Сравнение по модулю 2 круговых единиц в полях Q16 и q32 Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Челябинский физико-математический журнал. 2016. Т. 1, вып. 4. С. 8-29.

УДК 512.5

СРАВНЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 2 КРУГОВЫХ ЕДИНИЦ

в полях д16 и д32

Р. Ж. Алеев1'2'", О. В. Митина1'26, Е. А. Христенко1с

1 Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия 2Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия "[email protected]; ь[email protected]; с[email protected]

В данной работе изучается поведение единиц (обратимых элементов) колец целых 2-круговых полей. В частности, рассмотрена сравнимость по модулю 2 для круговых единиц полей Ql6 и Qз2.

Ключевые слова: групповое кольцо, единица группового кольца, циклическая группа, примитивный (первообразный) корень.

Введение

Эта работа является вспомогательной для изучения групп единиц целочисленных групповых колец циклических 2-групп. Группы единиц целочисленных групповых колец циклических групп порядков 2 и 4 тривиальны, для порядка 8 имеется полное описание группы единиц её целочисленного группового кольца, например, можно найти информацию об этом в [1]. Поэтому будут исследоваться циклические 2-группы порядка 2П ^ 16. Для группы порядка 2П полями характеров будут круговые поля Q2k для к ^ п, причём в случае циклической группы встретится любое такое к.

Цель работы состоит в изучении поведения единиц (колец целых) 2-круговых полей. Сформулируем более точно. Пусть Г — подполе поля комплексных чисел С и Z — кольцо всех целых алгебраических чисел. Обозначим через I(Г) = Г П Z кольцо целых поля Г, и(I(Г)) — группа единиц кольца I(Г).

Если круговое поле получено присоединением к полю Q первообразного (примитивного) корня из 1 степени 2П, то такое поле будем обозначать как Q2n или Q(C2n), где (2п — первообразный корень из 1 степени 2П, п = 1, 2, 3,... Отметим, что Q = Q1 = Q2 и Q4 = Q(i) — поле гауссовых чисел. Согласно [2], кольцом целых 2-кругового поля Q2n = Q(Z2n) является множество

^] = {/К*.) | / е ВД

всех многочленов от с целыми коэффициентами. Хорошо известно, что

I ^) = £ и и (£) = (-1), IШ) = £ [г] и и (£ [г]) = (г) - £4.

1. Круговые единицы 1.1. Общие сведения

Определение 1. Пусть — первообразный корень из единицы степени 2П, где п = 1, 2, 3,... , Р = (1 — I к € {1,..., 2П — 1}) — подгруппа по умножению мультипликативной группы (2п поля (2п. Назовём группой круговых единиц поля (2" группу К = Рпи]), где и]) — группа единиц (обратимых элементов) кольца ].

Для удобства при целых п ^ 3 и т =1, 2,... обозначим 2П = 8т, т. е. т = 2П-3.

Лемма 1. Ранг группы и^[£8т]) единиц кольца целых кругового поля (вт,

равен 2т — 1.

Доказательство. Если ( — расширение Галуа поля (, [< : Q] — степень этого расширения, то ранг г группы единиц кольца целых поля (12 вычисляется по следующей формуле ([1], лемма 1.6):

2 : (] — 1, если поле <5 действительно,

( :(] ! 5

--1, если поле < комплексно.

2—

Тогда

r(U (Z[C8m])) = - 1 = — - 1 = 2n-2 - 1 = 2m - 1.

□

Следствие 1. По лемме 1 для m =2 и m = 4 имеем:

1) ранг группы U(Z[(16]) единиц кольца целых Z[(16] кругового поля Q16 равен 3;

2) ранг группы U(Z[Z32]) единиц кольца целых Z[(32] кругового поля Q32 равен 7.

1.2. Полезные последовательности 1.2.1. Последовательность {sj}jeZ

Введём следующие обозначения:

1. Положим Z8m = а и, не ограничивая общности, будем считать, что

2п . . 2п

а = e = cos--+ г sin —.

8m 8m

Тогда, в частности, a4m = -1, a2m = i и am = ^(1 + i).

2. Для любого целого j положим Sj = aj + a-j.

Лемма 2. Последовательность {sjимеет следующие свойства:

1. Последовательность {sj }j€Z периодична с периодом 8m и

So = 2, S4m = -2, S2m = S6m = 0,

Sm s7m V^2, s3m s5m "\/2.

2. Набор (s0, s1,..., s8m) симметричен относительно центра, то есть для j G {0,1, 2,..., 4m} s8m-j = Sj. Набор (s0, s1,..., s4m) антисимметричен относительно центра, т. е. для j G {0,1, 2,..., 2m} s4m-j = -Sj. Таким образом, для любого j G {1, 2,..., 2m - 1} Sj = -s4m-j = -s4m+j- = s8m-j. Все эти соотношения приведены в табл. 1.

Таблица 1

Соотношения для элементов sj, j € Z

s0 si sm_i sm sm+i s2m_i s2m

2 si sm_i /2 sm+i s2m_i 0

s2m+i s3m_i s3m s3m+i s4m_i s4m

-s2m_i sm+i -/2 sm_i -si -2

s4m+i s5m_i s5m s5m+i s6m_i s6m

-si sm_ i -/2 sm+i - s2m_i 0

s6m+i s7m_i s7m s7m+i s8m_i s8m

s2m_ i sm+i /2 sm_ i si 2

3. Для любых целых j и l Sj sj = + s1-j-, в частности s2 = s2j + 2 и

rjO/ - J+i 1 i_J ? It/I VU^I I h Lfc Oj

2 _ 4 2 _ 2 _ о 2 _ 2 _ 2 _ 2

S 4m _ 4, S 2m _ S 6m _ 0 U Sm _ S 3m _ S 5m _ S 7m

Доказательство. Используем обозначения для s j. 1. Из того, что

л/2

a4m _ -1, {a2m, a6m} _ {i, -i} и am _ ^-(1 + i),

,,0 I „,—0 _ о о _ „,4m I ,—4m

получим S 0 _ a0 + a 0 _ 2, S 4m _ a + a _ (-1) + (-1) _ -2, S 2m _ s6m

f (1 + i) + ( f

a2m + a_2m _ i + (-i) _ 0, sm _ s7m _ am + a_m _ ^(1 + i) + (#(1 - i)) _ /2.

2. Для любого целого ]

в8т±, = а8т±? + а-вд = а±? + а*?' = а? + а-? = в,. Так как а4т = — 1, то для любого целого ]

в4т±' = а4т±? + а-ад = — а± — а*?' = — а? — а-' = — в,.

3. В самом деле,

= (а' + а-' )(аг + а-1) = а,+1 + а-,+1 + а'-1 + а-'-1 =

+ = + з?-.? = + 2.

□

1.2.2. Последовательность {tj}jeZ

Для любого целого j положим

tj _ 1 + sj + s2j _ 1 + aj + a_j + a2j + a_2j.

Лемма 3. Последовательность {tj }jeZ имеет следующие свойства:

1. Последовательность {tj }jeZ периодична с периодом 8m и

t0 _ 5 t4m _ 1 t2m _ t6m _ 1 tm t7m 1 + V^2 и t3m t5m 1 V^2.

2. Набор (t0,ti, ...,t8m) симметричен относительно центра, т. е. для j € {0,1,2,..., 4m} t8m_j _ tj. Также t4m±j _ tj - 2sj для любого j € {0,1, 2,..., 4m - 1}, т. е. t4m±j = tj (mod 2).

3. Для любого целого j t2 _ t2j + 4tj + 2(-s2j + s3j), в частности t2 = t2j (mod 2),

t0 _ 25, t4m _ 1, t2m _ t6m _ 1, tm _ t7m _ 3 + ^V^2, t2m _ t5m _ 3 - ^V^2.

2

s

0

Доказательство. Будем использовать лемму 2.

1. Из пункта 1 леммы 2

¿0 = 1 + 2 + 2 = 5, ¿4т = 1 — 2 + 2= 1, ¿2т, = ¿бт = 1+0 — 2 = —1, ¿т = ¿7т = 1 + л/2 + 0 = 1 + л/2, ¿3т = ¿5т =1 — л/2 + 0=1 — л/2.

2. По пункту 2 леммы 2 для любого з € {1, 2,... , 4т — 1}

¿4т±- = 1 — в, + а8т±2^ + а-8т^' = 1 — в, + в2, = , — 2в,.

3. В самом деле, из пунктов 3 и 4 леммы 2 для любого з

¿2 = (1 + в,- + в2! )2 = 1 + (в2! + 2) + (в4! + 2) + 2(вг + в2, + в,- в2,) =

= 5 + в2, + в4, + 2(в, + в2, + в, + вз,) = 5 + 4в, + 3в2, + 2вз, + в4, = = (1 + в2, + в4,) + (4 + 4в, + 2в2, + 2вз,) = ¿2, + 4*,- + 2( —в2, + вз,).

Из пункта 1 следует

¿0 = 25, ¿4т = 1, ¿2т = ¿2т = 1,

¿т = ¿2т = ¿2т + 4^т + 2( — в2т + в3т) = ¿бт + 4^7т + 2( —вбт + в3т) =

= —1 + 4(1 + V!) + 2(—^2) = 3 + 2^2

и аналогично

¿3т ¿5т ¿бт + 4^3т + 2( вбт + вт)

= ¿2т + 4^5т + 2( — в2т + в7т) = 3 — 2\/2.

□

1.3. Группа круговых единиц

Опишем группу круговых единиц К поля (2" в удобной форме. Группа круговых единиц тесно связана с группой всех единиц кольца целых поля (2п (подробности в [3-7]). 1.3.1. Описание Р

Сначала изучим подгруппу Р = (1 — ак|к € {1, 2,... , 8т — 1}) < (8т.

Лемма 4. При введённых выше обозначениях

Р = (1 — а |з € {1, 3,..., 8т — 1}), (а) < Р.

Доказательство. Будем действовать, как в [8]. Группу Р можно представить в виде

Р = (1 — а | з € {1, 3,..., 8т — 1}> (1 — а | з € {2, 4,..., 8т — 2}) .

Так как 1 — а1+4т = —а1+4т (1 — а-1-4т) = а (1 — а8т-1-4т) = а (1 — а4т-1), то (а) ^ (1 — а-7 | з € {1, 3,..., 8т — 1) ^ Р.

Пусть к > 0 и к < п; з = 2к (2в + 1) для к > 0, 0 = а°5+1, в — целое. Отметим, что 02 = а-'. Воспользуемся соотношением Милнора из [9]. Имеем следующее разложение многочлена:

2к-1

2п-к1\

У2к — 1= Ш* — п)= Ш* — а2"-к1).

п2к=1 1=0

Подставим 9 1 вместо y в это разложение и получим

r2fc - 1= П (9-1(! - 9a2n-fc0) . 1=0

Теперь, умножая полученное соотношение на 92', получим

1 - а = 1 - 92' = П(1 - 9a2n-kl) = П(1 - a2n-fcl+2s+1). 1=0 1=0

Так как 0 < k < n, то 2n-kl + 2s + 1 — нечётное число. Поэтому

(1 - | j G {2,4,..., 8m - 2}) ^ (1 - | j G {1, 3,..., 8m - 1}) .

□

Лемма 5. Для любых е0 G {-1,1},..., e2m-1 G {-1,1}

P = (а)(1 - a£l(21+1)|l G {0,1,..., 2m - 1}).

Доказательство. Так как для любого j

1 - а- = (-а-)(1 - ) ^ 1 - = (-aj)(1 - а-),

то по лемме 4 при добавлении а в порождающие P всегда из двух порождающих {1 - , 1 - а-j} можно оставить только один из них, поскольку 1 - a-j = 1 - a8-j. □

_ k

Лемма 6. P = (а)(1 - а5 |k G {0,1,..., 2m - 1}).

Доказательство. Хорошо известно, например в [10], что множество

{±5k | k G {0,..., 2m - 1 = 2n-2 - 1}}

образует приведённую систему вычетов по модулю 2n. Это означает, что для любого нечётного j G {1, 3,..., 8m - 1} существуют такие е G {1, -1} и k G {0,..., 2m- 1 = 2n-2 - 1}, что j = e5k (mod 8m). Для каждого l G {0,..., 2m - 1 = 2n-2 - 1} найдём такие числа ег G {1, -1} и k G {0,..., 2m- 1 = 2n-2- 1}, что 2l + 1 = ег5к (mod 8m). Покажем, что

{ki | l G {0,..., 2m - 1 = 2n-2 - 1}} = {0,1,..., 2m - 1 = 2n-2 - 1} . Допустим, что k = kp для {k^, kp} С {k | l G {0,... , 2m - 1 = 2n-2 - 1}}. Тогда 2l + 1 = ег5kl (mod 8m), ег (2l + 1) = 5kl (mod 8m),

2p +1 = ep5k (mod 8m) ep(2p +1) = 5kl (mod 8m).

Следовательно,

ez(2l + 1) = ep(2p + 1) (mod 8m) ^^ 2l + 1 = ±(2p + 1) (mod 8m).

Если 2l + 1 = 2p +1 (mod 8m), то по выбору l и p имеем l = p. Если же 2l + 1 = - (2p + 1) (mod 8m), то 2(l + p) + 2 = 0 (mod 8m), что невозможно по выбору l и p. Таким образом,

ki = kp ^^ l = p.

Теперь для любого значения k G {0,..., 2m - 1 = 2n-2 - 1} найдётся такое число lfc G {0,..., 2m - 1 = 2n-2 - 1}, что

2lfc + 1 = eifc5k (mod 8m) ^ eifc (2lfc + 1) = 5k (mod 8m). Отсюда по лемме 5 P = (а) ^ 1 - а5' | k G {0,..., 2m - 1 = 2n-2 - 1}^ . □

1.3.2. Описание К

Лемма 7. Для любого нечётного з € {1, 3,..., 8т — 1} N(1 — а^) = 2. Если ^ € Р, то

2т-1

Р = ак П (1 — а51 )к 1=0

для подходящих кг, I € {0,1,..., 2т — 1}, к € {0,1,..., 8т — 1}. Кроме того,

2т-1

^ € К <—► ^ кг = 0.

1=0

Доказательство. Алгебраически сопряжёнными с элементом а-? являются все первообразные корни из 1 степени 8т = 2П: а, а3,... ,а8т-1. Они являются корнями кругового многочлена Ф8т(у) = у4т + 1, поэтому

4т-1

Ф8т(у) = У4т + 1= П (У — а21+1).

1=0

Отсюда

4т-1

N(1 — а) = П (1 — а21+1) = Ф8т(1) = 1 + 1 = 2. 1=0

Так как ак € К = Р П и^[а]), то достаточно найти условие обратимости элемента

2т-1

П (1 — а51 )*. 1=0

Из мультипликативности нормы следует, что

(2т-1 \ 2т-1

П (1 — а51 )Ч = П (N(1 — а51 ))к = 2Й=о-1 *. 1=0 / 1=0

Элементы из К являются единицами в кольце ^[а], поэтому должны иметь норму ±1. Это даёт нужное утверждение. □

Для любого I € {0,1,... , 2т — 1} положим

о 2 • 51 | 3 • 51 | 4 • 51 ^ 2^5г /-2^5г , -51 , 1 , ^ 51 ,

рг = 1 + а + а + а + а = а (а + а +1 + а + а ) = а г5г. Лемма 8. Для любого I € {0,1, 2,..., 2т — 1} элементы в лежат в К. Доказательство. Так как N — а5т^ =2 и N(1 — а51) = 2, то

(1 5г+1 \ т—Ът] = 1-

Поэтому вг будет единицей кольца Z[а]. □

Лемма 9. При введённых выше обозначениях К = (а)(вг|1 € {0,1, 2,..., 2т — 1}). Доказательство. Пусть ^ € К. Тогда по лемме 7

2m-1

ц = afc П i1 - a5')*'

1=0

для подходящих к € {0,1,... , 8т — 1} и целых кг (/ € {0,... , 2т — 1}), причём

Е2Т1 кг = 0.

Достаточно найти такие целые г0,... , г2т-1, что

2m— 1

2m— 1

2m 1

П (1 - a51 )* = П в? = п (1 - a51 )-r' (1 - a5l+1 )r'

1=0

1=0

1=0

Так как 52m = 1 (mod 8m), то a52m = a и можно рассмотреть систему

k0 = -Г0 + Г2т-1 ki = Г0 - ri, ^2 = Г1 - Г2,

k2m-2 = r2m-3 - r2m-2, k2m-1 = r2m— 2 - r2m-1

r2m-1 = k0 + r0, r1 = r0 - k1, r2 = r1 - k2,

r2m-2 = r2m-3 - k2m-2> r2m-1 = r2m—2 - k2m-1

' r2m-1 = k0 + r0, r1 = r0 - kb r2 = r0 - k1 - k2

r2m-2 = r0 - k1 -r2m-1 = r0 - k1 -

' - k2m-2, ' - k2m-1.

Так как

то получим систему

2m-1

E ki

2m 1

k0 = - k1

1=0

1=1

r1 = r0 - k1,

r2 = r0 - k1 - k2

г2т-2 = г0 — к1 — • • • — к2т-2, , г2т-1 = г0 — к1 — • • • — к2т-1,

позволяющую находить решения г1,... , г2т-1 при произвольном г0. Для любого з € {0,1,... , 2т — 1} положим

□

{0,1,..., 2m - 1}\{j} = {0,1,...,j - 1,j + 1,..., 2m - 1}.

Лемма 10. Для любого з € {0,1,..., 2т — 2}

K

(a)x П (А>.

1eLj

0

Доказательство. Поскольку 52m = 1 (mod 8m), то а5^ = а, и поэтому

2m-1 2m-K 5+1

пв' =111-05-

1=0 '=0

5 1 52 1 53 52m — 1 1 52m 5

1 - а5 1 - а5 1 - а5 1 - а5 1 - а5 1 - а5

-1 л 5 л 52 л 52m — 2 л 52m —1 л

1 — а 1 — а5 1 — а5 1 — а5 1 — а5 1 — а

Следовательно, из порождающих |вг | l G {0,..., 2m — 1}} можно удалить любой вг. Разложение группы К в прямое произведение следует из того, что, во-первых, периодическая часть равна (а), во-вторых, ранг группы единиц равен 2m — 1. □

Лемма 11. При введённых выше обозначениях

2m-2

K = (а) х п (t2'+1). l=0

Доказательство. Для каждого l G {0,..., 2m — 2 = 2n—2 — 2} найдём такие £ G {1, —1} и k G {0,..., 2m — 1 = 2n—2 — 1}, что 2l + 1 = £5ь (mod 8m) и поэтому

t2'+i = 1 + а2'+1 + а-(2'+1) + а2(2'+1) + а—2(21+^ =

21+1

= а-2(2'+1) (1 + а2'+1 + а2(2'+1) + а3(2'+1) + а4(2'+1))

1 „,5(21+1) 1 ^,5ег5йг 1 _,,£i5fci+1

= а—2(21+1) 1 — а = а—2(21+1) 1 — а = а—2(21+1) 1 — а

1 — а21+1 1 — а-!5'1 1 — а-!5'1

Если £ = 1, то

1 - а5"'+1

t21+1 = а—2(21+1) ■ ^^ = а—2(21+1) -вк!,

1 - а5'1

и по предыдущей лемме среди к не будет точно одного элемента из {0,1,..., 2т—1}. Пусть = —1. Тогда имеем

1 - а—5kl+1 -а—5kl+1 1 - а5^1

1 — а——а—1 — а5'1

= а—5fcl+1+5fcl -вь = а—4'5fcl+1 -вь,

и снова всё доказано по предыдущей лемме. □

Следствие 2. Для циклической группы порядка 16

К = (а) х (¿1) х (¿э) х (¿5), для циклической группы порядка 32

К = (а) х (¿1) х (¿э) х (¿5) х (¿7) х (¿9) х (¿11) х (¿1э).

2. Вычисления по модулю 2

Положим

2т— 2

Ко = П (t21+1). l=0

Цель этого пункта — найти все такие А С К0, что А = 1(шоё 2). Обозначим Ь {А е К|А = 1(шоа 2)}.

Лемма 12. Множество L является подгруппой группы K0.

Доказательство. Пусть А = 1 + 2А1 и ц = 1 + 2ц — элементы из L, где А1,ц1 G Z[a]. Тогда

Ац = (1 + 2А1 )(1 + 2ц1) = 1 + 2А1 + 2ц + 4А1Ц1 G L.

Найдём обратный элемент к элементу А G L в виде А-1 = 1 + x. Тогда

1 = АА-1 = (1 + 2А1)(1 + x) = 1 + 2А1 + x + 2А1Х. Отсюда x = -2А1 - 2А1Х = 2v, где v G Z[a]. Следовательно, А-1 G L. □

Лемма 13. Для любого l G {0,..., 2m - 1} ^m^ = 1 (mod 2), т. е. ¿2г+1 G L, и для любого k G {0,1,..., n - 3} ¿2^ = 1 (mod 2), т. е. ¿2^+ G L.

Доказательство. Поскольку элемент t21+1 для любого l G {0,..., 2m - 1} алгебраически сопряжён с элементом

t1 = 1 + s1 + s2 = 1 + a + a-1 + a2 + a-2,

то достаточно рассмотреть ¿1. По лемме 3 для любого целого j i2 = t2j (mod 2). По индукции получим, что для любого натурального k t2k

= ¿2fc (mod 2). В частности,

по лемме 3

¿2m = ¿2m = -1 = 1 (mod 2).

Допустим, что для некоторого k G {0,1,..., n - 3} ¿2 = ¿2fc = 1 (mod 2). Тогда по лемме 3 ¿m = ¿m = 1 + V^ = 1 (mod 2). Отсюда ^ G Z[a], что невозможно, ибо ^ не является целым алгебраическим числом. □

Для любого l G {0,... ,m - 1} определим подгруппу

Т(l) = (t21+1, ¿4m-21-1> .

Очевидно, что

m-1

K0 = (¿1>x П Т(l).

1=1

2m-1.

Лемма 14. Для любого l G {0,..., m - 1} Т(l) П L = (i2m-1t4m-21-1) x (¿2l+J .

Доказательство. По лемме 3 t4m-21-1 = t21+1 (mod 2). Поэтому по лемме 13 для целых p и q

t21+1t4m-21-1 G L ^^ p + q = 0 (mod 2m).

Следовательно,

<i2l+^1i4m-21-1> X <¿21+1) ^ T(l) П L. С другой стороны, пусть p + q = 0 (mod 2). Тогда

¿P ¿q /¿2m-b A-q = ¿p-2mq+q <,2m >

¿21+1^4m-21-1 ' v21+1 ¿4m-21-1J = ¿21+1 G \^21+1/ . Отсюда < > < >

<i2!+^1i4m-21-1> X <i2!+1 > ^ T(l) П L, что и требовалось. □

Лемма 15. Для любого l = {0,1,..., 2m — 2} ¿m = ¿m+i (mod 2). Поэтому для любого l = {0,1,..., 2m — 2} í^^ G L.

Доказательство. Для любого целого j по лемме 3 имеем í2 = í2j (mod 2). Поэтому для любого l G {0,1,... , m — 1} с учётом того, что m = 2n-3, получим

ím+1 = 4+1 = ¿2""3(2г+1) = ¿т(2г+1) (m°d 2). Рассмотрим такие элементы. По нашим обозначениям

im(2Z+1) = 1 + Sm(21+1) + S2m(21+1).

Из леммы 3 следует, что ím(2¿+1) = 1 ± \/2. Так как

(1 ± ^2)2 = 1 ± 2^2 + 2 = 1 (mod 2),

(1 + /2)(1 — /2) = 1 — 2 = 1 (mod 2), то произведение любых двух таких элементов сравнимо с 1 по модулю 2. □

3. Вычисления для группы круговых единиц поля Q16

Найдём группу K круговых единиц поля Q16, т. е. рассмотрим m =2. Имеем

G = Z16 = {1, а, а2,..., а15}, ZG = {¿0 + с1а + ¿2а2 + ... + ¿15а15|с G Z},

где а = c°s 2f + i sin 2f = Z16 — первообразный корень из 1 степени 16. Поскольку а16 = 1, то а- = а-г+16 и любой элемент из ZG имеет вид

15 7

У^ ¿¿а-7 = — Сг+з)аг = ¿0 + ¿1а + ¿2а2 + ... + ¿7а7 =

г=0 г=0

^ ^ 4 ^ ^ _1 ~ 2 ~ _2 ~ 3 ~ _3

= c0 + ¿4а + ¿1а — ¿7а + с2а — с6а + с3а — с5а .

Поэтому достаточно рассматривать слагаемые вида а-7 + а--7 для j = 1, 2, 3. По лемме 2 имеем для Sj = а7 + а-7 следующие соотношения:

Sj si Si+j + si-j, s2 S2j + 2,

so = 2, Sg = —2, S4 = 0, S2 = л/2, S6 = —V^, S16-7 = Sj = — Sg-j = — s8+j. Все эти соотношения приведены в табл. 2.

Таблица 2

Соотношения для элементов sj, j g Z

So S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 Sg

2 2 c°s(n/8) /2 2 sin(n/8) 0 —S3 — S2 — S1 — So

S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16

— S1 — S2 —S3 S4 S3 S2 S1 So

Для элемента í- = 1 + s- + s2j = 1 + аj + а j + а2j + а 2j по лемме 3 имеем следующие соотношения:

í0 = 5, í8 = 1, í4 = —1, í2 = 1 + V2, í6 = 1 — V2,

tg = 25, t| = 1, = 1, t3 = 3 + ^v/2, = 3 - 2 A t2 = ¿2j + 4tj + 2(-S2j + S3j), tl6-j = tj. По лемме 11 группа круговых единиц поля Q16 имеет вид

2

K = (а) х П^21+1) = (а) х (ti) х fo) х (¿5). 1=0

Теорема 1. Подгруппа L = (A G K|А = 1 (mod 2)} группы круговых единиц поля Q16 при введённых выше обозначениях имеет вид L = (tl) х (t2t2) х (t3t5), где tl = 76s1 + 58s2 + 32s3 + 83, t1t3 = -2s1 - 4s2 + 6S3 + 7, t3t5 = -4s1 - 8S2 + IOS3 + 11.

Доказательство. По лемме 11 произвольный элемент подгруппы K имеет вид tk0tk1tk2 для целых показателей. Найдем условия для того, чтобы t^10tkt^2 G L. По лемме 13 элемент t1 G L. Далее,

t3t5 = (1 + S3 + S6)3(1 + S5 + S10) = (1 + S3 - S2)3(1 - S3 - S2) = = (1 + S3 + s2 + 2(S3 - S2 - S2S3))((1 - S2)2 - s2 = = (1 + S6 + 2 + S4 + 2)(1 - 2S2 + s2 - S6 - 2) = = (1 - S2)(1 + S4 + 2 + S2) = (1 - S2)(1 + S2) = = 1 - s2 = 1 - s4 - 2 = 1 (mod 2). Значит, 1315 G L, поэтому

j-koj-ki,k2 _ j-ko-iki-3k^,3/ \k2 t ,_. Ломki-3k2 -- т

t1 t3 t5 = t1 t3 (t3t5) G L ^^ t1 t3 G L.

Следовательно, достаточно рассматривать элементы вида t^10tk1 G L. По лемме 13 k0 = 0 и k1 = 0 и оба показателя можно рассматривать по модулю 2m = 4. По лемме 15 имеем k1 < m = 2, значит, k1 = 1. Нужно рассмотреть только случаи t^101^, где k0 G (1, 2, 3} и k1 = 1. Допустим, что t^101^ G L для некоторых k0 G (1, 2, 3} и k1 = 1, тогда

(tk0tk1 )2 = t2k0t2k1 G L. Это приводит к противоречию, кроме случая t2t3. Имеем по лемме 3

t2 = t2 = 1 + л/2 (mod 2).

Далее, s6 = —л/2, поэтому t3 = 1 + s3 + s6 = 1 + s3 - л/2,

t1t3 = (1 + //2)(1 + S3 - V2) = (1 - 2) + (1 + //2)s3 = -1 + (1 + S2)S3 =

= -1 + (1 + а2 + а-2)(а3 + а-3) = -1 + а + а3 + а5 + а-1 + а-3 + а-5 = = -1 + а + а3 + а5 - а3 - а5 - а7 = -1 + s1 = 1 (mod 2). Значит, t113 G L.

С помощью программы Excel и системы компьютерной алгебры GAP были найдены элементы tk0tk1, где (k0,k1) G ((1,1), (1, 2), (2,1), (2, 2), (3,1), (3, 2)}:

1113 = S1 + S2 + S3 - 1,

t1t2 = 2s1 + 4s2 - 5s3 - 5,

t1t3 = S1 + 2S3 + 3, t1t3 = -2S1 - 4s2 + 6S3 + 7, t1t3 = 7S1 + 6S2 + S3 + 5, t3t2 = 5s1 + 7s2 - 6s3 - 5.

Среди них только t1t3 G L. □

4. Вычисления для группы круговых единиц поля Q32

Найдём группу K круговых единиц поля Q32, т. е. рассмотрим m = 4. Тогда

G = Z32 = {1, а, а2,..., а31}, ZG = {со + cía + С2а2 + ... + C3ia31},

где а = cos || + i sin || = (32 _ первообразный корень из 1 степени 32. Поскольку а32 = 1, то а- = а-г+32. По лемме 2 имеем для Sj = а7 + а- следующие соотношения:

Sj Si Si+j + Si-j, s2 S2j + 2, So = 2, si6 = -2, Sg = 0, S4 = л/2, S12 = — v^,

S32-j = Sj = — S16-j = — S16+j.

Все эти соотношения приведены в табл. 3.

Таблица 3

Соотношения для элементов sj, j € Z

So S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7

2 2 cos 16 16 2 cos § 2 cos 16 16 /2 2 sin 16 16 2 sin f 2 sin 16 16

Sg Sg S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16

0 — S7 — S6 —S5 — S4 — S3 — S2 — S1 — S0

S17 S1g S19 S20 S21 S22 S23

— S1 — S2 —S3 — S4 — S5 — S6 —S7

S24 S25 S26 S27 S2g S29 S30 S31 S32

0 S7 S6 S5 S4 S3 S2 S1 S0

Для элемента tj = 1 + Sj + s2j = 1 + а7 + а j + а27 + а 2j по лемме 3 имеем

j

следующие соотношения:

to 2

= 5, 25,

t16 2

t

16

1, tg = -1, t4 = 1 + л/2, t12 = 1 — л/2,

1, tg = 1, t3 = 3 + 2^2, t12 = 3 — 2^2.

t2 = t2j + 4tj + 2( —S2j + s3j), t32-j = tj.

По лемме 11 группа К круговых единиц поля Q32 имеет вид

K

(а) X П^21+1).

1=0

Теорема 2. При введённых выше обозначениях для порядка 32 подгруппа L (Л G K|Л = 1 (mod 2)} группы круговых единиц поля Q32 имеет вид

L = (tg) X (t3t13) X (t7tn) X (t^tg) X (t1t|) X (t6t?) X (t6t5)

где

tg t1

37072s1 + 33964s2 + 29280s3 + 23610s4 + 17536s5 + 11488s6 + 5656s7 + 38163, 3t13 = —3592s1 — 2456s2 + 6524s3 — 4612s4 — 1246s5 + 6118s6 — 5468s7 + 6663,

5tn

t3t

t5t

t7tg

t4t4

t1 t3 t6t2

t1 t7

t6t2 t3t5

= —5468s1 + 2456s2 + 1246s3 — 4612s4 + 6524s5 — 6118s6 + 3592s7 + 6663, — 1246S1 — 6118S2 + 3592S3 + 4612s4 — 5468S5 — 2456S6 + 6524s7 + 6663, 9072S1 + 8534S2 + 7712s3 + 6476S4 + 5084s5 + 3534s6 + 1748S7 + 9319, 450S1 + 346S2 + 236S3 + 120s4 + 20s5 — 16s6 — 6S7 + 499, —956s1 — 568s2 + 2630s3 — 1416s4 — 258s5 + 2330s6 — 1900s7 + 2739.

0

Доказательство. По лемме 11 произвольный элемент подгруппы K имеет вид tk0 tk1 tk2173 tk4 tk5 tk3, где k G (0,1,..., 7}. Найдём условия для того, чтобы этот элемент лежал в L. По леммам 14 и 15 достаточно рассмотреть t^1^ t^1^ при k0, k1, k2, k3 G (0,1,... , 7}. Эти элементы вычислены с помощью программы Excel и системы компьютерной алгебры GAP. Приведём результаты вычислений.

При k0 = 0

1,

t5 = 1 + S5 + S10, t7 = 1 + S7 + S14,

t5t7 = t - S1 + S5 - S6 + 1,

t3 = 1 + S3 + S6, t3t5 = S1 + S2 + S4 + S7 - 1, t3t7 = -S2 - S5 + S7 +1, t3t5t7 = -1 - S5,

t3 = 4S3 - S4 + 3S6 - 2S7 + 5,

t3t5 = 4S1 + 3S2 - 2S3 + 4S4 + 2S5 - 3S6 + 3S7 - 1,

t2t7 = -S1 - 2S2 - S5 + S7 +1,

t2t5t7 = -S1 - S2 - S3 - S6 - 1,

t3 = -3S1 - S2 + 18S3 - 6S4 + 15S6 - 10S7 + 19, 13315 = 16S1 + 13S2 - 11S3 + 17S4 + 7S5 - 13S6 + 16S7 - 11, t3t7 = -3s1 - 4s2 - 2s4 - 3s5 t3t5t7

t317 = -3s1 - 4s2 - 2s4 - 3s5 + 1,

t3t5t7 = —2s1 — 2s2 — 4s3 — S4 — 2S5 — 3s6 + S7 — 5,

t4 = t4 = -20S1 - 10S2 + 80S3 - 35S4 - 4s5 + 68s6 - 52s7 + 85,

= 69S1 + 53S2 - 62S3 + 75S4 + 29s5 - 68s6 + 73s7 - 59, t3t7 = —12s1 — 12s2 + s3 — 9s4 — 7s5 + 3s6 — 5s7 + 1,

3t5t7

t3t5t7 = —6s1 — 7s2 — 17s3 — s4 — 4s5 — 12s6 + 5s7 — 19,

t3 = t3 = -121S1 - 69S2 + 365S3 - 185S4 - 30s5 + 320S6 - 255s7 + 381, t3t5 = 299s1 + 226s2 - 324s3 + 338s4 + 122s5 - 337s6 + 347s7 - 319, t5t7 = —45s1 - 40s2 + 11s3 - 41s4 - 24s5 + 19s6 - 30s7 + 9, t^t5t7 = —13s1 - 18s2 - 70s3 + 3s4 - 13s5 - 52s6 + 27s7 - 77,

t6 = t3 = -660S1 - 405S2 + 1686S3 - 950S4 - 190s5 + 1506S6 - 1246S7 + 1751, t3t5 = 1332s1 + 985s2 - 1651s3 + 1547s4 + 525s5 - 1665s6 + 1645s7 - 1641, t6t7 = —180s1 - 150s2 + 80s3 - 175s4 - 85s5 + 110s6 - 146s7 + 69, t^t5t7 = -14S1 - 41s2 - 296S3 + 51s4 - 31s5 - 229S6 + 139s7 - 321,

t3 = t3 = —3451s1 - 2205s2 + 7875s3 - 4767s4 - 1065s5 + 7139s6 - 6048s7 + 8135, t^t5 = 6034s1 + 4389s2 - 8253s3 + 7174s4 + 2317s5 - 8149s6 + 7840s7 - 8273, tp7 = -736S1 - 590S2 + 485S3 - 761s4 - 330S5 + 580S6 - 691s7 + 449, t^t5t7 = 104S1 - 35s2 - 1281S3 + 364s4 - 55s5 - 1036S6 + 701s7 - 1371.

При k0 = 1 t1 = 1 + S1 + S2, t1t5 = S1 + S2 + S3 + 1, 1117 = -2S1 - 3S2 - S3 + S6 + 2S7 - 1, t1t5t7 = —S1 — 1,

¿3 = 1 + 2^1 + 2^2 + 5з + 2^4 + 2^5 + 56 + 57, ¿3*5 = 3 + 2^1 + 2^2 + 35з + 2^4 + 2^5 + 2^6,

¿3*7 = —1 — 2^3 — 2^4 — 57,

¿3*5*7 = —1 — 51 — 52 — 53 — 54 — 55 — 5б — 57,

¿3 = 951 + 852 + 353 + б54 + 455 + 357 + 5,

¿3*5 = 851 + 852 + 1153 + 454 + 455 + 656 — 57 + 13,

*2*7 = — 351 — 252 — 453 — 354 — 57 — 5,

*2*5*7 = — 551 — 452 — 353 — 354 — 255 — 56 — 57 — 5

¿3 = 3051 + 2752 + 853 + 2б54 + 1755 — 56 + 1557 + 11, ¿33*5 = 2351 + 2452 + 4253 + 1354 + 1655 + 2756 — 657 + 47, *3*7 = — 951 — 852 — 1253 — 954 — 555 — 556 — 357 — 13, *3*5*7 = —1551 — 1452 — 1153 — 1254 — 955 — 556 — 557 — 13,

¿3 = 11551 + 10052 + 1153 + 9954 + 5755 — 2356 + 6457 + 25, ¿33*5 = 7051 + 7652 + 16453 + 2754 + 4755 + 10956 — 3957 + 185, ¿33*7 = —3451 — 3152 — 3953 — 2454 — 1755 — 1856 — 457 — 47, *3*5*7 = —5551 — 5052 — 3553 — 4154 — 2955 — 1256 — 1657 — 45,

¿3 = 43551 + 37152 — 4053 + 40154 + 21555 — 15056 + 29057 + 1, ¿33*5 = 18151 + 22052 + 66153 + 2554 + 14655 + 47056 — 21557 + 731, *3*7 = —11051 — 10652 — 13953 — 75 54 — 6555 — 7656 — 557 — 161, *3*5*7 = —19151 — 17552 — 11153 — 15054 — 10555 — 3556 — 6557 — 139,

¿3 = 171251 + 142252 — 51953 + 164754 + 80655 — 88056 + 131657 — 379, ¿33*5 = 35751 + 57252 + 273853 — 25954 + 40155 + 205256 — 114057 + 2993, *3*7 = — 36151 — 35652 — 51053 — 22054 — 21655 — 29656 + 2557 — 591, *3*5*7 = —68651 — 62152 — 33153 — 54654 — 36655 — 7056 — 26057 — 431,

¿3 = 690351 + 558752 — 361353 + 697754 + 313455 — 474156 + 607457 — 3177,

3

*7*5 = —6951 + 107152 + 1166153 — 252254 + 92955 + 918256 — 583257 + 12573, *3*7 = —112851 — 115352 — 193253 — 61654 — 71755 — 120256 + 25057 — 2203, ¿1 ¿3*5*7 = —247951 — 221952 — 90353 — 204354 — 130755 — 2656 — 109157 — 1233.

*

*

*

При к0 = 2

*1 = 451 + 352 + 253 + 54 + 5, *1 ¿5 = 551 + 452 + 353 + 254 + 55 + 5, *2 ¿7 = —251 — 352 — 53 + 56 + 257 — 1, *2 ¿5*7 = —351 — 252 — 53 — 3,

*1 ¿3 = 851 + 852 + 953 + 854 + 755 + 656 + 357 + 9, *1 ¿3*5 = 1251 + 1252 + 1153 + 1154 + 955 + 656 + 457 + 11, *2 *3*7 = — 351 — 552 — 453 — 454 — 555 — 356 — 1, *2 ¿3*5*7 = —551 — 552 — 553 — 554 — 555 — 456 — 257 — 5,

¿3 = 3451 + 3152 + 3053 + 2154 + 1655 + 1356 + 457 + 39, *1 ¿33*5 = 4851 + 4452 + 3553 + 3354 + 2455 + 1356 + 1057 + 45, *1 *3*7 = —1751 — 1752 — 1253 — 954 — 855 — 456 — 15, *2*3*5*7 = —2251 — 2052 — 1753 — 1354 — 1055 — 756 — 357 — 23,

^ ^ ^ ^

oo

ОТ

-a

Сл

СО

oo

Сл

Gû

ОТ ^

СО Сл

00 СО Сл

to

00

to

Сл

CO

СО

Сл

2 1

, оо

со £ s I от

I ^

оо ^ 00

^ I

Сл

Jb.

s 3

g g

S Й>

Сл

Gû

Сл

Jb.

-а

Сл

00 to

СО Сл

Сл Сл

00 оо

сл Сл Сл

+ от ^ оо ^ 00 Сл

сл

Сл Сл

I

Сл

-о оо

I ю

I

оо -а

00

F +

сл

+ о

Сл if

if + + оо

to 25

сл

Сл

GûGOGûGûGûGûGûGû GûtOGûtOGûtOGûtO

11 I

I ю

« £

00 if Сл

I

I

to

00 w

+ " I

I

I

as

Сл

-J

I

00 00 -a

I Сл

й ^

от »

+

+ СЛ

S 00

S «g»

Сл

ОТ

Сл

оо «о

сл

—4 Go

Сл

ОТ

I

ю 00 од ю

S Сл

о Jb.

Сл

* I

I—1 g g?

со СЛ

03 I

СЛ

s g1

00 ¿f 03 I

Ol

I

to

СЛ

СЛ

oo

Сл

+ ^

СЛ 00

Сл

СО Сл

+ 00 N. ЬО

to 00

СЛ 03 сл сл

сл +

+ to

g s

т Сл

Ol

£ s?

to if

^ +

+ СЛ

Ч £

СЛ ^

I Ж

I—1 00—1 00 00

^ ^ ^ Сл

I—1 Go 00 to Go to ^ ^ ^ ^

Go to Сл I

oo

Сл

СО СЛ Сл

Go

Сл Jb

I

to to о

Сл

СЛ СЛ Сл

^ 1 Сл -^J

ю 00 о ю

СЛ оо Сл

to 4-

от 00 I 03

I GO

оо i to 1

.Сл СЛ

I

ОТ i

-а 1

g 00

^ 00

I 03

I СЛ

СЛ i

О 1

£ to

^ Jb

Сл

-+- оо

^ сл

Сл +

Jb

01

+ ^

, , Сл

Сл

00 I 00 1

Сл I—1

œ to I 03

I -J

1-1 I 1

Cf 00 4 00

Сл Сл

oo

to

CO Сл

-a

ОТ

+

00 " -a

Сл

-J

to to

CO

h- со н- со н- со н- со i—' со i—' со i—' со

со со со со Сл S Сл

Сл -а Сл -а

-а II II 11 1

11 I

I ^

СЛ if

* I

I h-

Сл

03 i

to I

I to

К »

СЛ oo

Сл

» I

I to

^ jb

^ I

I H

ю

H сл

1— СЛ

Сл

СЛ I

S £

Сл

о I

I оо

Сл

СЛ 00 Сл

to

Сл

+ ^

СЛ Ю Сл to

м + + ^ g °

СЛ оо Сл

+ 00

СО g

^ +

+ 00 Сл

to

Сл

От if Сл

СО if Сл -а

to

СЛ

+ ^

СЛ ^ СО

СО Сл

to

Сл

-а

Сл

СО Сл

от

Сл

ОТ

Сл

to

Сл

СЛ Сл

^ я

Сл s

-4- °

00

00 Сл

00 Сл

Jb

от

Сл

Jb

Сл

to

Сл

00 Сл

от

Сл

00 Сл

00

00 Сл

Сл -а

СО

Сл -а

to

00

А Ю H-1 Ю H-1 Ю H-1 Ю

atOi—1 tO i—1 tO i—'tO

- tO h-' tO h-' tO h-' to

со к) со к) со к) со к) со сл со сл со сл со сл со сл со сл со сл со сл <Г-Ц <Г-Ц сч-

ел Сл I I Сл К) сл I I Сл К) сл I I

11 I I

<о s

¥ £

s <?

Сл

- I I

00 s

SS й

т Сл

—í to

03 I

to I

1 СЛ

00 £

g &

сл

Сл

Oû

Сл

-J

сл to СО

S

2 о

S 00

Сл

Сл

S3

£ s

to 4-

оо со оо оо

оо

I

I СЛ

SÍ

s F

^ i i

СЛ

+

£ "

О ТС

« f^

to »

I—1

.сл +

to « ^

- от

оо со

03 I

СЛ I

I to

ïè оо от 01

Сл

Ol

Сл

œ I I

оо

Сл

+ ^ s» i

сл

« £

СО if

СО +

I—I 1

I

сл -a

сл

Сл

сл

-a

Сл

to

I—1

оо

^ CO Сл

I

I

to

СЛ i? Сл

- I

1 to

S s

2 оо

СЛ to

03 i to I

I I-

01 s

g "

О 0û

03 I

00 I

I H

h- 01

s s

C0 g3 Сл

Jb.

I

I—1

to

3 сл

ОО СЛ Ca

I

I Ч h- °

К

^ -

to

Сл

I

Сл

Сл

к »

I

СЛ

СО if

сл

Сл -а

I

to

I О

СО ю

О 5я ^

Сл

I СО

о ^

2 00

^ i?

Сл

со

от 00 2 оо

о 00

2 Сл

+ СЛ

w от

g s

" +

+ to

СЛ ^

g s

^ +

+ to со 00

^ to to ¿f

от +

+ to ^ оо

0 00

s £>

^ о?

03 I

œ I

+

to

^ if

01

со + Сл _ -о Сл

оо

+ оо ^

оо

Сл

Сл

11 I I

оо ю О

I

I СЛ

ч 2

от »

ОТ to

03 I

to I

I ^

-J ю

^ Сл

00 to

to ¿?

03 I

oo I

I ^

Сл 2 to

* I

I CO

от »

Q} сл СЛ Сл

I

со g »

сл ^ to

оо -a

S °

Сл

2 s £ t? to -L

^ со

KD 00

W to

CO ¿f

■CO I

от "г

CO

-a

to

ОТ to

I

to to

oo -a

to

to

от to

Сл ОТ to

ОТ СЛ to

СЛ CO CO

05 _L

t^ + ОТ

с» t^

-J от

СЛ CO CO

^to^to^to^to ^ ^ ^ ^

00 СЛ

I

О

to

I

^ S

ю to

сл g

03 I

to I

I H oî

5 Й>

03 i

00 I

1 h-

h- ю

UT со

2 сГ

to Jb.

I

I

CO CO to

CO

oo to

to -J

to

Сл Сл

I CO от

СЛ g5 Сл 41 to

-+- СО

Сл g

ю to

to ¿f

to +

+ CO

CO g

00 to

" +

+ to to

CO £ to

oo

to

to

00 to

ОТ CO to

CO Сл to -J

^ o?

œ +

+ CO

s if

if + + сл

^to^to^to^to ^ ^ ^ ^

0Û0Û0Û0Û0Û0Û0Û0Û

от

oo to

Сл

i—1 to

Сл

to to

I

I

I

Сл CO to

ОТ

g » сл to

I

ОТ 00 2 to

1— oo to oo

CO

2 £

1— J*.

^ I

I CO ^ ^

to от to

от I

to

to

oo to

to

to ^ to

to Jb.

ОТ Сл to

I to

CO ю

S сл

1— Ol to

о I

I h-

^ if to -J

CO от

to 4

от

-L- 01

m 03 сл ^

CO to -J

ОТ to

to

Сл

¿3 ¿3 = 656751 + 616252 + 526553 + 481954 + 371655 + 233456 + 147257 + 6353, ¿1 = 853251 + 8О8О52 + 763453 + 6О8654 + 488455 + 365156 + 151357 + 9117, ¿1ф7 = -2931в1 - 276652 - 253353 - 212854 - 167855 - 118356 - 58157 - 3027, ¿3Ф5*7 = -3983в1 - 375252 - 334753 - 289554 - 226955 - 153756 - 82157 - 4017,

¿3 ¿3 = 2273651 + 2126452 + 1774553 + 1668654 + 1272955 + 766156 + 525957 + 21551, ¿1 = 29095^ + 2758252 + 2652353 + 2О56О54 + 1661255 + 128О356 + 484657 + 31687, ¿1 ¿3^ = -10084^1 - 95О352 - 869553 - 722354 - 569755 - 4О3456 - 192457 - 10459, ¿3¿11*5*7 = -1372051 - 1289952 - 1142753 - 991454 - 773555 - 518556 - 281557 - 13785,

¿3 ¿3 = 78674^ 1 + 7341552 + 5944353 + 5828454 + 44ООО55 + 25О1256 + 1927557 + 72363, ¿1 ¿р5 = 9869551 + 9384952 + 9269О53 + 6928О54 + 5667755 + 456О756 + 1517557 + 110339, ¿3¿^¿7 = -3443151 - 3250752 - 2995953 - 24700^ - 1958755 - 1404156 - 6502^ - 35917, ¿3 ¿3^7 = -47083^1 - 4426852 - 3900953 - 3416354 - 2661955 - 1766856 - 983757 - 47009.

При к0 = 4

¿1 = 8051 + 6852 + 5253 + 3554 + 2055 + 1056 + 457 + 85, ¿1 ¿5 = 10151 + 8952 + 7253 + 5354 + 3555 + 2056 + 957 + 105, ¿1 ¿7 = -4251 - 3652 - 2353 - 1154 - 355 + 356 + 557 - 43, ¿4¿^7 = -5251 - 4352 - 3153 - 1954 - 1055 - 456 - 57 - 55,

¿1 ¿3 = 20751 + 20352 + 19553 + 17754 + 14855 + 10856 + 5757 + 209, ¿1 ¿^5 = 28751 + 27852 + 26053 + 23254 + 19055 + 13556 + 7157 + 289, ¿1М7 = -8751 - 9252 - 9153 - 8754 - 7855 - 5756 - 2857 - 83, ¿4¿^¿7 = -12551 - 12452 - 12053 - 11154 - 9555 - 7056 - 3757 - 125,

¿1 ¿3 = 79251 + 73552 + 65053 + 53654 + 41055 + 27856 + 13857 + 815, ¿1 ¿3^ = 105851 + 98752 + 87353 + 73354 + 56555 + 38156 + 19557 + 1079, ¿44= -37251 - 34452 - 29453 - 23754 - 17955 - 11656 - 5457 - 379, ¿1¿^¿5^7 = -49251 - 45552 - 39853 - 32754 - 24955 - 16756 - 8357 - 505,

¿4 ¿3 = 261151 + 247352 + 225553 + 192354 + 152755 + 106956 + 53857 + 2671, ¿1 ф5 = 353851 + 334352 + 301153 + 259254 + 204555 + 140556 + 73257 + 3587, ¿1 ф7 = -118651 - 113252 - 102953 - 89154 - 71655 - 49856 - 25357 - 1199, ¿4¿3^7 = -160651 - 152352 - 138553 - 119054 - 94755 - 66056 - 33757 - 1635,

¿4 ¿3 = 907251 + 853452 + 771253 + 647654 + 508455 + 353456 + 174857 + 9319, ¿1¿% = 1225051 + 1151852 + 1028253 + 88ОО54 + 688155 + 467956 + 244657 + 12419, ¿1 ^¿7 = -417851 - 392552 - 350253 - 296454 - 231855 - 158256 - 80357 - 4253, ¿4¿4^7 = -560351 - 526652 - 472853 - 399654 - 312955 - 215356 - Ю8857 - 5725,

¿4 ¿3 = 3О91451 + 2916652 + 2652953 + 2229654 + 176О655 + 1234156 + 6О5О57 + 31811, ¿1 ¿33 ¿5 = 4189551 + 3944952 + 3521653 + 3033554 + 2376855 + 1613456 + 853557 + 42341, ¿1 ¿^¿7 = -1418851 - 1338552 - 1203653 - 1028854 - 810355 - 557056 - 286157 - 14421, ¿4¿3¿5¿7 = -19О8251 - 1799452 - 1624653 - 138ОО54 - 1О86955 - 752256 - 38О657 - 19487,

¿4 ¿3 = 1О6О3251 + 9998252 + 9116053 + 7608554 + 6ОО8О55 + 4233556 + 2О39О57 + 1О9551, ¿1 ¿¡^¿5 = 14398251 + 13544752+12037253+10408054+8134455+5482156+2941557+145041, ¿4¿3¿7 = -4882551 - 4596452 - 4120253 - 3515254 - 2757355 - 1887856 - 973157 - 49633, ¿4 ¿3¿5¿7 = -6555151 - 6174552 - 5569553 - 4716О54 - 37О7655 - 2564956 - 1292О57 - 67О23,

t% = 362569S1 h 342179S2 h 313816S3 h 260l54s4 h 2060l4s5 h 146571S6 h 690l2s7 h +376541,

t4t3t5 = 494268s}h 464853s2 h 4lll9ls3 h 358l03s4 h 279429s5 hl86739s6 hl02284s7 h h-495427,

tft¡t7 = —167245S1 — 157514S2 — 141184S3 — 120794s4 — 94789s5 — 64830S6 — 33628s7 — -169793,

tít¡t5t7 = —224452s} — 2ll532s2 — l9ll42s3 — 161727s4 — l27296s5 — 88287s6 — -44287s7— 229711.

При k0 = 5

tl = 365sl h 320S2 h 255S3 h 185s4 h 121s5 h 69s6 h 30s7 h 381, t1t5 = 468s} h 420s2 h 350s3 h 269s4 h l89s5 h ll7s6 h 55s7 h 485, t^t7 = —186s} — l55s2 — ll5s3 — 70s4 — 29s5 — 6s6 — 199, t^t5t7 = —233s} — 200s2 — l55s3 — l07s4 — 65s5 — 34s6 — l4s7 — 245,

t1t3 = 1021S1 h 991S2 h 930S3 h 83ls4 h 685s5 h 490s6 h 256s7 h 1029, t^t3t5 = 1401s} h l346s2 h l247s3 h l095s4 h 888s5 h 628s6 h 325s7 h 1419,

15

t1t3t7 = —440s} — 440s2 — 435s3 — 405s4 — 34ls5 — 250s6 — l35s7 — 441,

t1t3t5t7 = —619s} — 605s2 — 575s3 — 520s4 — 433s5 — 3l3s6 — l65s7 — 623,

t5t3 = 3784sl h 3528S2 h 3123S3 h 2609s4 h 20l2s5 h l362s6 h 688S7 h 3869, 11113315 = 5055S1 h 4730S2 h 4216S3 h 3539s4 h 2747s5 h l874s6 h 946s7 h 5169, t^3t7 = —1761s} — l626s2 — l426s3 — ll70s4 — 880s5 — 586s6 — 295s7 — 1811, t5t2t5t7 = —2342s} — 2l77s2 — l92ls3 — l596s4 — l224s5 — 826s6 — 4l6s7 — 2399,

t5t3 = 12621S1 h 11933S2 h 10789S3 h 9247s4 h 73l2s5 h 5057s6 h 2596s7 h 12839, t^t|3t5 = 17017S1 h 16071S2 h 14529S3 h 12396s4 h 9785s5 h 6774s6 h 3450s7 h 17349, t5t3t7 = —5732s}5437s2 — 4954s3 — 4266s4 — 3387s5 — 2358s6 — 1214s7 — 5835, t5t3t5t7 = —7755s} — 7339s2 — 665ls3 — 5705s4 — 45l9s5 — 3l34s6 — l607s7 — 7893,

t5t3 = 43709S1 h 41113S2 h 36878S3 h 3l340s4 h 24554s5 h l6842s6 h 86l8s7 h 4453, t1t3t5 = 58719S1 h 55269S2 h 49731S3 h 42l60s4 h 33088s5 h 22806S6 h 11560s7 h 59955,

54

t1t|t7 = —20036s} — l8822s2 — l6887s3 — l429ls4 — lll69s5 — 7667s6 — 3900s7 — 20459, №

t1t3t5t7 = —26925s} — 253l8s2 — 22722s3 — l9272s4 — l5094s5 — l0366s6 — 5282s7 — 27463,

t5t3 = 149334S1 + 140716s2 + 126511s3 + 107938s4 + 84822s5+58293s6 + 29947s7 h 151971, t^t^t5 = 200796S1 h 189236S2 h 170663S3 h 144902s4 h 113988s5 h 78772s6 h 39902s7 h -|î205029,

t1t5t7 = —68218s} — 643l8s2 — 58000s3 — 49382s4 — 38858s5 — 26822s6 — l3673s7 — 69567, t5t3t5t7 = —91891s} — 86609s2 — 7799ls3 — 6643ls4 — 52243s5 — 35997s6 — l839ls7 — 93639,

t5t3 = 512757S1h 482810S2 h 433339S3 h 369642s4 h 290050s5 h 198890S6 h 102415s7 h +521579,

t5t3t5 = 688824s}h 648922s2h 585225s3 h 496064s4 h 390032s5 h 269660s6 h136165s7 h -h 703899,

t1t3t7 = —234449S1 — 220776S2 — 198716S3 — 168769s4 — 132536s5 — 9l334s6 — 4645ls7 —

— 239211,

t1t3t5t7 = —315565S1 — 297174S2 — 267227s3 — 227325s4 — 178500s5 — 122805S6 —

- 62725s7 — 321615,

*1 *3 = 175767451 + 165525952 + 148473253 + 126873454 + 99556755 + 68175156 + +35258557 + 1786037,

*5*3*5 = 236000751 + 222384252 + 200784453 + 170031554 + 133774655 + 92655556 + +46616857 + 2413669,

*1*3*7

—80298151 — 75653052 — 68152653 — 57911154 — 45522555 — 31404156 —

— 15961957 — 819311,

*1 *3*5*7 = —108128951 — 101856452 — 91614953 — 77998454 — 61273955 — 42159756 — -21558357 — 1101679.

*6 =

*1 =

*1 *5

*61*7

При к0 = 6

= 168651 + 150652 + 124653 + 95054 + 66055 + 40556 + 19057 + 1751, = 219151 + 199252 + 169653 + 134554 + 98055 + 63056 + 30657 + 2261, —84151 — 72552 — 55553 — 37554 — 22055 — 10556 — 3557 — 881, *1 *5*7 = —106651 — 94052 — 76053 — 56154 — 37555 — 22056 — 9957 — 111,

*1 *3 = 499251 + 480252 + 445853 + 392754 + 319255 + 226256 + 117557 + 5053, *1 *3*5 = 681451 + 650852 + 597753 + 520454 + 418355 + 293656 + 151657 + 6913, *66 *3*7 = —219651 — 216152 — 206153 — 187154 — 156655 — 113156 — 59157 — 2201, *1 *3*5*7 = —304151 — 294252 — 275253 — 244654 — 200655 — 143156 — 74657 — 3071,

*6*2 *1 *3

= 1808851 + 1691352 + 1505653 + 1263454 + 979455 + 667156 + 337457 + 18493, *6*3*5 = 2422551 + 2270952 + 2028753 + 1710654 + 1332255 + 910656 + 462157 + 24739, *1 *3*7 = —838551 — 779452 — 686353 — 568854 — 435755 — 293156 — 146657 — 8585, *6 *33*5*7 = —1118151 — 1043552 — 926053 — 774454 — 598355 — 406256 — 205057 — 11437,

*6*3 = 6080351 + 5742952 + 5190253 + 4433854 + 3500155 + 2421256 + 1236957 + 61947, *1 ¿3*5 = 8198351 + 7736252 + 6979853 + 5955554 + 4693455 + 3240556 + 1655957 + 83525, *6*3*7 = —2769051 — 2622452 — 2377653 — 2040254 — 1617955 — 1122556 — 574557 — 28173, *6 *33*5*7 = —3739351 — 3534352 — 3196953 — 2734854 — 2161655 — 1496556 — 765357 — 38081,

*16*43 = 20994051+19757152+17759453+15072754+11823255+8135456+4139657+214175, *1 *3|*5 = 28239351 + 26583452 + 23896753 + 20305454 + 15934555 + 10961456 + 5589457 + +287931,

*1 *4*7 = —9624051 — 9049552 — 8120553 — 6883654 — 5391455 — 3702756 — 1883657 — 98175, *66 ¿31*5*7 = —12935351 — 12170052 — 10933153 — 9277254 — 7273655 — 5001456 — 2546057 — -131949,

*6*3 = 71786651 + 67647052 + 60932153 + 51828054 + 40751155 + 28100056 + 14311557 + + 732071,

*6*3*5 = 96652051 + 91062652 + 81958553 + 69756154 + 54822755 + 37756456 + 19276057 + +985093,

*1 ¿5*7 = —32832151 — 30948552 — 27877653 — 23738054 — 18673555 — 12873556 — 6568057 —

- 334639,

*1 *3*5*7 = —44202151 — 41656152 — 37516553 — 31927154 — 25105355 — 17306256 —

- 8824057 — 450639,

*1 *3 = 246324251 + 232012752 + 208859853 + 177473154 + 139433655 + 96099756 + +48894057 + 2512713,

*6*3*5 = 331569451 + 312293452 + 280906753 + 238990354 + 187714655 + 129192156 + +65969257 + 3379391,

tít3t7 = —1127601s- — 1061921S2 — 955246S3 — 812131s4 — 637806s5 — 439090s6 — -223870s7— 1149661,

tlt3t5t7 = — l5l7l46s1 — 1428906s2 — 1285791s3 — 1093031s4 — 858582s5 — 59l355s6 —

- 301305s7 — 1547093,

t1t3 = 8441376s- + 7952436S2 + 7161966s3 + 6086043s4 + 4783369s5 + 3298637s6 + + 1677318s7 + 8611903,

t6t3t5 = 11365369s1 + 10705677s2 + 9629754s3 + 8196302s4 + 6438628s5 + 4430784s6 + +2 26430ls7 + 11581367,

t1t3t7 = -3863329s- — 3639459S2 — 3275373s3 — 2786433s4 — 2189522s5 — 1507996s6 —

- 769266S7 — 3938333,

tít¡t5t7 = -5198970s- — 4897665S2 — 4408725S3 — 3749033S4 — 2946052S5 — 2029903S6 —

- 1034336s7 — 5301385.

При kQ = 7

tí = 7875s- + 7139S2 + 6048S3 + 4767s4 + 3451S5 + 2205S6 + 1065S7 + 8135, t-t5 = l033ls1 + 9485s2 + 8204s3 + 6643s4 + 4957s5 + 326ls6 + 1610s7 + 10627, t-t7 = —3843s1 — 3377s2 — 27l6s3 — 1980s4 — 1290s5 — 735s6 — 325s7 — 4013, t7t5t7 = —4943s1 — 4438s2 — 3702s3 — 2856s4 — 2015s5 — 1255s6 — 595s7 — 5123,

t1t3 = 24297s- + 23232S2 + 2l37ls3 + 18641s4 + 15014s5 + 10556s6 + 5454s7 + 24641, t^t3t5 = 33026s- + 31416S2 + 28686S3 + 24808s4 + 19816s5 + 13839s6 + 7119s7 + 33557,

17

t-t3t7 = —l08l5s1 — 10490s2 — 9855s3 — 8790s4 — 7220s5 — 5l59s6 — 2697s7 — 10915,

t1t3t5t7 = —l4847s1 — 14252s2 — 13187s3 — 11577s4 — 938ls5 — 6629s6 — 3437s7 — 15037,

t7t3 = 86638s- + 81184S2 + 72485S3 + 61068s4 + 47529s5 + 32473s6 + 16465s7 + 88495, t—t3j15 = 33026s- + 31416S2 + 28686S3 + 24808s4 + 19816s5 + 13839s6 + 7119s7 + 33557, t7t3t7 = —40012s— — 37315s2 — 33087s3 — 27633s4 — 21305s5 — 14442s6 — 7288s7 — 40943, t7t3t5t7 = —53494s— — 50057s2 — 44603s3 — 37484s4 — 29099s5 — 19839s6 — 10045s7 — 54669,

t-t3 = 292884s- + 276419S2 + 249473s3 + 212882s4 + 167822s5 + 115920s6 + 59213s7 + +298411,

t7t3t5 = 394651s— + 372223s2 + 335632s3 + 286054s4 + 22525ls5 + 155453s6 + 79339s7 + +402215,

t-t3t7 = -133553s- — 126265S2 — 114271s3 — 97806s4 — 77327s5 — 5355ls6 — 27404s7 — -136001,

t-t3t5t7 = -180179s- — 170134S2 — 153669s3 — 131241s4 — 103551s5 — 7l582s6 —

- 36581s7 — 183553,

tít3 = 1009220s— + 950007s2 + 854064s3 + 725478s4 + 569303s5 + 39l709s6 + +-199586s7 + 1029197,

t7t3t5 = 1357518s- + 1278179S2 + 1149593s3 + 976814s4 + 766874s5 + 527907s6 + +268959s7 + 1384385,

t-t4t7 = —462355s— — 434951s2 — 390690s3 — 331477s4 — 259818s5 — 178613s6 — 9094ls7 —

- 471645,

t-t3t5t7 = -621686s- — 585105S2 — 525892s3 — 446553s4 — 350313s5 — 240982s6 — -122750S7 — 634055,

t-t3 = 3453594s— + 3254008s2 + 2929448s3 + 2492582s4 + 1959227s5 + 1349906s6 + +-688511s7 + 3520743,

tits = 4648344si + 4379385S2 + 3942519S3 + 3353563S4 + 2635697S5 + 1816112se + +925791s7 + 4739385,

t1tit7 = -1579542si - 1488601s2 - 1340697s3 - 1141111s4 - 897306s5 - 618530s6 -

- 315470s7 - 1610251,

tititst7 = -2126407si - 2003657S2 - 1804071si - 1535112S4 - 1206791ss - 831626S6 --424115s7 - 2167803,

ti ti = 11847922si + 11159411s2 + 10041034s3 + 8538789s4 + 6707602s5 + 4619004s6 + -i 2355333s7 + 12079451,

t7 tits = 15942780si + 15016989S2 + 13514744si +11490971S4 + 9027729ss + 6218662S6 + -i 3169067S7 + 16256647,

tit3t7 = -5422030si - 5106560S2 - 4594705si - 3906194S4 - 3068143ss - 2112897S6 --1076896s7 - 5528705,

tit3t5t7 = -7296082si - 6871967s2 - 6183456s3 - 5257665s4 - 4130064s5 - 2844273s6 -

- 1449937S7 - 7439197,

ti t3 = 40609057si + 38253724S2 + 34425190S3 + 29282451S4 + 23007333S5 + 15845367S6 + +8082006s7 + 41399527,

t7 t3t5 = 54647536si+51478469s2+46335730s3 + 39401145s4 + 30959769s5 + 21330015s6 + + 10869412S7 + 55723459,

tit3t7 = -18579823si - 17502927S2 - 15754116S3 - 13398783S4 - 10528590S5 --7253217S6 - 3697518S7 - 18943909,

tit3t5t7 = -25005715si - 23555778s2 - 21200445s3 - 18031378s4 - 14168049s5 --9759324s6 - 4975955s7 - 25494655.

Среди этих элементов только = 9072si + 8534s2 + 7712s3 + 6476s4 + 5084s5 + 3534s6 + 1748s7 + 9319 удовлетворяет условию. Также вычислены остальные порождающие подгруппы L:

ti = 37072si + 33964S2 + 29280S3 + 23610S4 + 17536S5 + 11488S6 + 5656S7 + 38163,

ti t3 = 9072si + 8534s2 + 7712s3 + 6476S4 + 5084s5 + 3534s6 + 1748S7 + 9319,

t6615 = -956si - 568s2 + 2630S3 - 1416S4 - 258s5 + 2330S6 - 1900S7 + 2739,

t6t? = 450si + 346s2 + 236s3 + 120s4 + 20s5 - 16s6 - 6s7 + 499,

t7tii = -5468si + 2456s2 + 1246s3 - 4612s4 + 6524s5 - 6118s6 + 3592s7 + 6663,

t7t9 = -1246si - 6118s2 + 3592s3 + 4612s4 - 5468s5 - 2456s6 + 6524s7 + 6663,

t7tü = -3592si - 2456S2 + 6524s3 - 4612s4 - 1246S5 + 6118S6 - 5468S7 + 6663. □

Заключение

Пусть а = cos + i sin _ первообразный корень из 1 степени 2n для натурального n. Для j = 1, 2,... обозначим tj = 1 + Sj + s2j, Sj = aj + a-j. Тогда группа K круговых единиц поля Q2n имеет вид

2n—2 — 2

К = (а) х Ц (¿21+1). 1=0

В данной работе найдены порождающие подгруппы Ь = (Л € К|А = 1(шоё. 2)} группы К для кругового поля порядка 16 и 32.

Список литературы

1. Алеев, Р. Ж!. Центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп : дис. .. .д-ра физ.-мат. наук / Р. Ж. Алеев. — Челябинск, 2000. — 355 с.

2. Кэртис, Ч. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр : пер. с англ. / Ч. Кэртис, И. Райнер. — М. : Наука, 1969. — 668 с.

3. Miller, J. C. Class numbers of totally real fields and applications to the Weber class number problem / J. C. Miller // Acta Arithmetica. — 2014. — Vol. 164, no. 4. — P. 381397.

4. Miller, J. C. Class numbers of real cyclotomic fields of composite conductor / J. C. Miller // LMS J. of Computation and Mathematics. — 2014. — Vol. 17, special iss. A. — P. 404-417.

5. Van der Linden, F. J. Class number computations of real Abelian number fields / F. J. van der Linden // Mathematics of Computations. — 1982. — Vol. 39, no. 160. — P. 693-707.

6. Masley, J. M. Solution of small class number problems for cyclotomic fields / J. M. Masley // Compositio Mathematica. — 1976. — Vol. 33, fasc. 2. — P. 179-186.

7. Fukuda, T. Weber's class number problem in the cyclotomic Z2-extension of Q / T. Fukuda, K. Komatsu // III Intern. J. of Number Theory. — 2011. — Vol. 7, no. 6. — P. 1627-1635.

8. Алеев, Р. Ж!. Порождающие группы круговых единиц / Р. Ж. Алеев, В. С. Такше-ева // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2008. — № 6 (107). Математика. Механика. Информатика. Вып. 10. — С. 121-129.

9. Bass, H. Generators and relations for cyclotomic units / H. Bass // Nagoya Mathematical J. — 1966. — Vol. 27, no. 2. — P. 401-407.

10. Виноградов, И. М. Основы теории чисел : учеб. пособие. — 12-е изд., стер. / И. М. Виноградов. — СПб. : Лань, 2009. — 176 с.

Поступила в 'редакцию 21.10.2016 После переработки 07.11.2016

Сведения об авторах

Алеев Рифхат Ж^алялович, доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры компьютерной топологии и алгебры, Челябинский государственный университет; профессор кафедры системного программирования, Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Митина Ольга Викторовна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры компьютерной топологии и алгебры, Челябинский государственный университет; доцент кафедры прикладной математики и программирования, Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Христенко Екатерина Андреевна, студентка математического факультета, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2016. Vol. 1, iss. 4. P■ 8-29.

CONGRUENCE MODULO 2 OF CIRCULAR UNITS IN THE FIELDS Q16 AND Q32

R.Zh. Aleev1'2'", O.V. Mitina1'2'6, E.A. Khristenko1c

1 Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia

2South Ural State University (National Research University), Chelyabinsk, Russia "[email protected]; [email protected]; [email protected]

In this paper the behavior of units (invertible elements) of the rings of integer of 2-circular fields is studied. In particular, the comparability of modulo 2 for the circular units of fields Qi6 h Q32 is considered.

Keywords: group ring, group ring unit, cyclic group, primitive root.

References

1. Aleev R.Zh. Tsentral'nye edinitsy tselochislennykh gruppovykh kolets konechnykh grupp [Central units of finite groups integral group rings. Thesis]. Chelyabinsk, 2000. 355 p. (In Russ.).

2. Curtis Ch.W., Reiner I. Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras. Providence, Rhode Island, AMS Chelsea Publ., 2006. 689 p.

3. Miller J.C. Class numbers of totally real fields and applications to the Weber class number problem. Acta Arithmetica, 2014, vol. 164, no. 4, pp. 381-397.

4. Miller J.C. Class numbers of real cyclotomic fields of composite conductor. LMS Journal of Computation and Mathematics, 2014, vol. 17, special iss. A, pp. 404-417.

5. Van der Linden F. J. Class number computations of real Abelian number fields. Mathematics of Computations, 1982, vol. 39, no. 160, pp. 693-707.

6. Masley J.M. Solution of small class number problems for cyclotomic fields. Compositio Mathematica, 1976, vol. 33, fasc. 2, pp. 179-186.

7. Fukuda T., Komatsu K. Weber's class number problem in the cyclotomic Z2-extension of Q. III International Journal of Number Theory, 2011, vol. 7, no. 6, pp. 1627-1635.

8. Aleev R.Zh., Taksheeva V.S. Porozhdayushchiye gruppy krugovykh edinits [Generators of the group of cyclotomic units]. Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of Chelyabinsk State University], 2008, no. 6 (107), pp. 121-129. (In Russ.).

9. Bass H. Generators and relations for cyclotomic units. Nagoya Mathematical Journal, 1966, vol. 27, no. 2, pp. 401-407.

10. Vinogradov I.M. Osnovy teorii chisel [Fundamentals of number theory]. St. Petersburg, Lan' Publ., 2009. 176 p. (In Russ.).

Accepted article received 21.10.2016 Corrections received 07.11.2016