Статистический метод анализа аналого-цифрового преобразователя информации Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

С. 571-574.

11. Аминов А. Б., Сиразетдинов Т. К. Условия знакоопределенности четных форм и устойчивости в целом нелинейных однородных систем // Прикладная математика и механика. 1984. Т. 48, вып. 3. С. 339-347.

12. Раппопорт Л. Б. Знакоопределенность квадратичной формы при квадратичных ограничениях и абсолютная устойчивость нелинейных систем // Докл. акад. наук. 1988. Т. 298, № 4. С. 822-826.

13. Чернятин В. А. О знакоопределенности произвольных форм четного порядка // Докл. акад. наук БССР. 1966. Т. 10, № 11. С. 821-823.

14. Утешев А. Ю. Использование однородных форм в качестве функций Ляпунова / Ленингр. гос. ун-т. 1987. № 2942-В87. Серия: Математика, механика, астрономия. С. 13.

15. Утешев А. Ю., Шуляк С. Г. Критерий асимптотической устойчивости системы двух дифференциальных уравнений с однородными пра-

выми частями // Дифференциальные уравнения. 1987. № 6. С. 1009-1014.

16. Иртегов В. Д., Новиков М. А. Знакоопределенность форм четвертого порядка от двух переменных // Метод Ляпунова и его приложения. Новосибирск, 1984. - С. 87-93.

17. Новиков М. А. О знакоопределенности форм двух переменных // Методы оптимизации и их приложения : тр. XIV Байкал. междунар. шк.-семинара, Иркутск - Северобайкальск, 2-8 июля 2008. Иркутск, 2008. Т. 3. С. 134-141.

18. Новиков М. А. Знакоопределенность и теорема Финслера // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. Спец. вып. С. 126-132.

19. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М. : Наука, 1967. 576 с.

20. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. М., 1960. Т. 2. 620 с.

21. Ван дер Варден. Современная алгебра. М.-Л., 1937. Т. 2. 210 с.

Антошкин С.Б., Мухопад Ю.Ф., Пунсык-Намжилов Д.Ц. УДК 004.3

СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА АНАЛОГО-ЦИФРОВОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНФОРМАЦИИ

Микроконтроллеры со встроенными аналого-цифровыми преобразователями (АЦП) позволяют создавать автономные экономичные устройства сбора данных, причем частичную обработку результатов преобразования могут выполнять сами микроконтроллеры или специализированные аналого-цифровые преобразователи информации. Обычно встроенные АЦП имеют относительно невысокую разрядность - от 8 до 12 двоичных разрядов. Еще меньшую разрядность имеют АЦП, обладающие способностью работать в СВЧ диапазоне [10-12]. Одним из способов увеличения разрядности в случаях, когда допустимо снижение скорости преобразования, является применение статистических методов [1-4]. При этом к входному сигналу примешивается шум с дисперсией порядка единиц шага квантования так, чтобы распределение уровней шума перекрывало не менее двух интервалов квантования [5]. При снятии дос-

таточно большого количества отсчетов и усреднении результата получается более точное значение измеряемого уровня. Погрешность в этом случае будет меньше, чем величина шага квантования и при большом количестве выборок составит 3 = а/Ы112 , где о - дисперсия подмешанного шума. Такой метод применим для медленно меняющихся сигналов. Для сигналов, скорость изменения которых достаточно велика, между входом АЦП и источником сигнала устанавливают устройство выборки и хранения (УВХ), а шум подмешивают к выходному сигналу УВХ. Данный метод увеличения точности преобразования подразумевает то, что АЦП имеет практически идеальную функцию преобразования.

Для реальных АЦП [6] имеются допуски на дифференциальную нелинейность, обычно достигающие половины младшего значащего разряда (МЗР), а полная нелинейность может достигать

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

нескольких МЗР. Кроме того, имеется погрешность смещения нуля. Указанные погрешности во многих случаях связаны с методом преобразования выбранного АЦП.

Получение достоверных данных о функции преобразования АЦП обычными традиционными методами требуют применение высокоточной измерительной аппаратуры и достаточно большого времени, чтобы выявлять фактические уровни квантования по изменению выходного кода.

В статье рассматривается возможность применения вероятностных методов для получения таких параметров функции преобразования, как смещение нуля, масштаб преобразования и нелинейности.

Для этого на вход АЦП подается сигнал со случайным равновероятным распределением уровней в пределах итах+8<и<итт-8 так, чтобы перекрыть весь диапазон преобразования, и применяется метод Монте-Карло, т.е. выполняется большое количество отсчетов уровней случайного сигнала и производится подсчет количества попаданий в интервал между двумя соседними уровнями квантования. Количество этих отсчетов будет пропорционально разнице уровней квантования. Величина 8 должна быть не меньше максимально допустимой погрешности на краях диапазона преобразования. Вполне естественно, что у идеального АЦП для всех интервалов, за исключением и<итт и и>итах, заполнение будет равномерным. У реального АЦП по полученным значениям можно рассчитать отклонения уровней квантования от идеальной характеристики и по полученным данным определить поправки. Для решения такой задачи не обязательно применять сигнал с равномерным распределением уровней, но тогда необходимо знать закон этого распределения. На рис. 1 приводится пример уровней квантования для идеального и реального АЦП и функция распределения уровней Р(и).

При достаточно большом N - количестве выборок сигнала с распределением уровней Р(и) число выборок N между заданными уровнями квантования ик и ик+1 рассчитывается по следующей формуле:

Ушах

N

ик+1 2м-1 = | Р(и)йи X N

при равномерном распределении:

2м -1

N. = Р|и+1 -ик) N. .

(1)

(2)

Ук+ Ук

Утт

уровни квантования АЦП

Идеальный реальный

функция распределения амплитуд тестового сигнала

Рис. 1. Уровни квантования и функция распределения

Для определения смещения нуля следует подавать сигнал И с равномерным распределением и нулевым математическим ожиданием (т.е. без постоянной составляющей). Тогда при достаточно большом количестве выборок получим значение поправки учета смещения нуля. Для определения масштаба преобразования следует подать смесь из фиксированного уровня ис, близкого к одному из пределов преобразования и случайного сигнала иБ, но так чтобы общая сумма ис + И не выходила за пределы диапазона преобразования.

Рис. 2 иллюстрирует определение основных опорных уровней.

-- и

0

Рис. 2. Определение медиан опорных уровней: N , N0 , N - множества тестовых сигналов с равномерным распределением амплитуд в заданных диапазонах для определения медиан верхнего, центрального и нижнего опорных уровней; ^ - множество тестовых сигналов для определения весов интервалов квантования; - контрольное постоянное напряжение для определения верхней опорной точки; И - амплитуда случайного сигнала; ] - номера уровней квантования; - ит1п - диапазон преобразования АЦП.

Б

N

№

к

0

Множество NW предназначено для определения весовых коэффициентов Wj между соседними уровнями квантования. При равномерном распределении NW и достаточно большом числе реализаций, каждый весовой коэффициент пропорционален разности уровней. При идеальной характеристике преобразования все весовые коэффициенты равны, а при наличии дифференциальных нелинейностей по значениям весовых коэффициентов можно рассчитать фактические значения интервалов квантования. Исключения составляют крайние значения, которые соответствуют значению входного сигнала, выходящему за пределы диапазона преобразования. Для восстановления реальной характеристики преобразователя потребуется как минимум два параметра, это смещение нуля и масштаб преобразования. Эти параметры определяются с помощью тестового сигнала, представляющего сумму постоянного напряжения UC и шума US. Амплитуда шума должна составлять 2-4 шага квантования. Для определения смещения нуля следует установить UC = 0, а для определения масштаба преобразования UC устанавливается в пределах 0,8 - 0,9 от Umax или Umin. Далее выполняется определение смещения медианы интервала квантования относительно напряжения UC, что показано на рис. 3.

Uc

p(u)

k-1

lk

N1 N2 N3

lk+1

Как видно из рис. 3:

U ks U ср

N1 - N 3 2 N 2

(3)

где иср среднее значение МЗР.

Обозначим через иСЬ и иСн контрольные напряжения для нижнего и верхнего уровней диапазона контроля, а через кН и кЬ соответствующие им номера интервалов квантования, рассчитаем весовые коэффициенты по следующей схеме:

- определяем среднее количество выборок на интервал квантования Ыср:

NKH + Nkl

NP =■

2

X N

j=KL+1

KH - KL +1 (4)

- определяем весовые коэффициенты интер-

валов квантования:

W =

N

N

(5)

ср

Для дальнейших расчетов обозначим восстановленные уровни медиан интервалов квантования для опорных значений сигнала через V0, VL для верхнего, центрального и нижнего опорных уровней соответственно.

Восстановление уровней квантования выполняется в следующем порядке:

- рассчитываются уровни квантования вокруг центрального интервала:

W

h = Vo - U р W

W

h+1 = Vo + U cp-°

(6)

- рассчитываются уровни квантования ниже

lk:

k - j = k - U ср

X W

и выше l

k+i-

' = l + U

k+1+j lk +1 T u ср

X w .

(7)

(8)

Рис. 3. Определение медианы интервала квантования: N1 - количество выборок попавших ниже уровня 1к , N2 - количество выборок между уровнями 1к и 1к+1 , N3 - количество выборок выше уровня 1к+1 , ик8 - смещение медианы интервала относительно контрольного напряжения.

При оценке погрешностей исходим из статистической независимости погрешностей порогов квантования и равномерного распределения уровней тестового сигнала на заданном интервале. В этом случае при большом количестве выборок тестового сигнала в каждом интервале преобразования получим среднюю относительную погрешность определения весовых коэффициентов:

З =н=, (9)

где Ыср среднее количество выборок в интервале квантования.

При определении погрешностей измерения медиан опорных уровней 5V используем выражение (3). Максимальная погрешность будет представлять сумму относительных погрешностей определения интервалов N1, N2, N3 и при такой же плотности распределения выборок, как и для случая определения весовых коэффициентов, получим:

З =Ы+ы+ы - 3^ . (10)

Таким образом, чтобы погрешности определения опорных уровней и весовых коэффициентов были одного порядка, плотность реализации тестовых сигналов на интервал квантования для

U

о

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

опорных уровней должна быть на порядок выше, чем при определении весовых коэффициентов.

Погрешность восстановления т-го порога квантования рассчитывается по следующей формуле:

8т =\ +8ш^\к - т\ , (11)

где к - индекс центрального опорного уровня.

Остается открытым вопрос о практической реализации шума с равномерным распределением. Авторы статьи предлагают следующий относительно простой способ реализации такого сигнала, основанный на выборках со случайными интервалами времени из линейно меняющегося сигнала. В качестве исходного сигнала воспользуемся линейным пилообразным напряжением. Современная элементная база позволяет реализовать генератор пилообразного напряжения с высокой линейностью. Рис. 4 иллюстрирует получение выборок со случайными значениями уровней.

12м- i

11

In

1 Umax л U(t) /

( \ /

/ \ / t

/ \ / "

/ V /

/ \ /

- 'Umin выборки со случайным периодом

жением, поступающим через управляемый делитель напряжения (УДН) с выхода генератора треугольного напряжения (ГТН). Запуск АЦП производится формирователем импульсов со случайным периодом (ФИСП). УДН управляется от МПС и при измерениях весовых коэффициентов интервалов квантования обеспечивает амплитуду треугольного напряжения, перекрывающую диапазон преобразования АЦП, при этом аналоговый коммутатор подключает к входу сумматора уровень UC, соответствующий середине диапазона преобразования (для двухполярного АЦП UC =0). При определении масштаба преобразования и измерения смещения нуля УДН устанавливается в режим, соответствующий амплитуде треугольного напряжения в 2-4 МЗР. Считывание данных (data) МПС производит по сигналу готовности (RDY) АЦП и разрешает ФИСП формирование импульса запуска АЦП со случайной задержкой.

КОМ

УВХ

ИОН

СУМ АЦП

! 1

УДН * ФИСП ■<

I

ГТН

МПС

Рис. 4. Формирование выборок с равномерным распределением уровня

Применение линейно изменяющегося во времени сигнала позволяет получить весьма близкое к равномерному распределение уровней выборок в пределах интервалов от Цтт до итах. Выборки, выходящие за эти пределы, не учитываются, т.к. во первых в момент переключения знака изменения сигнала нарушается линейность и во вторых в реальных условиях эти значения выходят за диапазон преобразования АЦП.

На рис. 5 приведен пример структурной схемы устройства снятия реальной характеристики преобразования методом статистических измерений.

Аналоговый коммутатор (КОМ) управляется от микропроцессорной системы (МПС) и предназначен для выбора источника сигнала. В режиме снятия переходной характеристики подключается один из выходов источника опорных напряжений (ИОН), вырабатывающего опорные уровни ис (п.п. 3.1), к входу устройства выборки - хранения (УВХ). На аналоговом сумматоре (СУМ) выполняется сложение уровня ис с треугольным напря-

Рис. 5. Структура устройства снятия характеристики преобразования АЦП методом статистических измерений

Предлагаемый статистический метод снижения погрешностей аналого-цифровых преобразований применим в устройствах, не требующих высокой скорости преобразования, имеющих относительно небольшую разрядность (6 - 10 двоичных разрядов), и обладающих встроенной энергонезависимой памятью поправок. К таким устройствам относятся системы сбора данных на базе персональных компьютеров и автономные устройства сбора данных на базе программируемых микроконтроллеров, имеющих встроенные АЦП и энергонезависимую память данных.

На кафедре «Управление техническими системами» ИрГУПСа разработан и изготовлен лабораторный стенд, использующий статистический метод снятия характеристик преобразования АЦП встроенных в микроконтроллеры фирмы Microchip. Стенд используется в учебном процессе.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Балтрашевич В. Э. Вероятностный анализ следящих АЦП // Известия ЛЭТИ. 1981. Вып. 291. С.11-16.

и

RDY

2. Буйнявичюс В.-А. В., Карпицкайте В.-З. Ф., Пятрикис С.-Р. С. Статистические методы в радиоизмерениях. М. : Радио и связь, 1985. 240 с.

3. Губарев В. В. Алгоритмы спектрального анализа случайных сигналов : моногр. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2005. 660 с.

4. Купер Дж., Макгиллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем : пер. с англ. М. : Мир, 1989. 376 с.

5. Лазарев Е. А. Вострецов А. Г. Оценивание напряжения с помощью аналого-цифровых систем с добавочным шумом // Сб. науч. тр. НГТУ. Новосибирск, 2005. Вып. 3(41). С.145-148.

6. Гнатек Ю. Р. Справочник по цифро-аналоговым и аналого-цифровым преобразователям : пер. с англ. / под ред. Ю. А. Южина. М. : Радио и связь, 1982. 552 с.

7. Пат. 44436 Российская Федерация. МПК7 и 1 Н 03 М 1/10, 1/26. Двухступенчатый АЦП с коррекцией погрешностей / Антошкин С. Б., Мухопад Ю. Ф. ; заявл. 17.08.84, №

200041255330/22 ; опубл. 10.03.2005, Бюл. № 7. 2 с.

8. Мухопад Ю. Ф. Микроэлектронные информационно-управляющие системы. Иркутск : Ир-ГУПС, 2004. 404 с.

9. Пунсык-Намжилов Д. Ц. Динамически перестраиваемые аналого-цифровые преобразователи информации для автоматизации технологических процессов : автореф. дис. на соиск. учен. степ. канд. техн. наук / Томск. ин-т авто-матизир. сист. упр. и радиоэлектроники. Томск, 1986. 23 с.

10. Мухопад Ю. Ф., Пуртов А. В. Использование принципов и элементов СВЧ техники для построения быстродействующих АЦП // Автометрия. 1978. № 11.

11. Пуртов А. В., Мухопад Ю. Ф. Аналого-цифровой преобразователь. АС СССР № 1290305 БИ N17, 1987.

12. Молодкин В. А. Мухопад Ю. Ф. Следящие аналого-цифровые преобразователи на основе реверсивных счетчиков // Радиотехника. 1976. № 31. С. 76-80.

Упырь Р.Ю.

УДК 531.3

ОБОСНОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ РАСШИРЕНИЯ ЭЛЕМЕНТНОЙ БАЗЫ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Если введение дополнительных связей в механические колебательные системы цепного типа достаточно подробно рассмотрены в работах [1, 2], то системы балочного типа изучались в несколько иных направлениях [3, 4]. Пусть расчетная схема виброзащитной системы имеет вид как показано на рис.1, а; при этом внешнее воздействие носит кинематический характер.

к \

т

_—— т С 1

Мл Г <

"777777

/7777Г

Рис. 1. Расчетная схема виброзащитной системы балочного типа

I. Составим систему дифференциальных уравнений движения, используя уравнение Ла-гранжа 2-го рода, тогда

1 2 1 2

T =- Му2 +- J(p2, 2 с 2

(1)

п=1 к (у - у)2 + 2 к2 (у 2 - у' )2. (2)

Для дальнейших расчетов примем соотношения:

У2 - У1 У/ + У2/

<р=£^т-=йэ; Ус = 2 , = а1 У1 + а2Уг;

11 +12

11 +12

1/1/2

а3 =-; а2 =—1—; а, =—2—; у, = ус - 1т ;

3 /1 + /2 2 /1 + /2 1 /1 + /2 Л ^

У2= Ус + ^

(3)