CC BY
31
АСТРОФИЗИЧЕСКИЙ БЮЛЛЕТЕНЬ, 2017, том 72, № 2, с. 219-226
УДК 524.38-17
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВИЗУАЛЬНО-ДВОЙНЫХ
ЗВЕЗД
©2017 Х. И. Абдель-Рахман1'2*, М. И. Ноух1-3, В. Х. Эльсанхоури1-3
1Национальный исследовательский институт астрономии и геофизики, Каир, 11421 Египет 2Университет города Шакра, Шакра, 11961 Саудовская Аравия 3Университет Северных Границ, Арар, 73222 Саудовская Аравия Поступила в редакцию 26 октября 2016; принята в печать 6 апреля 2017
В настоящей работе исследуются некоторые статистические распределения широких пар из Вашингтонского каталога двойных звезд. Получены частотные распределения и тестовая гипотеза для некоторых основных параметров визуально-двойных. Найдено, что разность звездных величин распределена экспоненциально, следовательно большинство компонентов выбранных систем принадлежит к одному спектральному классу. Распределение отношений масс концентрируется около значения 0.7, что согласуется с функцией масс Солпитера. Распределение линейного расстояния между компонентами, по всей видимости, экспоненциально, что противоречит более ранним исследованиям тесных двойных.
Ключевые слова: двойные: визуально-двойные — методы: статистические
1. ВВЕДЕНИЕ
Исследования визуально-двойных проводятся в рамках изучения физических свойств целого семейства двойных звезд. Некоторые статистические свойства этих звезд, такие как функция распределения их линейного расстояния (удаления друг от друга), предоставляют важную информацию, связанную с их возникновением, а также в некоторых случаях с их последующей эволюцией. Дополнительные сложности при обнаружении визуально-двойных возникают для очень удаленных компонентов. Для таких компаньонов менее свойственно формировать истинные двойные системы с основной звездой, и они являются скорее визуальными компаньонами [1].
Во избежание включения визуальных пар в статистику двойных звезд пространственное удаление пары звезд, в частности, несколько условно определено как максимально возможное для реальных двойных систем. Таким образом, некоторые истинно двойные звезды оказываются исключены из статистики, тогда как другие визуально-двойные туда ошибочно включены. Однако при тщательном выборе предела вероятное полное число визуальных пар пренебрежимо мало. Из предполагаемого верхнего предела реалистичных расстояний между звездами возможно получить статистическое соотношение между угловым расстоянием и видимой звездной величиной двойной системы, которое
E-mail: [email protected]
может быть использовано для тестирования двойственности любой пары звезд [1—5].
В настоящей работе мы исследуем некоторые статистические распределения двойных звезд (такие как разность звездных величин, отношений масс и линейных расстояний) и анализируем соотношения между ними.
2. ДАННЫЕ И МЕТОД АНАЛИЗА
Мы выполнили статистический анализ визуально-двойных из Вашингтонского каталога двойных звезд (WDS) [6]. Число звезд, которые могут образовывать визуально-двойные, можно уменьшить добавлением условия, которому будут удовлетворять компоненты физических двойных. Согласно критерию Гейнтца [7], только пары в некоторых пределах угловых расстояний и Ат могут быть отнесены к двойным. Это записывается в виде
С = 0.22 Ат - ^ р [агевве] < 0.5 (1)
для та < 9.5, где та — видимая величина основной звезды.
Информация в каталоге WDS в некоторых случаях приведена не полностью, поэтому для отбора данных мы наложили следующие ограничения:
1) для данного исследования были отобраны только системы с измеренными значениями удалений;
2) были отобраны только те, у которых главных компонент обладает классом светимости V.
Применяя данную процедуру, получаем 2837 систем с главными компонентами, принадлежащими классу светимости V. Для отобранных систем мы определили массы компонентов и отношения масс д, пользуясь соотношениями Аллена: Sp—М^ и Sp—масса [8](«Sp» означает спектральный класс). Расстояние до звезды ( определялось из соотношения
m — Mv = 5 lg d — 5.
(2)
Настоящее а и проецируемое р удаления соотносятся в среднем как в [9]:
a [arcsec] = 1.25 р [arcsec].
(3)
Линейные удаления можно вычислить с помощью формулы
a [AU] = a [arcsec] d [pc].
3. РЕЗУЛЬТАТЫ
3.1. Плотность распределения Ama, ma, q, a" и р"
Для построения плотности распределения исследуемых физических параметров были выполнены следующие шаги:
1) Мы определили минимальные и максимальные значения данных и получили диапазон R = Maximum value—Minimum value.
2) Для получения числа интервалов n было применено правило Стерджеса:
n = 1 + 3.3 lg N, (4)
где N — число измеренных точек.
3) Длина интервалов L задается уравнением
R
n
L
(5)
В таблице 1 содержится наглядная статистика для Ат, тПи, д, р" и а", приведены значения Ж, х (среднее), а (стандартное отклонение), минимальное и максимальное значения и диапазон, полученный в ходе указанной выше процедуры.
3.1.1. Разность видимых величин
После анализа разностей видимых величин Ат мы нашли, что большая часть значений (99%) лежит между 0 и 7.8. Аномальные точки были удалены. В итоговый список вошли 2816 двойных. Мы воспользовались уравнениями (4) и (5) и данными из таблицы 1, чтобы получить число п и длину Ь интервалов. Затем, пользуясь значениями п = 12 и
Ь = 0.65, мы составили таблицу 2, где интервалы (классы) представлены в первой колонке, во второй колонке приведены центры интервалов (среднее нижних и верхних пределов), а в третьей — частота встречаемости (количество представителей выборки, соответствующее каждому интервалу). Из таблицы 2 видно, что двойные концентрируются в интервале 0—0.65 в количестве 817, что соответствует 29% полной выборки. В целом разности величин двойных концентрируются в интервале 0—5.2 (2644 двойных), т.е. приблизительно 94%, а 6% приходится на интервал 5.2—7.8.
На рис. 1 показано, что частота встречаемости разности величин двойных распределена экспоненциально. Истинное распределение визуально-двойных по разностям величин отражает их распределение по отношениям масс д. Из графика видно, что большинство широких систем концентрируется примерно около Ат ~ 0; это значит, что компоненты таких систем имеют почти одинаковые спектральные классы.
3.1.2. Видимая величина
Уравнения (4) и (5) использовались для получения количества интервалов и их длины, п =12 и Ь = 0.93, а затем — плотности распределения видимой величины та, которая представлена в таблице 3. Ее структура схожа со структурой таблицы 2.
В таблице 3 частота распределения видимой величины та выше в интервале 8.74—9.67 (872 двойных) и в интервале 9.67—10.6 (662), что составляет примерно 54% от общего числа двойных. Мы делаем вывод, что плотность распределения видимых величин главных компонентов демонстрирует приблизительно экспоненциальный рост (см. рис. 2).
3.1.3. Отношение масс
Мы находим плотность распределения отношений масс, пользуясь основной статистикой из таблицы 1. Полученный результат представлен в таблице 4. Можно заметить следующее распределение по частоте встречаемости (концентрации): 385 двойных концентрируются в интервале 0.826-0.911, 342 — в интервале 0.911-0.966, 330 двойных — в интервале 0.741-0.826 соответственно. Полное число двойных в последних трех интервалах составляет 1057, т.е. 37% от всех двойных. Также 2424 двойные (85.4%) имеют отношения масс в интервале от 0.401 до 1.081. Это значит, что 96% двойных сконцентрированы между значениями 0.231 и 1.081 отношений масс, а 4% — между 0.061 и 0.231.
Таблица 1. Наглядная статистика для исследуемых физических параметров
Параметр N X а Минимальное значение Максимальное значение Интервал
Ат 2816 2.014 1.75 0 7.8 7.8
mv 2839 8.61 1.51 1.3 12.5 11.2
q 2839 0.67 0.23 0.061 1.078 1.017
/э, arcsec 2005 641 580 6 2280 2273
о, arcsec 2742 2561 3641 8 19992 19984
800
^ 600 о я
(D
§400 200 0
Рис. 1. Распределение разности величин для широких визуально-двойных.
IL
Ii
0.325 0.98 1.625 2.275
2.925 3.575 4.225 4.875 Magnitude difference class
5.525 6.175 6.825 7.475
Таблица 2. Плотность распределения разности величин
Таблица 3. Распределение видимой величины ma
Интервал Центр Частота Группа Центр Частота
(класс) интервала (число) (класс) группы (число)
0-0.65 0.325 817 1.3-2.23 1.765 2
0.65-1.3 0.98 467 2.23-3.16 2.695 4
1.3-1.95 1.625 302 3.16-4.09 3.625 13
1.95-2.6 2.275 349 4.09-5.02 4.555 63
2.6-3.25 2.925 243 5.02-5.95 5.485 119
3.25-3.9 3.575 204 5.95-6.88 6.415 192
3.9-4.55 4.225 172 6.88-7.81 7.345 336
4.55-5.2 4.875 90 7.81-8.74 8.275 486
5.2-5.85 5.525 57 8.74-9.67 9.205 872
5.85-6.5 6.175 54 9.67-10.6 10.135 662
6.5-7.15 6.825 31 10.6-11.53 11.065 83
7.15-7.8 7.475 30 11.53-12.5 12.015 7
Сумма - 2816 Сумма - 2839
Распределение отношений масс д, представленное в таблице 4, показано на рис. 3. Максимальная частота этого распределения сконцентрирована около д = 0.7. Как утверждают Верещагин и
др. [10], на распределение отношений масс влияют два селективных фактора, а именно: звездная величина и угловое расстояние. Так как в нашем исследовании мы рассматриваем широкие системы
800 В 600
tu =1
ГЙ 400
Рч
200
0
Рис. 2. Плотность распределения видимых величин та главных компонентов визуально-двойных.
т-1-1-1-1-
1.77 2.70 3.63 4.56 5.49 6.42 7.35 8.28 9.21 10.14 11.07 12.02 Apparent magnitude class
400 -
300 -
о я и
СУ и
100
0.10 0.19 0.27 0.6 0.44 0.53 0.61 0.70 0.78 0.87 0.95 1.04
Mass ratio class
Рис. 3. Плотность распределения отношений масс д широких визуально-двойных систем.
0
с величинами меньше 10т, то эти два эффекта селекции уменьшаются. На рис. 3 видно, что распределение отношений масс скорее всего линейно. Еще один фактор, влияющий на распределение д — число вырожденных компонентов, которые приводят к обманчивым результатам. Доля вырожденных компонентов К может быть получена из двух формул [11]:
К = г/(1 + г),
где
г(д) = д°5 - д4т для случая постоянного темпа звездообразования и
г(д) = д1'35 - д7'85
для линейного темпа звездообразования. В этих вычислениях масса главного компонента должна быть больше 1.045 М©. Доля К вычислялась для обоих случаев и показана на рис. 4. По форме этой кривой мы можем заключить, что частота двойных с вырожденным компонентом высока в случае, когда в распределении двойных по отношениям масс многие системы имеют д около 0.7.
3.1.4. Проецируемое расстояние
Сначала удаляем 834 аномальные точки. Используя основные наглядные параметры из таблицы 1 и уравнения (4) и (5), получим п = 12 и длину интервала Ь = 190.
Таблица 5 построена так же, как и таблицы, приведенные выше. Отметим, что частоты расположены в убывающем порядке; это значит, что большое количество двойных (56) находятся в интервале 6-196 (28%); в интервале 196-386 находятся 370 двойных (18.5%) и т.д. Большинство двойных концентрируются в первых шести интервалах (примерно 80%), а 20% находятся в остальных шести интервалах. Наконец, мы делаем вывод, что плотность распределения проекций расстояний для двойных систем экспоненциальна, как показано на рис. 5.
3.1.5. Линейное расстояние
После удаления 97 аномальных точек и применения уравнений (4) и (5) к основным параметрам из таблицы 1 получаем число интервалов п = 12 и длину интервала Ь = 1665.
Таблица 4. Распределение отношения масс
Группа Центр Частота
(класс) группы (число)
0.061-0.146 0.1035 21
0.146-0.231 0.1885 78
0.231-0.316 0.2735 124
0.316-0.401 0.3585 192
0.401-0.486 0.4435 253
0.486-0.571 0.5285 323
0.571-0.656 0.6135 308
0.656-0.741 0.6985 287
0.741-0.826 0.7835 330
0.826-0.911 0.8685 385
0.911-0.996 0.9535 342
0.966-1.081 1.0385 196
Сумма - 2839
Таблица 5. Плотность распределения проекций расстояний
9
Рис. 4. Доля широких пар с одним вырожденным компонентом К в зависимости от отношения масс д; нижняя кривая: случай постоянного звездообразования; верхняя кривая: линейно убывающий темп звездообразования, в настоящий момент стремящийся к нулю.
Плотность распределения линейных расстояний показана в таблице 6. Можно отметить, что больше всего двойных приходится на интервал 8—1673 (1700 систем, т.е. примерно 62%); 88% двойных сконцентрированы в первых четырех интервалах, от 8 до 6668, а 12% — в остальных восьми ин-
Группа Центр Частота Доля,
(класс) группы (число) %
6-196 101 561 28.0
196-386 291 370 18.5
386-576 481 249 12.4
576-766 671 191 9.5
766-956 861 118 5.9
956-1146 1051 117 5.8
1146-1336 1241 93 4.6
1336-1526 1431 90 4.5
1526-1716 1621 70 3.5
1716-1906 1811 50 2.5
1906-2096 2001 51 2.5
2096-2286 2191 45 2.2
Сумма - 2005 100
_1а 6. Плотность распределения линейных
Группа Центр Частота Доля,
(класс) группы (число) %
8-1673 840.5 1700 61.999
1673-3338 2505.5 378 13.786
3338-5003 4170.5 208 7.586
5003-6668 5835.5 126 4.595
6668-8333 7500.5 97 3.538
8333-9998 9165.5 75 2.735
9998-11663 10830.5 50 1.823
11663-13328 12495.5 31 1.131
13328-14993 14160.5 23 0.839
14993-16658 15825.5 20 0.729
16658-18323 17490.5 17 0.62
18323-19993 19158 17 0.62
Сумма - 2742 100.0
тервалах. На рис. 6 видно, что линейные удаления двойных систем распределены экспоненциально.
Линейное расстояние — еще одна величина, тесно связанная с эволюцией широких пар. Так как нельзя определить орбиту широких двойных систем, Куипер [12], Куто [13], ван-Альбада [14] и Халбвакс [1] установили, что линейное расстояние почти эквивалентно большой полуоси орбиты. Как показано на графике, распределение экспоненци-
600
500
^ 400 я
| 300
Й
рч 200 100 0
Рис. 5. Плотность распределения проецируемых удалений визуально-двойных систем.
101 291 481 671 861 1051 1241 1431 1621 1811 2001 2191
Projected separation class
ально, а это противоречит результатам, полученным для тесных двойных систем Лайтеном [15] и Халбваксом [4]. Такое противоречие можно объяснить эволюционными процессами в тесных двойных.
3.2. Доверительные интервалы и тестовые гипотезы
В этом разделе мы вычисляем 95% доверительные интервалы и проверяем гипотезу о средних для вычисленных параметров.
Сначала мы получаем 95% О для среднего населения л в виде:
х — у<1л<х + у, (6)
погрешность,
где х — среднее выборки, а у вычисленная в виде
y = Za/2(Tx и ax = —j=-1 vn.
если количество данных велико (больше 30), или, если оно мало пользуемся статистическим тестом
t = (
x — ¡10, S '
(10)
(7)
Уровень значимости а равен 0.05, а Za/2 мы получаем из таблицы стандартного нормального распределения ^-таблица).
Далее, чтобы протестировать гипотезу, мы следуем процедуре:
1) задаем нулевую гипотезу Н0 и альтернативную гипотезу Н\ в виде
Но : л = ло,
Н\ : / = /0 ог л > /0 ог л < л0, (8) где / о — постоянная величина;
2) задаем уровни значимости а (0.01, 0.05 или 0.10);
3) вычисляем статистический тест: , X — Ло Г-
z = c-
а
(9)
Z, £ и Б — площади под кривой стандартного распределения, соответствующего уровню значимости, распределению Стьюдента и стандартному отклонению для малой выборки;
4) определяем критическую точку, сравнивая Ztabulated и Zcalculated из шага 3 и z-таблицы;
5) на основании шага 4 отвергаем или принимаем нулевую гипотезу.
Используя данные из таблицы 1 и применяя уравнение (6), получаем:
• 95% ^ для средней разности видимых величин
лДт:
1.935 < лдт < 2.065;
• 95% О для средней видимой величины Лта:
8.545 < Лта < 8.655;
• 95% О для среднего отношения масс лд:
0.6615 < Лд < 0.6785;
• 95% О для среднего проецируемого расстояния
Л и:
^р
615.72 < л " < 666.28;
р
• 95% О для среднего линейного расстояния ла:
2425 < ла < 2697.
о
§ 1000
Р
Л
500
840.5 2505.5 4170.5 5835.5 7500.5 9165.5 10830.5 12495.5 14160.5 15825.5 17490.5 19158.0
Ьтеаг 8ерага1;юп е1а88
Рис. 6. Плотность распределения линейных расстояний визуально-двойных систем.
0
Таблица 7. Тестовая гипотеза вышеуказанных параметров
Параметр Количество случаев Нулевая и альтернативная гипотезы Статистический тест
Дт 2816 Но ЛАт = 2.5, Н ЛАт 2.5 ИЛИ Л > 2.5 ИЛИ ЛАт < 2.5 -15.16
та 2839 Но Лта = 9, Н1 Лта = 9 ИЛИ Лта > 9 ИЛИ Лта < 9 -14.2
Отношение масс д 2839 Но Лч = = 0.7, Н1 Лч = 0.7 или Лч > 0.7 или Лч < 0.7 -6.95
Р" 2005 Но Л = 650, Л = 650 или л > 450 или л < 650 -0.7
а 2742 Но А4 = 2570, #1 Л ^ 2570 или л > 2570 или л < 2570 -0.13
После применения уравнений (8) и (9) тестируем гипотезу для вышеуказанных параметров, пользуясь а = 0.05, ^0.025 = 1-96 и И0.05 = 2.58. Результаты представлены в таблице 7.
Для средней разности видимых величин ЛАт при выборе /о = 2.5 > 2 отметим, что для случая /Ат = 2.5 в альтернативной гипотезе Н0 нужно отвергнуть, так как статистический тест попадает в отвергнутую область. В случае ЛАт < 2.5 мы отвергаем Н0, а в случаеЛАт > 2.5 принимаем Н0. Подразумевается, что средняя разность видимых величин для популяции равна 2.5 или больше, т.е. больше 2.
Если мы выбираем /0 = 9 для средней видимой величины /та, то после тестирования получаем, что в случае /та = 9 в альтернативной гипотезе мы отвергаем Н0, т.к. статистический тест оказывается в отвергнутой области; при /та < 9 отвергаем Н0; при /та > 9 принимаем Н0. Таким образом, средняя по популяции видимая величина равна 9, или больше 8.6.
Для среднего отношения масс /лд при выборе Л0 = 0.7 тестирование дает следующие результаты: если выбираем /лд = 0.7 в альтернативной гипотезе, отвергаем Н0, т.к. статистический тест находится в отвергнутой области; при /лд < 0.7 отвергаем Н0, а при /д > 0.7 Н0 принимается. Это подразумевает
среднее по популяции отношение масс, равное 0.7, или больше 0.67.
При выборе /0 = 650 для проекции расстояния мы принимаем Н0 во всех трех случаях. Это неверно, т.к. стандартное отклонение, или дисперсия, велико, что приводит к малой величине теста, заведомо попадающей в принятую область. Нужны дополнительные наблюдения для более точного вычисления данного параметра.
Для линейного расстояния при выборе /0 = 2570 по той же причине, что и для проекции расстояния, мы принимаем Н0 во всех трех случаях. Проецируемые и линейные расстояния нуждаются в дальнейшем исследовании.
4. ОБСУЖДЕНИЕ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей работе, мы выполнили статистическое исследование для визуально-двойных систем из Вашингтонского каталога двойных звезд.
Некоторые статистические распределения, такие как плотность распределения разности величин, линейного расстояния и отношения масс тесно связаны с эволюцией не только визуально-двойных, но двойных систем в целом. Мы определили доверительные интервалы и провели проверку гипотезы для пяти исследуемых параметров. Полученные результаты следующие:
1. Разности величин концентрируются около Am ~ 0, это значит, что большинство систем имеет компоненты одинаковой величины.
2. Плотность распределения отношений масс сконцентрирована около 0.7, что согласуется с функцией масс Солпитера.
3. Вычисленная доля вырожденных звезд не превышает 37% выборки, а, значит, можно считать, что выборка состоит из ярких объектов.
4. Линейные расстояния, по всей видимости, распределены экспоненциально, что противоречит поведению тесных двойных систем.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. J. L. Halbwachs, Astron. and Astrophys. 128, 399 (1983).
2. H. A. Abt, Astrophys. J. 304, 688 (1986).
3. H. A. Abt, Astrophys. and Space Sci. 142, 111 (1988).
4. J. L. Halbwachs, Astron. and Astrophys. 168, 161 (1986).
5. M. I. Nouh and M. A. Sharaf, J. Astrophys. Astron. 33,375(2012).
6. B. D. Mason, G. L. Wycoff, W. I. Hartkopf, et al., Astron. J. 122,3466(2001).
7. W. D. Heintz, Geophys. Astrophys. Monographs 15 (1978).
8. C. W. Allen, Astrophysical Quantities, 3rd ed. (Univ. London, Athlone Press, London, 1973).
9. P. Couteau, Observing Visual Double Stars (MIT Press, Cambridge, MA, 1981).
10. S. Vereshchagin, A. Tutukov, L. Iungelson, et al., Astrophys. and Space Sci. 142,245(1988).
11. J. L. Halbwachs, Astrophys. and Space Sci. 110, 149 (1985).
12. G. P. Kuiper, Publ. Astron. Soc. Pacific 47, 15 (1935).
13. P. Couteau, J. Observateurs 43, 41 (1960).
14. T. S. van Albada, Bull. Astron. Inst. Netherlands 20, 47(1968).
15. W. J. Luyten, Communications Serie B, No. 17, p. 45 (1967).
Перевод Л. Чмыревой
Statistical Study of Visual Binaries
H. I. Abdel-Rahman, M. I. Nouh, and W. H. Elsanhoury
In this paper, some statistical distributions of wide pairs included in the Washington Double Star Catalog are investigated. Frequency distributions and testing hypothesis are derived for some basic parameters of visual binaries. It was found that the magnitude difference is distributed exponentially, which means that the majority of the components of the selected systems are of the same spectral type. The distribution of mass ratios is concentrated at about 0.7 which agrees with Salpeter mass function. The distribution of the linear separation appears to be exponential which contradicts previous studies for close binaries.
Keywords: binaries: visual — methods: statistical
