Стабилизация хаотической системы, описываемой уравнением Ван дер Поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

СТАБИЛИЗАЦИЯ ХАОТИЧЕСКОМ СИСТЕМЫ, ОПИСЫВАЕМОМ УРАВНЕНИЕМ ВАН ДЕР ПОЛЯ И.В. Амоскин, А.А. Блинников, А.А. Бобцов, Н.А. Николаев

В работе представлен подход к задаче стабилизации неопределенной хаотической системы, описываемой уравнением Ван дер Поля. Алгоритм управления использует измерения только выходной переменной системы, то есть без измерения ее производных или вектора состояния системы.

Введение

Проблема управления хаосом является областью интенсивных исследований последнего десятилетия. В настоящее время опубликовано множество работ, посвященных проблеме управления хаотическими системами, и выявлен целый ряд практических задач, где могут возникнуть хаотические режимы (см., например, обзоры [1? 2]). Теоретические и практические составляющие данной проблемы обусловлены тем, что колебательные и хаотические процессы часто встречаются в природе и технике. Формы их описания непрерывно развиваются и совершенствуются. Одним из классических примеров дифференциальных моделей, описывающих колебательные и хаотические процессы, является уравнение Ван дер Поля [3, 4].

В данной работе будет рассмотрена проблема управления хаосом на примере стабилизации хаотических процессов, возникающих в системе Ван дер Поля.

1. Постановка задачи

Рассмотрим нелинейный объект, описываемый уравнением Ван дер Поля

у-71(1 - у2)у + Г2у = Е8т(®0 + и , (1)

где 71 > 0, 72 > 0 .

Преобразуем модель (1) следующим образом

У = Ъ^ + ад^(у) + /М^), (2)

а(р) а(р) а(р)

где р = ё/ & - оператор дифференцирования; Ъ(р) = 1; а(р) = р2 - 71 р + 72 - неустойчивый полином ( 71 > 0 и 72 > 0 ); ё(р) = ё1 р, ё1 = -1/3 ; /(р) = 1; относительная степень передаточной функции Ъ(р)/а(р) р = п - т = 2; коэффициенты 71 и 72 предполагается неизвестным; м>($) = Е Sm(at) - неизвестное ограниченное возмущение; функция

(Р(У) = У3.

Цель управления - используя только измерения выходной переменной модели (2), найти закон управления, обеспечивающий сходимость выходной траектории нелинейной системы в некоторую область е0, границы которой могут быть уменьшены за счет соответствующего выбора коэффициентов регулятора.

2. Синтез алгоритма управления

Выберем закон управления вида

и = -х( р)(л + к )£, (3)

где коэффициент / (принимает в общем случае достаточно большое значение) и полином х(р) выбираются таким образом, чтобы полином у(р) = а(р) + /ЛЪ(р)х(р) был гурвицевым; функция £ формируется алгоритмом оценки вида

£ = °(у-£), (4)

где функция V = у + у5, а параметр к и функция а выбираются в соответствии с требованиями, представленными ниже.

Подставляя (3) в уравнение (2), получаем

у = ^4 [-Х(Р)(М + к )У + Х(Р)(М + к )п] + 44 ср(у) + 44 ^), (5)

а(р) а( р) а( р)

где п = v — £ - функция отклонения (невязка).

Проводя несложные преобразования, для модели (5) имеем

а(р)у + /х(р)Ь(р) У = Ь(р)Х(р)[(/+к )П- кУ - (/ + к) У5 ] + ^ (Р)^(У) + / (РМ*),

Принимая обозначения у(р) = а(р) + /и%(р)Ь(р) и в(р) = х(р)Ь(р), получаем

У = 44 [-ку - (/ + к)у5 + (/ + к)п + *(I)] + 44 <Р(У) , (6)

7(р) У( р)

р { \

где функция * ^) =-*(1) является гладкой и ограниченной, в силу вида функции

в( р)

*(г).

Представим модель вход-выход (6) в виде модели вход-состояние-выход

х = Ах + Ь(-ку - (/ + к)у5 + (/ + к)п + *(0) + Чф(у), У = сТх, (7)

где х е Я2 - вектор переменных состояния модели (7); А , Ь , ц и с - соответствующие матрицы перехода от модели вход-выход (6) к модели вход-состояние-выход (7), причем в силу гурвицевости полинома у(р) и строгой минимальной фазовости модели (6), а также следствия 3 из статьи [5] можно указать симметрическую положительно определенную матрицу Р, удовлетворяющую двум следующим матричным уравнениям:

АТР + РА = -д1, РЬ = с, (8)

где Q1 = > 0, значения матрицы Q1 зависят от параметра / и не зависят от параметра к .

Рассмотрим производную от функции отклонений п

П = т> -а^-£) = у + 5у 4у -ап = -ап + Цу, (9)

где О = 1 + 5у4.

Cформулируем теорему, в которой будут указаны условия на расчет параметра к и функции а , обеспечивающих выполнение цели управления.

Теорема. Существует параметр к и функция а такие, что все траектории системы (7), (9) могут быть сведены в любую малую область за счет увеличения параметра к.

Доказательство. Рассмотрим функцию Ляпунова следующего вида:

V = V + у2, (ю)

где

V1 = хТРх, (11)

V2 = П . (12)

Дифференцируя (11) по времени с учетом уравнений (7), получаем

V = хТ (АТР + РА)х + 2(/ + к)хТРЬп- 2кхТРЬу - 2(/ + к)хТРЬу5 +

+ 2 хгРЪ¥ + 2 xГPq^(y), (13)

Подставляя в (13) уравнения (8), а также принимая во внимание соотношения

- 2кхтРЪу = -2ку2, 2(л + к)хгРЪп = 2(л + к)уп< у2 + (л + к)У,

2хтРЪV = 2уV < ку 2 + -V 2, 2хтPqp(у) < 8хтPqqTРх + 8~1 [^(у)]2,

к

для производной от функции Ляпунова (11) получаем

V < хт (- 01 + SPqqгР)х - (к -1)у 2 + (л + к)У - 2(л + к)у5 + 8- [ср(у)]2 +1 V2, (14)

где малое число 8 > 0.

Дифференцируя (12) по времени с учетом уравнений (7), получаем

у2 = 2п(-ап + Оу) =-2агП + 20.грг Ах - 2Ю.гртЪу+2(/ + к)ОсгЪц2 + 2Оцсгдд)(у) -

- 2(л + к)Ог/сгЪу5 + 2пОсг Ъ¥, (15) где вместо составляющей у в уравнении (15) было использовано слагаемое

у = сг (Ах - кЪу - (л + к)Ъу5 + (л + к)Ъц + Ъ¥ + qg>(y)) . Принимая во внимание соотношения

2Ог/сгАх <8~1сгААгсО У +8хгх, - 2Ю.г/сгЪу < к2 (сгъ)2 О У + у2,

2Оr|cГqp(y) < к(сгq)2 ОУ + к_1[(у)]2, 2пОсгЪ¥ < к(сгЪ)2 ОУ + к"V2,

- 2(л + к)ОпсгЪу4у < (л + к)2 (сгЪ)2О2уУ + у2, для производной от функции (12) имеем:

У2 < -2ат]2 +8~1сг ААгсО У +8хгх + к2 (сгЪ )2 О У + у2 + 2(л + к )ОсгЪп2 +

+ к (cгq )2 О У + к - [(у)]2 + (л + к )2(сгЪ)2 О 2 у У + у 2 + + к (сгЪ)2 О У + к "V2. (16)

Тогда для производной от функции Ляпунова (10) получаем

V = V1 + V < х г (- + 8PqqгР + 81 )х - (к - 3)у 2 - 2(л + к)у 6 + 8"1 [(у)]2 + - V2 +

к

+ (-2а + (л + к )2 + 8~1с гААгсО2 + к2 (сгЪ )2 О2 + 2(л + к )ОсгЪ +

+ к(cгq)2О2 + (л + к)2(сгЪ)2О2у8 + к(сгЪ)2 О2)п2 + к-[^(у)]2 . (17)

Выберем число 8 > 0 таким образом, чтобы было выполнено неравенство

(- 01 +8PqqГP + 81) <-02, (18)

где 02 = 0г - положительно определенная матрица.

Выберем функцию а так, чтобы выполнялось соотношение

- 2а + (л + к )2 + 8~1сгААгсО2 + к2 (сгъ)2 О2 + 2(л + к )ОсгЪ +

+ к(cгq)2 О2 + (л + к)2(сгЪ)2 О2у8 + к(сгъ)2О2 <-Л, (19)

где число Л > 0 .

Тогда, учитывая ограничения, налагаемые на нелинейность, для производной от функции Ляпунова (10) получаем

V <-хг02х - Лп2 - (к - 3)у 2 - 2(л + к)у 6 + (8 + Ц ■ у 6 + 2 V2. (20)

Выбирая число к > 3 следующим образом

7 1 1 к> — + —, 5 к

получаем

V <-xTQ2х -Лп2 + 2^2

к

(21) (22)

Из неравенства (22), в силу ограниченности возмущения )| < *0 <<х, следует, что существует такое число к > 3, что траектории системы (7), (9) могут быть сведены в любую заданную область £0, что и требовалось доказать.

Рис. 1. Фазовый портрет (а) и переходный процесс (б) в системе (1) при у(0) = 0,1,

*{г) = о

Рис. 2. Фазовый портрет (а) и переходный процесс (б) в системе (1) при у(0) = 0,1,

= вт(0,5Г)

Рассмотрим результаты компьютерного моделирования системы Ван дер Поля. Сначала будем полагать, что = 0 и в системе (1) возникают установившиеся колебания (система обладает устойчивым предельным циклом). Далее при гармоническом возмущении ) обнаружим в системе (1) хаотические явления. И, наконец, на последнем этапе моделирования системы (1) с управлением (3), (4) обнаружим достижение заданной цели управления.

На рис. 1 и 2 приведены результаты компьютерного моделирования невозмущенной системы (1) при т1 = 0,5 , т2 = 2, = 0 и возмущенной системы (1) при т1 = 0,5 , т2 = 2,,) = Бт(0,5^) соответственно. Из результатов следует, что система (1) обладает устойчивым предельным циклом при отсутствии возмущающего воздействия (*(1) = 0), а при гармоническом возмущающем воздействии (*(1) = Бт(0,5^)) в ней появляются хаотические процессы. Для стабилизации системы (1) воспользуемся алгоритмом управления (3). Выберем полином х(р) = р +1, тогда

и = -(р +1)(/ + к)£ = -(/ + к)(% + О, (23)

где функция О формируется алгоритмом оценки (4).

Функция а выбирается, чтобы выполнялось соотношение (19), то есть

а = / + к)2 + (1 + 2к + к2 + / + к)2у4т-4 2 + 2(/ + к)О . (24)

Выберем параметр / = 2, и промоделируем систему управления для различных значений параметра к . Переходные процессы в замкнутой системе при ненулевых начальных условиях (у(0) = 0,1) для значений параметров к = 10, и к = 25 представлены на рис. 3.

Рисунок 3 -Переходные процессы в системе (1), (23), (24) при к = 10 (а), к = 25

(б), *Ц) = ьт(05)

Временные диаграммы иллюстрируют работоспособность предложенного в работе алгоритма управления и достижение заданной цели управления. Из временных диаграмм видно, что выходная траектория системы у(1) ограничена некоторой областью

е0, величина которой, в свою очередь, уменьшается с увеличением коэффициента к .

Заключение

В работе предложен алгоритм управления по выходу нелинейной хаотической системой, описываемой уравнением Ван дер Поля. Предложенный алгоритм управления, обеспечивает сходимость выходной траектории нелинейной системы в некоторую область е0, причем эта область может быть уменьшена за счет увеличения параметра регулятора к .

Литература

1. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Управление хаосом: методы и приложения. Часть

1. Методы // АиТ. 2003. №5.

2. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Управление хаосом: методы и приложения. Часть

2. Приложения // АиТ. 2004. №4.

3. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB5 и Scilab. СПб, 2001.

4. T. Gilbert and R.V. Gammon. Stable oscillations and devil's staircase in the Van der Pole oscillator // International journal of bifurcation and chaos. 2000. Vol.10. No. 1. P. 155164.

5. Бобцов А.А., Николаев Н.А. Синтез управления нелинейными системами с функциональными и параметрическими неопределенностями на основе теоремы Фрад-кова // АиТ. 2005. №1.