Регрессионные и фрактальные модели телекоммуникационного трафика Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.396.67

Регрессионные и фрактальные модели телекоммуникационного трафика

А.В. Осин

Приведены теоретические сведения и сравнительный анализ основных классов регрессионных процессов, используемых в качестве моделей телекоммуникационного трафика; отражены возможности получения регрессионных процессов с фрактальными свойствами; выполнены оценки фрактальных свойств для нескольких регрессионных процессов; рассмотрен алгоритм получения регрессионных процессов с фрактальными свойствами.

Theoretical aspects and comparative study of the main regression processes used in network traffic modeling are described; possibilities of the regression processes creation with fractal properties are presented; fractal properties estimations for several regression processes are obtained; algorithm of generating regression processes with fractal properties is presented.

Введение

Модели трафика используются при проектировании для предсказания производительности сети и оценки схем управления перегрузками, а также с целью моделирования различных ковариационных структур и распределений. Модели, которые не охватывают статистических характеристик реального трафика, приводят к некорректной оценке пропускной способности сетей из-за того, что они либо переоценивают, либо недооценивают ее. Модели трафика должны иметь небольшое число параметров. Оценка этих параметров должна быть простой. Модели трафика, которые не поддаются аналитической трактовке, могут использоваться только для генерирования трасс трафика.

Модели трафика могут быть как стационарными, так и нестационарными. Стационарные можно разделить на две категории: кратковременно-зависимые (КВЗ) и долговременно-зависимые (ДВЗ). Кратковременно-зависимые модели это традиционные модели трафика, такие как марковские и регрессионные модели.

Поскольку регрессионные модели просты в реализации, они широко используются при моделировании. Вместе с тем системы построения очередей для регрессионных моделей, как правило, с трудом поддаются аналитической трактовке. В результате для получения приближенного аналитического решения регрессионные модели часто аппроксимируются марковскими моделями.

Регрессионные модели определяют последующую случайную переменную в виде рекурсивной функции от предыдущих случайных переменных. Поэтому они используются для моделирования последовательностей, которые не сильно из-

меняются между следующими друг за другом наблюдениями: например, количество бит на кадр для УБЯ-видеотелеконференции.

Стационарные последовательности можно моделировать только с помощью ЛЯ-, ЛИМА-, БАЯ- и ТБ8-регрессионных процессов, в то время как АММА-регрессионный процесс может использоваться для моделирования и стационарных, и нестационарных последовательностей.

В общем случае ЛЯ-, ЛЯМЛ- и АММА-процессы имеют гауссовское распределение. Следовательно, чтобы моделировать последовательность, имеющую произвольное распределение, необходимо двухступенчатое преобразование, результатом которого является процесс с требуемым распределением, полученным из гауссовского. Однако это преобразование не гарантирует, что преобразованный процесс будет иметь такую же корреляционную структуру, как у исходного.

Ниже в качестве примера ДВЗ-модели трафика рассматривается модель на основе РЛЯ1МЛ-процесса, которая имеет некоторые преимущества по сравнению с моделями, основанными на других фрактальных процессах. К таким процессам можно отнести фрактальное броуновское движение (ФБД), объединение ОК/ОРР-источников с высокой изменчивостью и др.

Фрактальное броуновское движение имеет только один параметр, контролирующий корреляционную функцию, поэтому отсутствует гибкость при моделировании кратковременной зависимости.

Объединение большого количества ОК/ОРР-источников с бесконечной дисперсией для ОК- и ОРР-периодов позволяет формировать ДВЗ и может использоваться для охвата асимптотического

поведения ДВЗ-трафика. Однако возможность моделирования кратковременного поведения все еще остается под вопросом.

Модели РЛЯ1МЛ (р,й,д) имеют три параметра

- р, й и д, которые управляют корреляционной структурой. Следовательно, они могут охватывать как кратковременную зависимость, так и долговременную. Очевидно, что необходима модель, которая сможет отразить кратковременную зависимость, долговременную зависимость и произвольное распределение. Далее будут представлены основные виды регрессионных процессов по мере возрастания их сложности. И последняя модель (РЛЯ1МЛ) позволит наиболее гибко оперировать как с кратковременной, так и с долговременной структурой процесса.

Линейные авторегрессионные процессы

Класс линейных авторегрессионных (АЯ) процессов АЯ(р) состоит из линейных авторегрес-сионых моделей порядка р:

а(В)Хп = 2п, п > 0, (1)

где (Х_р+1,..., Х0) - заданный случайный вектор (обычно нормальный вектор); а(В) = 1 - а1В - а2В2

- ... - арВр (аг, 1 < г < р - действительные константы); В - оператор обратного сдвига, определяемый как В;Х(0=Х(У - у); Хп - некоррелированные случайные переменные (белый шум) с нулевым средним, называемые инновациями, которые не зависят от Хп [1] (в «хорошей» модели инновации должны быть меньшей величины, чем Хп).

Рекурсивный вид (1) показывает, как, исходя из предыдущих элементов, сгенерировать последующий случайный элемент в последовательности

{Хп}П=0 . Это делает подобные модели пригодными

для имитации коррелированного трафика. Непосредственный алгоритм для моделирования АЯ-процессов следует из (1) и может быть записан в виде

ґ

Хп =^гХП-г + %п, П > 0.

ной случайной величины из независимой и одинаково распределенной нормальной последовательности. Цель использования двух авторегрессионых процессов - получить лучшее приближение к реальной ковариационной функции. Третий член вводился для реализации всплесков, вызванных сменой видеосцен.

Процессы скользящего среднего. Класс процессов скользящего среднего (МА) МА(д) состоит из процессов скользящего среднего порядка д:

Хп =в(В)2п , (2)

где в(В) = 1+вВ + РгВ2 +...+ДВ (вг, 1<г <д - действительные константы); Хп - некоррелированные случайные переменные с нулевым средним [1].

Алгоритм для получения реализаций процесса скользящего среднего на основании (2) можно записать как

Хп =^№п

п > 0.

г=0

С помощью МА-моделей формируются коррелированные временные последовательности, так как следующие друг за другом случайные переменные определяются на основе общего подмножества Хп.

Авторегрессионные модели скользящего среднего. Авторегрессионная модель скользящего среднего порядка (р,ф, обозначаемая как АЯМА(р,д), имеет вид

а(В)Х{ =в(В)X, (3)

а алгоритм для получения реализаций АЯМА(р,д) выглядит так:

Х = £а,Х(_1 +±р&_{ - (4)

і=1

і=0

г=1

В [2] для моделирования УБЯ-кодируемого видео была использована простая АЯ(2)-модель. Более сложные модели могут быть получены на основе АЯ(р)-моделей, комбинируемых с другими моделями. Например, в [3] трафик битовой интенсивности видео моделировался суммой Яп = Хп + Уп + КпСп, где первые два члена означают АЯ(1)-модель, а третий член - произведение простой марковский цепи и независимой нормаль-

где а(В) = 1 - а1В -... - арВр - многочлен от оператора В р-й степени; в(В) = 1+в1В +...+ в В - многочлен от оператора В д-й степени.

Это эквивалентно фильтрации белого шума линейным фильтром, инвариантным к сдвигу времени, который имеет дробно-рациональную передаточную функцию ср полюсами и д нулями [4], т.е.

н (г ) = Вд(г ) =1 -У 1=0в -

•« 1 -УР арz

=1 р

Ковариацию для процесса АЯМА(р,д) можно получить перемножением (3) и Хг-к, определив математическое ожидание и найдя взаимную ковариацию между XI и Х{.

Нк = а1 Нк-1 + к + ар&к-р -

-а\ ( + Рк+А + к + Рд\-к ),

где к{ - импульсная характеристики для

ЛЯМЛ(р,д)-фильтра Н^).

Отметим, что для к>д вк= 0. Следовательно, для к>д ковариация процесса Як = а\Кк-\ + а2Як-2+ +...+ арКк-р является разностным уравнением, и значит, ковариация для ЛЯМЛ(р,д) затухает согласно экспоненциальному закону.

Можно использовать ЛЯМЛ-модель для моделирования УБЯ-трафика [5]. С этой целью длительность видеокадра поровну делится на т временных интервалов. Количество ячеек в п-м временном интервале моделируется следующим ЛЯМЛ-процессом:

т-1

Хп = аХп-т + '*^вкХп-к .

к=0

Поскольку из-за временной корреляции видеоданные в каждом кадре взаимосвязаны, корреляционная функция имеет пики для всех задержек, которые кратны т. В приведенной выше модели для моделирования эффекта повторной корреляции используется ЛЯ-часть, а подбор корреляции для других задержек осуществляется с использованием вк.

Параметрическая оценка ЛЯМЛ-моделей более сложна, чем для ЛЯ-моделей, так как оценка вк требует решения множества нелинейных уравне-

ний или использования методик спектрального разложения [4]. Аналитические решения получить также трудно.

Анализ обычных рядов предполагает, что Х( -

«смесь» [6], т.е. < » , и, следовательно, Н(т)

Т

затухает экспоненциально с ростом т, свидетельствуя о том, что значения Х, которые существенно разнесены во времени, являются приблизительно некоррелированными. Из-за подобного характера корреляционной структуры ЛЯМЛ-процессы также называют кратковременными (кратковременно-зависимыми) процессами.

Доказано [7], что в коммуникационных сетях присутствуют временные ряды, для которых корреляции между наблюдениями, значительно разнесенными во времени, затухают очень медленно. Эти временные ряды не могут быть точно описаны ЛЯМЛ-моделями. Асимптотическое затухание ковариационной функции является таким, что справедливо соотношение

Ят ~ с |Т2й-1, (5)

где Н Ф 0 и 0< й< 0,5. Стационарные процессы с ковариационной функцией, затухающей в соответствии с (5) для т^-<х), называются долговременными (долговременно-зависимыми) процессами [8]. На рис. 1 показан пример корреляционной функции КВЗ- и ДВЗ-процессов.

Рис. 1. Коэффициент корреляции ряда: а - проявляющего КВЗ (ARMA(1; 0) с полюсом z = 0,9); б - проявляющего ДВЗ (VBR-трасса фильма «Star Wars»)

Фрактальный авторегрессионный интегральный процесс скользящего среднего (ЕАШЫА). Авторегрессионный интегральный процесс (АММА-процесс) используется для описания класса нестационарных рядов {Хг : г е 2},

которые проявляют однородность в отличие от их локального уровня и/или тренда, т. е. одна часть ряда ведет себя так же, как и любая другая часть [9]. Другими словами, если убрать изменения локального уровня и/или тренда, то ряд становится стационарным. Такие ряды описываются обобщенным авторегрессионным оператором ф(В), который записывается следующим образом:

ф(В) = а(В)(1 - В) , (6)

где а(В) = 1- аВ1- а2В2 -...- арВр - многочлен р-й степени; й - натуральные числа, определяющие порядок дифференцирования.

Таким образом, обобщенная модель, которая описывает однородное нестационарное поведение, имеет вид

ф( В ) Х( =в( В ) 2 (7а)

или а(В)(1 - В)й Х( =Р(В)2{, (7б)

или а( В ) Х{ = в( В ) 2,, (7в)

где Х(г) = (1 - В)йУ (г) = зйУ (г).

На практике кратность й обычно равна 1 или самое большее - 2. Случай й=1 говорит о том, что Х{ имеет линейный тренд, а й>1 - полиномиальный тренд. Процесс, определенный как (7,а), называется ЛЯ1МЛ-процессом порядка (р,й,д). На рис. 2 показана выборочная реализация для ЛЯ1МЛ(0;1;1) (с нулем в г = -0,1) и ЛЯ1МЛ(1;1;0) (с полюсом в г = 0,8).

Термин «интегральный» в названии ЛЯ1МЛ используется из-за следующего отношения, которое фактически является обратным для (7,г): У(г) = <?Х(0, где ^ - это оператор суммирования (или, в случае непрерывных функций, - оператор интег-

да

рирования), определяемый как ^ = 1/(1-В) = ЕВ'.

у=0

Таким образом, произвольный ЛЯ1МЛ-процесс может быть сгенерирован из инновационного процесса XI при помощи трех фильтров.

Формирование ЛЯ1МЛ-процесса можно считать первым шагом на пути к получению ЕЛШМЛ-процесса. В ЛЯ1МЛ-процессе параметр й рассматривается только как целочисленный. РЛЯ1МЛ-процесс получается, если снять это ограничение, т.е. разрешить брать для й дробные значения. Ана-

Рис. 2. Выборочная реализация: а - процесс АЯ1МА(0;1;1) ДВ) = 1 + 0,1В; б - процесс АЯ1МА (1;1;0), а(В) = 1 - 0,8В

лиз рядов, использующих РЛЯ1МЛ-процессы, был независимо предложен в [10, 11].

Определение. Положим, что Хг - это стационарный процесс, такой, что для некоторого йе (-0,5; 0,5) можно записать выражение

а (В)(1 - В)с1Х1 =Р(В)2,. (8)

Тогда Хг - это РЛЯ1МЛ(р, й, д)-процесс.

Поскольку йе (-0,5; 0,5), это говорит о том, что Х{ имеет дробный полюс при В=1. Верхняя граница й<0,5 необходима, потому что для й>0,5 процесс является нестационарным. Однако случай й>0,5 может быть приведен к случаю -0,5<й<0,5, если возьмем соответствующие разности. Например, если (8) удовлетворяется при й=1,2, тогда разностный процесс Х( - Хг.\ является решением для (8) с й = 0,2. Если й = ±0,5, тогда Хг либо стационарный, либо обратимый процесс, но не то и другое сразу [11]. В случае, когда 0<й<0,5, РЛЯ1МЛ(р;й;д)-процесс проявляет ДВЗ. Парамет-

ры р и д соответствуют порядку а(В) и в(В) и дают возможность гибкого моделирования кратковременных характеристик процесса. Несмотря на то, что ЛЯ1МЛ- и РЛЯ1МЛ-процессы создаются одинаково (т.е. формирователь является нестационарным), в итоге получается стационарный процесс. На рис.3 показаны выборки из различных РЛЯ1МЛ-процессов.

Влияние присутствия или отсутствия КВЗ для процессов, изображенных на рис. 3,а-д, на коэффициент корреляции показано на рис. 3,е. Для получения этих реализаций, использовался АЯ-компонент

а(В) =1-1,72В+ 0,81В2 и МА-компонент

в(В) = 1+0,9В - 0,7В2+ 0,35В3+0,4В4.

Рис. 3. Реализации регрессионных процессов: а - ЕАЯ1МА(0;0,45;4); б - ЕАЯ1МА(2;0,45;4); в -ЕАЯ1МА(0;0,25;4); г - ЕАЯ1МА(2;0,25;4); д - УАЯГМА(1;1;0); е -коэффициенты корреляции

Сравнивая рис. 3,а с 3,б и рис. 3,б с 3,в, видим, что ЛЯМЛ-параметры определяют корреляционную структуру при небольших задержках. Параметр долговременности й влияет на степень затухания гТ при т^ю. Значение й, близкое к 0,5, дает более существенную ДВЗ.

Спектр РЛЯ1МЛ(р;й;д) получается непосредственно из (8):

2

* (*) = %

1 - Є

-}Ю

-2С

в(е ю)

Поскольку|

1 - е

г(е

= 2^іп (ю/2 )|,

. 28Іп(ю/ 2)

а Ншю^.0----- ---- = 1, то поведение спектральной

ю

плотности при ш —>0 определяется как

|2

„2

бх (а) = ^г\ю 2п

І-2С

а

(1)2

(9)

1 - е

- ]ю

-2С

Г . -2й

Я(Т = -П-J (28т(ю/2)) со8(юг)йю.

После математических преобразований это выражение примет вид

Я(Л Г (-1)ТГ(1 - )

Т г Г(т-й + 1)Г(1 -Т-й)

Обозначив коэффициент корреляции как гТ = Я (т)/Я (0) , получаем

г =Г(1-й)Г(т+й) (10)

Т Г(й )Г(т- й +1)

Для больших значений т можно записать Г(т + а)/Г(т + Ь) ~ та-Ь. Тогда при т^ю справедлива формула

(11)

Выражение (9) показывает, что при 0<й<0,5 спектральная плотность £Х(ш) не ограничена при ш=0, т.е. 8Х (ю) \о=0 = да, а следовательно,

Е Я (т) = да, что указывает на субэкспоненциаль-

ное затухание ковариационной функции [12]. Вывод аналитического выражения для ковариационной функции затруднен.

Исключение составляет случай РЛЯ1МЛ (0;й;0)

а кова-

-процесса. Тогда SX(a>)= =-г-

2п

риационную функцию Я(т) получают, взяв обратное преобразование Фурье от SX(ю). Так как

1 - е-]°Ю = 2Цп (ю/2)| является действительной и четной функцией, то

г(й)

что и является видом, подобным (5).

В таблице сведены характеристики самоподобных и регрессионных процессов. На рис. 4 отражена связь между ними.

Методы параметрической оценки

Параметрическая оценка для РЛЯ1МЛ(р;й;д)-процессов включает в себя оценку параметра й, характеризующего ДВЗ, и оценку векторов а = [1, аь..., ар] и в = [1, вь- -, вд], которые описывают кратковременную зависимость. Существующие методы оценки можно разделить на две категории.

1. Методы, которые сначала оценивают только й (например, методики получения оценки с помощью эвристических методов и методов, основанных на графике спектральной плотности). И затем, устранив ДВЗ из данных и используя традиционные методы параметрической оценки ЛЯМЛ, можно оценить а и р.

Таблица. Сравнительный анализ регрессионных и самоподобных процессов

Процесс Стационарность Модель Свойства

АЯМА(р;<С;д) Да а( В ) Хп = в( В ) ^ Проявляет КВЗ

АЯ1МА(р;С;д) Нет а (В)(1 - В)С Хп = в (ВК , С = целое Проявляет КВЗ

ЕАЯ1МА(р;С;д) Да а (В)(1 - В)С Хп = в (В)ZИ Проявляет КВЗ и ДВЗ

Самоподобный Нет С Б (а/) = ан Б (/) Проявляет масштабную инвариантность

ФБД Нет Самоподобный процесс Приращения стационарные, распределение гауссовское

ФГШ Да Приращения ФБД Проявляет ДВЗ

2. Методы, которые одновременно оценивают d, аир.

Анализ их эффективности и сравнение их преимуществ/ недостатков приведем ниже.

Эвристические методы.

Эвристические методы изначально были предложены для оценки показателя Херста (H) в самоподобных процессах. Они могут использоваться для оценки d в FARIMA-процессе Xt, так как d =

H - 0,5 и кумулятивный процесс S(t), определяемый как

S(t) = Z и= X(и), является самоподобным при t^w. Однако необходимо отметить, что эвристические методы не пригодны для статистического анализа и используются преимущественно как диагностический инструмент, определяющий присутствие ДВЗ в данных. Популярными эвристическими методами являются анализ изменения дисперсии и R/S-статистика.

На рис. 5 показаны типичные графики изменения дисперсии и R/S-статистики для процессов, изображенных на рис. 3.

Периодограммный метод. Функция спектральной плотности Sx(d) для FARIMA(p;d;g)-процесса Xt является неограниченной при d = 0 и ведет себя как (9) при d^0. Взяв натуральные логарифмы от обеих частей (9), получаем следующее выражение:

|2"

k>g |S (а) = log і21+log

йог

a

(1)

Поскольку первые два члена в правой части (12) не зависят от d и d, то можно записать: log {Sx (®)} = C - 2d log|ю|,

где C - некоторая константа.

Таким образом, log-log график зависимости SX(d) при d^0 будет прямой линией, имеющей наклон -2d.

Известно, что в случае ARMA-процесса необработанная периодограмма является приблизительно несмещенной оценкой функции спектральной плотности. Более того, для получения согласованных оценок используются такие методики, как обработка методом окна, усреднение периодограммы и сглаживание.

Рис. 4. Блочная диаграмма, отражающая связь между регрессионными и самоподобными процессами

Статистическое поведение необработанной периодограммы /^(ш) для БАЯША-процесса отличается от периодограммы для АЯМА-процесса. Например, в [11] было показано, что для БАЯІМА-процессов /Хш) является приблизительно смещенной, и для / ^ /' ординаты периодограммы ІХШ/) и

/ХШ) являются приблизительно коррелированными. Тем не менее при отсутствии лучших альтернатив для ДВЗ-процессов все еще используются традиционные методы снижения дисперсии.

Метод Виттла. Для заданного набора наблюдений Х(/)= (Х(1),...,Х(^))Т для гауссовского БАЯІМА(р;С;д)-процесса метод Виттла одновременно оценивает неизвестные параметры в = (&С, С, в3,..., вм), максимизируя функцию правдоподобия. Здесь дисперсия процесса приращения, а (в3,..., вм) соответствуют параметрам кратковременной зависимости.

- 2d log | о|. (12)

Положим, что R

N

(X ^[C X (J -1)],,=1к

N

- корреляционная матрица для Х(г). Тогда функцию правдоподобия для Х(г) =(Х(1),., Х(п))т можно записать в виде

1

w

(X ;*)=■

exp

(2п )N 2 [ det (R n (0))] XTRN (0)x 1

1/2

Логарифм функции правдоподобия определяется как

X

к

о

о.

а;

1-0,5

с[

о>

о

к ^

\\ .

\ х н=0'836

Н \

\ «Л* -V

Н =1

_Х±_

К

О I 2

Іодю(размер блока)

Іодю(размер блока)

о:

о

о.

О)

с

о

СГ

05

О

а)

Іодю(размер блока)

Іодю(размер блока)

б)

в)

г)

„ 2

СЛ

2

га

о

■ /

Н =1 У

/ ^^^«=0,791

- /*> ^" -

У .X

/Ж г'

/Г''-' \

- •- \ Н =0,5 -^

1 2 3

1одю(размер блока)

со Ї 1

О)

о

Н =0,5

I 2 3

1одю(размер блока)

1од10(размер блока)

со

2

О)

о

Іодю(размер блока)

Рис. 5. Оценки показателей Херста для различных регрессионных процессов: а - ЕАЫМА(0;0,25;4); б - ЕАЫМА(0;0,45;4); в - ЕАММА(2;0,25;4); г - ЕАММА(2;0,45;4)

Ьн (Х;д) = 1ов[то(Х;д)] = -(2п) -

- -2log [ае1 (я N (д))] - 2 хт ^ (в)Х. (13)

Оценка максимального правдоподобия д является решением системы из М уравнений

д

дв

д2

дв

■Ln (X;в) = 0.

J = 1,..., 1M

-Ln (X;в)< 0,

J

где вLn (X;в) = -"2двlQg[detRN (в)]

дв

J

-1X T

2

дв

■R N1 (в)

x.

Подставляя (14) и (15) в (13), получаем Ln (X;в) = -Лlog(2п)-

N I-n log Rx (а;в))а-

X T A (в)Х

(Іб)

s2 x мм;,

Поиск набора параметров, который одновременно максимизирует (13), требует оценки инверсии ковариационной матрицы Ry^). Эта операция вычислительно требовательна и в некоторых случаях может быть численно неустойчива. Метод Витт-ла использует следующую аппроксимацию [10]:

для log (det (R a (^)))-

Urn ilog(det(Ra (0))) =

=j-nlog {sx (®;0)} (14)

для XTR-y1 (0) X матрица Ry1 (0) заменяется на

л(в)=Н1-%л..........y • (15)

где А(в) является асимптотически обратной к Ry(0);

а(-/) =—1— [ --------1—-ег(-/)<ud®, где i=4~1.

1 ' (2п) -п Sx (;0)

(0) ~ I ~2Х 4“'I О/

2п ■> -п ■> -п Б (ю;0)

Функция стоимости Ь№(в) обычно одновершинная.

Синтез ЕАШМА(р;^;#)-процесса

Синтез БАЫМА-процесса важен для оценки эффективности различных методик параметрической оценки. Цель любого алгоритма синтеза БАЫМА - сгенерировать последовательности, которые приблизительно обладают персистентностью, и быть вычислительно привлекательным для генерирования большого количества данных. РАЫМА(рХд)-процесс Хп может рассматриваться как АКМА(р,д)-процесс, управляемый

БАЯІМА(0;С;0) Уп. Поэтому для генерирования БАЫМА может применяться двухшаговый алгоритм.

Процедура синтеза выглядит следующим образом:

1) генерируется БАЯІМА(0;С;0)-последова-тельность, проявляющая ДВЗ:

У = Д-С7 •

1п ^ ^п ’

2) получаем последовательность

Хп =а- (В)в(В)Уп .

Чтобы получить последовательность значений Уп, предположим, что все значения Уп равны 0 для п<0. В результате для получения БАЯІМА(0;С;0) может быть использован следующий алгоритм:

Yn =У nkYn-k

+ a„

к=0

Максимизация (16) эквивалентна минимизации функции стоимости Виттла, которая определяется как

,, 1f« , ч XT А (0) X

lw (0)=1-п log S2 x (®;0d®+—

и может быть преобразована к окончательному виду:

где П0 = 1, щ = й, %к = к 1 й %к-!, к = 2,3,...,да .

к

Другой алгоритм генерирования

РЛЯ1МЛ(0,й,0)-процесса был предложен Хоскин-гом (Но8И^). Этот алгоритм выглядит следующим образом. Процесс У обладает гауссовским распределением с нулевым средним, дисперсией у0 и фрактальным дифференциальным параметром й = Н-1/2. Коэффициент корреляции подчиняется гиперболическому закону и зависит от й как й(1 + й)•••(п -1 + й) п (1 - й )(2 - й )•••( - й)

Из нормального распределения N(0, у0) выбирается У0. Установим N0 = 0 и 00 = 1. Затем сгенерируем к точек при помощи последовательности шагов для п = 1, ,к:

п-1

Nn =Рп -Хфп-!,/Гп-/ ,

/=1

Ап = Ап-1 - Nn-l/ Ап-1,

Фпп = Nn / Ап ,

Фп/ = фп-1,/ - фппфп-1,п-/ , І = I • • •, п - 1,

п

тп =ЕФп/Уп - / ,

/=1

V =(1 -ффп )^п-1

Каждое значение Уп следует выбирать из Щтк,ук).

Далее следует использовать алгоритм генерирования АЯМА-процессов, что позволит сгенерировать РАММА(р,С,д)-процесс Хі просто заменив 7І (белый шум) на У(РАЫМА(0;С;0)).

Исходя из оценок, приведенных на рис. 5, можно судить, что регрессионные процессы могут успешно использоваться в качестве моделей для трафика, обладающего фрактальными свойствами.

Разработанный на сегодняшний день мощный аналитический аппарат анализа и синтеза регрессионных процессов успешно может применяться для получения и анализа моделей фрактального трафика.

Гибкость регрессионных моделей позволяет управлять одновременно и кратковременными, и долговременными свойствами модели, что невозможно реализовать для моделей на основе ФГШ/ФБД без дополнительной обработки.

Приведенный алгоритм синтеза регрессионного процесса с фрактальными свойствами FARIMA(^;йf;^) демонстрирует легкость получения подобных процессов на практике.

ЛИТЕРАТУРА

1. Beran J., A test of location for data with slowly decaying serial correlations, Biometrika, 76:261-269, 1989.

2. Heyman D. P., Tabatabai A., Lakshman T. V., Statistical analysis and simulation study of video teleconference traffic in ATM networks, IEEE Transactions on Circuits and Systems for Video Technology, 2:49-59,1992.

3. Ramamurthy G., Sengupta В., Modeling and Analysis of a Variable Bit Rate Video Multiplexor, Proceedings of INFOCOM '92, Florence, Italy, 1992, 817-827.

4. Hayes M., Statistical Digital Signal Processing and Modeling, John Wiley & Sons, 1995.

5. Grunerife/der R., Cosrnas J., Manthorpe S., Odinma-Okafor A., Characterization of video codecs as autoregressive moving average processes and related queueing system performance, IEEE Journal on Selected areas in Communications, Vol. 9, pp. 284-293, April 1991.

6. Bri//inger D. R., Time Series: Data Analysis and Theory, San Francisco, CA, Holden Day, 1981.

7. Cox D. R., Long-range dependence: a review, In H.A. David and H.T. David, editors, Statistics: An Appraisal, pages 55-74. Iowa State University Press, 1984.

8. Beran J., Statistics for Long-Memory Processes, Chapman & Hall, New York, 1994.

9. Geweke J., Porter-Hudak S., The estimation and application of long memory time series models, Journal of Time Series Analysis, 4:221-238, 1983.

10. Beran J., Statistical methods for data with long-range dependence, Statistical Science, 7(4):404-416, 1992. With discussions and rejoinder, pp. 404-427.

11. Robinson P.M., Log-periodogram regression of time series with long range dependence, The Annals of Statistics, 23:1048-1072, 1995.

12. Brockwe// P.J., Davis R. A., Time Series: Theory and Methods, Springer-Verlag, New York, 2nd edition, 1991.

Поступила 22. 09. 2006 г.