Алгоритм адаптации с астатизмом первого порядка для стабилизации линейного возмущенного нестационарного объекта Текст научной статьи по специальности «Математика»

АЛГОРИТМ АДАПТАЦИИ С АСТАТИЗМОМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ДЛЯ СТАБИЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНОГО ВОЗМУЩЕННОГО НЕСТАЦИОНАРНОГО ОБЪЕКТА

А.А. Бобцов, А.Г. Наговицина, В.О. Никифоров

Данная статья посвящена проблеме управления по выходу линейными нестационарными системами с неизвестными быстроизменяющимися параметрами. Предполагая, что объект управления подвержен влиянию внешнего неизвестного постоянного возмущения, представлен подход, обеспечивающий решение задачи стабилизации выходной переменной. Теоретические результаты проиллюстрированы на практическом примере.

1. Введение

Данная работа посвящена актуальной проблеме анализа и синтеза алгоритмов адаптивного управления неопределенными нестационарными линейными системами по выходу (т.е. без измерения производных выходной переменной или вектора переменных состояния). Среди результатов, посвященных управлению нестационарными системами, следует выделить работы известных отечественных и зарубежных ученых таких как: Андреев [1], Барабанов [2], Иоанну [3 - 5], Первозванский [6], Юркевич [7] и др. Несмотря на то, что проблема управления нестационарными системами является не новой и ей посвящено множество публикаций, следует отметить, что ряд актуальных задач все еще не имеет удовлетворительных решений. Следует отметить, что на сегодняшний день получен ряд интересных результатов для линейных систем, затрагивающих проблему управления в условиях медленного изменения параметров [6], периодического изменения параметров [1], а также для случая специальных структур матриц описания нестационарных моделей [8]. Однако особое место занимают задачи управления линейными нестационарными системами с неизвестными коэффициентами.

Среди методов управления в условиях неопределенности, как правило, преобладают алгоритмы, обеспечивающие заданное поведение системы для класса математических моделей определенной структуры. К таким подходам, в частности, можно отнести схемы адаптивного и робастного управления, позволяющие решать задачи стабилизации и слежения для нестационарных объектов, в которых неопределенность согласована с управляющим входом [9 - 11]. Также можно выделить работу, посвященную стабилизации нестационарных моделей более общей структуры [2]. Однако класс неопределенностей рассматриваемых в [2], ограничен случаем, когда матрица неопределенности по норме меньше единицы. Также существует ряд публикаций, посвященных разработке адаптивных регуляторов, результаты которых основаны на предположении, что параметры объекта медленно изменяются и действуют на систему как внешнее возмущение [3, 4, 12, 13]. Позднее, анализ моделей изменения параметров и наличие некоторой априорной информации об изменение параметров привели к разработке новых алгоритмов адаптации, позволяющих управлять системами с быстрыми изменениями параметров (см., например работы [14, 15, 4]). В статье [5] указанные проблемы были решены, с использованием итеративной процедуры синтеза закона управления. Однако процедура синтеза закона управления, предложенная в работе [5], отличается достаточной сложностью, а сам регулятор обладает высокой размерностью.

В данной статье будет рассмотрен подход, позволяющий решать задачу управления по выходу линейными нестационарными системами с неизвестными ограниченными параметрами. Также следует отметить, что данная схема управления позволяет синтезировать адаптивный регулятор фиксированной размерности, которая в свою очередь, не зависит от числа неизвестных параметров как в работе [5].

2. Постановка задачи

Рассмотрим линейную нестационарную систему

&= Fz + L(u + w) + 0(t)y, (1)

y = Rz, (2)

где z(t) e Rn - вектор переменных состояния модели (1), (2); F , L и R - неизвестные постоянные матрицы, соответственно n хn, n х1 и 1х n размерности; 0(t) e Rn - вектор неизвестных переменных параметров; y(t) e R - выходная переменная системы (1), (2); w e R - неизвестное постоянное возмущение.

Будем полагать, что измеряется только выходная переменная системы (1), (2), но не ее производные, вектор состояния z(t ) и возмущение w не измеряются, а параметры вектора d(t) eRn гладкие и ограниченные функции. Также будем допускать, что передаточная функция H(p) = R(pI - F)_1 L = p минимально фазовая, т.е. полином

a(P)

d

Ь(р) - гурвицев, р =--оператор дифференцирования.

Л

Целью управления является решение задачи синтеза регулятора, обеспечивающего для любых начальных условий стремление выходной переменной у(1) к нулю при I ^ ю.

3. Модельные преобразования и предварительные результаты

Запишем систему (1), (2) следующим образом

n

&= Fz + L(u + w) + ^ Di 0 i (t)y ,

i=1

y = Rz,

где векторы D1 =

(3)

(4)

T T "0"

0 0 0

0 , D1 = 0 , ..., Dn = 0

7 7 7

0 0 1

имеют размерность (n х 1); 01, 0

2'

0n - компоненты вектора неизвестных переменных параметров 0(t) =

01 0 2

0 n-1 0 „

Запишем модель вход-состояние-выход (3), (4) в виде вход-выход

b(P) . , , C1 (P)i a(P)

y = ^^ (u + w) + 01 (t)y + 02(t)y + ...

a(p)

a(p)

+ ЦЦ 0 n(t)y = + w) + 0 ,(t)y

a( p) a( p) i=1 a( p)

где р = — - оператор дифференцирования; передаточная функция &

С ( р ) _

—-= Я(р1 - Р; размерность полинома с(р) для всех I = 1,п строго меньше

а(р)

размерности полинома а(р); параметры вх, в2, ..., вп являются гладкими и ограниченными функциями.

Прежде, чем приступать к синтезу управления сформулируем вспомогательный результат, опубликованный в работе [16]. Рассмотрим линейную стационарную систему

& = А'х' + Б'и', (6)

У' = С 'х ', (7)

где х ' е Яп, у' е Я, и' е Я , а матрицы А', Б' и С имеют соответствующие размерности. Передаточная функция системы (6), (7) от и' к у' определяется выражением Х(р) = С'(р1 - А')"1 Б'.

Пусть система (8), (9) замкнута линейной обратной связью по выходу и' = -ку'. (8)

где число к > 0.

Поставим вопрос о существовании положительно определенной матрицы М = Мт и числа к , удовлетворяющих соотношениям

М(А' + кБ'С') + (А + кБ'С')тМ <-О, (9)

МБ' = (С )т (10)

для некоторой положительно определенной матрицы О = От .

Лемма. Пусть х(р) = Ь , где Ь'(р) = Ь'п-Хрп-1 +... + Ъ'0 и а'(р) = ап рп +... + а0

а' (р)

- соответственно, числитель и знаменатель передаточной функции %(р). Пусть полином Ь(р) гурвицев и Ь'п-1 > 0, тогда существует такое число к0 > 0, для которого соотношения (9), (10) разрешимы для любого к > к0.

4. Синтез алгоритма управления

Выберем управление следующим образом

и = =Ш(к + Х)), (11)

р

где число к > 0; положительный параметр к предназначен для компенсации неопре-

п

деленностей ^вi(t)y и ; полином ф(р) выбирается таким образом, чтобы поли-

¿=1

ном в(р) = Ф(р)Ь(р) был гурвицев и имел п порядок; функция у^) является оценкой сигнала у(/), которая формируется алгоритмом вида

&1 2, &2 ,

3 (12)

&р = а(-к&1 - к2^2 -... - кр^р + кху),

У = ^1, (13)

где число а > к + X, а коэффициенты ki рассчитываются из соображений асимптотической устойчивости модели (12) при нулевом входе у . Подставляя (11) в уравнение (5), получаем

= Ь(р) -ф(р) а(р) р = Ь(р) г-ф(р)

) n С (п )

(k + х)) + w] + 0/t)y =

-[-

(k + Х )y +

¿=1 а(р)

Фр)а + * * + w] +±СЩ e,(t)y,

а(р) р р г=1 а( р)

где функция отклонений ) равна

е = У — у.

Преобразуем уравнение (14) следующим образом

а(р)у + к Ф(^Ъ(р)у = Ъ(р) к + X )в — Ху ] +

(14)

(15)

+

Ь(р)w с1(р)0 ¿(t)y,

i =1

Ф(р)

w,

Примем следующие обозначения

у(р) = а(р) + к ^^(р), в(р) = фр-Ъ(р), / = рр

тогда для (14) получаем

у = —Ху+(к + X )в+f] + ег (*)у.

у( р) ¿=1 У( р)

Перепишем модель вход-выход (16) в виде модели вход-состояние-выход

п

&= Ах + Ъ(—Ху + (к + Х)е + f) + ^ qi е(1)у,

(16)

(17)

i =1

У = с х,

(18)

где х е Rn - неизмеряемый вектор переменных состояния модели (17); A, b , qi и с -

соответствующие матрицы перехода от модели вход-выход к модели вход-состояние-выход.

Так как ß^) - гурвицев полином степени n -1, то в силу представленной выше леммы, существует число k0 такое, что можно указать число k > k0 и симметрическую

положительно определенную матрицу P, удовлетворяющую двум следующим матричным уравнениям:

ATP + PA = -Q1, Pb = с , (19)

где Q1 = Q1 положительно определенная матрица.

Заметим, что значения матрицы Q1 зависят от параметра k и не зависят от к . Перепишем модель (12), (13) в векторно-матричной форме & =о( + dk1 y), (20)

У = hT£ , (21)

" 0 1 0 ... 0 " "0" "1"

0 0 1 ... 0 0 0

г = 0 0 0 ... 0 , d = 0 и h = 0

7 7 7 9 7 7 7

k1 - k 2 - k3 ... - kP_ 1 0

Введем в рассмотрение новую переменную

& = Иу, (22)

тогда в силу структуры матрицы И невязка е примет вид

е = у - у = ИтИу - Ит^= Ит(Иу-\) = Ит& / Для производной от & получим

& = И&- а(Г(Иу - п) + —к1 у) = И&+ аГ& - а(—к1 + ГИ)у . (23)

Так как —к1 = -ГИ (проверяется подстановкой), то

& = И&+аГ&, (24)

е = Ит &, (25)

где матрица Г, в силу расчета коэффициентов к1 модели (12), имеет собственные числа с отрицательной вещественной частью и удовлетворяет уравнению Ляпунова:

Г ты + Ж = -^2, (26)

где N = N и Q2 = Q'TL положительно определенные матрицы.

Теорема. Существуют числа а> к + Я, и Х> 0 такие, что все траектории системы (17), (18), (24), (25) ограничены и цель управления выполнена. Доказательство теоремы аналогично, приведенному в [16].

Теперь рассмотрим проблему выбора коэффициентов к,Х,а регулятора (11) -(13). Возможным вариантом настройки коэффициентов к,Х,а является их увеличение до тех пор, пока не будет выполнено целевое условие следующего вида:

\y(t)\ < V при г > ¿1, (27)

где число V задается разработчиком системы.

Для реализации этой идеи воспользуемся алгоритмом настройки вида

г

~(г) = ||д( т)—т, (28)

г0

где к = к + Х, а функция |(г) рассчитывается следующим образом

1(г) = \* 0 при}у(г)

[ 0 при \у(г) < V,

где число 10 > 0 .

Выберем а следующим образом

а = а 0 к2, (29)

где число а 0 > 0 .

Для иллюстрации предложенной схемы адаптивного управления (11) - (13), (28), (29) рассмотрим следующий числовой пример.

Пример. Рассмотрим пример управления нестационарным объектом следующего вида:

I ^ 2 п 1 (30)

[& = и + w + в 2 (г)хх,

у = *1, (31)

Выберем закон управления в силу уравнений (11) - (13)

и = -ф£1(к + Х )у(, (32)

&1 = а£, 2,

& =а(—к1£1 — к 2 £ 2 + к1 у)-

где полином ф(р) = р2 + р +1 и коэффициенты к1 = 1,к2 = 10 .

Приняв у = 0,2 промоделируем систему при д0 = 4 и а0 = 0,6, у(0) = 1, у( 0) = 0. Результаты компьютерного моделирования для неизвестных нестационарных параметров е1(^) = 2 + sin 0,1Х + sin10t, е2 (Х) = 2 -о8Х и возмущения ^(Х) = 5, представлены на рис. 1 а, б.

а б

Рис. 1. Результаты компьютерного моделирования

Графики компьютерного моделирования демонстрируют достижение заданной цели управления.

5. Заключение

Рассмотрена задача синтеза закона управления по выходу нестационарной системой вида (1), (2). Был синтезирован алгоритм адаптации вида (11) - (13), обеспечивающий выполнение цели управления. Основные отличия представленного подхода от наиболее популярных аналогов состоят в следующем:

• в отличие от работы [1], относительно вектора переменных параметров е(х) системы (1), (2) не выдвигается допущение о периодичности его изменения;

• в сравнение с работами [8 - 11], рассматривается общий вид нестационарной системы, а не частный случай структур матриц описания нестационарных моделей, как в [8] или случай, когда неопределенность согласована с управляющим входом, как в [9 - 11];

• в отличие от работ [1, 2, 6, 8 - 11], синтез алгоритма адаптивного управления произведен по выходу, а не по состоянию;

• усиливая результат, представленный в статье [5], было выдвинуто предположение о том, что объект управления подвержен влиянию внешнего неизвестного постоянного возмущения;

• предложенная схема управления является проще в реализации и позволяет синтезировать адаптивный регулятор фиксированной размерности р + 2, которая в свою очередь, зависит только от относительной степени передаточной функции Н(р) = К(р1 — ^)—1Ь, но не от числа неизвестных параметров как в работе [5].

Литература

1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными системами. - М.: Наука, 1976. 424 с.

2. Барабанов Н.Е. О стабилизации линейных нестационарных систем с неопределенностью в коэффициентах // АиТ. - 1990. - №10.

3. Tsakalis K. S. and Ioannou P.A. Adaptive control of linear time-varying plants // Automática. - 1987. - V. 23. - № 4. - Р. 459-468,

4. Tsakalis K. S. and Ioannou P.A. Linear time varying systems: control and adaptation. -Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1993.

5. Zhang Y., Fidan B., Ioannou P.A. Backstepping control of linear time-varying systems with known and unknown parameters // IEEE Trans. Automat. Contr. - 2003. - V. 48. -№ 11. - Р. 1908-1925.

6. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. - М.: Наука, 1986. 615 с.

7. Юркевич В.Д. Синтез нелинейных нестационарных систем управления с разнотем-повыми процессами. - СПб: Наука 2000.

8. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. - СПб: Наука, 2000.

9. Цыкунов А.М. Робастное управление нестационарными объектами // АиТ. - 1996. -№2.

10. Бобцов А.А., Лямин А.В., Сергеев К.А. Синтез закона адаптивного управления для стабилизации не точно заданных нестационарных объектов // Известия вузов. -Приборостроение. - 2001. - №4.

11. Никифоров В.О. Робастная следящая система // Известия вузов. - Приборостроение. - 1998. - №7.

12. Kreisselmeier G. Adaptive control of a class of slowly time varying plants // Syst. Control Lett. - 1986. - V. 8 - № 2 - Р. 97-103.

13. Middleton R. H., Goodwin G. C. Adaptive control of time-varying linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. - 1988. - V. 33/ - Р. 150-155.

14. Tsakalis K. S., Ioannou P. A. Adaptive control of linear time-varying plants: A new model reference controller structure // IEEE Trans. Automat. Contr. - 1989. - V. 34. - P. 1038-1047.

15. Tsakalis K. S., Ioannou P. A. A new indirect adaptive control scheme for time-varying plants // IEEE Trans. Automat. Contr. - 1990. - V. 35. - Р. 697-705,

16. Бобцов А.А., Николаев Н.А. Синтез управления нелинейными системами с функциональными и параметрическими неопределенностями на основе теоремы Фрад-кова // АиТ. - 2005. - №1.