CC BY
33
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ОЦЕНКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В. П. Мемнонов1, А. О. Морозов2
1. С.-Петербургский государственный университет,
канд. физ.-мат. наук, ст. научн. сотр., [email protected]
2. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]
1. Введение. Современные высокотехнологичные устройства часто содержат каналы наноразмеров с протекающими по ним воздухом или смесями газов. Информация о параметрах таких течений, как правило, очень важна при конструировании этих приборов. Для численного моделирования течений используются различные методы, но во всех случаях нужно задавать граничные условия на стенках каналах. Несмотря на совершенствование обработки поверхностей на микроуровне всегда имеются неровности поверхности в виде рифленности и волнистости самых разнообразных форм, которые приходится описывать статистически. При этом для течений в переходном режиме, когда характерный размер становится порядка длины свободного пробега А, уже нужно учитывать шероховатость на микроскопическом масштабе. В простейшей форме ее можно приближенно представить в виде микроплощадок, с краями над и под средним уровнем поверхности, и имеющими нормали к нему, отличные от п/2 на некоторый угол в. Поскольку при расчете взаимодействия газа с поверхностью применяется диффузная модель, в которой падающая на поверхность молекула после релаксации вылетает обратно по косинусному закону Кнудсена [1], т. е. пропорционально косинусу угла к нормали, статистические характеристики положения нормали площадки по отношению к средней плоскости имеют большое значение. Для этого, например, в двумерных задачах часто используют представление профиля поверхности в виде Гауссовского однородного случайного процесса с некоторыми параметрами или параметры микроплощадок просто задаются по нормальному закону. Однако с появлением атомно-силовых микроскопов, несмотря на некоторые трудности с калибровкой [2], эти характеристики можно оценивать экспериментально. Действительно, в работе [3] было проведено исследование шероховатости поверхности полированных ситаловых и кварцевых подложек с помощью методов атомно-силовой микроскопии, рентгеновского рассеяния и дифференциального рассеяния света. Получилось хорошее совпадение функций спектральной плотности мощности рельефа поверхности и значений эффективной высоты шероховатости по данным трех методов.
В настоящей работе представлены полученные экспериментально плотности функции распределения / (в) углов в отклонения нормалей микроплощадок от нормали к среднему уровню для слюды и кремния при очень малых горизонтальных смещениях. Оказалось, что для них так же, как и для стекол [4], на большей части рассмотренного интервала углов в функция / (в) приближенно представляется экспонентой ехр(—т * |в|). И лишь на небольшом участке малых углов в < вь появляется квадратичная зависимость показателя экспоненты / (в) ~ ехр(-с * в2). В работе представлена
© В. П. Мемнонов, А. О. Морозов, 2009
методика измерений и оценка ошибки констант m и с для слюды и кремния. На поверхностях всех образцов был мощный адсорбционный слой, заполняющий также и все впадины поверхности, так как измерения проводились при атмосферном давлении с целью воспроизвести условия течений воздуха в некоторых современных наноразмерных устройствах [5, 6]. Соответственно, результаты не применимы к чистой поверхности, для которой необходимы эксперименты с высоким вакуумом.
2. Методика измерений. Для измерений шероховатости поверхности использовался атомно-силовой микроскоп Solver PRO-M. Сканирование производилось зондом в полуконтактном режиме с использованием кантилеверов NSG01. Измерения проведены для образцов слюды и кремния КДБ-40(100) и, как уже было отмечено выше, при мощном адсорбционном слое на поверхности. Для каждого материала получено по 8 АСМ-изображений одного и того же участка поверхности. Все АСМ-изображения имеют размер 512 х 512 точек, 1 х 1 мкм. Изображение, называемое в дальнейшем сканом, представляет из себя набор точек. Для каждой точки скана известны ее координаты x, у, z, причем координата z отсчитывается от нулевой линии, получаемой последующим вычитанием средней линии в каждой из строк. Расстояние d между соседними точками по x и у одинаково и равно 1,96 нм. Набор точек с одинаковой координатой по x образует строку. Для снижения шума, амплитуда которого была на уровне
0.1 нм, применялось дополнительное осреднение, состоящее в том, что все строки скана за исключением двух последних были разделены на группы по Кс строк в каждой. Точно также использовалось группирование по столбцам с тем же числом Кс исходных столбцов. Координата по Z получаемого таким образом на пересечении квадрата Кс х Кс х d х d определялась как среднее арифметическое координат соответствующего количества точек. Фактически использовалось значение Кс = 5. Соединяя такие соседние укрупненные точки отрезками прямой, получаем ломаную, каждому отрезку которой соответствует определенный угол наклона а. Тангенсы этих углов измерялись как отношение приращения высоты Z к расстоянию между точками D = Кс х d.
2.1. Пересечение наклона неровности поверхности отрезком ломаной
1. Поскольку не было никакой специальной обработки поверхности образцов, следует предположить, что координатная ось, вдоль которой производится измерение, пересекает некоторый встретившийся наклон неровности поверхности равновероятно под каждым углом ф, который отрезок ломаной I образует с ребром двугранного угла, имеющий линейным углом в, как это показано на рис. 1.
Рис. 1. Пересечение наклона неровности поверхности отрезком ломаной I.
Из этого рисунка получаем необходимые в дальнейшем геометрические соотношения: q = I ■ cos ф, hi = q ■ sin в и hi = I ■ sin а, откуда sin a = cos ф ■ sin в или приближенно для малых углов
a = cos ф ■ в (1)
2.2. Построение гистограмм и аппроксимация функциональной зависимости. Итак, каждому отрезку ломаной соответствует некоторый угол наклона а. Введем малый интервал углов 5а и будем подсчитывать вдоль ломаной число углов наклона ее отрезков, попадающих в интервалы между a.j и a.j + 5а. Таким образом и строилась гистограмма зависимости доли отрезков ломаной, углы наклона которых находятся в этих интервалах. Далее, в силу симметрии полученной гистограммы рассматриваем только половину этой гистограммы, соответствующую положительным углам. Ячейка гистограммы 5а полагалась равной 0,01 градуса, а число попадающих в нее наклонов отрезков делилось еще на их общее число, образуя высоты Vj ячеек гистограммы. Затем были построены зависимости натуральных логарифмов этих величин Vj от углов аj + 5а/2, соответствующих серединам ячеек гистограммы. Эти зависимости для слюды и кремния представлены на рис. 2 и рис. 3.
-2 г
-3 ■
О
-4 --5 ■
-Б -7 -8 -9
0
Рис. 2. Слюда: ln(vj) в зависимости от угла aj + &а/2.
Они были аппроксимированы простыми кривыми после обработки по методу наименьших квадратов, так что оказалось, что для большей части углов аj + 5а/2 плотность функции распределения f (а) имеет экспоненциальную форму, которую с учетом симметрии гистограммы можно представить в виде
f (а) = Mexp(-M|а|). (2)
Однако в окрестности совсем малых углов для интервала (0, аь) появляется квадратичная зависимость плотности функции распределения F(а) на этом интервале от угла а:
F(а) = Ci ■ exp(-[ра]2), (3)
где Ci — нормировочная константа для интервала (0, аь), для слюды аь « 0, 2deg, а для
кремния аь ~ 0, 4deg. Для всех сканов были получены константы M и р и вычислены
их средние арифметические М, р и средние квадратичные отклонения а. При этом для слюды выявилась некоторая неизотропия этих значений. Во взаимно перпендикулярных направлениях для нее получилось (в единицах deg-1)
Мі = 13, 8; <7і = 2.3; р1 = 5, 6; а\р = 0, 59
и
М2 = 9,3; <72 = 1-1; р2 = 'і,6; сг2р = 0,43, (4)
а для кремния
М = 5,25; <7 = 1.07; р = 2,0; ар = 0,7. (5)
3. Обсуждение результатов. Для расчета взаимодействия газа с поверхностью методами Монте-Карло необходимо разыгрывать угол отклонения микроплощадки от среднего уровня. Этим углом является угол в см. рис. 1. Полученные результаты позволяют приближенно оценить параметры плотности функции распределения и для этого угла. Координатные оси X и У, по направлениям которых строились гистограммы, пересекают двугранные углы в склонов микроплощадок вдоль линии, образующей угол
ф с перпендикуляром к его ребру. Как уже упоминалось выше, можно предполагать, что угол ф имеет равномерное распределение в интервале (-п/2, п/2) по обе стороны от этого перпендикуляра в рассматриваемых образцах. Так что в построенные гистограммы измерения для различных ф внесли одинаковый вклад, и можно получить простую оценку, заменяя случайную величину ее математическим ожиданием, путем непосредственного осреднения сов(ф) по равномерному распределению в этом интервале. Подставляя результат сов(ф) = 2/п в формулу (1), получаем зависимость а = 2в/п. А после подстановки ее в формулы (2) и (3) имеем плотности функций распределения для угла в:
f (в) = т-1 ехр(—т|в|), (6)
^(в) = С ■ ехр(-[гв]2), (7)
где C2 — нормировочная константа для интервала (0, вь), численные значения констант m = 2М/п и r = 2р/п получаются с помощью соотношений (4) и (5), а граничное значение (вь) —из осреднения соотношения (1): вь = «ь • п/2.
4. Заключение. С помощью атомно-силового микроскопа Solver PRO-M, используя для снижения шума дополнительное осреднение по 25 точкам, произведены измерения неровностей поверхности двух образцов слюды и кремния с точностью по высоте вплоть до 0,02 нм. По гистограммам углов наклона отрезков ломаной при минимальных горизонтальных смещениях на 10 нм была приближенно оценена плотность функции распределения для углов наклона микроплощадок этих образцов, являющейся важной характеристикой шероховатости поверхности.
Литература
1. Гудман Ф., Вахман Г. Динамика рассеяния газа поверхностью. М.: Мир, 1980. 423 с.
2. Новиков Ю. А. Нанометрология линейных измерений в атомно-силовой микроскопии // Труды института общей физики им. Прохорова. 2006. Т. 62. С. 121-143.
3. Занавескин М. Л., Занавескина И. С., Рощин Б. С., Асадчиков В. Е., Азарова В. В., Гри-
щенко Ю. В., Толстихина А. Л. Исследование шероховатости поверхности методами атомносиловой микроскопии, рентгеновского рассеяния и дифференциального рассеяния света // Вестник Московского университета. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2006. №3. С. 80-82.
4. Топорец А. С. Оптика шероховатой поверхности. Л.: Машиностроение, 1988. 190 с.
5. Cowborn R. P. The attraction of magnetism for nanoscale data storage // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 358, 2000. P. 281-301.
6. Li D., Yip W. Ch., Freire F. L. Metrology of 1-10 nm thick CN* films: thickness, density,
and surface roughness measurements // J. Vac. Sci. Technol. A. Vol. 21 (5), 2003. L19-L21.
Статья поступила в редакцию 18 декабря 2008 г.
