CC BY
44
ВЕСТНИК 7/2Q12
УДК 532.5
Г.П. Скребков, Н.А. Федоров
ФГБОУВПО «ЧГУим. И.Н. Ульянова»
СТЕПЕННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ В ПЛОСКИХ И КРУГЛЫХ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКАХ
Предложен общий способ получения показателя степени n в законе распределения скоростей круглых и плоских потоков. Полученные формулы не содержат эмпирических поправок и подтверждаются опытными данными.
Ключевые слова: распределение, степенной профиль, гидравлическое сопротивление, число Рейнольдса, труба, плоская стенка.
Степенной профиль скорости в сравнении с логарифмическим обладает, как известно, целым рядом достоинств: отсутствие необходимости делить единый поток на отдельные области; простота вычисления коэффициентов сопротивления и кинетической энергии; легкое определение отношения максимальной скорости потока к средней, что дает возможность вычисления средней скорости потока по измерению скорости в одной точке.
Применительно к турбулентному потоку степенной профиль скорости записывается в виде
(1)
«м ; '„;
где у — расстояние от стенки; 10 — определяющий размер потока, равный для круглого потока радиусу трубы, а для плоского — глубине потока; им — максимальная местная скорость; п — показатель степенного профиля.
Для практического применения степенного профиля (1) необходимо располагать надежными методами определения величины показателя степени п.
Изучению степенного распределения и следствий из него посвящен ряд работ. Обзор наиболее ранних исследований приведен в монографии Л. Шиллера [1], где показано влияние числа Re = ийЬ на отношение максимальной скорости им к средней и и на показатель степени п; установлена связь между ними, но лишь в табличной форме. Подробные измерения влияния Re на отношение и /и в гладких трубах выполнил Ф.А. Шевелев [2, с. 69] и обобщил их в виде эмпирической формулы "м _1 , 0,744
^=1+- . и ке°>113
Существенную роль в решении задачи поиска современной формулы для нахождения величины п сыграла работа Нунера [3], который установил, что показатель степени п пропорционален корню из коэффициента гидравлического трения круглых труб X:
п . (2)
А.Д. Альтшуль показал [4, с. 82], что пропорциональность левой и правой частей выражения (1) носит устойчивый характер и лишь незначительно изменяется с ростом X. Для условий, обычных в практике расчетов трубопроводов, в которых диапазон изменения коэффициента сопротивления составляет X = 0,01.. .0,04, выражение (2) рекомендовано им в виде
п = 0,9л/1. (3)
при известной величине п из степенного профиля скорости следует связь между максимальной и средней скоростями круглого потока [4, с. 81]:
Им _(п + 1)(п + 2) _ 1 + 3п + п2 х 1 + 3п (4)
и 2 2 ~ 2 '
где слагаемое п2<< 3п может не учитываться.
Подставляя в (4) значение показателя п по выражению (3), А.Д. Альтшуль получил формулу для отношения максимальной скорости к средней
^ = 1 + 1,35у/Х, (5)
и
которая достаточно хорошо подтверждается опытными материалами различных авторов [4, с. 80—81].
Имеются и более поздние предложения по уточнению величины показателя степени п, но они носят частный характер [5, с. 236].
Покажем, что зависимости (3) и (5) могут быть получены элементарным образом на основе допущения о практической эквивалентности степенного и логарифмического профилей скорости.
Из логарифмического профиля круглого потока следует [6, с. 581]
= 3,75, (6)
у-
где динамическая скорость на стенке и, = ут0 / р.
Напряжение трения на стенке т0 выражается через среднюю скорость круглого потока и и коэффициент гидравлического трения трубы X : То = рХи /8, что позволяет записать динамическую скорость в виде
и* = (7)
Подстановка (7) в (6) приводит к результату
^ = 1 + 3,75 у1Щ = 1 + 1,33л/Х, (8)
и
который практически совпадает с формулой (5), содержащей в себе эмпирический коэффициент. Однако формула (8) в отличие от (5) не ограничена в применении диапазоном величин X.
Поскольку результат (6) справедлив и для круглых потоков с шероховатыми стенками, то и формула (8) пригодна для шероховатых труб. При этом необходимо лишь применить соответствующую расчетную зависимость для коэффициента сопротивления X.
Обратим внимание, что левые части выражений (4) и (8) одинаковы. Это позволяет приравнять их правые части и определить величину показателя степени
п = 0,884л/!. (9)
Полученная формула практически точно совпадает с эмпирической формулой Альтшуля (3).
Перейдем теперь к плоскому потоку.
Авторы работы [7, с. 46, 93] первыми изучали показатель степени плоского потока п и определили его равным
п = 1,25 ТхПЛ, (10)
где Хпл — коэффициент гидравлического сопротивления плоского канала.
Повторим поиск показателя степени п для плоского потока тем же способом, который был выше использован в случае круглого потока.
Согласно результатам работ [8—9] для определения коэффициента гидравлического трения плоских гладких стенок рекомендуется применять закон сопротивления
= 3,6№пл - 2,0, (11)
"V ПЛ
ВЕСТНИК 7/2012
где число Рейнольдса плоского потока вычисляется по средней скорости плоского потока и его глубине h.
В случае шероховатых стенок их сопротивление подчиняется закону [6] 1 к
= 4^ — + 4,2. (12)
Л/^пл кэ
Логарифмический профиль скорости плоского потока с гладкими стенками описывается уравнением [5]
— = 5,751м — + 4,2, (13)
и* V
а в случае шероховатых стенок
— = 5,75 lg к- + 7,3. (14)
Вне зависимости от шероховатости стенок из (13) и (14) следует связь между максимальной и средней скоростями
= 2,5, (15)
где — =
Из (15) следует, что для плоского равномерного потока
^ = 1 +1,76^. (16)
и
Отношение максимальной скорости к средней, выраженное через показатель степени п для плоского потока, имеет вид
^ = 1 + п. (17)
и
Приравнивая правые части уравнений (16) и (17), получим связь показателя степени с гидравлическим сопротивлением
п = 1,76 ф^. (18)
Эта формула используется вместе с законами сопротивления (11) или (12) соответственно.
Отметим, что результаты (16) и (18) получены из общеизвестных зависимостей (7), (8) и (15) и не содержат дополнительных экспериментальных поправок.
Сравнение формул (10) и (18) показывает аналогичность их структур при существенном различии величины числового коэффициента, стоящего перед радикалом, что требует пояснения.
Вероятная причина различия выражений (10) и (18) связана с тем, что при получении формулы (10) ее авторы использовали величины дефицита средней скорости [7, с. 45] и коэффициента гидравлического трения плоского потока, полученные иначе, чем в рассматриваемой работе. Достоверность этих величин зависит, в первую очередь, от точности определения динамической скорости на стенке в точке, соответствующей измеренному профилю скорости. Однако в период подготовки работы [7] надежные способы определения локальной величины и* и гидравлического сопротивления плоского потока отсутствовали. Они были разработаны позднее [8, 9]. Вероятно, авторы работы [7] определяли и* как среднюю по периметру потока величину, что может приводить к систематической погрешности. В случае безнапорных потоков может появиться дополнительная погрешность, связанная с неточностью измерения уклона свободной поверхности потока.
В подобных ситуациях решающее значение придается экспериментальной проверке. На рис. 1 приведена зависимость, соответствующая уравнению (16), и опытные точки, полученные по эпюрам скоростей в плоских потоках. Материалы для провер-
ки заимствованы из источников, указанных в [8]. Рис. 1 показывает, что формула (16) вполне удовлетворительно согласуется с опытными данными. Максимальное отклонение опытных точек от предлагаемой расчетной зависимости не превышает 1,5...2 %, а в среднем составляет менее 1 %. Однако имеется тенденция в расположении опытных точек несколько ниже расчетной зависимости. Если эта тенденция будет подтверждена дополнительными экспериментами, то для лучшего согласования с опытами в формулу (16) может быть введен поправочный числовой коэффициент.
1,3 г-------
1,2
1,1
1 пл
0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,11 0,12 0,13
♦ Родионов ■ Скребков А Лауфер хХуссаин ж Субботин ФКоркоран
Рис. 1. Отношение максимальной скорости к средней в плоских потоках (по опытам в широких и гладких каналах)
Uw м и
—-^ж X ж ^—'I X > • -— ■ г4
Опытная проверка формулы (18) приведена на рис. 2 сравнением экспериментальных профилей скорости с расчетными при величинах показателя степени п, определенных по (18). Экспериментальные профили скорости заимствованы из [10, 11].
а б
Рис. 2. Сравнение расчетных и опытных профилей в плоских потоках: а — шероховатый канал ЧГУ [9] при h = 25,5, кЭк = 0,85 мм; б — гладкий канал [12], Re = 10600, п = 0,140
вестник 7/2012
как видим, расчетные степенные профили скорости удовлетворительно согласуются с результатами измерений в плоских потоках, а отклонения опытных точек от расчетных профилей не превышают погрешности экспериментов.
Выводы. 1. Практическая эквивалентность степенного и логарифмического профилей скорости может служить дополнительным условием, позволяющим удовлетворительно определять величину показателя степени без привлечения эмпирических поправок.
2. Показатель степенного профиля скорости для круглых потоков рекомендуется вычислять по формулам (3) или (9), а для плоских потоков — по формуле (18), поскольку указанные формулы не только подтверждаются экспериментально, но и обусловлены теоретически.
Библиографический список
1. Шиллер Л. Движение жидкостей в трубах : пер. с нем. ОНТИ. M., 1936. С. 230.
2. Шевелев Ф.А. Исследование основных гидравлических закономерностей турбулентного движения в трубах. M. : Госстройиздат, 1953. С. 208.
3. Nunner W. Wärmeübergang und Druckabfall in rauhen Röhren.VDI Forschungsheft, 1956, № 45.
4. АльтшульА.Д. Гидравлические потери на трение в трубопроводах. M.-Л. : Госэнергоиздат, 1963. 256 с.
5. Брянская Ю.В., Маркова И.М., Остякова A.B. Гидравлика водных и взвесенесущих потоков в жестких и деформируемых границах : монография. M. : Изд-во АСВ, 2009. 264 с.
6. Лойцянский Л.Г. Mеханика жидкости и газа. M. : Наука, 1978. 736 с.
7. Богомолов A.И., Боровков В.С. Майрановский Т.Г. Высокоскоростные потоки со свободной поверхностью, M. : Стройиздат, 1979. С. 344.
S. Скребков Г.П. Паращенко И.Е. О величине постоянных логарифмического профиля скорости при движении потока между гладкими стенками // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1983. № 2. С. SS—92.
9. Скребков Г.П. О гидравлическом сопротивлении русел плоскому потоку // Известия ВНИИГ им Б.Е. Веденеева. 1981. Т. 145. С. 87—92.
10. Скребков Г.П., Паращенко И.Е. Исследование кинематической структуры потока и пристенного трения в трапецеидальных каналах со стенками одинаковой и разной шероховатости // Водные ресурсы. 1989. № 2. С. 91—96.
11. Laufer J. Investigation of turbulent flow in a two-dimensional channel. NACA, Rep. 1053, 1951, p. 1—33.
12. Исследование осредненных гидродинамических характеристик турбулентного потока в прямоугольном канале / В.Н. Субботин и др. Обнинск : Препринт Физико-энергетического института, 1973. № 455.
Поступила в редакцию в апреле 2012 г.
Об авторах: Скребков Геннадий Петрович — кандидат технических наук, доцент кафедры теплотехники и гидравлики, ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова» (ФГБОУ ВПО «ЧГУ им. И.Н. Ульянова»), Россия, Чувашская Республика, 428015, г. Чебоксары, проспект Московский, д. 15, (8352) 58-79-26, [email protected];
Федоров Николай Анфимович — ассистент кафедры теплотехники и гидравлики, ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова» (ФГБОУ ВПО «ЧГУ им. И.Н. Ульянова»), Россия, Чувашская Республика, 428015, г. Чебоксары, проспект Московский, д. 15, (8352) 67-33-26, [email protected].
Для цитирования: Скребков Г.П., Федоров Н.А. Степенное распределение скоростей в плоских и круглых турбулентных потоках // Вестник МГСУ 2012. № 7. С. 90—95.
G.P. Skrebkov, N.A. Fedorov
DEGREE-BASED VELOCITY DISTRIBUTION INSIDE FLAT AND ROUND TURBULENT FLOWS
The authors propose a general method of identification of exponent n within the distribution of velocities of round and flat flows. Resulting formulas do not contain any empirical corrections, and they are confirmed by the experimental data.
Resulting degree-based velocity profiles comply with the results of measurements of flat flows, whereas any disagreement between experiment-based points and their analysis-based counterparts do not exceed any acceptable experimental errors.
The practical equivalence of degree-based and logarithmic velocity profiles may serve as a supplementary condition that makes it possible to identify the degree value without the involvement of any empirical corrections.
The degree-based velocity profile of round flows may be calculated according to the expression n = 0,9yfh or n = 1,25^/Ann, the degree-based velocity profile of flat flows is equal to n = 1,76^/Ann, as both formulas enjoy experimental and theoretical substantiations.
Key words: distribution, velocity profile, hydraulic resistance, Reynolds number, pipe, flat
wall.
References
1. Schiller L. Dvizhenie zhidkostey v trubakh [Movement of Fluids in Pipes], ONTI Publ., Moscow, 1936, p. 230.
2. Shevelev F.A. Issledovanie osnovnykh gidravlicheskikh zakonomernostey turbulentnogo dviz-heniya v trubakh [Investigation of Basic Hydraulic Laws of the Turbulent Flow in Pipes]. Gosstroyizdat Publ., Moscow, 1953, p. 208.
3. Nunner W. Wärmeübergang und Druckabfall in rauhen Röhren,VDI Forschungsheft, 1956, no. 45.
4. Al'tshul' A.D. Gidravlicheskie poteri na trenie v truboprovodakh [Hydraulic Friction Loss in Pipes]. Moscow-Leningrad, Gosenergoizdat Publ., 1963, 256 p.
5. Bryanskaya Yu.V., Markova I.M., Ostyakova A.V. Gidravlika vodnykh i vzvesenesushchikh po-tokov v zhestkikh i deformiruemykh granitsakh [Hydraulics of Water and Suspension Flows in Rigid and Deformable Boundaries]. Moscow, ASV Publ., 2009, 264 p.
6. Loytsyanskiy L.G. Mekhanika zhidkosti i gaza [Fluid and Gas Mechanics]. Moscow, Nauka Publ., 1978, 736 p.
7. Bogomolov A.I., Borovkov V.S. Mayranovskiy T.G. Vysokoskorostnye potoki so svobodnoy poverkhnost'yu [High-speed Flows with Free Surface]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1979, p. 344.
8. Skrebkov G.P. Parashchenko I.E. O velichine postoyannykh logarifmicheskogo profilya sko-rosti pri dvizhenii potoka mezhdu gladkimi stenkami [The Value of the Permanent Logarithmic Velocity Profile of the Flow between Smooth Walls]. Izvestiya vuzov, Stroitel'stvo i arkhitektura [Bulletin of Institutions of Higher Education. Construction and Architecture]. Novosibirsk, 1983, no. 2, pp. 88—92.
9. Skrebkov G.P. O gidravlicheskom soprotivlenii rusel ploskomu potoku [About Hydraulic Resistance of Watercourses to Flat Flows]. Proceedings of VNIIG named after B.E. Vedeneeva, 1981, vol.145, pp. 87—92.
10. Skrebkov G.P., Parashchenko I.E. Issledovanie kinematicheskoy struktury potoka i pristennogo treniya v trapetseidal'nykh kanalakh so stenkami odinakovoy i raznoy sherokhovatosti [Investigation of the Kinematic Structure of the Flow and Wall Friction in the Trapezoidal Channel with the Walls of Identical and Different Roughnesses]. Vodnye resursy [Aquatic Resources]. 1989, no. 2, pp. 91—96.
11. Laufer J. Investigation of Turbulent Flow in a Two-Dimensional Channel. NACA, Rep. 1053, 1951, pp. 1—33.
12. Subbotin V.N. Issledovanie osrednennykh gidrodinamicheskikh kharakteristik turbulentnogo potoka v pryamougol'nom kanale [The Study of Averaged Hydrodynamic Characteristics of the Turbulent Flow in a Rectangular Channel]. Obninsk, Institute of Physics and Power Engineering, Preprint, 1973, no. 455.
About the authors: Skrebkov Gennadiy Petrovich — Candidate of Technical Sciences, Associated Professor, Department of Thermal Engineering and Hydraulics, Chuvash State University 15 Moskovskiy Prospekt, Cheboksary, 428015, Chuvash Republic, Russian Federation; [email protected]; +7 (8352) 58-79-26;
Fedorov Nikolay Anfimovich — Assistant Professor, Department of Thermal Engineering and Hydraulics, Chuvash State University, 15 Moskovskiy Prospekt, Cheboksary, 428015, Chuvash Republic, Russian Federation; [email protected], +7 (8352) 67-33-26.
For citation: Skrebkov G.P., Fedorov N.A. Stepennoe raspredelenie skorostey v ploskikh i krug-lykh turbulentnykh potokakh [Degree-Based Velocity Distribution inside Flat and Round Turbulent Flows]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 7, pp. 90—95.
