CC BY
51
УДК 621.372.6
Глушань В.М., Зинченко Л.А.
Средства программной поддержки САПР, моделирования и синтеэа электронных схем на основе дифференциальных функциональных полиномов
Введение
Повышение требований к разрабатываемой электронной аппаратуре привело к созданию и широкому использованию систем автоматизированного проектирования (САПР). Одной из Наиболее важных составных частей САПР является схемотехническое проектирование. Возможности машинно-ориентированных методов проектирования электрических цепей определяются в значительной степени уровнем исследования различных вопросов Моделирования электрических цепей.
При расчете и проектировании различных электронных устройств разработчик сталкивается с проблемой определения параметров схемы, обеспечивающих заданные эксплуатационные характеристики. Решение этой задачи заключается в описании электрических свойств исследуемого устройства на основе математических моделей и соответствующих им схем замещения. В настоящее время при всем разнообразии подходов к Построению моделей в связи с постоянным усложнением цепей и широким распространением Интегральных микросхем наметилась тенденция перехода к макромоделям.
Под макромоделью обычно понимают такое описание системы, которое связывает только ныделенные переменные. При этом остальные переменные исключаются из описания. Системы уравнений, описывающие функционирование современных схем, содержат большое чИсло переменных, поэтому макромодельный подход позволяет существенно упростить задачу Моделирования эксплуатационных характеристик.
В настоящее время не существует регулярных приемов, позволяющих исключить в системе п уравнений с п неизвестными внутренние переменные и перейти таким образом к Макромодельному описанию. Поэтому возникает задача определения в общем случае Нелинейного оператора, связывающего внешние переменные. Определение искомого оператора в аналитическом или численно-аналитическом виде позволяет, помимо упрощения Модели, установить связи между параметрами схемы и ее эксплуатационными Характеристиками. В связи с трудоемкостью этой операции возникает проблема автоматизации Процесса формирования моделей в численно-аналитическом виде. Пакеты символьного аНализа электрических цепей пока только появляются на рынке программных продуктов [1,2]. Определение соотношений в указанном виде позволяет также решить задачу автоматизации процедуры синтеза электрических цепей с заданными свойствами. Все это приводит к Необходимости дальнейшей разработки и исследования теории численно-аналитического м°Делирования электрических цепей и разработке на ее основе средств программной поддержки САПР.
Моделирование цепей на основе дифференциальных функциональных полиномов
Известно [3], что операторные характеристики линейных схем замещения с сосредоточенными параметрами являются дробно-рациональной функциями комплексной ПеРеменной р
к
I акр Н(р)=^—
т ,
1 Кр
к=О
где Clfcibk — вещественные числа, зависящие от параметров схемы замещения;
n, m - степень числителя и знаменателя соответственно.
Изображение реакции y(t) линейной схемы замещения на заданное произвольное воздействие x(t) при известной операторной характеристике при нулевых начальных условиях определяется следующим соотношением [3]
Y(p)=H(p)X(p)
В работах [4-7] рассмотрены приемы, позволяющие установить связь между реакцией нелинейных схем, входящих в класс схем Вольтерра-Винера, на произвольное воздействие x(t) на основе рядов Вольтерра
П 00 00 Т Т к
Х0=1 i Ш(0~
/5=0-00 -оо 77=1 77^+1 77^-1+1
где Н (t, Tj, 5 • • • j ) -функция, характеризующая свойства нелинейной
динамической схемы (ядра Вольтерра). Они являются многомерными импульсными функциями [3]. Ряд Вольтерра является обобщением интеграла свертки на случай нелинейных динамических цепей.
Используя преобразование Лапласа для функции многих переменных, можно установить связь между изображениями реакции и воздействия
к п
У1р1,Р2>-Рк)= 1%|А.-'А)ПДд|
п=1 /=1
где Щр, , > • • • ? Рп ) ~ изображение ядра n-го порядка.
При определении связи между параметрами схемы и ядрами Вольтерра можно оценить влияние элементов схемы на коэффициент нелинейных искажений [8].
Нелинейные электрические цепи в общем случае являются схемами с обратными связями и описываются нелинейными операторными уравнениями (оператор Немыцкого). Для определения явной модели исследуемой схемы в виде рядов Вольтерра в [6] рассмотрено решение нелинейных операторных уравнений различными методами на основе итераций Пикара. Однако аппарат функциональных рядов применим только при слабонелинейном режиме работы схемы. Эффективным направлением является описание искомого нелинейного оператора на основе функциональных полиномов.
В соответствие с теоремой Фреше [9] любой непрерывный функционал F(x(t),t) при любом множестве внешних воздействий, равномерно ограниченных по норме, может быть с заданной точностью описан функциональным полиномом на заданном конечном отрезке времени. В связи с тем, что теорема Фреше не дает способа построения искомых функциональных полиномов возникает проблема их определения.
Класс рассматриваемых схем замещения электрических цепей ограничен следующими условиями:
1.Схемы замещения являются схемами с постоянными параметрами.
2.Схему замещения можно представить в виде линейной динамической и нелинейной резистивной частей (рис.1).
Рис.1
3.Характеристики нелинейного резистивного многополюсника описываются многомерными степенными полиномами
2<у+j+...+cr<N
2 <у+У+...+о<ЛГ У и X - множество зависимых и независимых переменных
УиХ={ Ир..., им »*1 ■>"">*'м }
Решение задачи моделирования нелинейных динамических схем основано на решении Нелинейного операторного уравнения методом Ньютона с использованием итераций Пикара. Решение поставленной задачи рассмотрено для нелинейных динамических схем, содержащих Нелинейные резистивные двухполюсники (рис.2).
УШ
Рис.2
Исследуемый класс схем описывается следующим нелинейным операторным ^Равнением в матричной форме
Нр)Ж0+<р(у)=х(()
Р(р) - операторная характеристика линейной части схемы; у(1) - вектор-функция акций схемы; х(0 - вектор-функция внешних воздействий; нелинейная
сция, описывающая нелинейные резистивные двухполюсники
<Р(У)={<Р\(У1)-<РПШ}
<Рк(Ук) = Ъа^утк т= О
щионное выражение имеет вид
у^у^+у^)
^)=^(рт-у^)-^(р)^у41))-^чр)^^-41)
су
у0(О начальное приближение к решению; =0.у,(О
ьный полином.
тно [6], что метод Ньютона отличается большей скоростью сходимости по итерациями Пикара. Однако при сильнонелинейном режиме работы схем для сходимости итераций необходимо выбирать и сильнонелинейное начальное е
— /7-1
r0(p) = F->(p)X(p)
■і
ÁP) - операторная характеристика рассматриваемой схемы в режиме малого
окрестности рабочей точки, учитывающая дифференциальное сопротивление элементов в рабочей точке.
выбора сильнонелинейного начального приближения необходимо выполнить анализ схемы с использованием существующих пакетов схемотехнического PISE, NAP2, Electronics и др.). По результатам численного анализа определить {ки нелинейных элементов и дифференциальные сопротивления нелинейных найденных рабочих точках. С использованием разработанных программ численно-и символьного анализа операторных характеристик схем в режиме малого оделяется искомая операторная характеристика рассматриваемой схемы в режиме ига.
э сильнонелинейного начального приближения позволяет за счет близости к и неизменности скорости сходимости итераций Пикара уменьшить необходимое итераций при сохранении заданной точности. При выборе сильнонелинейного приближения первая итерация Ньютона с учетом дифференциального ия нелинейных элементов в рабочей точке имеет вид:
(t)=F-\p)y{t)-F^[{p)yit)-F-\p)(p(F2\p)yit))
Вторая итерация
y¡2) (0=y,ü) (0 -F~l(pfë у® (í) оу
Получаемые в результате итераций функциональные полиномы зависят от дифференциального сопротивления нелинейных элементов в рабочей точке, поэтому они получили в литературе название дифференциальных функциональных полиномов. В связи с тем, что для выбора сильнонелинейного начального приближения необходимо использование численных методов, описанный метод является численно-аналитическим методом моделирования нелинейных электрических цепей. Он позволяет получить упрощенную модель исследуемого устройства в численно-аналитическом виде - виде полиномов Вольтерра-Пикара. Подобное представление позволяет довольно легко перейти к описанию нелинейных Цепей на основе рядов Вольтерра и оценить нелинейные искажения в исследуемых схемах.
В связи с большой трудоемкостью процедуры построения дифференциальных функциональных полиномов разработаны программы на языке символических математических вычислений MAPLE. Они позволяют выполнять автоматизированный анализ переходных и установившихся процессов в нелинейных цепях.
Заключение
Моделирование электрических цепей на основе дифференциальных функциональных полиномов позволяет установить в численно-аналитическом виде зависимость реакции схемы от ее параметров и заданного внешнего воздействия при сильнонелинейном режиме работы. При использовании новых информационных технологий и разработанных программ численносимвольного анализа возможна автоматизация опеределения дифференциальных функциональных полиномов. При использовании этих программных средств автоматизируется процесс разработки устройств с заданными свойствами (минимальным коэффициентом нелинейных искажений, расширенным динамическим диапазоном и т.п.) в связи с определением в явном виде зависимости свойств схемы от ее параметров.
Литература
1. Bares J. Programms generated symbolic S-parameters // Microwaves and RF. 1994, 3, p. 169-174.
2. Browne J. Software takes on wide range of filters // Microwaves and RF. -1995, 17. p. 176-178.
3. Попов В.П. Основы теории цепей. М.: Высшая школа, 1985. - 496 с.
4. Богданович Б.М. Нелинейные искажения в приемно-усилительных устройствах. М.: Связь, 1980. -280с.
5. Данилов Л.В. Ряды Вольтерра-Пикара в теории нелинейных электрических цепей. М.: Радио и связь, 1987.- 224 с.
6. Chua L.O., Ng C.-Y. Frequency-domain analysis of nonlinear systems: general theory // IEEE J. Electronic Circuits and Systems. -1979. - Vol.3, N4. - p.165-185.
7. Богданович Б.М., Черкас Л.А. и др. Методы нелинейных функционалов в теории электрической связи. М.: Радио и связь, 1990. - 280 с.
8. Floberg H., Matüson S. Symbolic distortion analysis of nonlinear elements in feedback amplifiers using describing functions // Int. J. Theory and Appl. - 1995. -23, N4. - p.345-356.
9. Пупков K.A., Капалин B.M., Ющенко A.C. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. - М.: Наука, 1976. - 448 с.
