Неравенства типа Колмогорова для аналитических в круге функций, принадлежащих весовому пространству Бергмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №8_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

М.С.Саидусайнов

НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ ВЕСОВОМУ ПРОСТРАНСТВУ БЕРГМАНА

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 01.06.2105 г.)

Получено точное неравенство типа Колмогорова в весовом пространстве Бергмана Б2,г с весом у. = > 0 для аналитических в единичном круге функций и даны некоторые его приложения к экстремальным задачам теории аппроксимации в комплексной плоскости.

Ключевые слова: неравенство типа Колмогорова - пространство Бергмана - весовая функция -наилучшее приближение.

1. Введение

В теории приближений и ее приложениях хорошо известны неравенства Колмогорова на всей оси К, которые оценивают сверху Ь - норму промежуточной производной функции через Ьр -

норму самой функции и ^ -норму ее старшей производной:

5 р

Неравенствам вида (1) посвящено большое число работ. Отметим, что интерес к точным неравенствам (1), в частности, вызван их связью с задачей Стечкина о наилучшем приближении оператора дифференцирования ограниченными операторами и другими родственными задачами. Подробную информацию об исследованиях неравенств Колмогорова и связанных с ними экстремальных задач можно найти в обзорной статье [1] и в сравнительно недавно вышедшей монографии [2]. Что же касается неравенства вида (1) для аналитических в единичном круге функций в пространствах Харди Н(р > 1) и Бергмана В (р > 1), то в случае р = 2 такие неравенства были получены

С.Б.Вакарчуком [3] и С.Б.Вакарчуком и М.Б.Вакарчуком [4,5,6,7], а в случае 1 < р в пространстве Харди - Р.Р.Акопяном [8]. Отметим также, что К.Ю.Осипенко [9] получил точное неравенство Колмогорова в случае равномерных норм на К для функций, аналитических в полосе | /тг < ¡3.

В работе [10] для последовательных производных /г = дг/(рвЛ ) / дгг

(у = 1, r — 1, 0 < р < 1) - (r — у) -го порядка по аргументу функции f (z), определяемой рекуррент-

Адрес для корреспонденции: Саидусайнов Муким Саидусайнович, 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected].

ными равенствами У\г) = {/аГ " (г ~ у) е /а (г) = / в весовом пространстве

Бергмана в2 доказано следующее мультипликативное неравенство типа Харди-Литтльвуда-Полиа:

1-у/г .. у/г

Г

^ а

(г-у)

<

2,7

Г1

а

( г )

2,7

12,7

В настоящей работе исследуются точные неравенства Колмогорова в весовом пространстве Бергмана В аналитических в единичном круге функций, у которых обычная производная г -го

порядка г(г)(z) е в 7 . Полученные результаты продолжают наши исследования [10,11] в этом направлении и обобщают недавно полученные результаты из работы [5].

2. Неравенства для норм последовательных производных функций, принадлежащих пространству в2 .

Приведём сначала некоторые обозначения и определения из [12], нужные нам в дальнейшем. Пусть и '.= {г еС:|г|<1} - единичный круг в комплексной плоскости С, а jA.il 1) - множество аналитических в круге II функций. Для произвольной функции / е -4(77) при ре (0,1) положим

Ма (Г ,р) Н

( 1 2п

— 11Г (ре') |г л

\1/г

если 1 < г < го, тах || Г(рей) | : I е [0,2л)}, если г:

' = го,

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Через & := (и), 1 < г <го обозначим банахово пространство комплекснозначных в и

функций Г , имеющих конечную норму

иГ с? :

ч1 / г

( 1 2л

1 1 I 1 1 2л

^ Ц 1Г (z) |г ЛхЛу = — Цр|/ (реи )| гЛрЖ

V2л и

у / д

V2л 0 о

Пусть 7 := 7(| z |) - неотрицательная измеримая неэквивалентная нулю функция, суммируемая в круге и . Через ^ := ^ (и, 7), 1 < д <го обозначим множество комплекснозначных в и

функций Г, для которых 7114г е & (и) ,

= /г

, 1 < г < го .

Под В :=В (17, у),\ <д <го понимаем банахово пространство функций / е Л(11) таких,

что г е & . При этом

ч,7 1

| р7(р)мг (Г ,р)Лр

(2)

г

у

у

В

г,7

В частном случае, когда у(р) = 1, пространство В := В1 является обычным пространством Бергмана [12]. Рассмотрим подробно случай q = 2. Для произвольного элемента /(г) = ^ с (/)гк е В у в силу (2) запишем равенство [10]

2

2,7

от 1

ек (/)12 ¡р2к+1у(р¥р-

(3)

к=0

Всюду далее полагаем акг \=к(к — !)•••(& — г + 1), к>г. Под В^, где геМ, будем по-

д,г ■

нимать множество функций / е Л(11), у которых производная (г) = ^^ с^ ^ (/)гк г принадлежит пространству В , то есть

(г 1С=Е<\ск (/)12 |р2(к -" )+1у(р)^р.

2

к ,г \ Ск

1

к =г

(4)

Аналогичным образом, для произвольной функции / е В[, ее промежуточные производные

f(г у)(у = 1, г — 1) принадлежат В2 :

ОТ 1

(= ЕЕ «к2,г—V \ Ск(/) \2| Р2(к—'^РУр. (5)

к= г—у 0

Таким образом, из соотношений (3)-(5) следует, что сама функция / и все ее промежуточные произ-

водные / г(у = 0, г — 1) также принадлежат пространству В2 г •

Теорема 1. Пусть г, геМ, г>у> 1, у(\г\)>0 - произвольная суммируемая не эквивалентная нулю интегрируемая в II функция. Тогда для произвольной функции / ^В^, у которой

коэффициенты

справедливо неравенство

ск (/) = 0(к = г — у,..., г — 2, г — 1)

/

и п

(г—у) ^ ^г,г—у

112,7

,1—у/г

| р2у+1у(р)ёр

1/2

У/г Л

, 1—у г

|р2г+1у(р)ёр -I {р7(рУр

у/г

2,7 '

\/(г)

1—у/г 2,7

(6)

2,7

0

0

Неравенство (6) является точным в том смысле, что существует функция /0 е В^, обращающая (6) в равенство.

Доказательство. Для произвольной функции / е В^], удовлетворяющей условию теоремы,

учитывая (5), норму промежуточных производных /(г у)(у = 1, г — 1) представим в виде

го 1

К—у|с(Г)|2 \р2(к—г+У)+17(р)Лр =

(г—у)Г =у а? | с

||2,7 £ к ,г—у i к

к=

1—у/г

= Т<У/г) 11 Ск(Г)|2\р2(к г)+17(р)Лр\

а

к ,г—у

а

1—у/г

Х1К (Г)|21 р2+17(р)Лр

, У/г

| р2( к—г+У)+17(р) Лр

' I \у/Г/ \ \ 1—у/Г

} р2к+17(р)Лр] (} р2(к—г )+17(р)Лр

ч0 У V 0 у

(7)

Полагая

а

<Ргу(7,к)

| р2( к—г+У)+17(р)Лр

а

' | \у/г ^ \ л 1—у/у

}р2кУ(р)Лр] (}р2(к—г)+17(р)Лр

ч0 У V0 У

(8)

из равенства (7), учитывая обозначения (8), получаем

2 г 1 1 1—у/г

Г(г—У) 12 4ирр,у(7,к)} •¿а«к(Г)|2 }р^Мр^р] х

2,7 I к>г ) к=г I 0 I

у/г

l Ск (Г)|21 р2к+17(р)Лр|

(9)

Применяя к сумме в правой части (9) неравенство Гёльдера для сумм в случае р = г / (г — у) , р = г / У и учитывая равенства (3) и (4), имеем

Г

(Г-У)

<

2,7

С ! У/(2г)

|зирр,у(7,к)}• 1 £ | Ск(Г) |2 } р2к+17(р)Лр I х

го 1

—у|Ск(Г)|2 ¡р2(к—г)+17(р)Лр

\ (г—У)/(2г )

0

2

• <

X

= {^^7, к)}'

• / •

1— у/г

у/г -II /(г)||

2,7 Г 112,7

Обычными средствами анализа легко доказать, что

^РРу , к) :к > г} = <Рг,у(7> г) : =

л

1/2

а.

| р2у+17(р)ёр

а1-у/г Г1

г ,г

у/(2г у1 у г—у)/(2г )'

¡р2г+17(р)ёр I | Р7(РНР

0 ) V 0 у

(10)

(11)

Рассмотрим функцию /0(г) = г' е Д'','. удовлетворяющую ограничению на коэффициенты

Тейлора, сформулированному в условиях теоремы. Поскольку /,(г)(2) = агг и /г у)(2) = агг_у2

Кг—у)( \ _

то, исходя из равенств (3)-(5), получаем

-1/2

1/^12,7 = ! | Р2+17(Р)^Р

(12)

-1/2

= а1 ¡р7(р)^р ,

(13)

||/0(г-у)|2>г = а,г—у|| Р2у+УрМ р

,1/2

(14)

Непосредственной проверкой убеждаемся, что если в неравенстве (6) функцию / заменить на /0 и воспользоваться соотношениями (12)-(14), то неравенство (6) обращается в равенство, чем и завершаем доказательство теоремы 1. Из доказанной теоремы вытекает

Следствие 1. [5]. В условиях теоремы 1 при 7(р) = 1 имеет место точное неравенство

/

(г—у)

<

а,г—у(г+1)

ч1— у/г

у/(2г)

у/г п /-(г)!!1—'у/г

ii/(

(а,г)1—у/г(у+1)1/2 11 ||В2

которое обращается в равенство для функции = гг е £>2г).

Пусть Т'п \={рп{2)\ рп{г) = Е^о^2'1? ^бС} - подпространство комплексных алгебраических полиномов степени п . Для произвольной функции / е В2 г равенством

определим наилучшее приближение / подпространством в пространстве В2. Далее нам понадобится следующая

Лемма [10]. Среди произвольных полиномов рп_х е наименьшее значение величины (15) доставляет частная сумма Тейлора Тп_х (/, 2) разложение функции /(2) в степенной ряд Тейлора в круге | 2 |< 1. При этом

1/2

ЕЛ/ \у = II /-ТпМ)\\2, = Шс(/)I21р^ГШР\ ■ (16)

[к=п 0 ]

В частности, для / е В2 из (16) следует равенство

Г 2 1 1/2

^.са 41/-Т/} ■ (|7)

Справедлива следующая

Теорема 2. Пусть и г>у>\. Тогда для произвольной функции / е В2у и любого

натурального п > г справедливо неравенство

Еп-г /(Г^ ^

г1 2

I Гр2(п-г+у)+>(рМр

а„ ,, ,, *

а\-у/г ^ х( г-у)/(2г у/(2г )•

пг |}р2(п-г )+1крмр1 •|}р2п+1г(р)^р

V 0 У V 0 у

<Еп-г(/)У/Г •(Еп-гМ(г))(18)

Существует функция ^(г) е В2у, для которой неравенство (18) обращается в равенство. Доказательство. Для произвольной функции / е В2у полагаем

ад

Яп_! (/, 2) := /(2) - Тп_ 1 (/, 2) = ^ С (/)■ (19)

к =п

Легко заметить, что

К-Ц^ = У4 0^-1 (20)

Применяя ход рассуждений теоремы 1 к функции гг-) (/, 2) , с учетом того что на этот раз функция натурального аргумента <ргх/ (/; к) , определенная формулой (8), рассматривается для всех натуральных к > п > г, имеем:

а

тах{Рг,у ,к) :к > п} = Рг , п) :=

Л У/2

Р

2(п—г +у)+1

7(р)ёр

а1-у/г С1

п,г

у/(2г у г—у)/(2г )'

¡р2п+17(р)^р] || р2(п—г )+17(р)^р

0 У V 0 у

(21)

а потому запишем

к——у)(/)ц

<

<

а

п,г—у

1 \

2( п—г +у)+1

1/2

¡Р-

ч0

7(Р¥Р

а\-у/г у г— у)/(2г)

п ,г || Р2( п—г )+17(р)^Р V 0 )

1

¡р2п+17(р)^р

у/(2г)

1—у/г

В2,7

(22)

Требуемое неравенство (18) с учетом равенств (20)-(21) получаем из соотношения (22). Как и в предыдущей теоремы легко проверить, что неравенства (18) обращается в равенство для функции

./, (2) := 2п е Д'' ', п> г. Теорема 2 доказана. Из теоремы 2 при у( р) = 1 вытекает следующее утверждение.

Следствие 2. [5]. Пусть г, V е N и г>у>\. Тогда для произвольной функции / е В\г) и любого натурального числа п > г справедливо неравенство

(г—у аПг—у (п — г + 1)(г—у)/(2г)(п + 1)у(2г)

Еп—г+и/(г—у)) <

а )1—у/г(п—г+у+1>

1/2

(ЕЛ!) ТХ Еп-Л!(г)))г,

которое является точным на множестве В(2Г>.

Отметим, что полученные результаты можно распространить на случай аналитических в бик-руге функций двух комплексных переменных следуя схеме рассуждений, изложенной в [6,7].

Поступило 01.06.2015 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арестов В.В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи — Успехи мат.наук, 1996, т.51, 6, с.89-124.

2,7

X

2. Бабенко В.Ф., Корнейчук Н.П., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Неравенства для производных и их приложения. Киев. Наукова думка, 2003, 590 с.

3. Вакарчук С.Б. О неравенствах типа Колмогорова для некоторых банаховых пространств аналитических функций — Некоторые вопросы анализа и дифференциальной топологии. В сб. науч. работ Ин-та математики АН УССР - Киев, 1988, с.4-7.

4. Вакарчук С.Б., Вакарчук М.Б. О мультипликативных неравенствах типа Харди-Литтльвуда-Полиа для аналитических функций одной и двух комплексных переменных — Вюшк Дншропетровского ушверситету, серия: Математика, 2010, т.18, 6/1, с.81-87.

5. Вакарчук С.Б., Вакарчук М.Б. О неравенствах типа Колмогорова для аналитических в круге функций — Вюшк Дншропетровского ушверситету, серия: Математика, 2012, т.17, 6/1, с.82-88.

6. Вакарчук С.Б., Вакарчук М.Б. О неравенствах типа Колмогорова для аналитических в единичном бикруге функций — Вюшк Дшпропетровского ушверситету, серия: Математика, 2013, т.18, 6/1, с.61-66.

7. Вакарчук С.Б., Вакарчук М.Б. Неравенство типа Колмогорова для аналитических функций одной и двух переменной — УМЖ, 2013, т.18, 6/1, с.61-66.

8. Акопян Р.Р. Неравенство Колмогорова для функций, аналитических в полуплоскости — Труды ИМ и МУрО РАН, 2005, т.11, 2, с.3-9.

9. Osipenko K.Yu. Optimal Recovery of Analytic Function. Huntington (NY): Nova Science Publication Jnc., 2000.

10. Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Неравенство типа Колмогорова в весовом пространстве Бергмана — ДАН РТ, 2007, т.50, 1, с.14-19.

11. Саидусайнов М.С. Неравенство типа Колмогорова в весовом пространстве Бергмана для аналитических функций одной переменной — Известия АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн.н., 2014, 4(157), с.24-31.

12. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге — Ма-тем.сб, 2010, т.201, в.8, с.3-22.

М.С.Саидусайнов

НОБАРОБАРИИ НАМУДИ КОЛМОГОРОВ БАРОИ ФУНКСИЯ^ОИ АНАЛИТИКИИ ДАР ДАВРАИ ВОХ,ИДИИ МУТААЛЛИЦ БА ФАЗОИ

ВАЗНДОРИ БЕРГМАН

Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон,

*Донишго%и миллии Тоцикистон

Нобаробарии аники намуди Колмогоров дар фазой вазндори Бергман B2y бо вазни

у := у(\ z I) > 0 барои функсиях,ои дар давраи вох,идй аналитикй ёфта шудааст, татбики онх,о дар

баъзе масъала^ои экстремалии назарияи наздиккунй дар хдмвории комплексй оварда шудааст.

Калима^ои калиди: методи хаттии беутарин - n -цутр^о - модули бефосилагй - функсияи вазнй.

M.S^idusaynov

THE KOLMOGOROV'S TYPE OF INEQUALITY FOR ANALYTIC FUNCTIONS IN A DISK IN THE WEIGHTED BERGMAN SPACE

A.Juraev Institute of Mathematics, Academy of Science of the Republic of Tajikistan,

Tajik National University

An exact inequality of Kolmogorov's type in the weighted Bergman space b2y with weight y := y (z) > 0 for analytic function in a unit disk is obtained. Here are given some application of it in extremal problems of theory of approximation in the complex plane.

Key words: the best linear method - «-widths - modulus of continuity - weight function.