Сравнительный анализ длины очереди при различных дисциплинах обслуживания и самоподобном процессе на входе Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 621.396

Сравнительный анализ длины очереди при различных дисциплинах обслуживания и самоподобном процессе на входе

О.И. Шелухин, А.Ю. Никитин, А.Е. Перегняк

Рассмотрены процессы организации очереди и параметры QoS, влияющие на них; проведено моделирование и анализ процессов организации очередей под влиянием данных параметров.

Processes of queueing and the parametres influencing these processes are considered QoS; modelling and the analysis of processes under the influence of the given parametres is spent.

Постановка задачи

Понимание процессов организации очередей крайне важно для оценки параметров, влияющих на качество обслуживания (QoS). К числу основных параметров QoS относятся следующие:

♦ вероятность отбрасывания, т. е. вероятность отбрасывания пакета, прибывающего в очередь, вызвана ограниченным буферным размером (Drop Tail) или мерами борьбы со скоплениями пакетов (например, путем организации обслуживания очереди RED);

♦ задержка организации очереди D, вызванная различными сетевыми приложениями чувствительными к параметрам задержки, например, приложения реального времени чувствительны к максимальной задержке Dmax, тогда как для приложений TCP средняя задержка характеризует эффективность связи, а так же колебание задержки — джиттер (колебания вокруг среднего уровня) -влияет на время синхронных приложений при регулярной передаче данных.

Не каждый параметр очереди может быть вычислен аналитически. Например, джиттер не может быть вычислен путем анализа последовательности пакетов, так как для его получения должны быть известны корреляционные свойства процесса организации очереди.

Средняя длина очереди может быть вычислена с помощью уравнения [1]

да

EQt = J P (Qt > *)dx , (1)

о

где Qt — процесс очереди (Qt > 0).

Параметры QoS — максимальная задержка Dmax и вероятность отбрасывания pd — могут быть найдены при анализе статистики пакетного

трафика. Оба этих параметра взаимосвязаны друг с другом. Более длинная очередь влечет за собой более высокую задержку Dmax, поскольку Dmax — задержка последнего пакета при полном буфере. Для хорошего качества связи величины Dmax и pd должны быть низки.

В алгоритме «дырявого ведра» (Leaky Bucket) обрабатываются не задержки Dmax, а максимальное количество одновременных подключений b, как функция числа накопленных символов г, которую интерпретируют как показатель пульсаций трафика.

Важным параметром очереди, который может быть вычислен путем анализа последовательности пакетов, является длина периода занятия. Длина периода занятия [2] — это интервал времени, в течение которого очередь никогда не бывает пустой.

В случае, если есть два трафика разного приоритета, то период занятия равен периоду занятия трафиком более высокого приоритета.

Модель самоподобного процесса FARIMA

Основные свойства процесса FARIMA (фрактальной авторегрессионной модели интегрального скользящего среднего) были рассмотрены в [3, 4, 5]. Эти процессы обладают важными преимуществами перед другими самоподобными процессами. Во-первых, процессы FARIMA можно записать в аналитической форме, например распределение ФГШ для многих ON/OFF-источников. Во-вторых, некоторые результаты, полученные для процессов ARIMA, также справедливы для процессов FARIMA.

Процесс FARIMA может быть применен для описания различного типа данных. В частности, с помощью процессов FARIMA может быть описан трафик, обладающий кратковременной корреляцией.

В основном процессы FARIMA используются при моделировании видеотрафика, например для моделирования корреляционной структуры последовательностей I, Р, и В в потоке MPEG [7]. В [8] рассмотрен процесс FARIMA при формировании мультимедийного трафика.

Модель очередей Норроса

Чтобы описать процесс организации очереди, должна быть найдена точная модель рабочей нагрузки. Наиболее известной моделью является модель Норроса, в которой процесс рабочей нагрузки характеризуется его средним значением, дисперсией и функцией корреляции Эта модель определена уравнением Аг = аг+о1г.

Если считать, что а, — процесс приращения рабочей нагрузки, то, согласно уравнению Аг = аг+о1г, количество трафика, который формирует очередь за время /-го интервала времени длиной Дг, будет

а, = а Дг+о, (2)

где гг- - процесс со специфической структурой корреляции (Норрос использовал процесс в виде фрактального гауссовского шума (ФГШ)).

Подобный суммарный процесс рабочей нагрузки называют моделью ФГШ, если функция автокорреляции а, является процессом ФГШ.

Обозначим дискретный случайный процесс, характеризующий длину очереди, через Qi. Если а/ + Я,-1 > сДг, то после /-го интервала времени для длины очереди справедливо неравенство

а + Я,-1 >сД ^ Я, = Я,-1 + а -сД.

(3)

На основании (3) и предположения, что д0=0, можно заключить, что

VI </ < па, + д,-1 > сД ^ д = е„-1 +

+ап - сД = дп-2 + ап-1 - сД = ... =

/ = 1

а, - спДг = Ап - спДг .

(4)

имеем

Яп = апДг + о2п - спДг .

(5)

Решение уравнения (5) иллюстрируется на рис. 1.

Если интервал времени Дг нормализован, т. е. Дг = 1, то можно получить конечное уравнение для длины очереди после п-го наблюдения:

Рис. 1. Процесс организации очередей

где Ап — суммарная рабочая нагрузка.

Если очередь описывается процессом в непрерывном времени, то длина очереди представляет собой количество трафика, поступающего на сервер и не переданного до определенного момента времени г:

= Аг - сг .

(7)

Как и для дискретного процесса времени, уравнение (7) действительно, если на всем интервале времени (0,г) очередь никогда не будет пустой, т. е. = А( - сг ^Vs е (0, г)дх > 0 .

Таким образом, процесс организации очереди может быть описан уравнениями (6) или (7) в зависимости от типа процесса (непрерывного или дискретного по времени). Оба этих уравнения справедливы при условии, что в течение всех наблюдаемых моментов времени длина очереди является отличной от нуля.

На рис. 2 в качестве примера представлен график суммарного процесса рабочей нагрузки со структурой корреляции в виде процесса ФГШ. с параметром Херста Н = 0,8.

Для модели ФГШ, представленной на рис. 2, процесс организации очереди для с = 1,5 представлен на рис. 3.

Длина очереди Яп в момент времени п равна суммарному трафику, формирующему очередь, и на каждом интервале времени Дг уменьшается поступающим трафиком на величину спДг.

Поскольку а, = аДг + 02{ и 7п=тп=12

Яп = ап + о!п - сп = Ап - сп,

(6)

Рис. 2. График суммарного процесса рабочей нагрузки в виде ФБД при Н = 0,8; а = 1; а = 1

Рис. 3. Организация очереди для суммарного процесса рабочей нагрузки, представленного на рис. 2 для посылки емкостью с = 1,5

Интервалы времени г1, г2 и г3 на рис. 3 были отмечены там, где действительны предположения, сделанные в уравнении (7).

Если величины Я, коррелированны между собой, то существует зависимость между вероятностью отклонения для интервалов г1, г2 и г3.

Если известно время формирование пакета процесса рабочей нагрузки, то можно вывести для Дг = 1 следующие уравнения:

Q(t) = А(ґ) - сґ = (а - с)ґ + о2(ґ), Q(n) = А(п) - сп = (а - с)п + о2(п).

(8)

(9)

Период занятия

Как было отмечено, период занятия тъ — это количество времени, в течение которого очередь никогда не будет пустой. Согласно определению, представленному в [2], тъ имеет вид

Чь =ґ: Р(Аґ > сґ) = Рь,

(10)

ka^ 11-н

с - а

где k = F 1 (1- е), F(•) — функция распределения нормального распределения, е= рд .

Для модели FARIMA трудно определить аналитически величину тъ, однако численное решение может быть найдено. На рис. 4 показаны значения периода занятия, позволяющего анализировать сложные буферные алгоритмы управления периода занятия тъ в миллисекундах, полученные для различных моделей. Данные, представленные на рис. 4, получены для среднего значения а =138 бит/мс, среднеквадратичного отклонения а = 420 бит/мс и рл =е = 0,05. Для оценки эффективности обслуживания вводится коэффи-

а

циент использования р = — .

с

ю11 ю10 ю9 10:! ю7 106 10= ю4 ю5 1021 10 1

ФБД Р = 0,7 ФБД Р = 0,3 ■ РАЩІ,**) Р = 0,7 ГАЩІ.ф Р = 0,3

я

где Аг — процесс рабочей нагрузки; рл — вероятность того, что период занятия тъ продолжителен; с — размер пакета.

Уравнение (10) показывает, что вероятность того, что суммарный процесс рабочей нагрузки во время тъ, больше, чем весь трафик, сформированный до тъ (т.е. нет пустой очереди), равнар^

Отметим, что, согласно (10), Р(А, > А(г)) =е, поэтому если для некоторого тъ имеет место равенство А(гъ) = сгъ, то рй =е . Это условие позволяет вычислить период занятия тъ из уравнения тъ =г: А(гъ) = сгъ . (11)

Для модели ФГШ период занятия имеет вид [2]:

(12)

Рис. 4. Период занятия для суммарного процесса рабочей нагрузки ФБД при р = 0,3 и р = 0,7

Из рисунка видно, что период занятия равномерно увеличивается на промежутке значений от Н = 0,5 до Н = 0,7. На интервале значений от Н = 0,7 до Н = 0,9, происходит резкое увеличение периода занятия.

Таким образом, можно сделать вывод, что долговременная структура корреляции оказывает существенное влияние на длину периода занятия и распространяется на все значения Н.

Важно отметить, что структура кратковременной зависимости (КВЗ) также влияет на длину периода занятия для модели FARIMA. Отметим, что для модели ФГШ с Н = 0,7 получаем ть = 3.6.10(-3). Для такого же параметра Херста Н= 0,7 и модели FARIMA с положительной КВЗ период занятия ть увеличивается более чем в 4 раза.

Такое же поведение может наблюдаться при низком значении коэффициента использования посылки, что указывает на то, что КВЗ имеет

большое влияние на тъ, и это должно быть учтено при анализе трафика с долговременной зависимостью (ДВЗ).

Вычисление вероятности «отбрасываемого хвоста»

«Отбрасывание хвоста» является самым простым алгоритмом обработки очереди, при котором каждый приходящий пакет немедленно посылается в сеть, а пакет, который нельзя послать, сохраняется в очереди, если есть достаточное свободное пространство, или отбрасывается.

Важным параметром алгоритма «отбрасывания хвоста» является вероятность отбрасывания рс, которая зависит от емкости посылки с, размера буфера В и процесса рабочей нагрузки Аг. Как и длина очереди дг, вероятность отбрасывания пакетов равна вероятности превышения буферного размера В:

pd = P(Qt > B).

Поскольку Q(t) — процесс нахождения пакета очереди, то

е= P(Qt > Q(t)),

(15)

D = — = Qmax

(17)

где с — емкость посылки.

Последнее уравнение основано на предположении, что процесс рабочей нагрузки приближен к процессу формирования пакетов.

Модель ФГШ

Параметры алгоритма «отбрасываемого хвоста» были вычислены в работе [2], в которой процесс рабочей нагрузки описывался уравнением

Аг = а г + о2(, где — процесс ФБД.

Поскольку процесс очереди пакетов описан уравнением (8), процесс пакетного трафика описывается ФБД с помощью уравнения

1 (г) = F- (1- е)гН , где дтах выражается в виде

Qmax = (a - c)t*+ ko(t" )Я

(14) Здесь параметр

t * = I коН )1-h

где е — заданная вероятность превышения.

Из соотношений (14) и (15) можно заключить, что если B = Q(t), то pd =е . Если бы емкость буфера могла отслеживать рабочую нагрузку, то вероятность отбрасывания выбиралась бы исходя из вероятности превышения.

Поскольку буферный размер имеет постоянную величину, лучше использовать переоценку параметра вероятности отбрасывания, взяв максимальную величину очереди равную размеру буфера, так что

Pd = P(Qt > Q(t)) ^ P(Qt > max Q(t)) =

= P(Qt > Qmax). (16)

На основе уравнения (16) могут быть найдены два параметра алгоритма «отбрасывания хвоста»: pd — вероятность отбрасывания, которая аппроксимируется вероятностью превышения е , и

размер буфера B = Qmax .

Другим важным параметром QoS является максимальная задержка Dmax. Отметим, что, например для алгоритма обслуживания очереди FIFO (первым пришел — первым обслужен) планируемая максимальная задержка может быть легко вычислена из следующего уравнения:

получен из решения уравнения Q)

dt

= 0.

(18)

(19)

(20)

Уравнение (18) может быть переписано в удобной форме [2]:

H

Qmax =(0 - a)H1 (ko)H-1 HH-1 (1 - H) .

H

H-1

H

r H-1

(21)

Как видно из (17), максимальная задержка Dmax зависит от размера буфера В. Емкость посылки с, необходимой для получения максимума задержки Dmax, при заданной вероятности отклонения е может быть легко получена численными методами из решения уравнения

D„

H

_(c - a )(ко)H-1HH-1 (1 - H)

H H

H-l-r H-1 .

(22)

Зависимость Dmax как функции коэффициента использования посылок р от различных значений параметра Херста при а = 138 бит/мс, а = 420 бит/мс и е = 0,05 приведена на рис. 5.

В случае модели FARIMA невозможно получить функцию, описывающую дтах, так как д(п) — дискретный процесс и максимальное значение д(п) трудно найти аналитически. Поэтому величины дтах и Dmax были получены численными методами.

с

с

с — a

c

Рис. 5. Максимальная задержка Dmax как функция коэффициента использования

Сравнительный анализ численных результатов

На рис. 6 показаны значения Qmax в килобитах и коэффициенты использования р, полученные для различных моделей и параметров корреляции при различных процессах рабочей нагрузки при а = 138 бит/мс, а = 420 бит/мс и є = 0,05.

Из рисунка видно, что максимальная длина очереди равномерно увеличивается на промежутке значений от Н = 0,5 до Н = 0,7, а на промежутке значений от Н = 0,7 до Н = 0,9 происходит резкое увеличение максимальной длины очереди.

Важно отметить, что на максимальную длину очереди влияет ДВЗ структура трафика. Длина очереди, полученная для модели ФГШ с параметром Херста Н = 0,7, почти в 7 раз длиннее, чем значение, полученное для Н = 0,5. Сравнение результатов, полученных для такого же значения параметра Херста, но для различных структур КВЗ,

Рис. 6. дтах в килобитах для суммарного процесса рабочей нагрузки ФБД

показывает, что структура КВЗ также оказывает существенное влияние на параметры QoS.

На рис. 7 показаны зависимости коэффициента использования посылки от показателя Херста для фиксированных параметров трафика, вероятности отклонения и двух различных задержек для процессов рабочей нагрузки при следующих параметрах структуры корреляции: а = 138 бит/мс, а = 420 бит/мс и е = 0,05.

Рис. 7. Коэффициент использования посылки для суммарного процесса рабочей нагрузки ФБД

Данные получены путем анализа процессов ФБД и FMA при задержке Dmax =50 и Dmax =500. Из рисунка видно, что коэффициент использования посылки равномерно уменьшается только при использовании процесса ФБД и Dmax =50. При использовании модели процесса фрактального скользящего среднего ^МА) коэффициент использования посылки уменьшается по параболическому закону, при Dmax =500 кривая распределения имеет самый пологий наклон. Это объясняется тем, что при больших задержках коэффициент использования посылки будет мало изменяться при различных значениях Н.

Обе тенденции подобны, единственное различие в том, какие модели фрактального скользящего среднего (С,1) обрабатывают положительную структуру корреляции КВЗ, полученную для отрицательного значения в . Поскольку это может произойти, то положительная структура корреляции КВЗ для модели фрактального скользящего среднего (С,1) имеет меньше влияния на р, чем фрактальная авторегрессия (FAR)(1,d) на Dmax.

Вычисление параметров алгоритма обслуживания «дырявое ведро»

У сетевого трафика как вероятностного процесса есть среднее и переменное количество трафика,

посланного в определенный интервал времени. Исследование структуры трафика показало, что в сетевом трафике наблюдается явление пульсации пакетного трафика [9, 10]. Пульсации пакетов означает, что во время некоторого промежутка времени источник посылает очень много данных или очень мало данных, или не посылает данных вообще. Но пользовательский трафик должен быть ограничен, чтобы избежать перегрузки. Если бы алгоритм «отбрасываемого хвоста» использовался для управления пульсирующим трафиком, то задержка или вероятность отбрасывания были бы высоки. Одно из решений состоит в том, чтобы использовать алгоритм «дырявого ведра», который позволяет ограничить пользовательский трафик при посылке пакетов.

Алгоритм «дырявого ведра» может быть описан двумя параметрами: первый — размер области памяти Ъ и второй — маркерная норма накопления г (рис. 8).

В первом случае пакет посылают, если есть достаточно много маркеров. Единственный маркер может быть связан с единственным пакетом или, даже с единственным битом.

Во втором случае используется единственный маркер, связанный с единственным битом. (этот случай рассмотрен ниже). Если есть недостаточно много маркеров, пакет отбрасывается. Маркерная область памяти заполнена маркерами постоянной нормой г.

Пакет можно послать, если есть достаточно много маркеров. Поэтому, если один маркер равен

одному биту, то пакет отбрасывается при условии

гг + Ъ - Аг = Ъ - (Аг - гг) < 0, (23)

где Аг — суммарный процесс рабочей нагрузки; Ъ и г — параметры «дырявого ведра».

Уравнение (23) соответствует уравнению (7), т. е. е (0, г), 0 < Ах - ^ < ъ.

Процесс Аг - гг может характеризовать количество маркеров, которые необходимо передать за время г. В этом случае вероятность отбрасывания принимают равной

Рс = Р(Аг - гг > Ъ), (24)

где рс — вероятность отбрасывания.

Уравнение (24) подобно уравнению (14), полученному для алгоритма «отбрасываемого хвоста», где с = г и В = Ъ. Поэтому

Ъ = А(г) - гг ^ рс =е. (25)

На основе предположения (25) в [11] был предложен новый алгоритм «дырявого ведра» под названием «алгоритм «фрактального дырявого ведра».

Чтобы получить верхнюю границу рс, в алгоритме «отбрасываемого хвоста» рассматривают количество одновременных подключений Ъ как

Ъ = max^ (А(г) - гг). (26)

В терминах «дырявого ведра» этот параметр интерпретируется как Ъ = ^шж, а коэффициент использования «дырявого ведра» может быть пред-

а

ставлен в виде р = — .

с

Маркерная норма

Рис. 8. Схема алгоритма «дырявого ведра»

Таким образом, рассмотрены и проанализированы процессы организации очередей и факторы, влияющие на них при самоподобном трафике на выходе. Получены аналитические и численные результаты для периода занятия, максимальной задержки и коэффициента использования. Показано, что модели FARIMA дают наиболее реалистичные оценки параметров обслуживающих очередей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Jakubowski J., Sztencel R. Wst^p do Teorii Prawdopo-dobienstwa, SCRIPT, Warszawa 2000.

2. Mayor G., Silvester J. Time Scale Analysis of an ATM Queueing System with Long—Range Dependent Traffic, Proceedings of IEEE INFOCOM, pp. 205—212, 1997.

3. Adas A. Traffic Models in Broadband Networks, IEEE Communications Magazine, 35(7), pp. 82—89, July 1997.

4. Cappe O., Moulines E., Pesquet J.-C., Petropulu A., Yang X. Long-Range Dependence and Heavy—Tail Modeling for Teletrac Data, IEEE Signal Processing Magazine, 19(3), pp. 14 — 27, May 2002.

5. Hlavacs H., Kotsis G., Steinkellner C. Traffic Source Modeling, Technical Report No. TR-99101, Institute of

Applied Computer Science and Information Systems, University of Vienna, Austria 1999.

6. Xue F., Liu J., Shu Y, Zhang L. Traffic Modeling Based on FARIMA Models in Proceedings of IEEE Canadian Conference on Electrical and Computer Engineering (CCECE99), pp. 162 — 167, May 1999.

7. Ansari N., Liu H., Shi Y.Q., Zhao H. On Modeling MPEG Video Traffics, IEEE Transaction on Broadcasting, 48(4), pp. 337 — 347, December 2002.

8. Zhou Y., Sethu H. On the Effectiveness of Buffer Sharing in Multimedia Server Network Switches with SelfSimilar Traffic, in Proceedings of IEEE International Conference on Communications (ICC 2002), 25(1), pp. 2533—2536, April 2002.

9. Leland W.E., TaqquM.S., Willinger W., Wilson D.V. On the Self-Similar Nature of Ethernet Traffic (Extended Version), IEEE Transactions on Networking, 2, pp. 1 — 15, February 1994.

10. Floyd S., Jacobson V. Random Early Detection Gateways for Congestion Avoidance, IEEE/ACM Transactions on Networking, 1(4), pp. 397—413, August 1993.

11. Fonseca N., Mayor G., Neto C. On the Equivalent Bandwidth of Self-Similar Sources, ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation (TOMACS), 10(2), pp. 104 — 124, April 2000.

Поступила 10.03.2009 г.