CC BY
5
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2018, том 61, №4_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
М.С.Саидусайнов
СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА И ЗНАЧЕНИЕ п -ПОПЕРЕЧНИКОВ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ КЛАССОВ
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 08.01.2018 г.)
В статье вычислены значения п -поперечников для классов функций, у которых производные т -го порядка аналитические в круге функций, принадлежат весовому пространству Бергмана и норма не превосходит единицу.
Ключевые слова: пространство Бергмана, весовая функция, наилучшее приближения, п-поперечник.
1. Пусть и := {г е С :| г |< 1} - единичный круг в комплексной плоскости С, а Л(11) -множество аналитических в круге СУ функций. Для произвольной функции / е Л (СУ) при любом ре (0,1) положим
Ma (f, р):= ^
f , 2 Я" V7 q
— \lf(peu )|qdt ,
V 2Я о J
max||f (pe't)|: t е[0,2я)|, если q
если 1 < q < да,
= да.
где интеграл понимается в смысле Лебега.
Пусть у := /(I z |) - неотрицательная измеримая неэквивалентная нулю функция,
суммируемая в круге V . Под весовым пространством Бергмана Вду := Бд (V, у), 1 < q < да будем
понимать пространство функций ( е Л(1/), для которых интеграл
/LHI/IL = \\py(p)M:(f,p)dp
N1/q
< да. (1)
В частном случае, когда у(р) = 1, пространство Бд := Бд 1 является обычным пространством Бергмана [1]. Отметим, что пространство Бду ранее рассматривалось в [2], а вопросы нахождения
наилучших линейных методов для классов функций, задаваемых модулями гладкости, и вычисление точных значений п -поперечников указанных классов функций изучались в [3,4]. Всюду далее будем рассматривать случай q = 2, когда Б2у является гильбертовым пространством.
Адрес для корреспонденции: Саидусайнов Муким Саидусайнович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр.Рудаки, 17. Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]
Множество функций /е.А(и), у которых производные т -го порядка ({т\пг е N по
2г , обозначим символом .
комплексной переменной 2 принадлежат весовому пространству Б2 , обозначим символом Б.(т)
Далее полагаем
акт=к(к- 1)Ь (к-т + \),к,теЩ,к>т. Используя разложение f е Л((/) в ряд Тейлора
Г (2) = ^ (/) 2к, (2)
к=0
где ск (_/) - коэффициенты Тейлора функции / , для производной т -го порядка /(т) запишем
ад
Г(т)(2)= ^акттСк (/)2к-т. (3)
к=т
В силу формулы (1) и равенства Парсеваля из (2) и (3) имеем
СО 1
\\/\\1=Т.\сЛЛ\2 ¡Р2ШУ(Р¥Р,
со 1
II /{т) ь = IX»1 I2 ¡р2<к-т)У(р)Лр-
к=т о
2. Пусть Тп := {рп{г): р„(г) = ^1"к_0акгк, ак е С} - множество комплексных алгебраических полиномов степени не более й,йёМ. Для произвольной функции / е Кгравенством
КМХ?-тГ^У-р^ \\ггРп_х (4)
определим величину наилучшего приближения функции (е В2 элементами множества ~Рп , в метрике пространства Б2у . Имеет место следующая
Лемма 1. Среди произвольных полиномов рп г е "Рпнаименьшее значение величине (4) доставляет частная сумма (п -1) -го порядка ряда Тейлора Тп1(/, г) = ^к-оС(/)гк разложения / в круге и . При этом справедливо равенство
, 1/2
к=п
Е„М)гг =11 1кг = I Г \р2кМр¥р \ • (5)
В частности, для /" е Б2 из (5) следует равенство
со
=И/-?;-1(/)112=|ё|сД/)|2
, 1/2
k=п
1к=п 2(к + \) \
Лемма 1 доказана в работе [5]. Положим
да
Гп 1 (I, z) := I(z) - Тп_! (I, z) = ^ (I)zk. Ясно, что если I е Б2 у, то и гп_ 1 (I) е Б2у, причем
да 1
IIVI (У) 111= XI ск(Л I2 К+1Кр¥р = Е2„М)
и так как при любом п > т
^(1,z) = I«(^_£?(/,z) = ^аКтСк(I)zk-т - ^акт€к(I)z
;2,у>
к=п
k - т
' п-1
k=т
k=т
= Ж, (I)^^^ = I(т)(Z) - Тп-т-1 (I(т), Z)
k=п
то мы имеем
II ^С/» 111=11 /(т)-Тп-тм(т)) Щ=
да 1
= Ж- I Сk (I) Г '¡Р^^УШР = т^С/(т))2,у.
k=п 0
Легко проверить, что для всех к,п,т
1 ^ 1 ^
А П А П
тах-
k>п>т и
,2 1
km ^р2^-т)+У(р)й? р "пт \р2(-п-т)+1у(р)ёр
0 0
Учитывая равенство (7) из соотношения (6) в силу (5), получаем
да 1
£п2-1 (I\у = (I)|2 р+1у(р)dр =
k=п
да 1
5ХтС (I)Г {р^
k=п 0
}р2Му(рУр 1 ^
и
..2 1
k,т ^ ^2(k-т)+1 0
^ <
¡р2(k т)+1у(р)dр
(6)
(7)
да
1
¡р2к1у(р)йр 1 ^
< — • --Е1тМ(т\г (8)
ап,т
¡Р2(к-т )+1уШр 0
Для функции 1 (г) = гк е Б2у, для которой, как следует из равенств (5) и (6),
1
Е2пМ0\у=\\2п\\гу=\р2п+1у{р)с1р,
1
[йт\ г = II 2м 1кг = <ЛР2("~и)+1КРМЛ
0
неравенство (8) обращается в равенство
1
1 ¡р2к+>(рур Е1-1 Л\у = ¡Р2" Мр)^Р = —• --Е-т-1 (Л(т) )4г.
¡Р2(к-т)+1КРМР
0 ап,т Г,-,2(к-т)+1
Через Ж2(т) обозначим класс функций У е Б^ , для которых
I/
(от) || _
Ь ,у
( \2л \
-\\ру(р)\1(т\реи)\2 йрЛ
\2ж о о
< 1.
Наилучшее приближение класса подпространством 'Рп , в метрике В2обозначим
Еп -:= вЦЕп- : У е }.
Из приведенного выше соотношения (8) сразу следует, что поскольку неравенство
г2 ( /(тЛ <-1 Лт) Еп-т-1 ( У ) < | 1
< 1
2,/
выполняется для произвольной функции У е Ж2(т), то из того же неравенства (8) также вытекает
неравенство
1
1 ¡р2к+1/(р)^р
Е- )2/<аг • ^-• (9)
^ ¡р2(к-т)+1/(р)^р
3. В этом пункте мы вычислим точные значения ряда n -поперечников класса W^ в пространстве B2y. Приводим необходимые определения и обозначения, которыми будем пользоваться далее.
Пусть S - единичный шар в пространстве B2y; Лn с B2y - n -мерное подпространство; л" с B2y - подпространство коразмерности n; L : B2y — Лn - линейный непрерывный оператор; L1 : B2y —^ Лп - непрерывный оператор линейного проектирования; M - выпуклое центрально-симметричное подмножество из B2y . Величины
b"(Ш,B^) = sup{sup{s > 0;sSпЛ„+, с Mi} : Л„+1 с B2y], dn(W,B2r) = inf {sup{inf {II f-g ||2: g e Лй}: / e Ш): A„ c= Д^}, (9Jt, ^) = inf {inf {sup {| | / - st> f 112: / e Щ: sr B2^ An}: A„ с: B2 y}, d\m,B2r) = mf{sup{\\f\\2r:fGmr,A"}:A"^B2r},
Пи (Ш, B%y) = inf |inf {sup {| | f-s^f ||2: / g ш}: ^B2y сЛл|:Ллс B%y]
называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, линейным, гельфандовским, проекционным n -поперечниками подмножества M в пространстве B2y. Перечисленные выше
n -поперечники монотонны по n и между ними в гильбертовом пространстве B2y выполняются соотношения (см., например, [6,7]):
Ьп (М, В2у) < dn (М, В2у) < dn (М, В2у) = 8Н (М, В2/) = П (М, В2/).
Для произвольного подмножества М с В2у положим
Е„.)в2г =ЫЕп-Х(/)2= / * М}.
Теорема. Для любых п eZ+,/г> да справедливы равенства
)р2 п+>(р) dp
К (щ(,;в2,г) = Еп _ }) ■ '
(10)
2,y
i
р
2(n-m )+1
y(p)dp
1/2
где An (•) - любой из n -попречников bn (•), dn (•), dn (•), £n (•), Пn (•) .
Доказательство. Оценку сверху всех перечисленных к -поперечников с учетом соотношения (10) получаем из равенства (9), в силу которого запишем
л, №т \ б2,/)< Еп-1 Ит)
Р к+1у(р)ё Р
¡Р2(к-т )+У(Р¥Р
1/2
(12)
Для получения оценки снизу вышеперечисленных к -поперечников, равных правой части неравенства (12), в (к +1)-мерном подпространстве комплексных алгебраических полиномов степени < к
к=0
введем в рассмотрение шар
^+1 :
( 1
\1/2
II Рп М
а„
¡р2к+1у(р^р
0_
Р-т)+1/(рМр
V 0
п> т, иеМ, т е и покажем, что шар Бп+1 а Ж,^ . В самом деле, для произвольного полинома
Рп е Sn+! в силу определения класса Ж2(
т)
2,/
имеем:
,(» ||2 =
к=т
I Рп \\2,у I Ск
п 1
о
к 1
(У )12 К ХрМР-
к =т 0
Р-т )+1/(Р) ¿Р
а
20 к ,т 1
^ <
¡Р2к+1/(р) ^Р
< а
2 0
1
¡Р2(к-т )+>(Р¥Р
1
¡р2 к+1у(р)ёр
к 1
Е1*к (У )|2 ¡Р2к +1Кр¥ р
к=0
= \\Рп\\1^
откуда и следует включение Sn+1 ^ . Но тогда, согласно определению бернштейновского к -поперечника и неравенства (10), между всеми к -поперечниками запишем оценку снизу
l (w(m),в2 )>b (w2-m),b2 )>b (s.,b2 )>
n \ 2,y ' 2,y / n \ 2,y ' 2,y / n \ n+1' 2,y)
>-±- J _
> a J r
Wnm \p2(n-m)+1y(p)dp
1
]p2 n+ly(p)d p
(13)
a
n ,m
Сопоставляя оценку сверху (12) и оценку снизу (13), получаем требуемое равенство (11), чем и завершаем доказательство теоремы. Из доказанной теоремы вытекает следующее
Следствие. В условиях теоремы, в случае у(р) = 1 имеет место равенство
1. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге. -Матем.сб, 2010, т.201, в.8, с.3-22.
2. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. О наилучшем приближении некоторых классов аналитических функций в весовых пространствах Бергмана. - ДАН России, 2007, т.412, №4, с.466-469.
3. Shabozov M.Sh., Langarshoev M.R. The best linear methods and values of widths for some classes of analytic functions in the Bergman weight space. - Dokl. Mathematics, 2013, v.87, №3, pp.338-341.
4. Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Значения n-поперечников и наилучшие линейный методы приближения некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана. -Известия ТулГУ. Естественные науки, 2014, №3, с.40-57.
5. Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Верхние грани приближения некоторых классов функций комплексной переменной рядами Фурье в пространстве L2 и значения n -поперечников. -
Матем.заметки, 2018, т.103, 4, с.617-631.
6. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. Berlin: Springer-Verlag. Heidelberg. New York. Tokyo,
Поступило 12.01.2018 г.
ЛИТЕРАТУРА
1985.
7. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: МГУ, 1976.
М.С.Саидусайнов
НАЗДИККУНИИ МИЁНАКВАДРАТИИ ФУНКСИЩО ДАР ФАЗОИ ВАЗНДОРИ БЕРГМАН ВА ЦИМАТИ n -ЦУТР^О БАРОИ СИНФ^ОИ ФУНКСИОНАЛЙ
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола, кимати n -кутрдо барои синфи функсиядои аналитикй дар давраи водидй, ки нормаи досила тартиби m -уми ондо ба фазои Бергман тааллук дорад, дисоб карда шудааст. Калима^ои калидй: фазои Бергман, функсияи вазни, наздиккунии беутарин, n -цутр^о.
M.S.Saidusaynov
MEANSQUARED APPROXIMATION OF FUNCTIONS IN THE WEIGHTED BERGMAN SPACE AND THE VALUES OF n-WIDTHS FOR FUNCTIONAL CLASSES
Tajik National University
In the paper the values of n-widths for the classes of functions, where the derivatives of mth order of analytic functions in a disk belong to the weighted Bergman space and whose norm are less than one were calculated.
Key words: Bergman space, weighted function, the best approximation, n-width.
