CC BY
27
УДК 621.396
Б. И. Шахтарин, А. В. С в и н ц о в, Д. А. С в я т н ы й
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ СИНХРОНИЗАЦИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ПРИ НАЛИЧИИ ПОМЕХИ НА ВХОДЕ
Рассмотрены методы анализа импульсных систем синхронизации первого порядка при наличии одной составляющей гармонической помехи на входе.
В последние годы интенсивно проводятся исследования в области систем фазовой синхронизации с элементами дискретизации, это связано с совершенствованием элементной базы микроэлектроники и ростом рабочих частот. Переход на новые технологии существенно расширил возможности систем фазовой синхронизации и повысил эффективность устройств, выполненных на их основе [1-7]. Выбирая структуру колец и входящие в них узлы, можно создавать варианты систем, имеющих требуемые характеристики по точности и надежности работы, быстродействию, помехоустойчивости для различных типов входных сигналов и законов модуляции. Усложняя режимы работы колец, реально создать гибкие алгоритмы обработки информации, оптимизации параметров и характеристик. Для более точного описания процессов, происходящих в импульсных системах фазовой автоподстройки (ИФАП), иногда требуется изучить статистические характеристики сигнала рассогласования. В работе [2] для получения статистических характеристик сигнала рассогласования ИФАП первого порядка в случае отсутствия гармонической помехи на входе был предложен метод Галеркина. В настоящей статье метод Галерки-на применяется для исследования ИФАП первого порядка в случае присутствия гармонической помехи на входе.
В качестве стохастического разностного уравнения, описывающего работу ИФАП первого порядка, воспользуемся уравнением
х(к+1) = х(к)+2пвТ-£,ш(х(к))-и(к)-Лх £,ш(х(к) + квТ+вг),
где в — нормированная частотная расстройка; в — частотная расстройка помехи относительно несущей частоты полезного колебания, в=0; в = 0; Л\ — интенсивность гармонической помехи. Отсчеты и(к)при выполнении условия, что шумовая полоса системы много меньше полосы шума на входе, можно считать широкополосными гаусовыми
шумовыми отсчетами с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиеи оП.
Плотность распределения вероятности (ПРВ) сигнала рассогласования ИФАП первого порядка при наличии гармонической помехи на входе может быть вычислена методом Галеркина. В общем случае выражение для ПРВ будет иметь вид
N
W(х) « WN(х), WN(х) = ^еп(^)^п(х), (1)
п=0
где |^п(х)| (п = 0,1, 2...) — полная система ортогональных на интервале (—п,п) функций.
Функция WN(х) должна удовлетворять интегральному уравнению Колмогорова-Чепмена (Фредгольма), поэтому должно быть справедливо следующее равенство:
WN(x) - J gi(x|z)Wjv(z)dz = 0, (2)
— П
где х € (—п,п); ^(х^) = ^^ д(х + 2пп|г) — переходная ПРВ, приведенная к интервалу (—п, п);
д(х|г) = ехр{—[х - г + »(.г)]2^2}, (3)
2по
где
^(г) = (1 + А1)в1п(г) - в-
Для произвольной функции /(х) на этом основании можно записать соотношение
п
f (x)[WN(x) - qi(x|z)WN(z)dz]dx = 0. (4)
По условию система {^п(х)} (п = 0,1, 2...) — полная, поэтому
те
справедливо следующее разложение: /(х) = ^^ /т^т(х), подставив
т=0
этот ряд в соотношение (4), получим
J2fm ^m(x)[WN(x) - qi(x|z)WN(z)dz]dx = 0. (5)
m=0 ^ •'
п
п
п
п
Отсюда следует
п п
J (х) - ! (¡\(х1г)Шм (г )д,г]'фгп(х)д,х = 0; т = 0,1... (6)
—п —п
Выберем коэффициенты сп(^) так, чтобы были равны нулю первые из интегралов (3). Такой подход соответствует нулевой проекции невязки
п
eN(х) = (х) — ! (^(х^(z)dz
—п
на подпространство ^ + 1) функций фт (х). Запишем выражение (6) в виде
п п п
¡И„ЫФШФ^ = 1ИЬ(«ш^ т = 0,1....
—п —п —п
(7)
С учетом ортогональности функций фт(х) в правой части получаем
п п
/те
Им (x)'фm(x)dx = ^ ) ф,п(х)ф m(xX)dx ^Утст ^), (8)
п=0 ^
—п —п
п
где 'Ут = ! фт(х^х.
—п
Обозначим интеграл
п
J (х|г)фт(х^х = 1т(г) = (я,фт), (9)
—п
где (д,фт) — скалярное произведение функций д1(х1г) и фт(х). В результате получим сумму
N
^атпСп(Ю, атп = (1т(г), фп(г)). (10)
п=0
Запишем систему линейных уравнений, решением которой будут коэффициенты ст^) (т = 1^):
N
/im )cn(N ) = Cm(N); m = 0,N,
n=0
где
атп = (1т (г ),^п (г)). (11)
Так же, как и в случае отсутствия помехи, в качестве системы ортогональных функций {^т(х)} возьмем систему тригонометрических функций:
{^т(х)} = {1; э1п(х); еоэ(х); э1п(2х); еоэ(2х)...} ,
, , ч Г еоз(тх) при г четном, ....
Шх) = <■,{■ (12)
81п(шх) при г нечетном,
2п при т = 0, п при т = 0.
Найдем выражение для а^, где г,^ — номера столбцов и строк в матрице. Введем обозначения:
i/2 при i четном, (i + 2)/2 при i нечетном,
n =
j/2 при j четном,
(13)
(j + 2)/2 при j нечетном. Вычислим lm(z). По определению
сю
lm(z q(x| z)^m(x)dx. (14)
При четном i lm(z) примет вид
сю
«*)=/ q(x|z)cos(mx)dx. (15)
—с
После введения замены t = [x — z + T0hi(z)j и подстановки уравнения (15), получаем
п
lm(z) = J cos[m(t + z — T0(1 + A1)sin z + Т0в)]dt =
—п
= exp(— ma2/2) cos m(z — T0(1 + A1) sin z + Т0в). (16) При нечетном i lm(z) примет вид
сю
lm(z) = q(x| z) sin(mx)dx. (17)
Аналогично получаем окончательный результат:
lm(z) = exp(—ma2/2) sinm(z — T0(1 + A1) sinz + Т0в). (18)
Вычислим коэффициенты а^. Рассмотрим случай когда i и j четные. Воспользуемся соотношениями:
п
sin(z sin(x)) sinnxdx = [1 — (—1)n] — Jn(z);
п
cos(z sin(x)) cos nx dx = [1 — (—1)n] (z).
Получаем
=
— exp(—mV2/2) cos(mToв) п
Jm+n(mTo(1 + Ai) +
+
/ \ |m-n|
( m — n V
1-T J|m-n|(mTo(1 + Ai)
\|m — n|/ 1 1
Таким же образом вычисляем коэффициенты при других значениях
г и
Запишем окончательные варианты:
=Gn
=Gn
a^ =Dn
a.ij =Dn
Jm+n(mTo(1 + Ai)) +
mn
|m — n|
|m-n|
J|m-n| (mTo(1 + Ai))
при четных г и ];
/ \|т-п|
/ т, — п \
^т+п (тТо(1 + А1)) I ( ^-т тп (тТо(1 + А1))
\ |т — п|)
при нечетных г и ];
| т-п|
тп
7т+п(тТо(1 + А1)) + 1-Г 7|т-п|(тТо(1 + А1))
\|т — п|/ 1 1
при г — четные, ] — нечетные;
| т-п|
— Jm+n(mTo(1 + Ai) +
mn
|m — n|
J|m-n| (mTo(1 + Ai))
при г — нечетные, j — четные.
(19)
Здесь в = е-т2^2/2 еой(тТов), Б = е-^2/2 й1п(тТов); Л(х) — функция Бесселя первого рода п-го порядка.
п
п
Выражение (11) представим в матричном виде:
[I - Л] См = Бм,
где I — единичная матрица размером N х N; Л — матрица с элементами
а13 /п:
Л =
/ оц 021 Oü \
п п п
«12 «22 «г2
V
п п п
aij 02? Ol
п п п
i,j = 1,N;
(21)
/
CN, BN — векторы-столбцы коэффициентов:
Cn =( Ci(N) C2(N) CN(N) )т, / a10 a20 aN 0
BN =
(22)
2п2 2п2 2п2 Г (23)
Решением уравнения (20) станут коэффициенты ряда (1): сп(N). Для оценки быстроты сходимости ряда (1) рассмотрим два случая: при N = 30, А1 = 0,7, г = у&г, Т = 0,5 с, 0 = 0,09, 01 = 0 (табл.1); при N = 30, А1 = 0,5, г = у&г, Т = 0,5 с, 0 = 0,09, 01 = 0 (Табл. 2). Большое число членов ряда берется, чтобы исключить эффект накопления ошибки.
Таблица 1
р = 2, 5 dB р = 3,5 dB р = 4,5 dB р = 6 dB
Ci 0,028756085 0,028904696 0,028928195 0,028936746
C2 0,173734093 0,175317866 0,173349112 0,168547474
C3 -0,010531541 -0,014867227 -0,018783999 -0,023854107
C4 -0,01347071 -0,028027919 -0,043391175 -0,065089131
C5 -0,02437281 -0,03772117 -0,048949482 -0,062602063
Сб -0,036359192 -0,060348944 -0,082510825 -0,111355912
Cr -0,006026698 -0,011962247 -0,017468056 -0,024207509
С8 -0,006626102 -0,013749089 -0,020701513 -0,029438827
Сд 0,001399862 0,00464094 0,009393872 0,018099756
С10 0,001149488 0,004028658 0,00852595 0,017283534
Cii 0,000589051 0,002949783 0,007380875 0,016838691
С12 0,000349193 0,001814983 0,004677344 0,011028776
С13 2,78574-10-5 0,000226147 0,000713565 0,001894507
С14 7,7446640е 5,62313 105 0,00015398 0,000306138
p = 2, 5 dB p = 3,5 dB p = 4,5 dB p = 6 dB
C15 -7,00735-10-6 — 0,000119875 — 0,000601017 — 0,002557254
C16 — 2,7360240-6 — 4,87453-10-5 — 0,000251235 — 0,001094793
C17 — 6,71313 •lO-7 — 2,31693-10-5 — 0,000169684 — 0,000992846
C18 -1,30156 10-7 — 4,4657840-6 — 3,23191 •Ю-5 — 0,000184276
C19 1,11539 10-9 1,41348 10-7 2,2811540-6 2,83553-10-5
C20 3,332940-9 3,0355840-7 3,92772-10-6 3,8681440-5
C21 1,6421240-9 3,1995 10-7 6,1792540-6 8,5382440-5
C22 1,26187^10-10 2,455540-8 4,631440-7 5,9701640-6
C w 3,79869-10-11 1,9523440-8 6,4113410-7 1,39454-10-5
C24 —4,3818440-12 — 2,60671 •Ю-9 — 9,6309240-8 — 2,40851 •Ю-6
C25 —4,5035840-13 — 6,9900740-10 —4,3193940-8 —1,6740840-6
C26 — 2,5406840-14 — 4,4245940-11 — 2,8055640-9 —1,01736 10-7
C27 —1,94788^10-14 — 9,4181540-11 —1,082 10-8 — 7,11034 10-7
C 00 4,18738^ 10-15 2,1603340-11 2,6261240-9 1,8536540-7
C29 — 9,4980540-17 —1,57698 10-12 —3,5685440-10 —4,19484^10-08
C30 4,3078340-17 7,6903840-13 1,84631 •Ю-10 2,3291540-8
Таблица 2
p = 2, 5 dB p = 3, 5 dB p = 4,5 dB p = 6 dB
C1 0,032217115 0,032269989 0,03228282 0,032292283
C2 0,215566091 0,22401335 0,228314036 0,231672185
C3 0,010192385 0,011193177 0,011791583 0,012408587
C4 0,050922208 0,058137971 0,061455695 0,063330423
C5 — 0,01310987 — 0,019276096 —0,023693736 —0,028167628
C6 — 0,013909566 — 0,022172639 — 0,029449692 — 0,038553337
C7 — 0,009794202 — 0,019101273 — 0,027447921 — 0,037433002
C8 — 0,009869891 — 0,019999747 — 0,029799881 — 0,042534535
C9 — 0,002125809 — 0,005976186 — 0,010457532 — 0,016870507
C10 — 0,001585215 — 0,004512855 — 0,007991463 — 0,013091645
C11 1,83723-10-5 0,000164446 0,000547227 0,001531397
C12 4,24908-10-5 0,00028077 0,00082785 0,002137581
C13 6,8707740-5 0,000576265 0,001890726 0,005365544
C14 3,3593740-5 0,000286411 0,00094787 0,002688756
C15 9,130440-6 0,000143143 0,000661556 0,002525431
C16 2,6031640-6 3,86368 10-5 0,000167479 0,000572071
p = 2, 5 dB p = 3,5 dB p = 4, 5 dB p = 6 dB
C17 3,25458-10"7 1,03749-10"5 7,06282-10"5 0,000375571
C18 -6,90976-10"9 -9,91097-10" 7 -1,19748-10" 5 -0,00010286
C19 -1,75626-10"8 -1,32281-10" 6 -1,47753-10" 5 -0,000123647
C20 -6,72841 •lO-9 -5,67123-10" 7 -6,88759-10" 6 -6,25456-10"5
C21 -1,70628-10"9 -3,11484 10" 7 -5,6619-10"6 -7,21973-10"5
C22 —1,15978*10-10 -1,95805-10" 8 -3,14956-10" 7 -2,98605-10"6
C w -4,32214-Ю"11 -2,11606-10" 8 -6,65747-10" 7 -1,37281 -10"5
C24 5,96003-10"12 3,65837-10"9 1,38-10"7 3,51163-10"6
C25 -5,2813^10-14 -8,32302-10" 11 -5,15485 10" 9 -1,96142-10"7
C26 1,52536^10-13 2,69313-10"10 1,80722-10"8 7,48868-10"7
C27 1,45607-10"14 6,58735-Ю"11 7,11897-10"9 4,32094-10"7
C 00 -1,64058-10-15 -6,70609-10" 12 -6,65151 10" 10 -3,72705-10"8
C29 2,27625-10"16 3,6111-10"12 7,8714-10"10 8,87014-10"8
C30 -7,45277-10"17 -1,24678-10" 12 -2,85689-10" 10 -3,4447-10"8
На рисунке а... в показаны графики ПРВ W(х), рассчитанные при различных параметрах.
W(x) 0,3
0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0
Рисунок (начало). Графики ПРВ, рассчитанные при:
а — N = 30, А = 0,8, г = уаг, Т = 0,5 с, в = 0, в1 =0; б — N = 30, А = уаг, г = 3,5 дБ, Т = 0,5 с, в = 0, в1 =0; в — N = 30, А = уаг, г = 3,5 дБ, Т = 0,5 с,
в = 0,09, в1 =0
W(x) 0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
ОД
0,05
0_ -4
Ж(х) 0,4
0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 ОД 0,05 0
-4-3-2-10 12 3 х
в
Рисунок (окончание)
На рисунках а, б приведены ПРВ фазовой ошибки при наличии на входе полезного гармонического сигнала, шума и гармонической помехи, частота которой совпадает с частотой полезного колебания, расстройка между частотой эталонного генератора и частотой колебания также отсутствует. При фиксированной интенсивности помехи и изменении дисперсии шума наблюдается увеличение дисперсии
фазовой ошибки. Бимодальность ПРВ вызвана присутствием помехи большой интенсивности. Увеличение дисперсии ошибки объясняется ростом эквивалентного коэффициента усиления системы. Если присутствует расстройка между частой эталонного генератора и частотой колебания, то наблюдается асимметричность ПРВ. Из рисунка, в видно, что при увеличении расстройки происходит смещение оценки, причем дисперсия ошибки также изменяется.
Заключение. Использован метод Галеркина для анализа ИФАП первого порядка в случае наличия гармонической помехи на входе системы. Были получены статистические характеристики сигнала рассогласования ИФАП первого порядка при наличии гармонической помехи на входе. Из данных табл. 1 и 2 видно, что ряд, в виде которого представлена ПРВ сигнала рассогласования, быстро сходится, но необходимо правильно выбирать количество членов ряда, чтобы обеспечить точность полученной ПРВ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шахтарин Б. И. Статистическая динамика систем синхронизации. - М.: Радио и связь, 1998.
2. Шахтарин Б. И. Анализ систем синхронизации при наличии помех. - М.: ИПРЖР, 1996.
3. С в я т н ы й Д. А. Сравнение статистических характеристик СФС 1-го порядка и ИСФС 2-го порядка при наличии гармонических помех на входе. "Фундаментальные проблемы создания автономных информационных и управляющих систем (АИУС)" // Тр. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002 г.
4. С и з ы х В. В., Б у т е н к о А. А., Святный Д. А. Синтез ФАС на основе фильтра Калмана с использованием нейросетевых алгоритмов // Тр. науч.-техн. семинара "Проблемы синхронизации третьего тысячелетия" (Тез. докл.). - Ярославль, 2000. - С. 73-74.
5. Ш а х т а р и н Б. И., Б у т е н к о А. А., С в и н ц о в А. В., Святный Д. А. Исследование срыва слежения в цифровых системах синхронизации с прямоугольной нелинейностью // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия "Машиностроение". -2005. - № 4. - С. 94-102.
6. Казаков Л. Н., С винцо в А. В., Святный Д. А., Шахтарин Б. И. Анализ статистических характеристик дискретных и непрерывных систем фазовой автоподстройки // Электромагнитные волны и электронные системы. -2002. -№ 8. - С. 38-44.
7. Ш а х т а р и н Б. И., С в и н ц о в Д. А., С в я т н ы й Д. А. Приближенные методы анализа дискретных систем синхронизации 1-го порядка при наличии помех // Тр. науч.-техн. семинара РНТОРЭС им. А.С. Попова "Синхронизация, формирование и обработка сигналов". - Ярославль, 2003. - 59 с.
Статья поступила в редакцию 8.07.2003
Борис Ильич Шахтарин родился в 1933 г., окончил Ленинградскую военно-воздушную инженерную академию в 1958 г. и Ленинградский государственный университет в 1968 г. Д-р техн. наук, профессор кафедры "Автономные информационные управляющие системы" МГТУ им. Н.Э. Баумана, лауреат Государственной премии СССР, заслуженный деятель науки и техники. Автор более 280 научных работ, в том числе 9 монографий в области анализа систем и обработки сигнала.
B.I. Shakhtarin (b. 1933) graduated from the Leningrad Air Force Academy in 1958 and the Leningrad State University in 1968. D. Sc. (Eng.), professor of "Autonomous Information and Control Systems" department of the Bauman Moscow State Technical University, USSR State Prize Winner, Honored Worker of Science and Technology. Author of more than 280 publications including 9 monographs in the field of system analysis and signal processing.
Александр Вячеславович Свинцов родился в 1971 г., окончил МГТУ им. Баумана в 1996 г. Автор 6 научных работ. Специализируется в области анализа и синтеза систем обработки сигналов.
A.V. Svintsov (b. 1971) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 1996. Author of 6 publications in the field of analysis and synthesis of signal processing systems.
Дмитрий Александрович Святный родился в 1979 г., студент кафедры "Автономные информационные и управляющие системы" МГТУ им. Баумана. Автор 12 научных работ в области статистических методов распознавания образов с помощью нейросетевых алгоритмов, применения нейросетей в системах управления, динамики систем синхронизации.
D.A. Svyatny (b. 1979) - student of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 12 publications in the field of statistic methods of image identification using neuro network algorithms, application of neuro networks in control systems, dynamics of synchronization systems.
