CC BY
9
V. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 537.523 © Б.Д. Цыдыпов
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕРМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ СОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.
РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ
В работе представлены результаты решения нелинейной тепловой задачи для осесимметричного катодного узла генераторов низкотемпературной плазмы.
Ключевые слова: оптимизационная задача, тепловой поток, энергообмен, генератор, низкотемпературная плазма.
B.D. Tsydypov
NONLINEAR THERMAL PROBLEM FOR THE SYSTEM OF CONJUGATE ELEMENTS. RESULTS OF SOLUTION
The article presents the results of solution of a nonlinear thermal problem for an axis-symmetrical cathode assembly in low-temperature plasma generators.
Keywords: optimization problem, heat flux, energy exchange, generator, low-temperature plasma.
Введение
В работе [1] приведена математическая постановка задачи о теплофи-зическом состоянии составных катодных узлов сильноточных плазменных систем (рис. 1).
Удельный тепловой поток из плазмы q0 и его эффективный радиус r0 определяются из эксперимента или же из совместного решения замкнутой системы уравнений катодных и прикатодных процессов [2].
Температурное поле в осесимметричном катодном узле находится сорной теплопроводности
+ Л2/ ^ (T) (1)
вместным решением уравнения нестациона
дТ, 1 d Г „ dT, 1 d
ck Pk—- =----'
dt r dr
k(T) fdr
+ — dz
dT
k (T) dTL
dz
и нелинейного уравнения непрерывности тока
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012
1д г дг
^ т) ^
дг
д +—
дг
°> т) ¥
дг
= 0
(2)
для вставки (к = 1) и обоймы (к = 2).
Рис. 1. Схема составного катодного узла плазменных устройств. I - катод (вставка), II - корпус узла (обойма), III - плазма разряда, IV - плазмообразующий газ, V - теплоотвод (жидкость)
Для решения уравнений применялся метод конечных разностей [3]. Сформулированная разностная задача решалась методом установления. При прогонке по локально-одномерной схеме вся область интегрирования I - II разбивалась на несколько простых областей и смежные области «сшивались» едиными граничными условиями [4]. Составленный численный алгоритм позволяет рассчитать стационарные температурные поля Т\,2(г, г) во всей электродной системе «вставка - обойма».
Результаты решения и обсуждение
Рассмотрим температурное поле в составном осесимметричном катодном узле (рис. 1), состоящем из системы лантанированный вольфрам (I) -медь (II): Lf¡ =1 см, L2 = 1,5 см, радиусы катода и обоймы соответственно Я1 = 0,5 см и Я2 = 1,5 см, давление аргона р = 1,01 • 105 Па, рабочий ток I = 600 А, кондуктивный тепловой поток Qт = 2050 Вт [5].
Б.Д. Цыдыпов. Нелинейная термическая задача для системы сопряженных элементов. Результаты решения
а )
и—и
I б )
5
II
Рис. 2. Температурное поле в катодном узле. 0 - 8 - изотермы 3400, 2900, 2500, 1900, 1300, 950, 700, 400, 350 К соответственно.
а) Lc= 0, г0 = 0,15 см б) Lc= 1 см, г0 = 0,31см
6
8
z
На рисунке 2 представлены изотермы в симметричной половине осевого сечения катодного узла при Lc = 0 и Lc = 1 см. Уровень температур в катоде, запрессованном заподлицо с обоймой (рис. 2а), значительно выше, чем в катоде с вылетом (рис. 2б), так как вследствие интенсивного охлаждения происходит контрагирование привязки дугового разряда. При этом существенно возрастают плотности теплового потока и тока, что приводит к резкому увеличению уровня и градиента температуры в опорном пятне и его окрестности. Анализ изотерм катодного узла показал, что тепловой поток, поступающий в электрод, большей частью отводится через боковую поверхность, контактирующую с обоймой. Увеличение диаметра обоймы d2 значительно снижает уровень всего поля температур вставки, за исключением температуры в пятне. Увеличение же длины обоймы L2 при Lh = const ведет к росту интегральной температуры катода, особенно на поверхности контакта двух металлов. Кроме геометрии корпуса обоймы, на тепловой режим катодного узла оказывает сильное влияние диаметр самой вставки d\. Показано, что варьированием геометрических размеров, прежде всего отношением d\ / d2, можно найти оптимальный температурный режим электрода.
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012
Рис. 3. Зависимость температуры рабочего торца от длины вылета катода.
Л1 = 0,3 см, I = 400 А, 1 - Lc = 0,2 см, 2 - Lc = 1,2 см, 3 - Lc = 6 см
Кривые, представленные на рисунке 3, наглядно иллюстрируют термическое состояние рабочей поверхности электрода в зависимости от длины вылета Lc. Увеличение Lc в пределах 0-6 см приводит к нелинейному изменению температуры горячего торца. Температура в пятне сначала уменьшается от 3 659 К (Lc= 0) до ~ 2700 К, затем, начиная с Lc > 2 см, плавно повышается до 3 164 К (Lc = 6 см). Одновременно с этим уровень температур в других точках торца монотонно возрастает. Это приводит, как и в случае увеличения токовой нагрузки, к выравниванию температурного профиля торца и увеличению среднего уровня температуры катода. Как уже отмечалось, такой характер изменения профиля температуры связан с действием джоулева тепловыделения в объеме вставки. При малых значениях Lc его вклад в энергобаланс катода не значителен, но с увеличением длины вставки доля объемного источника тепла возрастает. По характеру распределения изотерм можно предположить, что тепловой поток, поступающий в электрод, большей частью отводится через боковую поверхность вставки. Этот вывод подтверждается результатами расчетов. Увеличение диаметра медной обоймы d2 значительно снижает уровень всего поля температур вставки, за исключением температуры в пятне. Увеличение длины обоймы L2 при Lh = const ведет к росту уровня температурного поля катода, особенно на поверхностях контакта двух метал-
Б.Д. Цыдыпов. Нелинейная термическая задача для системы сопряженных элементов. Результаты решения
лов. Это сопровождается большим нагревом меди, что может привести к прогоранию конструкции.
Представляет большой интерес изучение влияния джоулева источника тепла и радиационного излучения с поверхности электрода на термическое состояние катодного узла. Расчет проведен для составного катодного узла со следующими геометрическими размерами и тепло-и электрофизическими свойствами:
Ь1 = 3 см, Ь}1 = 1 см, Ьс = 2 см, Л1 = 0,25 см, Ь2 = 1,5 см, Л2 = 1,5 см;
А.1 = 118 Вт/мК; А,2 = 352 Вт/м-К; с = 130 Дж/кг-К;
С2 = 380 Дж/кг-К; в1 = 0,3; ая = 370 Вт/м2-К; с = 5,67-Ю-8 Вт/м2-К4.
Плотности материалов электрода и обоймы равны соответственно: 1,9-104 кг-м-3 и 8,93^ 103 кгм-3. Данные остальных параметров в численных расчетах учитывались в виде их температурных зависимостей [6]. Дуговой разряд горит в атмосфере аргона при р = 105 Па и токовой нагрузке I = 300 А, интегральный тепловой поток Q = 340 Вт [7].
Графики на рисунке 4 наглядно иллюстрируют роль объемного источника и нелинейных граничных условий на цилиндрической и рабочей поверхностях электрода в тепловой задаче. Осевые распределения температуры позволяют выявить вклад этих составляющих (при различном их сочетании) в энергообмен термоэмиссионного катода. Они получены варьированием тепло- и электрофизических коэффициентов в уравнениях и граничных условиях задачи. Температурное поле, рассчитанное с учетом джоулева тепловыделения и теплообмена путем конвекции и излучения (в уравнениях (1), (2) и соответствующих граничных условиях задачи
[4] удельное сопротивление р1 Ф 0, степень черноты 81 Ф 0 и коэффициент теплоотдачи газу аg Ф 0), согласуется с экспериментальным распределе-
нием Т\(Л\, ¿) [7-9] (кривая 7), что свидетельствует о правильной постановке задачи. При упрощенной постановке задачи без учета всех рассматриваемых составляющих энергобаланса катода (р! = 0, 81 = 0, аg = 0) появляются значительные погрешности в определении термического режима катода (кривая 2). Температура горячего торца в этих вариантах различается на 716 К. Однако учет по отдельности только объемного источника тепла (р1 Ф 0, 81 = 0, аg = 0; кривая 3), или же конвективного и лучистого теплообменов с поверхности электрода (р! = 0, 81 Ф 0, аg Ф 0; кривая 4), приводит к еще большим ошибкам в расчете температурного поля. Например, разность максимальной температуры Т^0, 0) на кривых 7 и 3 достигает 1 704 К. Графики 3 и 4 отражают противоположный характер влияния джоулева нагрева в объеме и комбинированного теплообмена с боковой поверхности на тепловое состояние термоэмиссионного катода. Установлено, что роль этих тепловых процессов в энергобалансе зависит от геометрии электрода и величины разрядного тока. Вклад теплообмена на границах для рассматриваемой геометрии катодного узла при токовой нагрузке I < 300 А и плотности тока j < 1.5 -103 А/см2 заметно больше
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012
влияния джоулева тепловыделения. С увеличением тока доля последнего фактора в энергобалансе катода повышается, и при I > 500 А джоулево тепловыделение существенно превышает конвективную и лучистую составляющие теплоотдачи с поверхности.
Рис. 4. Осевые распределения температур катода
Заключение
Исследовано влияние геометрических размеров и условия теплообмена катодного узла, параметров дугового разряда на тепловое состояние термоэмиссионных катодов. Установлено, что основными факторами, определяющими уровень и характер распределения температурного поля в электродном узле, являются джоулев нагрев и геометрические размеры составных элементов конструкции. Показано, что варьированием геометрией и токовой нагрузкой катодного узла можно найти его оптимальный тепловой режим. Результаты проведенных расчетов находятся в согласии с экспериментальными данными, что свидетельствует о корректности постановки и решения задачи.
Б.Д. Цыдыпов. Нелинейная термическая задача для системы сопряженных элементов. Результаты решения
Литература
1. Цыдыпов Б.Д., Баргуев С.Г. Постановка нелинейной термической задачи для системы сопряженных элементов // Вестник БГУ. 2010. Вып. 9. С. 189-193.
2. Цыдыпов Б.Д. Катодные и прикатодные процессы сильноточных плазменных систем. Saarbrucken: Lambert Academics Publishing, 2012. 272 с.
3. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.
4. Цыдыпов Б.Д. Нелинейная термическая задача для системы сопряженных элементов. Метод решения // Вестник БГУ. 2011. Вып. 9. С. 280-284.
5. Экспериментальное исследование динамики процессов на активированных катодах / А.М. Зимин, Н.П. Козлов, В.И. Хвесюк, Б.Д. Цыдыпов // Известия СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1982. №8. Вып. 2. С. 37-43.
6. Теория и расчет приэлектродных процессов / И.Г. Паневин, В.И. Хвесюк, И.П. Назаренко и др. Новосибирск: Наука, 1992. 197 с.
7. Оптимизация теплового состояния и ресурса стержневого термокатода / А.С. Аньшаков, Э.К. Урбах, Б.Д. Цыдыпов // Теплофизика и аэромеханика. 1995. Т.2. №2. С. 167-171.
8. Тепловой режим работы термокатода / М.Ф. Жуков, А.С. Аньшаков, Г.-Н.Б. Дандарон // Приэлектродные процессы и эрозия электродов плазмотронов. Новосибирск: ИТ СО АН СССР, 1977. С. 61-84.
9. Распределение температуры на термокатоде / М.Ф. Жуков, А.С. Аньшаков, Г.-Н.Б. Дандарон, Ж.Ж. Замбалаев // Тез. докл. VIII Всесоюз. конф. по генераторам низкотемпературной плазмы. Новосибирск, 1980. Т. 2. С. 12-15.
Цыдыпов Балдандоржо Дашиевич, кандидат технических наук, старший научный сотрудник Института физического материаловедения СО РАН. Тел.:
(3012) 432282, e-mail: [email protected]
Tsydypov Baldandorzho Dashievich, candidate of technical sciences, senior research fellow, Institute of Physical Materials Science SB RAS.
