CC BY
10
ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки
Том 24, № 125
2019
© Шабуров А.А., 2019
DOI 10.20310/1810-0198-2019-24-125-119-136
УДК 517.977
Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с гладкими ограничениями на управление и с интегральным выпуклым критерием качества, терминальная часть которого зависит только от медленных переменных
Александр Александрович ШАБУРОВ
ФГАОУ ВО «Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б.Н. Ельцина» 620002, Российская Федерация, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19 ORCID: https://orcid.org/0000-0003-3174-9092, e-mail: [email protected]
Asymptotic expansion of a solution for one singularly perturbed optimal control problem with a convex integral quality index depends on slow variables and smooth control constraints
Alexander A. SHABUROV
Ural Federal University named after the first President of Russia B.N. Yeltsin 19 Mira St., Ekaterinburg 620002, Russian Federation ORCID: https://orcid.org/0000-0003-3174-9092, e-mail: [email protected]
Аннотация. Рассматривается задача оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества, зависящим только от медленных переменных для линейной системы с быстрыми и медленными переменными в классе кусочно-непрерывных управлений с гладкими ограничениями на управление
где хе € М" , уЕ € Мт , и € Мг ; Л^ , В^, г,] = 1,2 — постоянные матрицы соответствующей размерности, а <£>(•) — непрерывно дифференцируемая на М" строго выпуклая и кофинитная функция в смысле выпуклого анализа. В общем случае для такой задачи принцип максимума Понтрягина является необходимым и достаточным условием оптимальности. Существует единственный начальный вектор сопряженного состояния 1е , определяющий вид оптимального управления. Доказано, что в случае конечного числа точек смены вида управления асимптотика вектора 1е имеет степенной характер.
Ключевые слова: оптимальное управление; сингулярно возмущенные задачи; асимптотические разложения; малый параметр
t е [0, T], И < 1, xe(0) = x0, ye(0) = y0,
Благодарности: Автор выражает благодарность своему научному руководителю, доктору физ.-мат. наук, профессору Данилину Алексею Руфимовичу за постоянное внимание к работе.
Для цитирования: Шабуров А. А. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с гладкими ограничениями на управление и с интегральным выпуклым критерием качества, терминальная часть которого зависит только от медленных переменных // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. Тамбов, 2019. Т. 24. № 125. С. 119-136. DOI 10.20310/1810-0198-2019-24-125-119-136
Abstract. The paper deals with the problem of optimal control with a convex integral quality index depends on slow variables for a linear steady-state control system with a fast and slow variables in the class of piecewise continuous controls with a smooth control constraints
where xe G Rn , yE G Rm , u G Rr ; Aj , Bj, i, j = 1, 2 — are constant matrices of the corresponding dimension, and y>(-) - is the strictly convex and cofinite function that is continuously differentiable in Rn in the sense of convex analysis. In the general case, Pontryagin's maximum principle is a necessary and sufficient optimum condition for the optimization of a such a problem. The initial vector of the conjugate state l£ is the unique vector, thus determining the optimal control. It is proven that in the case of a finite number of control switching points, the asymptotics of the vector le has the character of a power series.
Keywords: optimal control; singular perturbation problems; asymptotic expansions; small parameter
Acknowledgements: The author is very grateful to Prof. Alexey R. Danilin for the constant attention to the work.
For citation: Shaburov A. A. Asimptoticheskoe razlozhenie resheniya singulyarno vozmushchennoy zadachi optimal'nogo upravleniya s gladkimi ogranicheniyami na upravlenie i s integral'nym vypuklym kriteriem kachestva, terminal'naya chast' kotorogo zavisit tol'ko ot medlennyh peremennyh [Asymptotic expansion of a solution for one singularly perturbed optimal control problem with a convex integral quality index depends on slow variables and smooth control constraints]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2019, vol. 24, no. 125, pp. 119-136. DOI 10.20310/1810-0198-2019-24-125-119-136 (In Russian, Abstr. in Engl.)
Задачам оптимального управления с сингулярными возмущениями в связи с их теоретической значимостью и актуальными приложениями посвящаются многочисленные работы. Обзор результатов исследований задачи оптимального управления для линейной системы с быстрыми и медленными переменными в различной постановке представлен, например, в [1]. Более подробно общие свойства систем с интегральным выпуклым
t е [0, T], И < 1, xe(0) = x0, ye(0) = y0,
Введение
функционалом качества рассмотрены в [2, Глава 3]. Проблемы, связанные с предельной задачей, для задач оптимального управления линейной системой с быстрыми и медленными переменными рассматривались в [3], [4]. В других постановках асимптотика решений возмущенных задач управления исследовалась в статьях [5]-[7]. Отметим, что в статье [6] рассматривался терминальный критерий качества.
Настоящая работа посвящена изучению асимптотики вектора сопряженного состояния в задаче оптимального управления линейной системой с быстрыми и медленными переменными, с интегральным выпуклым функционалом качества, терминальная часть которого зависит от медленных переменных. Считается, что на управление наложено гладкое геометрическое ограничение в виде шара. Получено полное асимптотическое разложение вектора сопряженной системы, определяющего оптимальное управление. Статья является продолжением работ [8], [9]. Главной отличительной особенностью изучаемой здесь задачи от задач, рассмотренных в статьях [8], [9], является более общий вид управляемой системы.
При написании работы использовались понятия, методы и результаты теории оптимального управления [2], [10], [11], асимптотического анализа [12], линейной алгебры [13], теории сингулярно возмущенных уравнений [14] и выпуклого анализа [15].
1. Постановка задачи
Пусть управляемая система содержит быстрые и медленные переменные, а терминальная часть функционала качества зависит только от медленных переменных:
Х £ АцЖ£ + Л12у£ + В^,
еу£ = ^21Х£ + А22Ув + В2М, т
3(и):= ^(х£(Т)) + / ||и(г)||2 ^ ^ шт,
г е [0,Т], ||и|| ^ 1, хе(0) = х0, уе(0) = у0,
:1.1)
где х£ е Кга , у£ е , и е ; Лц , Вг, г, ] = 1, 2 — постоянные матрицы соответствующей размерности, а <^(-) — непрерывно дифференцируемая на Кга строго выпуклая и кофинитная функция в смысле выпуклого анализа [15, § 13].
При каждом фиксированном е > 0 управляемая система из (1.1) имеет вид:
¿£ = А.£^£ + Д^И,
где
^(0) = г0
х£(г)
Уе(*)
г0 :=
х
у0
А
е
Л11 -1 л.
21 е
Л12 -1Л
22
вЕ
е
В1
-1В
Отметим, что в рассматриваемом критерии качества 3 первое слагаемое можно интерпретировать как штраф за ошибку управления в конечный момент времени Т, а второе — как учет энергозатрат на реализацию управления.
Определение 1.1. Мы будем говорить, что пара матриц (A, B) вполне управляема, если вполне управляема система xX = Ax + Bu.
Условие 1.1. При всех достаточно малых е > 0 пара (A£, B£) вполне управляема, т. е. rank(B£, £B£,..., An+m-1B£) = n + m.
Условие 1.2. Все собственные значения матрицы A22 имеют отрицательные вещественные части.
Таким образом, из условия 1.2 следует невырожденность матрицы A22.
Определение 1.2. Вырожденной задачей для задачи (1.1) называется задача
Xо = A0x0 + B0u, t G [0,T], x0(0) = x0, ||u|| ^ 1,
T
J0(u):= )) + / ||u(t)||2 dt ^ min,
0
где A0 := An - Ai2A-21A2i, B0 := Bi - A^A-^.
Условие 1.3. Пары (A0,B0) и (A22,B2 ) вполне управляемы.
Отметим, что выполнение условий 1.2 и 1.3 влечет выполнение условия 1.1 при всех достаточно малых е > 0 [4, Theorem 1]. Таким образом, условия 1.2 и 1.3 являются достаточными условиями вполне управляемости двух систем: Х0 = A0x0 + B0u и y£ = A22y£ + B2u при всех достаточно малых е.
Основная задача, которая ставится для (1.1), состоит в нахождении полного асимптотического разложения по степеням малого параметра е оптимального управления u , оптимального значения функционала качества J£ и оптимального процесса (xx£(t), y£(t))
2. Асимптотика матричной экспоненты и основные соотношения
Рассматривая eAst как фундаментальную матрицу W(t, е) решения системы в задаче (1.1) в случае u£ = 0 и следуя методу пограничных функций [14], при выполнении условия 1.2 получаем
^ / \ t eAst__лли-1- - . V^ \ 1
: W(t,-) - Y £k (Wk(t)+ >Wfc(t)) , t := -, (2.1) k=0
w (t) : ( Wn,k (t) Wi2,k(t) N ^ (t) : ( WWu,k (t) y^12,k(t) N (2 2)
Wk(t) W11^(t) W22,k(t)) , >Vk(T) W^.Jfe(t) WW22,k(t)) • (2.2)
Здесь Wk(t), Wk(t) — бесконечно дифференцируемые матричнозначные функции, которые могут быть получены из решения системы
!W (t,-) = AW (t,£), (23)
W (0, -) = I, .
где для блоков (¿,е) матрицы Н(¿,е) получаем асимптотические разложения, равномерные на [0,Т] при каждом фиксированном к ^ 0. Через I обозначаем тождественное отображение в соответствующем пространстве.
Непосредственным вычислением получаем начальные приближения при к = 0 :
Ни,о(*) = еАоЬ, Ж1,о(т) = 0; ^12,с(*) = 0, Й^Дт) = 0;
(2.4)
^21,о(*) = -¿-М^, У^21,о(т) = еА22Т А-21А21; Н^) = 0, "22,о(т) = еА22Т.
Здесь и далее, О — нулевая матрица. При к ^ 1 и з = 1, 2 с помощью рекуррентных формул
те
(т) = - / (а11н1м-1« + А, (2,)
ь
(*) = -еАоЬЖ^ (0) + 1 в^^А^А- ^ ("¿к-^)) (2.6)
О
"¿к(*) = -А-2^А21^и-,к(*) - ^ ("¿к-^))) , (2.7)
Т
(т) = -еА22Т (0) + 1 е^^^У^к (в)^ (2.8)
о
находятся блоки-функции матриц (2.2). Таким образом, можно найти разложение матричной экспоненты (2.1) через матрицы-функции (2.2), элементы которых вычисляются с помощью начальных приближений (2.4), рекуррентных формул (2.5), (2.6), (2.7), (2.8) и дополнительных условий на матрицы Д£, Бе . Используя приведенные выше формулы, выпишем в явном виде матрицы-функции Н12д(£) , "12,1 (т) , которые понадобятся в дальнейшем:
"12Д(£) = -еАоЬА12А-21, ж2д(т) = А12А-21еА22Т.
Утверждение 2.1. Существует 7 > 0 такое, что
V к ^ 0 Vг, 3 е {1, 2} 3 С^-к > 0 Vт ^ 0 ||У^,к(т)|| ^ С^.к • е-7Т. (2.9)
Доказательство. Методом математической индукции по к ^ 0 покажем, что для некоторого 71 > 0 выполнено соотношение
Vг,з е {1, 2} 3 Рг,кк(т) Vт ^ 0 ||У^,к(т)|| ^ Рг],к(т) • е-^Т, (2.10)
где Р^(т) — некоторые многочлены с неотрицательными коэффициентами. Из (2.10) будет следовать (2.9) с 7 = 71/2 .
Отметим, что при выполнении условия 1.2 существует К > 0 такое, что
Vт ^ 0 ||еА22Т|| ^ Ке-71Т,
где 71 = — 2 шах{Ре(Л) : Л — собственное число матрицы А22} > 0 (см. например, [13, п. 8.5]).
База индукции очевидна ввиду явного вида (2.4) функции УУ^-Дт). Пусть для к справедливо предложение индукции. Докажем, что оценка (2.10) справедлива и при к + 1.
Для матрицы в силу (2.5) имеем
Н^№1(т)|| ^ / ||Лп|| ■ ||Иу,*(в)|| + ||А12| ■ (в)|| Ж
(|Ац| ■ Р11,к(в) ■ в-71* + ||А12П ■ Р21,к
Т
Определим Р(в) := ||АП|| ■ Рп,к(в) + ||А12|| ■ Р21,к(в) все коэффициенты которого, очевидно, неотрицательны. Применяя к последнему интегралу формулу интегрирования по частям к раз (у — степень многочлена Р(в)):
||Ж^+1(т)|| ^ ■ ^е-71*Р(в)
получим необходимую оценку. В силу (2.8)
+ е-71*Р'(в)^ I ^ ... ^ ||Р(т)|| ■ е-71 Т ^ е-7Т,
||>Й2,-,к+1(т)|| ^ е-71ТР21,к(т) + у е-71(Т-5) ■ Р21,к(5)е-71^
с
Т
^ е-7ТР21,к(т) + е-7Т ■ I Р21,к(в)^ ^ Р(т)е-7Т.
с
□
Отметим, что в силу утверждения 2.1 при всех к , г, ] и £ Е [ер,Т] , р € (0,1)
(£/е)|| = О, (2.11)
т. е. величина ||УУ^^ к(£/е)|| есть асимптотический ноль относительно асимптотической последовательности по степеням е .
оо
ОО п
Т
При выполнении условия 1.1, принцип максимума Понтрягина есть необходимое и достаточное условие оптимальности, которое дает единственное решение задачи (1.1) [2, п. 3.5, теорема 14]. Тогда, как доказано в [8, Утверждение 1 и формулы (2.4), (2.5)] оптимальное управление и£(г) в задаче (1.1) имеет вид:
и(Т - г) =
С ОД
s (истцу
S (£)
где
С (г) :=
, , , Ац А12
ехр ( г ( _1
Т А21 £ А22
2, 0 ^ £ ^ 2, е, е> 2,
В1
£-1В2
(2.12)
= ^ц (г, £)В1 + £-1Ж2(г, £)В2. (2.13)
Здесь [•]1 обозначает первые п строк соответствующей матрицы. Вектор /£ есть единственное (с учетом кофинитности функции ^ — [15, Теорема 26.6]) решение уравнения
т
0 = -Ур*Н)+ ^11(Т,£)х0 + ^12(Т,£)У0 + 1 ^ (2.14)
0 £
Здесь и далее С*(г) — сопряженная матрица к матрице С£(г). Тоже самое мы будем говорить про другие сопряженные матрицы при наличии над ними соответствующего обозначения.
Поскольку Це^Ц ^ К при г € [0,Т], то Ц 1 Ц = 0(£-1). Поэтому справед-
ливо следующее утверждение.
Утверждение 2.2. Пусть I £ — вектор, определяющий оптимальное управление, причем 1£определяется как
Ц/£ - /£,М Ц = 0(£^+1).
Тогда на отрезке [0,Т] выполнено
Ц«£ - Ц = 0(£М),
где и£ — оптимальное управление, а и£^ управление, определяемое по формуле (2.12) вектором 1£.
В [8, Теорема 1] показано, что при выполнении условий 1.2 и 1.3:
¿£ ^ /о при £ ^ +0, (2.15)
где /о — единственное решение уравнения
0= еАоТх0 + } СЦССШ* Со(г) := еАо*во- (2.16)
00
Здесь — функция, сопряженная к ^ в смысле выпуклого анализа (см. [15, § 12].
В силу (2.11) матриц-функции (Т/е, е) при всех г, ] = 1, 2 есть асимптотический ноль.
Отметим, что в силу аналитичности и вполне управляемости, у матрицы-функции С£(Г) существует лишь конечное число точек ¿¿,£ таких, что при малых е > 0
||Ст|| = 2. (2.17)
Оптимальное управление в силу (2.12) определяется одной из двух формул
СШ ли6о (2.18)
2 ' исиу 1 '
При этом интеграл из (2.14) разбивается на интегралы вида
/ либо / ^*
по соответствующим отрезкам.
Определение 2.1. Точки ¿¿,£ — решения уравнения (2.17) будем называть точками смены вида оптимального управления.
Таким образом, найдя асимптотику вектора /£, можно будет, используя асимптотическое разложение (2.1), найти асимптотику и точек ¿¿,£ , и оптимального управления. Следовательно, необходимо и важно исследовать решения уравнения (2.17).
Для дальнейшего нам потребуются асимптотические разложения С£(Г) до порядка 0(е2) и |Се(£) до порядка О(е). В силу (2.3) и (2.13)
Се(£) = С0(£) + А12А-21еА22ТВ + М(е,£,т) + 0(е2), е ^ 0, (2.19)
где
М(е,Г,т) := е (Ипд({) + А^е^А-^) В + е (и^) + ЙМт)) В2, (2.20) д Н
-С£(Г) = -Ос(£) + е-1А12вА22Т В + А12вА22Т А^В дг ас
+ (АцА^А-^227" + А12>Й22,1(т)) В + О(е), е ^ 0. (2.21)
Из формул (2.20), (2.21) следует, что при £ € [^/ё, Т]
д Н
Се(Г) = СС(Г) + О(е), жСе(£) = + О(е), е ^ 0,
дг аг
а при £ € [0, ^/е] переходя от функции С£(Г) к функции СЦт) := С£(ет) , т € [0,1/^/ё]
д
Се(т) = Вс + А^А-^22ТВ + О(е), ^<ке(т) = ¿12еА22ТВ + О(е), е ^ 0.
дт
Таким образом, можно ожидать, что решения уравнения (2.17) при £ Е [^/е, Т] находятся вблизи решений уравнения ||С0(£)/о|| = 2 , т. е. вблизи точек смены вида управления в вырожденной задаче, а при т Е [0,1/^е] — вблизи решений уравнения
||ф * (т )1о|| =2, где ф * (т ):= Б* + £2* (^Г^ (2.22)
Аналогично [9, Теорема 1] доказывается следующая
Теорема 2.1. Пусть 1£ ^/0, {¿гЦ С [^/е, Т] — все решения уравнения ||С,*(£)/0|| = 2, а {т,}1 С [0,1/^/ё] — все решения уравнения (2.22), и выполнены условия
d
Jt к да» в2
2/В*2^/о, ^A*^/0) =0, при i = 1,... ,p,
t=ti
dT 11^ (т )/о В2
= 2^ (B* + B*2(A22)-1A12)/»,B2eA22Tj A^/») = 0, при j = 1,..., q.
Тогда существует £0 > 0 такое, что для любого £ Е (0,£0) существуют {tj,£}p С [^/£, T] и {j}1 С [0,1/V£ точки смены вида оптимального управления в задаче (1.1) . Других точек смены вида управления нет, и при всех i = 1,... ,p, j = 1,..., q справедливо
ti,s ^ ti, j ^ Tj, £ ^ 0.
Определение 2.2. Решения уравнений ||C2(t)/01| =2 и (2.22), удовлетворяющие условиям теоремы 2.1, будем называть регулярными.
Наконец, отметим, что при нахождении асимптотических разложений интегралов от функций вида (2.18) по £ > 0 и малым компонентам вектора (/£ — /0) подынтегральные выражения будут раскладываться в слагаемые с разномасштабными коэффициентами f (t)g(t/£). При этом такие слагаемые играют роль лишь тогда, когда нижний предел интегрирования имеет порядок О(ё). Если оба предела имеют порядок О(ё) , то после замены t = £т получаются интегралы от f (ёт)д(т). Но £т мало, поэтому f (ёт) раскладывается в асимптотический ряд по (ёт) с помощью разложения Тейлора функции f в точке t = 0 .В оставшемся случае асимптотика соответствующего интеграла находится следующим образом:
Утверждение 2.3. Пусть f Е C[0,T] — бесконечно дифференцируемая в нуле функция, а непрерывная на [0, функция д(т) удовлетворяет неравенству (2.9) .
Тогда для любых т, t Е R
t +00
„ 00 „ 00
f(t)g(t/£) dt = £j>fcf(fc)(0) / rfcg(r)dr, где f (t) = £ f (k)(0)tk
f(k)(0W тkg k=o i k=o
Доказательство. Сделав в интеграле замену переменной т := t/e , получим
t t/e
if (t)g(t/e) dt = e / f (ет )д(т )dT = ei f (ет )д(т )dT + O
VV- , n \ N
ё E f (°)(£r)fc + O(MN+1 Я g(r)dr = e Yek/(ü) / Tk g(T)dT + o(i(N+1)/2)
I _k
k=o / k=0
T
N /
ё . Í / _k
Eek/(°) И tkg(r)dr + öl + o(e(N+1)/2).
k=0
T
□
3. Асимптотическое разложение вектора /£
Пусть для вырожденной задачи и начального состояния системы хс существует единственный момент времени £ = Гс Е (0,Т) такой, что:
Vt < to ||CQ(t)Zoy > 2, ||Cq*(ío)Zo|| = 2, Vt>to ||C0*(t)/o| < 2, |||C0*(t)/o|
= ü. (3Л)
'='o
Например, если матрица системы Д£ и матрица управления B£ имеют вид
A- = ( O -Л ) ■ * = ( A ) . а< ü,
а ||/o || > 2 и eaT ■ ||/o || < 2 , то условие (3.1) выполняется, т.к. || Cq (t)l o || = ea' ■ ||/o || . Как известно из [9], в этом случае интеграл в (2.16) разбивается на два интеграла
T Co(t)C(t)i 'f Co(t)c;(t)¡ + 1 TC
J So ||c0,(t)i|)dt = у ТоЖГdt + Co(t)C>(t)/ Л
'0
Отметим, что в силу сходимости (2.15) и асимптотической формулы (2.19) при всех t Е [^/ё, T] величина ||CQ(t)/e|| близка к ||CQ(t)/o|| при всех достаточно малых e> ° . Потребуем выполнения условия
V/- ^ /o 3eo > ü Ve Е (ü,eo) Vt Е [ü, Ve] ||CQ(t)/-|| > 2. (3.2)
Утверждение 3.1. Если выполнены условия
Vt ^ ü *(t)/o|| = 2, (3.3)
*(ü)/o|| = ||BQ/o|| > 2, (3.4)
то выполнено и условие (3.2) .
Доказательство данного утверждения почти дословно повторяет доказательство из [9]. □ Таким образом, при выполнении условий (3.1) и (3.2) в силу теоремы 2.1 у исходной задачи (1.1) при малых е > 0 тоже лишь одна точка смены вида оптимального управления ¿£ , т. е.
V* < и ||С£ОДII > 2, ||С£(*е)/еII = 2, V* > и ||С£ОДII < 2.
При этом ¿£ ^ ¿0 при е ^ 0 .
Однако, существуют такие матрицы Л£ и Б£ , что хотя у вырожденной задачи имеется лишь одна точка смены вида оптимального управления ¿0 , у исходной задачи таких точек больше, за счет смены вида оптимального управления в точках отрезка [0, ^/е]. Например, рассмотрим матрицы Л£ и Б £ следующего вида
А = ' -е-1/ -е-1/ ) , Б = ( е-1/
Тогда Со ОД = 0.5e /q , ||ф* (т
/0 || . Поэтому, если 4 < ||/01| < 4e
т
= 0.5 - e-T
то у исходной задачи в силу теоремы 2.1 будут три точки смены вида оптимального управления, причем две их них лежат на [0, -^е] . Рассмотрим подробнее такой случай.
Условие 3.1. Пусть ¿i = en , ¿2 = ет2 , где ti , т2 — все решения уравнения (2.22), а ¿о единственное решение уравнения 11С*(¿)/01| = 2 , эти решения регулярны и выполнены условия (3.2), (3.4). Значит, условие (3.3) нарушается.
Таким образом, в рассматриваемом случае в силу теоремы 2.1 имеются ровно три
точки смены вида оптимального управления ¿i,£ = eTi,£ , ¿2,£ = ет2,£ и ¿0,£ , причем
T
Ti,£ ^ Ti, т2,£ ^ т2 и ¿0,£ ^ ¿0 при е ^ 0, а интеграл f ^[ССед) dt разбивается в сумму четырех интегралов 0
т С(¿)С*(¿)/ = / С(¿)С*Wdt +1 (t)C*(t)/dt
J s(||C*(¿)/||)dt = J ||C£*(t)/| dt + 2/ C(t)C*(t)/dt 0 0
Î0,£ т
+ / +1/ С(t)C*(t)/dt. (3.5)
Î2,£ Î0,£
Пусть Д/£ := /£ - /о , At£ := ¿о,£ - ¿о , ¿м := етм, Ati,£ := Ti,£ - Ti, ¿2,£ := ет2,£, At2,£ := T2,£ - T2. Тогда
Д/£ = o(1), At£ = o(1), Ati,£ = o(1), At2,£ = o(1) при e ^ 0, (3.6)
и в силу формул (2.14), (2.16) и теоремы 2.1 величины A/e, Ati,£, At2,£ и Ate, являются решением следующей системы уравнений, зависящей от параметра е > 0 :
' 0 = F(е, Al, At, An, Дт2) := -Vp *(-/) + V^ *(-/°) + еЖм(Т,е)ж° + eWi2,i(T,е)у°
e(ri+Ari) е(г2+Аг2) io+Ai
+ r C(t)C*(t)/ +i r C (t) (t)/,. + + C(t)C*(t)/
+ У TÔwTdt + 2 У C(t)C (t)1dt + У IIC*(t)/|| dt
0 e(ri+Ari) е(г2+Аг2)
T io T
+ 2 / C(t)C*(t)/dt -J C°|C!(t0)(t)1dt - 2/Co(t)C°(t)/dt,
io+Ai 0 io
0 = Gi(e, Al, Ati) := IIC*(е(п + An))(/° + A1)|2 - 4, 0 = G2(e, A/, At2) := ||C*(е(т2 + AT2))(/° + A/)||2 - 4,
0 = Gs(e, A/, At) := ||Ce*(t° + At)(/° + A/)||2 - ||C0*(t°)/°||2.
(3.7)
Отметим, что функции F и G (при i = 1, 2, 3 ) непрерывны, а G — бесконечно дифференцируемы. Рассмотрим их асимптотические разложения относительно бесконечно малых A/, Ati, At2 и At.
В силу бесконечной дифференцируемости функции ^ * :
- У^ * (-/с - А/) + ^ * (-/с) - Р2^ * (-/с)А/ + ^ Фк (А/), (3.8)
к=2
где Р2^ *(-/с) — дифференциал второго порядка от ^ * в точке (-/с) , а Фк(А/) — однородные степени к известные функции (многочлены от компонент вектора А/). Каждый из интегралов в (3.5), зависящий от е , разобьем на части:
£Т1 £(Т1+ДТ1)
11 :=/+ / := ^1,1 (е, А/) + /1,2 (е, А/, Ат1),
0 Т1
£ Т1 £Т2 £(Т1+АТ2)
/2 := I +У+ I := /2,1 (е, А/, Ат1) + /2,2 (е, А/) + /2,3 (е, А/, Ат2),
£(Т1 +АТ1) £Т1 £Т2
£Т2 ¿0 ¿1+А4
/з := I + /+/ := /з,1 (е, А/, Ат2) + /3,2 (е, А/) + /3,3 (е, А/, А£),
£(Т2 +АТ2) £Т2 ¿0
¿0 Т
/4 :=/+/:= /4,1 (е, А/, АГ) + /4,2 (е, А/).
¿0+А4 ¿0
Отметим, что для разложения интегралов /1,2 , /2,1 , /2,3 , /3,1 , /3,3 и /4,1 надо (для интегралов /1,2 , /2,1 , /2,3 и /3,1 — после замены переменной Г = ет)) разложить коэффициенты, зависящие от времени, в ряды Тейлора в окрестности точек 7*1, т2 и Гс , соответственно. При этом, в силу ограниченности подынтегральных выражений /1 = О(е)
и /2 = О(е) , а в силу утверждения 2.3 в асимптотическом разложении все слагаемые с множителями, зависящими от ¿/е , тоже будут иметь порядок О(е) при е ^ 0.
Наконец, в силу того, что слагаемое первого порядка малости по Д* в /33 равно
Со(*о)Со (¿сО^о д ,
нок^/он '
а в /4,1 равно
Со (*о )С;(*о )1о д, 2 '
и || Сц (¿о)/о || = 2 , то в разложении суммы /3 3 + /41 слагаемых первого порядка малости по Д* не будет.
Обозначим линейную часть по Д/ функции ^ как Т(Д/). В силу (3.8) непосредственным вычислением получаем первое приближение функции ^(е, Д/, Д*, Дт1, Дт2) при стремлении ее аргументов к нулю
^ (е, Д/, Дт1, Дт2, Д*) = В2^*(-/о )Д/
¿о
+УСо «Сш3 (3 9)
о (3.9)
т
+ у Со(,)Со(,)Д/^, + е/1 + ^(е, Д/, Д*, Дть Дт2) =:
¿о
Т (Д/) + е/1 + ^(е, Д/, Д*, Дп, Дт2),
где
/1 = ЖМ(Т )хо + ^12,1(Т )уо
+ ? (Во + А^А-У22"В2) (в; + В2е^(А--1)'А^) /о ^
У || (в; + В2еА22т(А-21)'А12) /о|| Т
о
Т2
+ (Во + А12А-21 еА22Т В2) (в; + В'еА22т (А-1)' ¿у /о ¿т
Т1
+ 7 (Во + А^А-У22"В2) (В; + В2'еА22Т(А-1)^) /о У || (В; + В2еА22т(А-1)^) /о|| ^
*2(е, Д/, Д*, Дт1, Дт2) = о(е2 + ||Д/||2 + (Д*)2 + (ДТ1)2 + (ДТ2)2).
Аналогично для функций G¿ получим
Gi(e, А/, Ап) = 2(^ * (п)/о,^ * (п)А/ + B2* A12An/o + eB * Wí1>1(0),/o>
+2(^ * (Ti)/o,eB* A2i(A-21)* eA-T1 (A-1)* A^/o> + G^ (e, А/, An), G2(e, А/, At2) = 2(^ * (т2)/о,^ * ЫА/ + B2* eA22T2 A 1 2At2/o + eB * W1*1>1(0),/o>
+2(^ * (т2)/о,еВ* A21(A221)* eA-T2 (A"1)* A^o> + G2,2 (e, А/, At,), (3Л0)
d
Gs(e, А/, At) = 2(G*(to)/o,G*(to)A/ + -G*(to)/oAt>
+2(G* (to)/o ,eB1 W1*1>1(ío)+ eB* W^M + Gs,2(e, А/, At),
где
G1,2 (e, А/, AT1) = O (e2 + || A/||2 + ,
G2,2 (e, А/, At2) = O (e2 + || A/||2 + (АГ2)2),
Gs,2(e, А/, At) = O (e2 + || А/1|2 + (At)2).
В силу (3.9) и (3.10) система первого приближения для (3.7) распадается на четыре уравнения, используя линейную часть по Д/ функций G¿ как Gi(A/) при i = 1, 2, 3 :
' F(А/1) = -e/1,
G1(A/1, Атм):=2(^ * (n)/o,^ * (T1)A/1> + 2Атм(^ * (п)^* eA-T1 A12/o> = egM, < G2(A/1, АТ2,1):=2(^ * (T2)/o,^ * (T2)A/1> + 2АТ2,1(^ * (T2)/o,B2 eA-T2 A^/o> = eg2,1,
d
Gs(A/1, At1):=2(C*(to)/o,C0*(to)A/1> + 2А^(С*(to)A*/o,^G*(to)/o> = egs,1,
(3.11)
где gi,1 , i = 1, 2, 3 — известные величины (см. (3.10)).
В силу условий на функцию ^ линейный оператор D2^ *(—/o) положительный, а в силу неравенства Коши-Буняковского остальные слагаемые в определении линейного оператора F неотрицательны. Поэтому F > 0 и, тем самым, из первого уравнения в (3.11) однозначно находится А/1 = eF-1(-/1) =: e/1.
Поскольку в силу (3.1) при j = 1, 2 : (^ *(rj)/o, B|eA22Tj A12/o> = 0, то из второго и третьего уравнений в (3.11) по А/1 однозначно находятся Ат1;1 = er1, Ат2;1 = er2.
Поскольку в силу (3.1) (G*(to)/o, G*(to)Ao/o> = 0, то из четвертого уравнения в (3.11) по А/1 однозначно определяется At1 = et1.
Далее процесс нахождения следующих членов разложения А/, Ат1, Ат2 и At продолжается стандартным образом.
Пусть найдены приближения А/, Дт1 , Дт2 и At до N -го порядка. Тогда величины
N N
Д/^+1 := Д/е - Е ек/ь Дтl,N+1 := Дтм - Е ект^,
N N
Дт2^+1 := Дт2,е - Е екТ2,к, ДÍN+1 := Д*е - Е ек¿к, к=1 к=1
по построению удовлетворяют соотношениям
' Т(Д/N+l) = О(е^) + 0(е|К+1||) + 0(К+1||2), £1(Д^+ъ Дтl,N+l) = 0(е^) + 0(е|К+1||) + 0(К+1||2), &(Д^+1, Дт2,N+l) = 0(е^) + 0(е|К+1||) + 0(|Ь+1||2), ^ £з(Д^+1,= 0(е^) + 0(е|К+1||) + 0(К+1||2)' где ^+1 := (Д/N+1,Дт;^+1, Дт2^+1, ^+0 .
В силу непрерывной обратимости оператора (Т£2, £;) из (3.13) получим
(3.12)
(3.13)
^+1 = О(е^) + 0(е|Ь+1||) + 0(|Ь+1||2). (3.14)
Из соотношений (3.6), (3.12), (3.14) на основании [9, Утверждение 2] следует, что ^+1 = +1) . Тем самым, доказана следующая теорема.
Теорема 3.1. Пусть выполнены условия 1.2, 1.3, 3.1 и предположение (3.1). Тогда вектор /£ и моменты времени ¿¿,£ , г = 0,1, 2 раскладываются в степенные асимптотические ряды
оо
= /0 + е¿k, ¿о,£ = ¿о + е¿k, ¿1,£ := ет1,£ = ет1 + е^екT1,k, k=1 k=1 k=1
оо
¿2,е := ет2,£ = ет2 + е еКТ2,к, е ^ 0,
к=1
коэффициенты которых находятся рекуррентным образом.
При выполнении условия (3.1) возможен случай, когда на [0, -у/е] для исходной задачи "появляется" одна точка смены вида оптимального управления. Например, если
-1 M B =( °
О -е-1/ ) , B I е-1/
то Ао = -/, Во = /, Со(t) = e-t, ||Cq(t)/o|| = e-i|/o||, Ф*(т) (2=2) (1 —e-t)/, ||^(т)/о|| = ||(1 — e-t)|| ■ ||/о|| и ||ф(0)/о|| = 0. Поэтому, если ||/о|| > 2 и eT||/о|| < 2, то на отрезке [0, ^/е] существует единственный корень т1 = ln ц^-2 уравнения (2.22). Рассмотрим подробнее такой случай.
Условие 3.2. Пусть = ет1 , где т^ — все решения уравнения (2.22), а Гс — единственное решение уравнения ||С*(¿)/с У = 2 , эти решения регулярны и выполнены условия (3.2), (3.4). Значит, условие (3.3) нарушается.
Таким образом, в рассматриваемом случае в силу теоремы 2.1 имеются ровно две точки смены вида оптимального управления Г1,£ = ет1,£ и Гс,£ , причем т1,£ ^ т1 и
т
to,e ^ to при е ^ 0 , а интеграл f ^(ССад) dt разбивается в сумму трех интегралов
T tl £ to £ T
JT^Üdt Ч /C MCI W<* + / Cj^* + i Jce
0 0 tl,£ to,£
В этом случае в аналоге системы (3.7) будет три уравнения, а линейный оператор F будет строго положительным и иметь вид
JT
F(A1) = DV (-Zo)AZ + Co(t)C0: (t)Aldt +
to
to
+ Г c (t) Co:(t)A/|Co:(t)loll2 - (CQ(t)Al, CQ(t^CQ(t)lodt
+ JCo(t) iiCm? dt
0
и справедлива следующая теорема.
Теорема 3.2. Пусть выполнены условия 1.2, 1.3, 3.2 и предположение (3.1) . Тогда вектор /е и момент,ы времени tj,e, i = 0,1 раскладываются в степенные асимптотические ряды
тете те
le = lo + Е ek 1fc, to,e = to + ^ ektfc, ti,e = eTi,e = eTi + Tl,fc,
fc=1 fc=1 fc=1
коэффициенты которых находятся рекуррентным образом. В общем случае справедлива итоговая теорема.
Теорема 3.3. Пусть выполнены условия 1.2, 1.3 и условия теоремы 2.1 . Тогда вектор /е и ,мо.мент,ы времени {t1,e, t2,e,..., tp,e} , {eri,e, ет2,е,..., eTq,e} раскладываются в степенные асимптотические ряды
тете 1 as 7 \ ^ k i . as . \ ^ -1
le = lo + е Ifc, ti,e = ti + e tj,fc, при i = 1,...,p, fc=1 fc=1 те
eTj,e = eTj + e e Tj,k, при j = 1,..., q, e ^ 0, fc=1
коэффициенты которых находятся рекуррентным образом.
Список литературы
[1] А. Б. Васильева, М.Г. Дмитриев, "Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления", Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал., 20 (1982), 3-77.
[2] Э.Б. Ли, Л. Маркус, Основы теории оптимального управления, Наука, М., 1972.
[3] А. Дончев, Системы оптимального управления: Возмущения, приближения и анализ чувствительности, Мир, М., 1987.
[4] P. V. Kokotovic, A. H. Haddad, "Controllability and time-optimal control of systems with slow and fast models", IEEE Trans. Automat. Control., 20:1 (1975), 111-113.
[5] А. Р. Данилин, О. О. Коврижных, "О задаче управления точкой малой массы в среде без сопротивления", Докл. РАН, 451:6 (2013), 612-614.
[6] А. Р. Данилин, Ю. В. Парышева, "Асимптотика оптимального значения функционала качества в линейной задаче оптимального управления в регулярном случае", Тр. ИММ УрО РАН, 13:2 (2007), 55-65.
[7] А. И. Калинин, К. В. Семенов, "Асимптотический метод оптимизации линейных сингулярно возмущенных систем с многомерными управлениями", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 44:3 (2004), 432-443.
[8] А. А. Шабуров, "Асимптотическое разложение решения одной сингулярно возмущенной задачи оптимального управления в пространстве Rn с интегральным выпуклым критерием качества", Тр. ИММ УрО РАН, 23:2 (2017), 303-310.
[9] А. А. Шабуров, "Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества, терминальная часть которого зависит только от медленных переменных", Тр. ИММ УрО РАН, 24:2 (2018), 280-289.
[10] Н.Н. Красовский, Теория управления движением. Линейные системы, Наука, М., 1968.
[11] Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко, Математическая теория оптимальных процессов, Физматгиз, М., 1961.
[12] А. М. Ильин, А. Р. Данилин, Асимптотические методы в анализе, Физматлит, М., 2009, 248 с.
[13] С. К. Годунов, Современные аспекты линейной алгебры, Научная книга, Новосибирск, 1997.
[14] А. Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений, Наука, М., 1973.
[15] Р. Рокафеллар, Выпуклый анализ, Мир, М., 1973.
References
[1] A. B. Vasil'eva, M. G. Dmitriev, "Singular perturbations in optimal control problems", J. Soviet Math., 34:3 (1986), 1579-1629.
[2] E. B. Lee, L. Markus, Foundations of optimal control theory, John Wiley and Sons, Inc., New York, London, Sydney, 1967 (In Russian).
[3] A. L. Dontchev, Perturbations, approximations and sensitivity analysis of optimal control systems, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokio, 1987.
[4] P. V. Kokotovic, A. H. Haddad, "Controllability and time-optimal control of systems with slow and fast models", IEEE Trans. Automat. Control., 20:1 (1975), 111-113.
[5] A.R. Danilin, O.O. Kovrizhnykh, "Time-optimal control of a small mass point without environmental resistance", Doklady Mathematics, 88:1 (2013), 465-467.
[6] A. R. Danilin, Yu. V. Parysheva, "The asymptotics of the optimal value of the performance functional in a linear optimal control problem in the regular case", Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 259:2 (2007), S83-S94.
[7] A. I. Kalinin, K. V. Semenov, "The asymptotic optimization method for linear singularly perturbed systems with the multidimensional control", Comput. Math. Math. Phys., 44:3 (2004), 407-417.
[8] A. A. Shaburov, "Asymptotic expansion of a solution of a singularly perturbed optimal control problem in the space Rn with an integral convex performance index", Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 23:2 (2017), 303-310 (In Russian).
[9] A. A. Shaburov, "Asymptotic expansion of a solution to a singularly perturbed optimal control problem with a convex integral performance index whose terminal part depends on slow variables only", Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 24:2 (2018), 280-289 (In Russian).
[10] N.N. Krasovskii, Theory of Motion Control. Linear Systems, Nauka, Moscow, 1968 (In Russian).
[11] L.S. Pontryagin, V. G. Boltyanskii, R. V. Gamkrelidze, E.F. Mishchenko, The Mathematical Theory of Optimal Processes, Interscience Publishers, John Wiley and Sons, Inc., New York, London, Sydney, 1962.
[12] A.M. Ilin, A.R. Danilin, Asymptotic Methods in Analysis, Fizmatlit, Moscow, 2009 (In Russian).
[13] S.K. Godynov, Modern Aspects of Linear Algebra, RIMIBE NSU, Novosibirsk, 1998.
[14] A.B. Vasilieva, V. F. Butuzov, Asymptotic Expansions of Solutions of Singularly Perturbed Equations, Nauka, Moskow, 1973 (In Russian).
[15] R. T. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton Univ. Press, Princeton, 1970.
Информация об авторе
Information about the author
Шабуров Александр Александрович,
аспирант, кафедра математического анализа института естественных наук и математики. Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б.Н. Ельцина, г. Екатеринбург, Российская Федерация. E-mail: [email protected]
Alexander A. Shaburov, Post-Graduate Student, Mathematical Analysis Department of the Institute of Natural Sciences and Mathematics. Ural Federal University named after the first President of Russia B.N. Yeltsin, Ekaterinburg, the Russian Federation. E-mail: [email protected]
ORCID: https://orcid.org/0000-0003-3174-9092
ORCID: https://orcid.org/0000-0003-3174-9092
Поступила в редакцию 17.01.2019 г. Поступила после рецензирования 11.02.2019 г. Принята к публикации 14.03.2019 г.
Received 17 January 2019 Reviewed 11 February 2019 Accepted for press 14 March 2019
