CC BY
33
УДК 519.3
Е. В. Кабакова, С. К. Мышков
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 2 (№9)
СТАБИЛИЗАЦИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ1
Исследования дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных (их называют сингулярно возмущенными), начатые в основополагающих работах А. Н. Тихонова (см. [8] и библиографию к ней), стимулировали многочисленные публикации по задачам управления динамическими объектами, функционирование которых описывается такими уравнениями. Характерной особенностью сингулярно возмущенных уравнений является разнотемповость (дихотомия) их решений, из-за чего они относятся к жестким уравнениям [1]. Численное и аналитическое интегрирование жестких уравнений сопряжено с определенными дополнительными трудностями [3]. Вследствие этого традиционные вопросы устойчивости и управления для сингулярно возмущенных задач требуют разработки специфических средств их решения. Достаточно полно состояние проблематики изложено в обзорных статьях [2, 10], где к тому же можно найти обширную библиографию. Наибольшее продвижение как в области аналитических результатов, так и в численном моделировании и приложениях достигается для линейно-квадратических задач управления. Вполне естественно, это отражается и в количестве публикаций.
Как и в классическом случае линейных систем с обратной связью, для сингулярно возмущенной задачи управления существенным моментом является объем информации о координатах состояния объекта. В статье [9], идейный подход которой используется ниже, для случая полной информации о координатах состояния предложена специальная конструкция степенных рядов по малому параметру, что позволяет получить асимптотическое представление для решения уравнения Риккати (дифференциального или алгебраического) и далее установить близость решения редуцированной задачи к оптимальному решению исходной задачи.
Неполнота информации о координатах состояния объекта делает, по существу, невозможным использование этих результатов, так же, впрочем, как и в классическом случае [6]. Выходом из ситуации представляется соответствующая модификация задачи оптимальной стабилизации. В этом направлении наиболее распространенным методом является введение в контур управления дополнительного устройства оценки координат состояния (фильтр Калмана—Бьюси и др.). Возможен также переход к минимаксной трактовке задачи или использование регулятора с последействием. На наш взгляд, более адекватной является модификация задачи, связанная исключительно с усреднением функционала качества на некотором множестве начальных состояний объекта, т.к. при этом не теряется возможное (существующее при достаточно жестких ограничениях) решение, оптимальное для любого начального состояния объекта [6]. Условия разрешимости получаемой задачи оптимальной в среднем стабилизации содержат (вместо уравнения Риккати) систему трех уравнений, два из которых — типа уравнения Ляпунова, а третье определяет искомый матричный коэффициент регулятора [7]. Для случая управления по медленным (доминирующим) движениям в работе доказывается, что решение этих уравнений представимо степенными рядами по малому параметру,
1 Данная работа осуществлена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект РФФИ №03-01-00668).
© Е. В. Кабакова, С. К. Мышков, 2003
причем один из рядов подобен предложенному в [9], а два других — стандартные. Получены выражения для главных членов всех асимптотических представлений, при этом для матричного коэффициента усиления указанное выражение совпадает с решением классической линейно-квадратической задачи для редуцированной системы управления.
1. Постановка задачи. Рассмотрим линейную стационарную сингулярно возмущенную систему управления (СВСУ)
где хіЄЙ”1 ,х2ЄЙ”2, пі+п2=п, иЄЙг, гЄДт; я — малый параметр,
В (1) вектор хі описывает «медленные» движения (в практических задачах они называются доминирующими), а вектор Х2 — «быстрые» движения.
Наряду с (1) будет использоваться более компактная форма записи
экспоненциально устойчивая. Качество стабилизации оценим при помощи функционала
Здесь И € Д” — окрестность точки х = 0; р(хо) —вещественная непрерывная функция (вес) такая, что существует матрица
матрицы А € Д”х”, С € Дгхг —вещественные симметричные, причем А — неотрицательно, С — положительно определенная.
Задачу (1)-(6) называют задачей оптимальной в среднем стабилизации, а допустимое управление иос=Мосг, при котором функционал (6) принимает наименьшее возможное значение, — оптимальным в среднем управлением. Известно [6, 7], что для существования оптимального в среднем управления иос необходимо, чтобы уравнения
Х і = Ріі хі + Р12x2 + Qlu, хі(0) = хіо,
Я-Х 2 = Р2іхі + Р22 х2 + Q2U, х2(0) = х20
(1)
с измерением (выходом) вида
г = Нх,
(2)
х = Рх + Qu,
(3)
где
Класс допустимых управлений составляют линейные регуляторы
и = Мг,
(4)
при которых замкнутая система
х = (Р + QMH )х
(5)
ТО
(6)
X = J р(хо)хохд3,хо, X > 0;
0(Р + QMH) + (Р + QMH )д0 + А + (МН )*ОМН = 0,
(7)
L(P + QMH )g + (P + QMH )L + X =0, (В)
M = —C-1Qg0LH g(HLHg)-1 (9)
имели решение в виде вещественных симметричных матриц 0 > 0 и L > 0 соответственно, и таких, что управление uoc с матричным коэффициентом Moc, задаваемым формулой (9), является допустимым.
Для любого допустимого управления (4) функционал (б) вычисляется по формуле
J(uoc)=tr[X 0], (10)
где 0 определяется уравнением (7).
2. Редуцированная задача. При ^ ^ 0 из (1) получаем вырожденную систему уравнений [8]
X1 = Piixi + P12X2 + Qiu,
0 = P21X1 + P22X2 + Q2U.
В предположении, что P22 — неособая, из второго уравнения этой системы находим
x2 = —P221(P21 x1 + Q2u); подставив его в первое уравнение, получим редуцированную
подсистему
X s = PsXs + QsUs, Xs(0) = Xio, (11)
где
Ps = P11 — P12P221P21i Qs = Q1 — P12P221Q2j Xs = Xl, us = u.
Для системы (11) рассмотрим задачу оптимальной стабилизации с функционалом вида
то
Js (u) = j (xgAsXs + XgBsUs + UgBgXs + UgCsUs)dt, (12)
o
где
As = All — A12 P221P21 — (A12 P221P2l)g + (P^l)^ P221P21, (13)
Bs = —Ai2P2-1Q2 + (P2-1 P2l)g A22P221Q2, (14)
Cs = (P2-1Q2)gA22P2-1Q2 + C. (1B)
В (13)—(15) используется разбиение матрицы A функционала (5) на блоки вида
A11 A12
А=
А ;а12 а22
Решение задачи (11 )—(12) формулируется следующим образом [4]. Для того чтобы управление ия = Мяхя было оптимальным для любого начального состояния хя(0), необходимо и достаточно, чтобы алгебраическое уравнение Риккати
08д8с-1дд08 = 08(р8 - д8с-1вд) + (ря - д8с8-1вд)*08 + а8 - в8с8-1вд (16)
имело решение в виде вещественной симметричной матрицы 0Я > 0 и такой, что управление ия с матричным коэффициентом усиления Мя = —С—1(^д0я + Вд) обеспечивает экспоненциальную устойчивость нулевого решения замкнутой системы управления
Хя = (ря + ^яМя)хя. (17)
является функцией Ляпунова для замкнутой системы (17).
3. Оптимальная в среднем стабилизация по медленным движениям. При
Н = (ЕП1 0), где ЕП1 —единичная п — матрица, из (3) получаем г = х1, т. е. допустимыми оказываются управления и=Мх1, которые можно трактовать как управления по медленным модам. Существование допустимых управлений (4) для системы (1) (в общем случае это равносильно разрешимости соответствующих неравенств Гурвица для (5)) не является простой задачей. При т = П1 < п достаточные условия можно сформулировать следующим образом.
Лемма. Если пара (Ря, ф8) — полностью управляемая и матрица Р22 — гурвицева, то допустимые управления (4) существуют при всех /£(0,/), где /2 > 0 фиксировано.
Доказательство леммы проводится стандартно и опирается на теорему Климушева— Красовского [5].
Предположим, что условия леммы выполнены, и рассмотрим условия (7)—(9). Решение 0 = 0(/) уравнения (7) будем искать в виде [9]
в (7) и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях /. В частности, при /1 получаем систему следующих уравнений:
©11 11 + ^1М — р12р221(р21 + ^2М)) + (Р11 + ^1М — Р12 Р221(Р21 +
+ д2М))*©11 - (Р21 + д2М)*(022Р221 + Р221Ф©22)(Р21 + 32М)-
- А12Р221(Р21 + 32М) - (Р21 + д2М)*Р^1^ + Лп + М*СМ = 0 (23)
(19)
Коэффициенты рядов ©у определяются стандартным образом после подстановки (19)
©и(Рц + 31М) + ©12(Р21 + ^М) + (Р11 + д1М )*©11 +
+ (Р21 + ОгМ )*©12 + А11 + М *СМ = 0, (20)
©11Р12 + ©12Р22 + (Р21 + ^М )*©22 + А12 = 0, ©22Р22 + Р^2©22 + А22 = 0.
(21)
(22)
Так как Р22 —неособая, из (21) найдем
©12 = -©11Р12Р221 - (Р21 + ^2М)*©22Р221 - А12Р221.
Подставив ©12 в (20), после ряда преобразований получим уравнение:
Из (22) следует, что
А22 = —022Р22 — Р^2 022
После подстановки А22 в (23) придем к такому уравнению:
©11 (Р11 - Р12Р221Р21 + (^1 - Р12Р221^2)М) + (Р11 - Р12Р221р21 +
+ (31 - Р12Р22132)М)*011 + (Р21 + 32М)*Р2*2^1А22Р221(Р21 + ^М)-
- А12Р221(Р21 + 32М) - (Р21 + 32М)фР2*2-1А^2 + Ац + М2СМ = 0. (1)
Приводя здесь подобные относительно М слагаемые и используя полученные ранее формулы для матриц Ря, ф8, Ая, Вя, Ся, запишем его в виде
Сравнивая (18) и (25), заключаем, что для главной части решения 0(/) имеем равенство 0ц = 0я, если М = Мя. Это означает, что 011(/) = 0я + 0(/), где 0(/) — матричный ряд по степеням / , начинающийся с члена порядка / 1 .
Поскольку матрица Мос оптимального в среднем управления иос определяется равенством (9), рассмотрим предварительно уравнение (8). Решение Ь = Ь(/) уравнения (8) ищем в виде
Подставив (26) в (8) и приравняв коэффициенты при /0, получим следующие уравнения:
Рассмотрим уравнение (9), которым определяется матрица оптимального в среднем управления. С учетом Н =(ЕП10), его можно записать так:
В (32) 0^, Ь^ —суть клетки матриц 0(/),Ь(/). Подставим в (32) формальные ряды (19), (26) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях /; тогда при /1 получим выражение для главной части матрицы Мос(/) в следующем виде:
0и (Ря + д8М) + (Ря + д8М )*0П + в8м + м + а8 + м Гс8м = 0. (25)
(26)
(Р11 + 31М )Ь11 + Р12Ь12 + Ь11(Р11 + 31М )2 + ь^2РГ2 + Х11 = 0, Ь11(Р21 + 32М )Г + Ь12Р2*2 = 0 (Р21 + ^2М )Ь12 + Р22Ь22 + ЬГ2(Р21 + ^2М )Г + Ь22Р^2 = 0-
(27)
(28) (29)
Из (28) в силу неособенности Р22 найдем
Ь12 = -Р221(Р21 + 32М )Ь11-
Подставив Ь12 в (27), получим:
(Р11 + ^1М)Ь11 - Р12Р221(Р21 + 32М)Ь11 +
+ Ьц(Р11 + 31М)г - Ьц(Р21 + 32М)гР221гРГ2 + Х11 = 0 (30)
Используя здесь матрицы Ря, ф8, придем к уравнению
(Ря + 3яМ )Ь11 + Ьц (Ря + 3ЯМ )г + Хц = 0.
(31)
М = -с-1(дг0ц + зГ012// + (3Г012 + д^/м^ь^).
Домножив обе его части на />0, получим:
/М — -С 1(/3х011 + 32012 + /ЗЗ^^Ь^Ьц1 + 3Г022ЬГ2Ьц1). (32)
М = -С-1(31011 + 31012 + д1022ЬГ2Ь111)
(33)
Используя в (33) выражения для 012, Ьц и Ь12, найдем:
м = -с-1((3 1 - 32Р2-21 1РГ2)0ц - 32Р221 1А12-
- 32 Р2211 (022Р22 + Р2*2022)Р221(Р21 + 32М)). силу (24), отсюда после ряда упрощений получим
м = -с-1((3 1 - 32 Р2-1 1РГ2 )0и+
+ 32Р221 1 (А22Р221Р21 - А12) + 32Р221 *А22Р221 32М)- (34)
Принимая во внимание выражения для матриц 3в, В и СЯ, правую часть (34) запишем так:
М = -С-1(3*0и + в* + (Св - С)М).
Наконец, умножая слева на С и приводя подобные слагаемые, в итоге получим:
М = -С8-1(3*011 + в*). (35)
Таким образом, для главной части матрицы коэффициентов оптимального в среднем управления имеем М = Мя, а это означает, что Мос = Мя + 0(/). Используя представление (19) и формулу (10), элементарно устанавливаем, что для оптимального значения критерия ^е(и) справедливо выражение ^ос(и) = £г[08Хп] + 0(/), где 0(/) — скалярный ряд по степеням / , начинающийся со слагаемого 1-го порядка.
Заключение. Стабилизация сингулярно возмущенных систем управления (СВ-СУ) характеризуется определенной спецификой, а методы исследования опираются на асимптотические представления решений. Известно, что специфика СВСУ проявляется, прежде всего, в разделении движений на «медленные» и «быстрые», обусловленное тем, что соответствующие им моды имеют порядок 0(1) и 0(1//). Дефицит информации о координатах состояния объекта усугубляет условия разрешимости задачи стабилизации для СВСУ, при этом возникает естественная потребность раздельного управления по быстрым и медленным модам. В работе исследован случай управления по медленным (доминирующим) координатам с квадратичным критерием качества, усредненным по множеству начальных состояний объекта. Получаемое оптимальное управление и соответствующее значение критерия качества сравниваются с решением линейно-квадратичной задачи стабилизации для доминирующей подсистемы. Показано, что главные члены асимптотических представлений для решения основного алгебраического уравнения Ляпунова, матричного коэффициента усиления регулятора и оптимального значения функционала совпадают с точными значениями аналогичных величин для редуцированной задачи. Возможность вычисления главных членов асимптотических представлений методами, зарекомендовавшими себя в стандартной задаче аналитического конструирования регуляторов, позволяет успешно и вполне обоснованно применять полученные результаты в реальных задачах управления.
Summary
Kabakova E. V., Myshkov S.K. Stabilization of singular pertubated control systems with incomplete information.
The problem of mean-optimal stabilization of a singular perturbated control system with incomplete information about states is considered. The solution of the above problem for systems describing two-time-scale movements is reduced to the solution of the optimal stabilization problem by means of defining a dominant subsystem. Using the small parameter method, the main terms of the asymptotic expansions of the Lyapunov equation solution, the amplifier coefficients of the regulator and the performance index are obtained. This approach is constructive for stabilizing large dimensional systems.
Литература
1. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М., 1973.
2. Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления // Итоги науки и техники. Сер. Математический анализ. ВИНИТИ. 1982. Т. 20. С. 3-78.
3. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге—Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений / Пер. с англ. М., 1988.
4. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М., 1975.
5. Климушев А.И., Красовский Н.Н. Равномерная асимптотическая устойчивость систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных // Прикладная математика и механика. 1961. Т. 25, вып. 4. C. 680-690.
6. Мышков С.К. Оптимальная в среднем стабилизация линейных управляемых систем // Вестник Ленингр. ун-та. 1971. №7. С. 90-97.
7. Мышков С.К. Линейные управляемые системы с неполной информацией о координатах состояния // Негладкие задачи теории оптимизации / Под ред. В. Ф. Демьянова. Л., 1982. С. 248-272.
8. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Математический сборник. 1952. Т. 31(73), №3. С. 574-585.
9. Chow J.H., Kokotovic P. V. A Decomposition of Near-Optimum Regulators for Systems with Slow and Fast Modes // IEEE Trans. Automat. Contr. 1976. Vol. 21, N 5. P. 701-705.
10. Kokotovic P.V. Applications of singular perturbation techniques to control problems // SIAM Review. 1984. Vol. 26, N 4. P. 501-550.
Статья поступила в редакцию 13 июня 2002 г.
