CC BY
35
ВЕСТНИК
МГСУ
ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ
УДК 624.04
В.П. Агапов, А.В. Васильев*
ФГБОУ ВПО «МГСУ», *ООО «Родник»
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОБЪЕМНЫХ МОДЕЛЕЙ КОЛОНН ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ В РАСЧЕТАХ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Предложен новый подход к моделированию колонн прямоугольного поперечного сечения при расчете строительных конструкций методом конечных элементов. При этом каждая колонна представлена совокупностью объемных конечных элементов в виде шестигранников с произвольной разбивкой по сечению и высоте. Промежуточные узлы сетки конечных элементов колонны исключаются на стадии формирования ее матричных характеристик. В результате этого при незначительном увеличении числа степеней свободы конструкции удается избавиться от недостатков, присущих традиционному способу моделирования колонн одномерными элементами.
Ключевые слова: строительные конструкции, колонны прямоугольного сечения, метод конечных элементов, суперэлементы.
Теория сопротивления материалов сыграла большую роль в становлении, развитии и практической реализации компьютерных методов расчета стержней и стержневых систем на прочность [1—5]. В подавляющем большинстве программ метода конечных элементов стержни моделируются одномерными элементами, матрица жесткости которых строится на основе гипотезы плоских сечений, а концевые усилия приводятся к центрам тяжести поперечных сечений [6—9]. Такой подход позволил создать эффективные алгоритмы, но он не лишен недостатков. К ним относятся некорректная (в точке) передача усилий со стержней на плиты, оболочки и массивные элементы конструкций, трудность учета депланации сечений для стержней некруглого сечения при кручении и поперечном изгибе, а также сложность учета физической и геометрической нелинейности.
Предлагается способ построения конечного элемента колонны прямоугольного сечения, позволяющий избежать указанных недостатков.
Колонна моделируется объемными элементами, как показано на рис. 1, а. Число разбиений по высоте колонны и сечению может быть произвольным.
Разделим колонну по высоте на слои (см. рис. 1, б). Границы между слоями пронумеруем от 1 до n +1, где n — число раз- моугольного сечения объемными элемен-биений по высоте. тами
© Агапов В.П., Васильев А.В., 2012
55
ВЕСТНИК
9/2012
Для каждого слоя стандартным образом можно сформировать матрицу жесткости и вектор нагрузки такие, что
{/} = №}+{/}, (1)
где {/} — вектор узловых сил; [к ] — матрица жесткости слоя; {5} — вектор узловых перемещений; {/} — вектор узловых сил от пролетной нагрузки (на рис. 1 и 2 пролетная нагрузка не показана).
Для двух соседних слоев 7 — ] и ] — к имеем
I/(1) I 1/(1) ]
Г/(2Г 1/(2),
к (1) к (1)"
к(1) к(1)
2,1 2,2
"к(2) к(2)
1,1 1,2
к(2) к(2)
" 2,1 "2,2
(2)
(3)
Из формул (2) и (3) находим
{/(1) } = [к1°1) ]{5, } + [к« ]{5у } + {/(1)}; (4)
/ } = К ]{5,} + [к2!2 ]{5Л + {{(1)}; (5)
{ТЖ? ]{5,}+К? ]{5к }+{7/2)}; (6)
{/^Ж? ]{5У }+[к222 ]{5к }+{7к(2)}. (7)
Суммируя (5) и (6), находим вектор узловых сил в сечении ]
}={, }+{(2) }=К ]{«, Ж2 + ^ ]{,}+ (8)
+№ }+{{(1)}+{{<2)}-Из условия равновесия узла ]
{/} = {/?} + {/?} = 0. (9)
Обозначая
[ ] = [ к212 + ] (10) и используя условие (9), из формулы (8) выражаем подвектор {5 >}:
в Ж ]—1 (( ]{5 } + [*£ ]{5к }) ]—1 (( + {Л2)}). (11)
Подставляя формулу (11) в формулы (2) и (3) и выражая из первой строки формулы (2) вектор {{7(1)}, а из второй строки формулы (3) вектор {/к<2)}, получаем
(1)
и
и(2)
= [к, к ]
л
где
[ к„ ] =
к ® — к(1) кк(1)
"1,1 к1,2 К], >"2,1 —к(2)кк(1)
"2,1 "/, >"2,1
—к(1) к к(2) к (2) — к (2)к—1 к <2)
"2,2 "2,1 "/, А,2
(12)
(13)
(14)
есть матрица жесткости слоя 7 — к,
Г /1 {— к—1 {{ + /(2)} 1 /к П Л(2) — "2?"Л 1 {{ + /,(2)}|
есть вектор пролетной нагрузки на участке 7 — к, приведенный к узлам 7 и к.
Применяя описанные выше операции к каждой паре соседних слоев, начиная с нижних, и исключая последовательно узлы на границе слоев, на последнем этапе полу-
56
КБИ 1997-0935. Vestnik Мвви. 2012. № 9
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве
ВЕСТНИК
JVircy
чим матрицу жесткости и вектор нагрузок, приведенные к началу и концу конечного элемента (к узлам нижнего и верхнего сечений колонны).
Описанный выше конечный элемент реализован в вычислительном комплексе ПРИНС [10]. Для проверки работоспособности разработанного элемента рассчитана кон -струкция, состоящая из двух квадратных плит и расположенных между ними четырех колонн. В первом варианте расчета использовалась традиционная расчетная схема, т.е. колонны моделировались одномерными балочными элементами (рис. 2, а). Во втором варианте колонны моделировались описанными выше объемными элементами (рис. 2, б).
а б
Рис. 2. Расчетные схемы конструкции с колоннами прямоугольного сечения
Толщина плит принималась равной 150 мм, колонны имели сечение 300 х 300 мм; нижняя плита имела шарнирное опирание по контуру; обе плиты нагружались равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью 1 Кпа; в качестве материала конструкции использовался бетон с модулем упругости Е = 3 х 107 Кпа и коэффициентом Пуассона V = 0,2; длина стороны плиты равнялась 10,8 м.
Результаты расчетов сравнивались по прогибам и напряжениям. Максимальный прогиб в центре нижней плиты в первом варианте составил 8,74 мм, во втором — 8,17 мм.
Характер распределения напряжений в плитах и их числовые значения за пределами зоны опирания колонн практически совпали. Так, максимальные значения интенсивностей напряжений на верхней поверхности нижней плиты составили 4070 КПа в первом варианте и 3984 КПа — во втором.
Однако на участках плиты, расположенных под подошвой колонн, напряжения в двух вариантах расчета отличаются существенно. Максимальное значение интенсивности напряжения в первом варианте равно 13008 КПа, а во втором — 4891 КПа.
Для большей наглядности картины распределения напряжений в окрестности соединения колонн с плитами на рис. 3 приведена эпюра интенсивности напряжений а х на верхней поверхности нижней плиты для сечения х = 1,95 м.
Эпюра интенсивности напряжений КПа (сечение х = 1,95 м)
140001200010000800060004000 2000 0
* \
J
Тип колонны трехмерная . . одномерная
1,35
1,55
1,75
1,95 У, м
2,15
2,35
2,55
Рис. 3. Эпюра интенсивности напряжений в окрестности колонны
ВЕСТНИК 9/2012
Как и следовало ожидать, при использовании одномерной модели колонн имеет место значительная концентрация напряжений в окрестности точки присоединения колонны к плите. Результаты, получаемые для указанной области, являются недостоверными, и это создает проблемы при выборе размеров сечений и арматуры, особенно при использовании автоматизированных систем расчета на прочность.
Предлагаемый способ моделирования колонн позволяет избежать подобных проблем.
Библиографический список
1. Филин А.П. Матрицы в статике стержневых систем. М.-Л. : Изд-во литературы по строительству, 1966. 438 с.
2. РаботновЮ.Н. Сопротивление материалов. М. : Физматгиз, 1962. 456 с.
3. ФеодосьевВ.И. Сопротивление материалов. М. : Наука, 1986. 512 с.
4. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с применением ЭВМ / А.В. Александров, Б.Я. Лащенников, Н.Н. Шапошников, В.А. Смирнов. В 2-х ч. М. : Строй-издат, 1976.
5. Корноухов Н.В. Прочность и устойчивость стержневых систем. М. : Стройиздат, 1949. 376 с.
6. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics. Sixth edition. McGraw-Hill, 2005. 631 p.
7. Bathe K.J. Finite Element Procedures. Prentice Hall, Inc., 1996. 1037 p.
8. Ayoub А., Filippou F.C. Mixed formulation of nonlinear steel-concrete composite beam element. J. Structural Engineering, ASCE, 126:371 - 381, 2000.
9. Hjelmstad K.D., Taciroglu E. Mixed variational methods for finite element analysis of geometrically non-linear, inelastic Bernoulli-Euler beams. Communications in Numerical Methods in Engineering, 19:809-832, 2003.
10. Агапов В.П. Исследование прочности пространственных конструкций в линейной и нелинейной постановках с использованием вычислительного комплекса «ПРИНС» // Пространственные конструкции зданий и сооружений (исследование, расчет, проектирование, применение) : Сб. ст. 2008. Вып. 11. С. 57—67.
Поступила в редакцию в июне 2012 г.
Об авторах: Агапов Владимир Павлович — доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет», 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (495)583-47-52, [email protected];
Васильев Алексей Викторович — инженер-конструктор, ООО «Родник», 170000, г. Тверь, ул. Коминтерна, д. 22, +7 (482) 2-761-004, [email protected].
Для цитирования: Агапов В.П., Васильев А.В. Использование объемных моделей колонн прямоугольного сечения в расчетах строительных конструкций методом конечных элементов // Вестник МГСУ 2012. № 9. С. 55—59.
V.P. Agapov, A.V. Vasil'ev
SOLID MODELS OF RECTANGULAR SECTION COLUMNS WITHIN THE FRAMEWORK OF ANALYSIS OF BUILDING STRUCTURES USING THE METHOD OF FINITE ELEMENTS
The theory of the strength of materials has produced a substantial influence on the development and practical implementation of computer methods of the strength analysis of beams and beam systems. Beams are modeled through the employment of one-dimensional elements within the overwhelming majority of the finite element method software programmes; the stiffness matrix is derived on the basis of the hypothesis of flat sections, and end forces concentrate in the centres of the gravity of cross sections. This approach makes it possible to develop effective algorithms, although it has several drawbacks. They include an incorrect transmission of forces from beams to plates and massive elements of structures, difficulties in taking account of the warping effect of the beam, and the complexity of taking account of physical and geometrical nonlinearities. Some authors suggest using the three-dimensional theory with account for the flat sections hypothesis. It
58
ISSN 1997-0935. Vestnik MGSU. 2012. № 9
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве ВЕСТНИК
_МГСУ
encompasses the patterns of rotations of sections in the analysis of structures, although the problems of warping and shear deformations remain.
The authors propose a new approach to rectangular column modeling by means of the finite element analysis of building structures. Each column is presented as a set of three-dimensional 8-node elements with arbitrary discretization alongside the cross section and the height of the column. The inner nodes of the finite element mesh are excluded sequentially layer by layer, thus, reducing the stiffness matrix and other characteristics of the column with reference to its top and bottom cross sections. The finite element method has been adapted to PRINS software programme. The comparative analysis of the two structures has been completed with the help of this software.
The structures exposed to the structural analysis included slabs and columns. In one case, columns were modeled with the help of one-dimensional elements, and in the another case, the proposed elements were used. The comparison of the results demonstrates that the employment of the proposed elements makes it possible to avoid problems associated with the transmission of the force in a particular point.
Key words: building structures, rectangular cross section columns, finite element method, super-elements.
References
1. Filin A.P. Matritsy vstatike sterzhnevykh sistem [Matrices in the Statics of Framework Structures]. Moscow-Leningrad, Izd-vo literatury po stroitel'stvu publ. [Publishing House of Civil Engineering Literature]. 1966, 438 p.
2. Rabotnov Yu.N. Soprotivlenie materialov [Strength of Materials]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1962, 456 p.
3. Feodos'ev V.I. Soprotivlenie materialov [Strength of Materials]. Moscow, Nauka Publ., 1986, 512 p.
4. Aleksandrov A.V., Lashchennikov B.Ya., Shaposhnikov N.N., Smirnov V.A. Metody rascheta sterzhnevykh sistem, plastin i obolochek s primeneniem EVM [Computer Methods of Analysis of Framework Structures, Plates and Shells]. Moscow, 1976.
5. Kornoukhov N.V. Prochnost' i ustoychivost' sterzhnevykh sistem [Strength and Stability of Framework Structures]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1949, 376 p.
6. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics. McGraw-Hill, 2005, 631 p.
7. Bathe K.J. Finite Element Procedures. Prentice Hall, Inc., 1996, 1037 p.
8. Ayoub A., Filippou F.C. Mixed Formulation of Nonlinear Steel-concrete Composite Beam Element. J. Structural Engineering. ASCE, 2000.
9. Hjelmstad K.D., Taciroglu E. Mixed Variational Methods for Finite Element Analysis of Geometrically Non-linear, Inelastic Bernoulli-Euler Beams. Communications in Numerical Methods in Engineering. 2003.
10. Agapov V.P. Issledovanie prochnosti prostranstvennykh konstruktsiy v lineynoy i nelineynoy post-anovkakh s ispol'zovaniem vychislitel'nogo kompleksa «<PRINS» [Strength Analysis of Three-dimensional Linear and Non-linear Structures Using PRINS Software Programme]. Collection of works "Three-dimensional Constructions of Buildings and Structures: Research, Analysis, Design and Application". no. 11, Moscow, 2008, pp. 57—67.
About the authors: Agapov Vladimir Pavlovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (495) 583-47-52;
Vasil'ev Aleksey Viktorovich — design engineer, Rodnik Limited Liability Company, 22
Kominterna st., Tver, 170000, Russian Federation; [email protected]; +7 (482) 2-761-004.
For citation: Agapov V.P., Vasil'ev A.V. Ispol'zovanie ob"emnykh modeley kolonn pryamougol'nogo secheniya v raschetakh stroitel'nykh konstruktsiy metodom konechnykh elementov [Solid Models of Rectangular Section Columns within the Framework of Analysis of Building Structures Using the Method of Finite Elements]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 9, pp. 55—59.
