравнение матрица жесткости представлена в блочном виде и имеет порядок 33^33. Индексами «у» и «в» обозначены узловые и вне-узловые степени свободы, соответственно.
Исключение внеузловых переменных из системы уравнений (7) приводит эту систему к виду
[к у,у - «В кв,у ]{8у }={Ру },
где |ку у - ку вкв- Вкв у ^ есть матрица жесткости восьмиузлового элемента порядка
24 х 24 с учетом внеузловых функций формы.
Блоки матрицы жесткости в уравнении (7) могут формироваться как с учетом, так и без учета начальных напряжений. В первом случае в результате послойного редуцирования вычисляется линеаризованная матрица жесткости суперэлемента [ Кь ] = [ К + Ка], во втором находится лишь ее линейная часть [ К]. При необходимости матрица начальных напряжений может быть найдена как разность двух величин, т.е. [ Ка ] = [ Кь ] - [ К ].
Описанный выше конечный элемент реализован в ВК ПРИНС. Для проверки работоспособности разработанного элемента рассчитан консольный стержень, нагруженный на свободном конце сосредоточенными
продольными силами, равнодействующая которых Р определяется формулой Р = к х 1000 кН, и сосредоточенными поперечными силами, равнодействующая которых Р1 = к х 5 кН, где к — параметр нагрузки. Стержень имеет сечение 0,5^0,5 м, длину I = 8,0 м и выполнен из изотропного материала, имеющего модуль упругости Е = 3,25 107 кПа и коэффициент Пуассона V = 0,2. Нагрузка прикладывалась по шагам, вплоть до разрушения. Момент разрушения фиксировался по началу расхождения итерационного процесса и появлению больших перемещений.
Результаты расчета представлены в виде деформированного состояния колонны при различных значениях параметра нагрузки к (рис. 2) и диаграммы равновесных состояний (рис. 3). Наиболее значительный рост перемещений в колонне наблюдался при изменении параметра нагрузки от 5,5 до 6,0. При параметре нагрузки к = 6,1 итерационный процесс расходился. Теоретическое значение критической нагрузки для колонны при принятых размерах и характеристиках материала составляет 6528 кН. Таким образом, расхождение найденной по программе ПРИНС критической силы с теоретическим значением составляет 6,56 %, что свидетельствует о достаточно высокой достоверности предложенной методики учета геометрической нелинейности колонны прямоугольного сечения и ее реализации в программе ПРИНС.
Таким образом, предложенный элемент обеспечивает приемлемую точность результатов геометрически нелинейных расчетов и позволяет избавиться от недостатков, присущих традиционному подходу.
а б в г
Рис. 2. Деформации колонны при различных значениях параметра нагрузки:
а — к = 1; б — к = 3; в — к = 5; г — к = 6
ВЕСТНИК
МГСУ-
6/2013
8
0 н---
0,2 0,4
Перемещение верхнего сечения, м
Рис. 3. Кривая равновесных состояний
Библиографический список
1. Основы архитектуры зданий и сооружений / Е.Н. Белоконев, А.З. Абуханов, Т.М. Белоконева, А.А. Чистяков. Ростов-на-Дону : Феникс, 2009. 324 с.
2. NASTRAN theoretical manual. NASA, Washington, 1972.
3. БасовК.А. ANSYS. Справочник пользователя. М. : ДМК-Пресс, 2005. 637 с.
4. Bathe K.J. and Wiener P.M. On Elastic-Plastic Analysis of I-Beams in Bending and Torsion. Computers and Structures, Vol. 17, pp. 711—718, 1983.
5. Klinkel S., Govindjee S. Anisotrophic bending-torsion coupling for warping in nonlinear beam. Computational Mechanics, 31: pp. 78—87, 2003.
6. Ayoub A., Filippou F.C. Mixed formulation of nonlinear steel-concrete composite beam. J.Structural Engineering, ASCE, 126: pp. 371—381, 2000.
7. Hjelmstad K.D., Tacirouglu E. Mixed variational methods for finite element analysis of geometrically non-linear, inelastic BernoulliEuler beams. Communications in Numerical Methods of Engineering, 19: pp. 809—832, 2003.
8. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics. Sixth edition. McGraw-Hill, 2005. 631 p.
9. Bathe K.J. Finite Element Procedures. Prentice Hall, Inc., 1996. 1037 p.
10. Агапов В.П., Васильев А.В. Моделирование колонн прямоугольного сечения объемными элементами с использованием суперэлементной технологии // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2012. № 4. С. 48—53.
11. Агапов В.П. Исследование прочности пространственных конструкций в линейной и нелинейной постановках с использованием вычислительного комплекса «ПРИНС» // Пространственные конструкции зданий и сооружений (исследование, расчет, проектирование, применение) : сб. ст. / под ред. В.В. Шугаева и др. 2008. Вып. 11. С. 57—67.
Поступила в редакцию в марте 2013 г.
О б а в т о р а х: Агапов Владимир Павлович — доктор технических наук, профессор кафедры прикладной механики и математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(095)583-47-52, [email protected],
Васильев Алексей Викторович — инженер-конструктор, ООО «Родник», 170000, г. Тверь, ул. Коминтерна, д. 22, 8(482) 2-761-004, [email protected].
Для цитирования: Агапов В.П., Васильев А.В. Суперэлемент колонны прямоугольного поперечного сечения с геометрической нелинейностью // Вестник МГСУ. 2013. № 6. С. 50—56.
V.P. Agapov, A.V. Vasil'ev
SUPERELEMENT OF THE RECTANGULAR CROSS SECTION COLUMN HAVING
PHYSICAL NONLINEARITY
The superelement of the rectangular cross section column designed by the authors earlier for the linear analysis purposes is now applied to analyze the same column with account for the geometric nonlinearity. The superelement is composed of eight solid finite elements. The stiffness matrix technique, the initial stress matrix and the analysis of the vector of unbalanced nodal forces are described.
The procedure for excluding internal degrees of freedom of a superelement, using the layer-by-layer reduction method, is described in detail. All calculation formulas are provided in the article. The element, developed by the authors, was adapted to PRINS finite element software; therefore, it can be used to perform the nonlinear analysis of building structures. The console beam, having a rectangular cross section, was analyzed in transverse longitudinal bending to verify the developed element. The comparison of the theory and calculations using PRINS software proved the accuracy of the proposed technique.
Key words: building structures, columns of rectangular cross section, finite element method, superelement, geometrical nonlinearity.
References
1. Belokonev E.N., Abukhanov A.Z., Belokoneva T.M., Chistyakov A.A. Osnovy arkhitek-tury zdaniy i sooruzheniy [Fundamentals of Architecture of Buildings and Structures]. Rostov-on-Don, Feniks Publ., 2009, 324 p.
2. NASTRAN Theoretical Manual. NASA, Washington, 1972.
3. Basov K.A. ANSYS. Spravochnik pol'zovatelya [ANSYS. User's Manual]. Moscow, DMK-Press Publ., 2005, 637 p.
4. Bathe K.J., Wiener P.M. On Elastic-plastic Analysis of I-Beams in Bending and Torsion. Computers and Structures. 1983, vol. 17, pp. 711—718.
5. Klinkel S., Govindjee S. Anisotrophic Bending-torsion Coupling for Warping in Nonlinear Beam. Computational Mechanics. 2003, no. 31, pp. 78—87.
6. Ayoub A., Filippou F.C. Mixed Formulation of Nonlinear Steel-concrete Composite Beam. J. Structural Engineering. 2000, ASCE, no. 126, pp. 371—381.
7. Hjelmstad K.D., Tacirouglu E. Mixed Variational Methods for Finite Element Analysis of Geometrically Non-linear, Inelastic Bernoulli-Euler Beams. Communications in Numerical Methods of Engineering. 2003, no. 19, pp. 809—832.
8. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics. McGraw-Hill, 2005, 631 p.
9. Bathe K.J. Finite Element Procedures. Prentice Hall, Inc., 1996, 1037 p.
ВЕСТНИК 6/2013
6/2013
10. Agapov V.P., Vasil'ev A.V. Modelirovanie kolonn pryamougol'nogo secheniya ob"emnymi elementami s ispol'zovaniem superelementnoy tekhnologii [Modeling Rectangular Section Columns Using 3D Elements and the Superelement Technology]. Stroitel'naya me-khanika inzhenernykh konstruktsiy i sooruzheniy [Structural Mechanics of Engineering Constructions and Structures]. 2012, no. 4, Moscow, RUDN Publ., pp. 48—53.
11. Agapov V.P. Shugaev V.V. Issledovanie prochnosti prostranstvennykh konstruktsiy v lineynoy i nelineynoy postanovkakh s ispol'zovaniem vychislitel'nogo kompleksa «PRINS» [Research into Strength of Spatial Structures Based on Linear and Non-linear Problem Definitions Using PRINS Software]. Prostranstvennye konstruktsii zdaniy i sooruzheniy (issledovanie, raschet, proektirovanie, primenenie). [Spatial Constructions of Buildings and Structures (Research, Analysis, Design and Application). Collection of works, no. 11, Moscow, MOO «Prostranstvennye konstruktsii» Publ., 2008, pp. 57—67.
About the authors: Agapov Vladimir Pavlovich — Doctor of Technical Sciences, Department of Applied Mechanics and Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (495) 583-47-52;
Vasil'ev Aleksey Viktorovich — structural engineer, Rodnik Limited Liability Company, 22 Kominterna st., Tver, 170000, Russian Federation; [email protected]; +7 (482) 2-761-004.
For citation: Agapov V.P., Vasil'ev A.V. Superelement kolonny pryamougol'nogo poperech-nogo secheniya s geometricheskoy nelineynost'yu [Superelement of the Rectangular Cross Section Column Having Physical Nonlinearity]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 6, pp. 50—56.
