Статитстическая модель шероховатости поверхности для исследования наноразмерных потоков Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.601.18

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 4

СТАТИТСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ШЕРОХОВАТОСТИ ПОВЕРХНОСТИ

ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ НАНОРАЗМЕРНЫХ ПОТОКОВ

B. П. Мемнонов

C.-Петербургский государственный университет,

канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр., [email protected]

1. Введение. Современные высокотехнологичные устройства очень часто содержат каналы с потоками воздуха или других газов, имеющие вдоль некоторых направлений размеры порядка нанометров, при этом число Кнудсена (Кп) имеет величину 0,1-5, и такие течения соответствуют переходному режиму. Несмотря на постоянное совершенствование способов обработки поверхности всегда остаются ее неровности в наномасштабе.

у"^ я о

Рис. 1. Поверхность винчестера Quantum с 200-кратным сжатием по горизонтали.

С появлением атомно-силовых микроскопов (АСМ) эти неровности, случайным образом распределенные на поверхности, удается измерять, но их описание неизбежно оказывается статистическим. В частности, с помощью атомно-силового микроскопа в работе [1] исследовалась газодинамическая проводимость микроканалов с ипользо-ванием моделирования шероховатости в микрометровом масштабе. В работе [2] были измерены средние высоты нанометровых неровностей как методом отражения рентгеновских лучей от поверхностей защитных пленок будущих винчестеров на сантиметровых размерах, так и с помощью АСМ для образцов 20 х 20 ^m. В нашей прежней статье [3] были выполнены измерения в нанометровом масштабе одновременно двух статистических параметров шероховатости поверхности жестких дисков винчестеров

© В. П. Мемнонов, 2012

фирмы Quantum и было введено представление шероховатой поверхности как набора микроплощадок. Вопросы исследования шероховатости с помощью случайных полей и случайных процессов рассматриваются в монографиях [4-6].

АСМ-измерения нанорельефа в силу экспериментальных трудностей пока дают только одномерные характеристики: угол наклона и линейные геометрические параметры вдоль скана АСМ [3]. Однако для расчета течений необходимо двумерное распределение для углов, определяющих пространственное положение нормалей к микроплощадкам. В работе посредством решения системы трансцендентных уравнений для моментов получены параметры такого двумерного распределения, а также вероятность направлений вылета молекул при их рассеянии на микроплощадках шероховатых поверхностей со случайным распределением нормалей.

2. Представление шероховатой поверхности в виде набора микроплощадок. В работе используется представление шероховатой поверхности как набора микроплощадок, соединяющихся между собой краями и имеющие местные нормали щ, отличающиеся на некоторый угол в от нормали по к среднему уровню поверхности (см. рис. 1 и рис. 2).

падения микроплощадки ABCLD по линии PL.

Каждая микроплощадка при пересечении среднего уровня или плоскости, параллельной ему, образует двугранный угол, ребро которого при этом состовляет некоторый азимутальный угол фо вокруг нормали no (см. рис.2, b). В случае падения на микроплощадки с встречным углом наклона (см. рис.2, a), выберем фо = 0, когда плоскость падения молекулы на поверхность или плоскость вдоль линии скана АСМ, образующие плоскости отсчета для него, оказываются вдоль ребра. И положим фо = п/2, когда они перпендикулярны к нему. При противоположном наклоне микроплощадки, т.е. после поворота ее на угол п по сравнению с этим рисунком, положим угол фо отрицательным, изменяющимся от фо = —п/2 до фо = 0, когда плоскость отсчета оказывается вдоль ребра. Положение плоскости, содержащей нормаль п к микроплощадке в точке O на ребре и нормаль по (см. рис.2, b), также определяется азимутальным углом фо, который может принимать значения от —п/2 до п/2. В случае поверхности без специальной обработки для азимутального угла естественно предполагать равновероятное распределение, которое можно записать в виде

\У2(ф„)с1ф„ = -¿ф„. (1)

п

С помощью АСМ на достаточно длинном рельефе, откладывая от среднего уровня углы отклонения а больше некоторого граничного угла и одновременно измеряя

горизонтальные расстояния между такими отклонениями, можно получить экспериментальную плотность функции распределения величины угла а, а также зависящие от интервала углов оценки линейных размеров микроплощадок. Такая работа была выполнена, а результаты опубликованы в нашей прежней статье [3], в которой для величины углов |а| получено гауссово распределение. Однако для расчетов течений газа, где в качестве граничных условий используется диффузная модель, в которой падающая на поверхность молекула после релаксации вылетает под углом, пропорциональным косинусу угла к местной нормали, т.е. к нормали щ, необходимо иметь распределение направлений этих нормалей по отношению к нормали среднего уровня no.

3. Использование АСМ-измерений для получения параметров распределения. С помощью измерений на АСМ можно получить распределение углов отклонений от среднего уровня для микроплощадок вдоль линии скана прибора. В частности, в работе [3] подобные измерения были проведены для образцов поверхностей используемых в настоящее время жестких дисков винчестеров фирмы Quantum в воздухе при атмосферном давлении. Для абсолютных величин таких угловых отклонений а на интервале углов

[аь < а < af ] (2)

(в градусах, с аь = 0, 05 и af = 2,1) была получена гауссова плотность функции распределения f (а):

где входящие параметры имеют следующие значения: ас = 0, 311180, сто = 0, 257160, а нормировочная постоянная С\ выражается через интегралы вероятности Ф(ж) [3] в виде С\ = + Ф(г2), с z\ = (ас - аъ)/{^/2ст0) и z2 = (а/ - ас)/(л/2а0).

Следует подчеркнуть, что в экспериментальной плотности функции распределения (3) в процессе сканирования поверхности с помощью АСМ в выборке участвуют микроплощадки с разными углами фо относительно вертикальной плоскости скана, и, тем самым, выполняется осреднение по этому углу. Разбивая весь интервал его изменения —п/2 < фо < п/2 на подынтервалы бфо, можно рассматривать экспериментальную функцию распеделения для угла а как сумму функций распределений случайных величин этого угла для каждого такого подынтервала. В силу устойчивости и безграничной делимости нормальных распределений [7] функции распределений этих случайных величин также нормальны и могут отличаться только масштабными множителями и параметрами расположения. А поскольку для подынтервала (п/2, п/2 — бфо) угол в приближенно совпадает с углом а (см. рис. 2, b), можно считать, что распределение величин углов отклонения микроплощадок в от среднего уровня Wi(|e|) должно быть также нормальным. Запишем его в виде

где параметры вс и ст подлежат определению из эксперимента.

В результате измерений на АСМ получается некоторая ломаная, звенья которой хотя и лежат на микроплощадках, но не фиксируют полностью ее положение в пространстве, изменяющееся в зависимости от величины угла фо. Для модели диффузного рассеяния, которая связана с нормалью ni к микроплощадке, необходимо

знать положение этой нормали относительно нормали по к среднему уровню поверхности, которая является границей расчетной области, т. е. углы в и фо. Поэтому необходимо совместное двумерное вероятностное распределение для случайных величин этих углов. Для нахождения его параметров можно использовать экспериментальные данные. Действительно, параметры двумерного распределения (см. (1) и (4))

Ш(в, фо) = * ^2(фо) (5)

определяются из условия совпадения его первых двух моментов по углу а: (а)«, и (а2)« с такими же моментами экспериментального распределения f (а), см. (3). В результате получается система нелинейных уравнений для неизвестных параметров распределения Ш1 (в). После ее решения получим в аналитическом виде условную вероятность рассеяния молекулы на шероховатой стенке, причем условием является пересечение молекулой границы расчетного поля.

4. Система нелинейных уравнений для определения параметров распределения и ее решение. Заметим, что с помощью простых геометрических соотношений (см. рис. 2, Ь) получается выражение tg(а) = еов(фо^(в), которое с учетом малости углов а и в на рассматриваемом интервале (2) можно переписать в виде

а = еов(фо )в. (6)

После интегрирования с двумерным распределением Ш(в, фо) степеней угла а из (6) в том же, что и для угла а, интервале (2) для угла в и от —п/2 до п/2 для азимутального угла фо можно выразить полученные моменты (а)« и (а2)« через искомые параметры вс и а распределения (4). А приравняв их затем к одноименным моментам экспериментального распределения /(а), имеем нелинейную систему уравнений для определения этих параметров. Таким путем посредством приравнивания первых моментов запишем уравнение

2 Л Л , А77ГехР(-м2)'\ (7)

2 , ( /—— ехр(— г ЬоР1 = -Ь +

п \ аС2

где безразмерные величины 6о и р1 определяются экспериментальными данными:

Ъ0 = ас/аь, а0 = ас/(а0^2), Р1 = 1 + (8)

ао С1

и для конкретного измерения имеют значения 6о = 6, 2236, р1 = 1, 3294, а безразмерные величины в правой части уравнения (7), 6, а, и и 6*2, выражаются через искомые параметры вс и а:

Ъ = (Зс/аь, а = /Зс/(<7л/2), и = а(1-1/Ь), С2 = 1 + Ф(и). (9)

Из равенства вторых моментов получаем второе уравнение:

Ь2Р2 = 0, 5Ь2 (1 + 0, 5/а2 + еХРг{~Ур) , (10)

V а 62 Vп У

где р2 = 1 + 0, 5/а2 + ехр(-,г2)/(ао С1 л/тт).

Искомые переменные вс и а входят в уравнения (7) и (10) весьма сложным образом, но все-таки с помощью полученных в работе рациональных аппроксимаций для экспоненты и интеграла вероятности Ф(и) (см. приложение I) удается получить приближенное решение этой системы благодаря следующему выведенному там соотношению:

ттад ( ^}' ( }

справедливому при и < 1. Например, при и = 0, 3 ошибка составляет всего 0,6%, но увеличивается до 8,5% при и = 1. Подставляя это соотношение в уравнения (7) и (10), после несложных преобразований получим два представления для переменной Ь через другой параметр а. Из уравнения (7), обозначив в данном случае Ь через 67,

Ъ7

( (1 + ??а + (Г/3)

1 + а

¿М +

(12)

где </1 = тгЬ0Р1/2, z/ = a2/3+2(2/(37r))1/2oC2+3,33C4/7r, ?? = ^/2-2/л/3 и С = 1 -а/у/З. А из уравнения (10), обозначив в этом случае параметр Ъ через Ъю, получим

bio = aqoj ((0, 5 + а2 + a(2/V^)1/2 + аС/ЫЗ^)1/2)) , (13)

где 92 = Ъо(2р2)1/2.

Ошибки этих аналитических представлений для параметра Ъ при a < 1 легко оценить методом Ньютона, используя их как начальное приближение в нем. Уже после трех-четырех итераций невязка становится меньше 10-7. На рис.3, а представлено сравнение аналитических аппроксимаций по формулам (12) и (13) для параметров Ъ7 и Ъю в зависимости от параметра a и их уточнения по методу Ньютона.

611 ю

9 8 7 6 5 4 3 2

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

а

0,280 0,285 0,290 0,295 0,300

Рис.3. Зависимость параметра Ь от параметра а: кривые 1 и 3 — аналитические приближения; кривые 2 и 4 — уточненные по методу Ньютона; 5 и 6 — точки пересечения (пояснение в тексте).

Как видно, аналитические выражения (12) и (13) для Ь весьма эффективны: кривые почти сливаются с численными значениями, полученными по методу Ньютона. Около а* ~ 0, 29 они пересекаются, причем очень важно, что других пересечений

нет. Поэтому совпадающее их значение 6* — 4, 2 является собственно единственным решением системы уравнений (7) и (10) на интервале (2). На рис. 3, 6 это пересечение представлено более подробно.

Поскольку величина а выражается через искомые параметры а и /Зс распределения И/1(/3) (см. (4)) в виде а, = [Зс/а\/2, вторая искомая переменная а согласно формулам (9) по координатам 6б — 4,125 и аб — 0, 284 точки 6 пересечения кривых аналитических приближений на рис. 3, 6 будет аб = 0, 513о, а безразмерное ее значение <?б — 0, 513о/0, 05о = 10, 25. Пересечение более точных численных решений, кривые 2 и 4, в точке 5 с 65 ~ 4, 275 и ~ 0, 2965 дает <75 ~ 0, 510°, или а5 ~ 10, 2. И, наконец, используя, например, первую пару значений Ьц ~ 4,125 и <т6 ~ 10, 25 в качестве начального приближения в методе Ньютона теперь уже для полной системы уравнений (7) и (10), получаем после пяти итераций Ь = 4,266834 и а = 10,191737. Значение среднеквадратичного отклонения а = 0, 509587° для двумерного распределения Ш(в, фо) углов в и фо, как и должно быть, получилось больше, чем для одномерного экспериментального ао = 0, 25716о, а среднее значение меньше, вс = 0, 213342о.

5. Рассеяние молекул на микроплощадках шероховатых поверхностей со случайным распределением нормалей. Столкновение молекулы с шероховатой поверхностью в приближении диффузного рассеяния в малом полностью определяется положением нормали щ микроплощадки относительно нормали к среднему уровню поверхности. Действительно, двумерное распределение Ш(в, фо) с помощью углов в и фо для молекулы, падающей под углом ©о к нормали среднего уровня граничной поверхности по, дает вероятность попадания на микроплощадку с наклоном под углом в к среднему уровню и с ребром ее двугранного угла в, составляющим с плоскостью падения угол фо вокруг нормали по. Вероятность соударения молекулы с гладкой граничной поверхностью пропорциональна модулю проекции ее скорости V на нормаль по, т. е. V сов(©о). Если же реализуется случай соударения с микроплощадкой с углом наклона в, то эта вероятность пропорциональна Vсоб(©1), см. рис.2, а, причем соб(©1) можно представить через этот угол падения ©о и азимутальный угол фо формулой

соб(©1) = соэ(©о) соя(в) + вт(©о) вт(в) соэ(п/2 — фо). (14)

В численных методах Монте-Карло при однократных соударениях со стенкой канала, когда производится расчет траекторий частиц, сталкивающихся под некоторым углом ©о с поверхностью, можно моделировать только небольшую часть поверхности в окрестности пересечения молекулой границы расчетного поля. Поскольку траектория молекулы уже пересекла границу, с помощью выражения (14) для соб(©1), а также двумерного распределения Ш(в, фо) (см. (5)), получается представление условной вероятности Шсопй(в, фо) того, что столкнувшаяся с поверхностью молекула встретила микроплощадку с наклоном в, повернутую на угол фо, причем условием является пересечение молекулой границы расчетного поля с вероятностью, пропорциональной, как отмечено выше, V сов(©о). Поэтому имеем

^(/3, Фо) = ^(^о)со8(/3) + 81п(во)81п(/3)со8(фо)и/

сов(©о)

После диффузного рассеяния вероятность вылета молекулы в телесный угол = 8ш(©1)й©1^ф1 с углами ©1 и ф1 в сферической системе координат с осью вдоль нормали пх определяется плотностью вероятности Шк = соб(©1), представляющей собой

косинусный закон Кнудсена [5]. Но для определения трактории уже в расчетном поле течения необходимо знать направление вылета в сферической системе координат с осью вдоль нормали по, связанной со средним уровнем граничной поверхности. Его можно получить преобразованием углов вылета ©1 и ф1 к углам вылета © и ф в этой системе по формулам (см. приложение II)

,, 8Ш(©)8Ш(Ф)

= СОв(©) 8Ш(/3) - 8Ш(©) СОв(/3) СОв(ф) ' ( '

008(©1) = 008(©) С08(в) + вт(©) вт(в) ео8(ф). (17)

При этом, поскольку якобиан преобразования телесного угла = э1п(©1 )й©1^фх в телесный угол ¿П = 8ш(©)^©йф по этим формулам равен единице, с учетом формул (14), (15) и (17) в итоге получаем плотность вероятности "о^(©,ф|©о) направления вылета под углами © и ф при угле падения ©о после однократного соударения:

"о^(©,ф|©о) = (сов(в) + 1я(©о)в1п(в)с08(фо))"(в, фо)(с08(©)с08(в) +

+ в1п(©) в1п(в) сов(ф)). (18)

Однако при углах падения ©о, близких к п/2, траектория молекулы может встретить другую микроплощадку раньше и в действительности столкнуться с ней, а не в рассматриваемом месте пересечения. Поэтому такую возможность затенения нужно проверить, моделируя предшествующую часть поверхности вдоль траектории с помощью полученных в работе [3] дополнительных статистических параметров, которые связывают соседние участки вдоль скана АСМ. Такая задача, а также возможность второго соударения с соседней микроплощадкой при вылете молекулы будут рассматриваться в последующей работе.

6. Приложение I

Для вывода соотношения (11) сначала получим рациональную аппроксимацию для экспоненты. С помощью разложения Бернули [8] при и < 1 имеем

_и2

6ХР(-М2) " 1 ^ 1 + 0,^ + ^/12' (19)

а, перенося единицу в правую часть и умножая еще образующиеся числитель и знаменатель для сокращения слагаемого и4/12 на 1 — и2/6, получаем

, 2ч 1 — 2и2/3 + и4/6 , ч

ехр(—м ) . 1+/ц2/з . (20)

Ошибка ¿(и) такого приближенного представления экспоненты быстро убывает с уменьшением и: ¿(1) = 1, 9%, ¿(0, 95) = 1, 24%, ¿(0, 9) = 0, 8% и ¿(0, 5) = 0, 005%. Подставляя теперь это выражение для экспоненты в интеграл вероятности, после интегрирования получаем и для него представление, справедливое при и < 1 :

Го

Ф(и) ~ \ -и{ 1 - и2/3 + и4/10). (21)

V п

Используя обе эти формулы и опуская в числителе и знаменателе малые при и < 1 слагаемые, получаем искомое соотношение

ехр(—г/2) ^ (1 ~ '»2/3)2 + г;4/18 ^ л 2

1 + Ф(м) 1 + 2г(/\/3 + и2/3 + 2м(1/а/7Г — 1 / л/3)

7. Приложение II

Рис. 4- Преобразование углов вылета ©х и фх к углам ©, ф.

Графическая иллюстрация к преобразованию углов вылета ©1 и фх из сферической системы с осью вдоль ni в систему с осью no и углами вылета ©, ф представлена на рис. 4. Из него с помощью проекций единичного отрезка I получаем следующие соотношения: h = sin(0) вш(ф) и qcos(y) = cos(0), потом tg(Y) = tg(0) ео8(ф) и, наконец, формулу tg^i) = h/qsin(e — Y), подставляя в которую предыдущие выражения, имеем искомое представление (16) для tg^i) в тексте.

8. Заключение. Для статистического описания шероховатой поверхности, на основе ранее проведенных АСМ-измерений вводится двумерное распределение вероятностей для углов, дающих пространственное положение микроплощадок шероховатой поверхности и нормалей к ним, которые определяют рассеяние молекул на стенках канала при расчете наноразмерных потоков. Приравниванием моментов этого распределения к одноименным моментам экспериментального распределения получена нелинейная система трансцендентных уравнений для определения неизвестных параметров этого двумерного распределения. С помощью найденных в работе рациональных аппроксимаций для экспоненты, интеграла вероятности и их композиции получено приближенное аналитическое решение, которое затем уточняется численно методом Ньютона. В результате вероятность направлений вылета молекул при их рассеянии на микроплощадках шероховатых поверхностей со случайным распределением нормалей представлена в аналитическом виде.

Литература

1. Ухов Л.И., Породнов Б. T., Борисов С. Ф. Численное моделирование газодинамической проводимости микроканалов с учетом структуры их поверхности // ПМТФ. 2009. Т. 50. C. 20-27.

2. Li D., Yip W. Ch., Freire F. L. Metrology of 1-10 nm thick CN* films: thickness, density, and surface roughness measurements // J. Vac. Sci. Technol. A. Vol. 21 (5), 2003, L 19-L 21.

3. Мемнонов В. П., Ульянов П. Г. Экспериментальная оценка параметров распределений для шероховатости поверхности в каналах наноразмеров // ЖТФ. 2011. Т. 81. С. 104-109.

4. Хусу А. П., Витенберг Ю. Р., Пальмов В. А. Шероховатость поверхностей, теоретико-вероятностный подход. М.: Наука, 1975. 343 с.

5. Баранцев Р. Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями. М.: Наука, 1975. 344 с.

6. Аксенова О. А., Халидов И. А. Шероховатость поверхности в аэродинамики разреженного газа: фрактальные и статистические модели. СПб.: Изд-во ВВМ, 2004. 120 с.

7. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения / пер. с англ.; под ред. Ю. В. Прохорова. М.: Мир, 1984. Т. 2. 751 с.

8. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм. рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962. 1090 с.

Статья поступила в редакцию 26 июня 2012 г.

ХРОНИКА

10 октября 2012 г. на заседании секции теоретической механики им. проф. Н. Н. Поляхова в Санкт-Петербургском Доме Ученых РАН выступили канд. физ.-мат. наук, доц. А.С.Кулешов (МГУ им. М.В.Ломоносова) и аспирант Г. А. Черняков с докладом на тему «О первых интегралах в задаче о качении тяжелого тела вращения по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости».

Краткое содержание доклада:

Обсуждаются вопросы применения к неголономным системам алгоритма Кова-чича, позволяющего найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. В частности показывается, как с помощью алгоритма Ковачича можно в явном виде найти все первые интегралы в задаче о движении тяжёлого твердого тела, ограниченного поверхностью вращения, по абсолютно шероховатой плоскости.