CC BY
8
УДК 517.953 ББК 22.161.616 С 78
Сташ Айдамир Хазретович
Доцент, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593905, e-mail: [email protected]
О разрывности старших частот на множестве линейных однородных многомерных дифференциальных систем
(Рецензирована)
Аннотация. Исследуются на непрерывность старшие показатели колеблемости дифференциальных систем. Установлено существование точки в пространстве линейных однородных многомерных дифференциальных систем с непрерывными ограниченными на положительной полуоси коэффициентами, в которой каждая из старших частот знаков, нулей, корней и гиперкорней терпит скачки как вверх, так и вниз при возмущениях коэффициентов, исчезающих на бесконечности.
Ключевые слова: линейная дифференциальная система, колеблемость решений, число нулей функции, показатель колеблемости, полная частота, векторная частота.
Stash Aydamir Khazretovich
Associate Professor, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics of Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593905, e-mail: [email protected]
On discontinuity of the senior frequencies on a set of linear homogeneous multidimensional differential systems
Abstract. We investigate the senior indicators of variability of differential systems by continuity. We have established that there exist a point in space of linear homogeneous multidimensional differential systems with the continuous coefficients limited on a positive half axis in which each of the senior frequencies of signs, zeros, roots and hyper roots suffers jumps both up and down at disturbances of the coefficients disappearing on infinity.
Keywords: linear differential system, variability of ssolutions, number of zero function, variability indicator, total frequency, vector frequency.
Введение
В настоящей статье развиваются результаты работы [1], в которой были исследованы полные и векторные частоты нулей решений линейных однородных двумерных дифференциальных систем. В частности, было установлено существование точки на множестве линейных однородных двумерных дифференциальных систем, в которой каждый из всех крайних показателей колеблемости не является инвариантным относительно бесконечно малых возмущений (то есть возмущений, исчезающих на бесконечности).
Насколько нам известно, в литературе нет примера точки разрыва как для старших, так и для младших показателей колеблемости на множестве многомерных дифференциальных систем. Данная статья посвящена построению именно такого примера.
Для любого натурального n через M n обозначим множество дифференциальных систем
x = A(t)x, x e Rn, t e R+ = [о, да),
с непрерывными ограниченными оператор-функциями A (их мы будем отождествлять с соответствующими системами). Через S*( A) обозначим множество всех нетривиальных
решений системы A e Mn и положим Sn = ^ S*(A).
AeMn
Определение 1 [2-4]. Будем говорить, что функция y : R+ ^ R имеет смену знака в точке t > 0, если в любой окрестности этой точки она принимает как отрицательные, так и положительные значения, а через va(y,t) при a e {-,0,+,*} соответственно обозначим: - число ее смен знака на промежутке (о, t];
- число ее нулей на промежутке (0, t];
- число ее корней на промежутке (0, t], то есть нулей с учетом их кратности;
- число ее гиперкорней на промежутке (0, t], то есть при его подсчете каждый некратный корень берется ровно один раз, а кратный - сразу бесконечно много раз.
Далее для ненулевого вектора m е R* и вектор-функции х е Sn введем обозначение v" (х, m, t) = va ((х, mj, t), где (х(-), m) - скалярное произведение.
Определение 2 [3, 4]. Для каждой функции х е Sn определим полную и векторную частоты
ж ж
а" (х) = inf lim - v" (х, m, t), С" (х) = lim inf — v" (х, m, t)
meRÜ tt ti<» meRÜ t
знаков, нулей, корней или гиперкорней при "е{-,0,+,*} соответственно.
Замечание 1. Из сформулированных определений 1 и 2 следует, что для любой функ-
on
ции х е S справедливы цепочки соотношений:
с (х) <а (х), С°(х) <а0(х), Г (х) <а+ (х), С\х) <а(х), С" (х) < С°(х) < С (х) < С*(х), ст" (х) < а0(х) < (х) < <у*(х), а для тривиального решения х = 0 выполнены равенства:
а-(0) = С (0) = 0, а» = Г(0) = (0) = С (0) = а(0) = Г(0) = +ш.
Далее по каждому из перечисленных показателей колеблемости
/— /-0 f+ f* - 0 + *
образуем старшие частоты системы A е Mn с помощью формул
(n (A) = sup ((х).
хеS* (A)
Все старшие показатели колеблемости будем рассматривать как функционалы на линейном топологическом пространстве Mn с естественными для функции линейными операциями и равномерной на R+ топологией, определяемой нормой
||A| - sup| A(t)|.
tеR +
Определение 3 [5]. Для системы A е Mn введем множество
O(A) = {в е Mn lim|A(t) - B(t)| = 0},
t
при котором возмущение B - A назовем бесконечно малым. Будем говорить, что функционал а>п не является инвариантным в точке A е Mn относительно бесконечно малых возмущений, если найдется система B е Q(A), удовлетворяющая неравенству а>п (A) ^ а>п (B) .
Вспомогательный результат
Из доказательства леммы 7 [2] следует справедливость следующей Лемма. Пусть возрастающая последовательность {tk} положительных чисел удовлетворяет условиям
lim t = да, lim = 1.
p
Тогда для любой функции х е Sn при каждом ае{-,0,+,*} справедливы равенства: аа(х) = inf lim —va(х, m, tp), ^я(х) = lim inf —va(x, m, tp).
meR* ptp pmeR* tp
Основной результат
Теорема. Найдется точка из множества Mn, в которой каждая из старших частот знаков, нулей, корней и гиперкорней не является инвариантной относительно бесконечно малых возмущений.
Следствие. В пространстве Mn найдется точка, в которой ни одна из старших частот знаков, нулей, корней и гиперкорней не является ни непрерывной, ни полунепрерывной сверху, ни полунепрерывной снизу.
Доказательство теоремы.
1. Выберем убывающую последовательность \sk } положительных чисел, стремящуюся к нулю, и определим непрерывно дифференцируемые функции
7T + S,
(t) = (" cos t) ) = (1 - cos t), t e [(2k - 2) л, 2лкJ k e N.
Непрерывно дифференцируемая функция
>(t), t e [0,2л],
ф(г) =
ф), t e [,4я"1 V(t), t e [4^,6^], ф), t е[,8я"1
на R+ удовлетворяет следующим неравенствам:
<(t) - ц/(t) = \ek sin t| <ek, t e [(2k - 2)^, 2як] k e Ж
Откуда следует:
lim
) -V (t)
= lim
ф (t) ф )
= 0.
(1)
Для заданного натурального к выберем п -мерные (п = к + 2) непрерывно дифференцируемые по г на К+ вектор-функции:
Г 0 ^
x1(t) =
Г et ^ 0 0
К 0 У
x 2(t) =
Г о ^ 0
К 0 У
,..., xk (t) =
e 0
К 0 У
, xk+1(t) =
Г 0 ^ 0
cos(v(t))
sin(V(t))
xk+2(t) =
Г 0 ^ 0
- Sin(V(t)) cos(v(t))
Нетрудно проверить, что матрица
X (г) = (х^), ..., хк (г), хк+:(г), хк+2(г)) является фундаментальной для системы
A(t) = X (t) X-1(t) =
Аналогично без труда можно убедиться, что матрица
7 (г) = (хЧг), ..., хк (г), г\г), г 2(г))
Г1 0 • 0 0 0
0 1 •
0 0 ■ 1 0 0
0 0 -V (t)
К0 0 • 0 V (t) 0
e Mn
0
где
Г 0 > r 0 ^
z1(t) = 0 , z 2(t) = 0
cos(fc(t)) - sin(fc(t))
v sin(fc(t)) v cos(fc(t)) ,
является фундаментальной для системы
r 1 0 • 0 0 0 >
0 1 •
C (t) = 0 0 ■ 1 0 0 e Mn
0 0 -fct)
v 0 0 • 0 fct) 0 J
2. а) Пусть выполняется условие с1 н с2 +... + ск > 0 и номер отличного от нуля коэффициента равен г . Тогда для произвольного решения хс = с1х1 н-----н скхк н скн1хк+1 + скн2хкн2
и вектора тг с нулевыми компонентами, за исключением г -го, выполняются равенства
V- (хс, тг, Г) = у0(хс, тг, Г) = v+ (хс, тг, Г) = хс, тг, Г) = 0
при любом г > 0 .
б) Если c = С2 = ... = ct = 0, c2k+l + с2
k+2 Ф 0, то решение хс = ck+1xk+1 + ck+2xk+2 не вы-
ходит из плоскости хкн1Охкн2 и, более того, на всей положительной полуоси находится между двумя векторами (ск+1, скн2) и (- ск+1,-ск+2). При этом решение ни в одной точке не
будет сонаправленным с вектором (- ск+1,-ск+2). Следовательно, для любого решения хс найдется такой вектор тс , что их скалярное произведение отлично от нуля на положительной полуоси. Поэтому и в этом случае имеем:
^ (хс, тс,0 = v0( хс, тс,0 = ^ (хс, тс,0 = ^(хс, тс,0 = 0.
Таким образом, для любого решения х е £»(А) справедлива цепочка равенств
СТ (х) = а\х) = а+ (х) = а( х) = С (х) = С( х) = С (х) = С*( х) = 0, из которой вытекают
ст,- (А) = а„0(А) = < (А) = а*п( А) = С (А) = С0(А) = С (А) = С*(А) = 0.
(2)
3. в) Если выполняется условие с12 + с^ +... + с2к > 0 , то (см. пункт 2 а настоящего доказательства) для любого решения zc = с1 х1 н-----н скхк + ск+1z1 + ск+2 z2 справедливы равенства
а-(Zc) = а0( Zc) = (Zc) = а( Zc) = С (ze) = C\ze) = С (Zc) = C\Zc) = 0. г) В случае c1 = c2 = ... = ck = 0, cl+1 + ck+2 Ф 0 для решения zc = ck+1z1 + ck+2z2 выберем вектор mc e Rn, который не ортогонален рассматриваемому решению на тех участках, где оно совпадает хс = ck+1х1 + ck+2х2 e S*(A) . Выбранный вектор mc e Rn в двух точках ортогонален решению zc на тех участках, где оно не совпадает с хс.
Определим последовательность sk = 4лk, обладающую свойствами
.. .. sk+1 4n(k +1) 1 lim sk = +ю, lim -k+1 = lim-1-1 = 1.
k
k s
k
4лk
Понятно, что для рассматриваемых решений гс е £*(С) и выбранного вектора тс е Я" выполняются
inf" Vй (гс, m, , эк -) = Vя (¿с, тс, ^, -1) = 2-
meR,"
Далее, используя утверждение леммы, при любом а е {-,0,+,*} вычислим
ч • ^ TTV(z , m, s,) nv(z , m , s,) . ,
) = lim inf —v c' ' k} = lim —v c' c' k' = lim
k —meR,"
s
k—
s
k —
4як
2 л, 1
= lim — = —. к—4 як 2
Оценки
а, ч • ^ .• яу^,m,t) яу^,mc,t) 1 1 „, . „а, . 1
aa(zc) = inf lim—v c ' < lim— =-, ->оа{zc)>ca(zc)= -,
meR," t —t t —t 2 2 2
приводят к
С-( Zc ) =C°( Zc ) = С ( Zc ) = Г( Zc ) = 2.
Подводя итоги, для системы С будем иметь:
а- (С) = а„0(С) = а+ (С) = а"(С) = С (С) = С0(С) = С (С) = С*(С) = 1/2. (3)
4. При I возмущение С - А является бесконечно малым, так как в силу (1) вы-
полняются равенства
lim\C(t) - A(t)| = 42 lim <(t) - ц/(t) = 42 lim <(t) - ц/(t)
= 0,
но величины (2) и (3) не совпадают. Это означает, что все старшие частоты не являются инвариантными в точке С .
Теорема полностью доказана.
Доказательство следствия вытекает из теоремы и определения 3.
Замечание 2. Доказанные теоремы справедливы и в случае замены нижнего предела в определении 2 на верхний.
Автор выражает благодарность И.Н. Сергееву за постановку задачи.
Примечания:
1. Сташ А.Х. О разрывности крайних частот на множестве линейных двумерных дифференциальных систем // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2013. Вып. 4 (125). С. 25-31. URL: http://vestnik.adygnet.ru
2. Сергеев И.Н. Определения и свойства характеристических частот линейного уравнения // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2006. Вып. 25. С. 249-294.
3. Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейной системы // Дифференциальные уравнения. 2009. Т 45, № 6. С. 908.
4. Сергеев И.Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Математический сборник. 2013. Т. 204, № 1. С. 119-138.
5. Сергеев И.Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1983. Вып. 9. С. 111-166.
References:
1. Stash A.Kh. On discontinuity of extreme frequencies on a set of the linear two-dimensional differential systems // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2013. Iss. 4 (125). P. 25-31. URL: http ://vestnik.adygnet.ru
2. Sergeev I.N. Definition and properties of characteristic frequencies of the linear equation // Works of the Seminar of I.G. Petrovsky. 2006. Iss. 25. P. 249-294.
3. Sergeev I.N. Determination of full frequencies of solutions of a linear system // Differential Equations. 2009. Vol. 45, No. 6. P. 908.
4. Sergeev I.N. The remarkable agreement between the oscillation and wandering characteristics of solutions of differential systems // Mathematical Collection. 2013. Vol. 204, No. 1. P. 119-138.
5. Sergeev I.N. On the theory of Lyapunov indices of linear systems of differential equations // Works of the Seminar of I.G. Petrovsky. 1983. Iss. 9. P. 111-166.
