CC BY
4
УДК 517.926 ББК 22.161.1 Т 49
Тлюстангелова Мадина Султановна
Магистрант факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593905 Сташ Айдамир Хазретович
Доцент, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593905, e-mail: [email protected]
Строгие неравенства между полными и векторными частотами решений двумерных дифференциальных систем
(Рецензирована)
Аннотация. На множестве решений линейных однородных двумерных дифференциальных систем (не сводящихся с помощью канонической замены переменных к уравнениям второго порядка) с непрерывными ограниченными на положительной полуоси коэффициентами найдена функция, полные частоты которой не совпадают с векторными.
Ключевые слова: линейная дифференциальная система, колеблемость решений, число нулей функции, показатель колеблемости, полная частота, векторная частота.
Tlyustangelova Madina Sultanovna
Master's Degree Student of Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop,
ph. (8772) 593905
Stash Aydamir Khazretovich
Associate Professor, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics of Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593905, e-mail: [email protected]
Strict inequalities between complete and vector frequencies of solutions of two-dimensional differential systems
Abstract. We have found a function, the complete frequencies of which do not coincide with the vector ones. This function was established on the set of solutions of the linear homogeneous two-dimensional differential systems (which are not reduced to the second order equations by means of classical replacement of variables) with continuous coefficients limited on a positive semiaxis.
Keywords: linear differential system, variability of solutions, number of zero function, variability indicator, complete frequency, vector frequency.
Введение
Для заданного натурального n обозначим через M" множество линейных однородных дифференциальных систем
X = A(t)x, x g R", t g R+ = [0, œ), с непрерывными ограниченными оператор-функциями A, отождествляемые с самими
J—Г n
системами, а также его подмножество E , отвечающих линейным однородным уравнениям n-го порядка
y(n) + 0,(0 y( n-1) +... + an_,(0 y + an (t) y = 0, сводимым к системе каноническим переходом от скалярной переменной y к векторной x = (y,y,. .,y(n_1)). Кроме того, обозначим через S*(A) множество всех ненулевых решений системы A g Mn и положим SM = U S*(A), SnE = U S»(A).
AgM" AgE"
Определение 1 [1-3]. Скажем, что скалярная функция y g C"(R + ) имеет смену знака в точке t > 0, если в любой окрестности этой точки она принимает как положительные, так и отрицательные значения, а через va(y, t) при a g {-,0,+,*} соответственно обозначим:
- число ее смен знака на промежутке (ü, t];
- число ее нулей на промежутке (ü, t];
- число ее корней на промежутке (ü, t], то есть нулей с учетом их кратности;
- число ее гиперкорней на промежутке (ü, t], то есть при его подсчете каждый некратный корень берется ровно один раз, а кратный - сразу бесконечно много раз.
Далее для ненулевого вектора m е R* и вектор-функций x е Rn введем обозначение
va(x,m,t) = va((x,m,t), где (x(-),m) - скалярное произведение, R* = Rn \ {ü}.
Определение 2 [2, 3]. Каждому решению x е S*(A) системы A е Mn поставим в соответствие верхнюю (нижнюю) полную и векторную частоты
са(х) = inf lim —va(x, m, t) \са(x) = inf lim —va(x, m, t) I,
meR* ti+ш t V meR* ti+ш t J
Ca(x) = lim inf —va(x, m, t) \C"(x) = lim inf —va(x, m, t) |
ti+ю meR*n t V ti+ш meR*n t J
знаков, нулей, корней или гиперкорней при а е {-,ü,+,*} соответственно.
В случае совпадения какой-либо полной или векторной верхней частоты с одноименной нижней будем называть ее точной.
Для любого вектора m е R и вектор-функции x е Rn выполнено
(x(r), m — , так как |m| Ф ü. Поэтому при любом а е {-,ü,+,*} справедливо ра-
\ \ m
венство va(x, m, t) — va x,-.—-., t , на основании которого можно считать, что вектор m е S
v m j
В случае n - 2 для времени t скалярное произведение векторов m и z(t) единичной окружности равно нулю тогда и только тогда, когда они перпендикулярны. Поэтому достаточно рассматривать не сами вектора m , а прямые, перпендикулярные им. Обозначим через L множество прямых, проходящих через начало координат. Для прямой l е L и вектор-функции x е R2 под величинами v?(x, t) и v?(x, AT) при а е {-,ü,+} будем понимать соответственно:
- количество моментов времени т е (ü, t] и те AT, удовлетворяющих системе [x(t) е l,
1 x(t) g l;
- количество моментов времени т е (ü, t ] и те AT, когда x(t) е l;
- количество кратных моментов времени т е (ü, t] и те AT, когда x(t)еl (то есть если дополнительно выполнены x(t), x(t), x(t),..., x(k-1) (т) е l, x(k) (т) g l, то данный момент считается k раз).
Следовательно, при любом а е {-,ü,+} можно записать равенство
са (x) = inf lim —va (x, m, t) - inf lim —v? (x, t) ,
meSn-11i+ro t 'еL ti+да t
которое верно с естественными изменениями и для остальных величин из определения 2. Для прямой l е L и вектор-функции x е R2 при каждом а е {-,ü,+} введем обо-
значения:
са (x) = lim - v? (x, t), са (x) = Um - v? (x, t),
t ti+ш t
~ -ж — ж
С? (x) - 1пп-V? (x, t), СГ (x) - lim t v? (x, t).
tt t i+ш t
Замечание. Из определений 1 и 2 следует, что для любого ненулевого решения x е S*(A) справедливы цепочки соотношений:
С (x) <С (x), ö (x) <ö~ (x), С\x) <С°(x), ö0(x) <ö0(x), (1)
С+ (x) <С+ (x), ö+ (x) <ö+ (x), С(x) <С*(x), ö*(x) <ö*(x), (2)
С(x) < С0(x) < С+ (x) < С*(x), С(x) < С0(x) < С (x) < С*(x), (3)
ö - (x) < ö0 (x) < ö+ (x) < ö* (x), ö- (x) <ö0 (x) < ö+ (x) < ö* (x), (4)
С (x) <<—-(x), С- (x) <<T- (x), С\x) <ö— 0(x), С (x) < ö°(x), (5)
С+ (x) <<—+ (x), С(x) <<r+ (x), С*(x) <ö— *(x), C(x) <<?*(x). (6)
Из результатов работ [4-6] следует, что на множестве решений линейных однородных автономных дифференциальных систем все определенные в настоящей работе показатели колеблемости являются точными и на множестве SE все нестрогие неравенства (5), (6) превращаются в равенства. Несовпадение друг с другом полных и векторных частот гиперкорней решений линейной однородной двумерной дифференциальной системы было доказано в работе [7]. В докладе [8] утверждается существование точки (то есть решения) из множества SM \ SE, в которой все нестрогие неравенства (5), (6) для частот нулей превращаются в строгие. Однако доказательства именно этого факта на сегодняшний день не имеется. В дипломной работе Цой С. доказано (с многочисленными опечатками) существование двумерной системы с кусочно-непрерывными коэффициентами на положительной полуоси. В настоящей работе, используя идею доказательства последнего факта, приводится функция из множества SM \ S2E, для которой все нестрогие неравенства (5), (6) превращаются в строгие.
Вспомогательный результат
Лемма 1. Пусть последовательность положительных чисел t1 < t2 < ... удовлетворяет условиям:
lim tp = <х>, lim = 1.
Тогда для любого решения x е S*(A) любой системы A е Mn при каждом ? е {-,0,+,*} выполнены равенства:
ж
ö?(x) = inf lim— v?(x,m,t ), ö?(x) = inf lim— v?(x,m,t ),
теК*П рt теЯ*П Pi+м t
F P P
— Ж ~ - ж
c?(x) = lim inf— V?(x,m,tp), C?(x) = lim inf— v?(x,m,tp).
pi+м meR* tp PmeR*ntp
Доказательство этой леммы сводится к повторению рассуждений, проведенных при доказательстве леммы 7 [6].
Лемма 2. При выполнении условий леммы 1 для любого решения x е S*(A) любой
системы A е Mn при каждом ?е{-,0,+,*} выполнены равенства:
— ж ж
ö?( x) = lim —v?(x, tp ), ö? (x) = lim — v?(x, tp ),
p t p i+м t
p F p
С?(x) = Ш жV?(x, tp), С? (x) = lim жV?(x, tp ).
p t p i+м t
pp
Основной результат Теорема. Существует функция х е 8М \ 8Е, удовлетворяющая соотношениям С - (х) = С - (х) = С0 (х) = С0 (х) = С + (х) = С + (х) < & - (х) = с - (х) = с0 (х) = &0 (х) = &+ (х) = с+ (х).
Доказательство теоремы.
1. Для фиксированного номера к обозначим через 8+ к дугу единичной окружности
ж
ж
2+4
и под фигурой к -го порядка будем понимать совокупность движений по 8+к :
А Ж ,
А. ж I—> —^ — ж повторяется к раз,
т^ Ж
Б. ж — -
2к74
ж ж ж ,
В. - 2Т4 ^ ^ ^ "2+4 повторяется к раз' ж
Г. —пт^ ж,
2к 7 4
где под ^ обозначим движение от одной точки единичной окружности до другой и будем называть каждый пункт движения фигуры участком с соответствующим номером.
Будем искать функцию 2 е ^ \ 82Е как совокупность фигур к -го порядка, где к пробегает натуральный ряд. При этом каждому к поставим в соответствие число пк, которое отвечает за количество вхождений фигур к -го порядка в функцию 2 (то есть на первом шаге функция г проходит п1 раз фигуру 1 -го порядка, затем п2 раза фигуру 2 -го порядка и т. д.).
Для любого натурального к зададим 2ж периодические функции (р,Щк е С1(Я+), возрастающие на отрезке [0,ж], убывающие на участке [ж,2ж] и принимающие на концах отрезков значения
/2 к+4 - 1>|_
(Р(0) = 0, (Р(ж) = ж, ф (0) = ф (ж) = 0, щ (0) =1 2к 7 4 +1, Щ (ж) = ж, щк (0) = ук (ж) = 0.
На первом участке фигуры к -го порядка имеем представление
2(Х) = - сов^1 - ^фО X ^п^1 - ^фО) ,
на втором и четвертом участках
cosil + 4 г-„ -,-■ 2
' ' 1 Л „ . Л 1 > ^
z(t) = - cos| 1 + — mf), sinl 1 + —4 M(t)
J
на третьем участке -
2(0 = со8^1+2+4^(t), ^+.
Система А е М2, для которой решением будет построенная вектор-функция г имеет вид
( 0 а\
А = ,
у- а 0)
где функция а : Я + ^ Я непрерывна.
На первом, втором, третьем и четвертом участках фигуры к -го порядка соответственно имеем представления
*(0 = (1 - 40 = + *(0 = + а(0 = + -^(0.
2. Докажем, что для любой прямой I е Ь выполнены соотношения
а-(х) > 0,5, а-(х) > 0,5.
1 шаг. Рассмотрим прямые l е L, проходящие через дугу
ж
— , ж 2
единичном окруж-
ности. Заметим, что для фиксированного номера k вектор-функция z проходит фигуру k -го порядка за время tk = 2nk + п + 2nk + п = 2n(2k +1) . Обозначим через Ak соответствующий период времени. Тогда выполняются следующие соотношения:
V (x, A1) > 2, v~ (x, Ak ) = 2(k +1) при k > 1.
Выберем последовательность {тр}= {0,t1,2t1,.,n1t1,n1t1 +12,n1t1 + 2t2,...,n1t1 + n2t2,...} моментов времени, когда вектор-функция z полностью проходит очередную фигуру. Для любого номера p найдется kp , что выполнено
kp kp
Tp = Z nt + nh +1 , или Tp = 2 2n(2i + 1)n! + 2n(2kp + 3)n,
i=1
i=1
а значит, имеем
(,rp) > S2(i + 1)n + 2(kp + 2)n-2n .
i=1
Последовательность \c ) удовлетворяет соотношению
lim
p т
ь p+1 =
kp
S + ntkP+1 + fk
lim
p
= 1, n +1 < n,
kp +1'
Snt +nt.
kp +1
kp
S nt + ntkP+1 + tk
lim
p
i=1
= 1, n +1 = n
kp +1-
S ntr + nt
kp +1
i=1
Следовательно, по лемме 2 величины öl (x), ö- (x) вычисляются как предел по после-
довательности
Tp }■
ж
S (i + 1)n + (kp + 2)n-
öl (x) = lim — v (x,Tp ) > lim
" p s k
pт p^+w
p
> lim
S (i + 1)n + (kp + 2)n 1
p^+w __
S (2i + 1)n + (2kp + 3)n S (2i + 2)n,. + (2kp + 4)n
> —
2
i=1
i=1
ö(x) = lim (x Tp) > 1
pTp 2
2 шаг. Рассмотрим прямые l е L, проходящие через дугу
жж
единичном
2q+4' 29
окружности при любом фиксированном натуральном q. Тогда выполняются следующие соотношения:
i=1
i =1
12 <v(x, А к ) < 2(к +1), к < q + 4, [v- (x, Ак ) = 2(к +1), к > q + 4, из которых вытекает оценка снизу
q+4 кр
v-(z,Tp)>22п. 2(i + 1)n + 2(kp + 2)n .
i=1
i=q+5
С учетом последнего будем иметь:
( q+4 к„
~(z)> lim
Л
ж 2 2и,. + ^ 2(i + 1)n + 2(кр + 2)n
i =1 i = q +5
2 (i + 1)П + (kp + 2)n
> lim
i=q+5
> 0,5.
p
2 2ж(2. + 1)n + 2ж(2кр + 3)n
^ (2/ + 2)п + (2кр + 4)п
I=1 I=д+5
Тем самым были рассмотрены все прямые, проходящие через начало координат, поскольку они описываются либо шагом 1, либо шагом 2.
3. Докажем, что для любого к > 1 существует такой номер пк , что для любой прямой
1к , проходящей через дугу
жж
2+2 5 2к+1
ж
единичной окружности, выполняется неравенство
к Л
ntt
2niti
( к Л
z, 2 ntr
V i =1 J
<-
к
(7)
Для этого воспользуемся методом математической индукции. Сначала заметим, что при
ж ж
каждом натуральном / любая прямая ^, проходящая через дугу окружности, обладает свойством
((, Ак)= 2, I е {к, к +1}, ((, Ак )= 2(к +1), I ¿{к, к +1}.
2i+2 2i+1
единичной
(8)
База. Расписав неравенство (7) и учитывая результаты (8), найдем номер п2 для случая к = 2 :
ж
+ i \ V+ (z, n1t1 + n2t2 ) = ~Л
4n1 + 2n2 1 < —.
6щ+ 10n2 2
+
Здесь можно взять п1= п2 = 1.
Шаг индукции. Пусть доказываемое утверждение верно для всех номеров {2,...,к} и уже найдены номера п2,п3,...,пк . Для очередного номера к +1 найдем такое пк+1, что неравенство (7) по-прежнему справедливо. Распишем
к-1
ж
С к+1
"Л;
2 ntr
к+1 1к+1 n
=1
2 nh 1=
2 2(i + 1)n + 2Пк + 2n
к+1
z 2 n
v i=1
к+1
<
1
2 2(2i + 1)n
к +1
Для того чтобы выполнялось последнее неравенство, достаточно выбрать
к 1 ^—у , к ^—1 к
n„ 1 >—-2 щ +——2 n--— пк.
к+1
к + 2 tr к + 2 ti
к+2
4. Используя результат последнего пункта настоящего доказательства, будем иметь:
1
i=1
kp-1
2 2(i + M + 2Пкр + 2п Ж Vkp (z, Гр )= ^-<
Г kp r р
р 2 2(2i + 1)n + 2(2kp + 3)п
i=1
kp -1
2 2(i + 1)n + 2n
<
i=1
■ + ■
2n
11
<— + -
2 2(2i + 1)n 2 2(2i + 1)n + 2(2kp + 3)n
kp 2kp + 3
p p
i =1
i =1
Откуда следует справедливость соотношений
ж .
ж
(x) = lim — inf v+ (z,m,t) < lim—v+ (z,rp) = 0.
t t MES1
p г kp р
5. Наконец, из пунктов 2 и 4 настоящего доказательства, с учетом неравенств (1)-(5), получим:
д~(х) = сг"(х) = сг0(х) = а0(х) = С (х) = С (х) > 2,
С (г) = С (х) = £°( г) = С 0( х) = С (Г) = С+ (х) = 0. Теорема полностью доказана.
Авторы выражают глубокую благодарность профессору И.Н. Сергееву за постановку задачи и внимание к работе.
Примечания:
1. Сергеев И.Н. Определения и свойства характеристических частот линейного уравнения // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2006. Вып. 25. С. 249-294.
2. Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейной системы // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 6. С. 908.
3. Сергеев И.Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Математический сборник. 2013. Т. 204. С. 119-138.
4. Бурлаков Д.С., Цой С.В. Равенство полной и векторной частот решений линейной автономной системы // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47, № 11. С. 1662-1663.
5. Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Известия РАН. Серия математическая. 2012. Т. 76, № 1. С. 149-172.
6. Сташ А.Х. Полные и векторные частоты решений линейной однородной автономной дифференциальной системы // Дифференциальные уравнения 2016. Т. 52, № 6. С. 851-852.
7. Сташ А. Х. О некоторых свойствах полных и векторных гиперчастот решений двумерной дифференциальной системы // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2017. Вып. 2 (201). С. 31-34. URL: http://vestnik.adygnet.ru
8. Цой С.В. Пример несовпадения полной и векторной частот решений линейной системы // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49, № 6. С. 815.
References:
1. Sergeev I.N. Definition and properties of characteristic frequencies of the linear equation // Works of the Seminar of I.G. Petrovsky. 2006. Iss. 25. P. 249-294.
2. Sergeev I.N. Determination of full frequencies of solutions of a linear system // Differential Equations. 2009. Vol. 45, No. 6. P. 908.
3. Sergeev I.N. The remarkable agreement between the oscillation and wandering characteristics of solutions of differential systems // Mathematical Collection. 2013. Vol. 204, No. 1. P. 119-138.
4. Burlakov D.S., Tsoy S.V. Equality of full and vector frequencies of solutions of linear autonomous system // Differential Equations. 2011. Vol. 47, No. 11. P. 1662-1663.
5. Sergeev I.N. Characteristic of the oscillation and wandering of solutions of a differential system // News of the RAS. Mathematical Serie. 2012. Vol. 76, No. 1. P. 149-172.
6. Stash A.Kh. Complete and vector frequencies of solutions of the linear homogeneous autonomous differential system // Differential Equations. 2016. Vol. 52, No. 6. P. 851-852.
7. Stash A.Kh. On some properties of hyper frequencies of decisions for linear differential equations of the highest orders // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2017. Iss. 2 (201). P. 31-34. URL: http://vestnik.adygnet.ru
8. Tsoy S.V. An example of the discrepancy between the full and vector frequency solutions of a linear system // Differential Equations. 2013. Vol. 49, No. 6. P. 815.
