Об одном классе вещественных подполей круговых полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТГГПУ. 2011. №2(24)

УДК 511.61

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПОДПОЛЕИ КРУГОВЫХ ПОЛЕЙ

© Л.И.Галиева, И.Г.Галяутдинов, Е.Е. Лаврентьева

В статье находится минимальное круговое поле С Приводится алгоритм нахождения количества вещественных подполей поля

содержащее поле Q| tg— \, n e N, n Ф 2 .

Ключевые слова: круговое поле, абелевое расширение, группа примитивных характеров Дирихле.

1. При изучении разрешимости уравнений в радикалах, построении их групп Галуа особый интерес представляют круговые поля и их под-поля. Многочлен с рациональными коэффициентами, корнями которого являются только первообразные корни степени п из единицы, называют круговым многочленом и обозначают Фп (x) . Круговой многочлен Фп (x) неприводим над полем 0> и deg Фп (х) = р(п), где р - функция Эйлера [1: 212]. Если ип - произвольный корень многочлена Фп (х) , то расширение 0>п = О. (ип) называют круговым полем. Круговое поле 0>п является конечным расширением, причем [п: ^] = р(п) . Так как это расширение содержит все корни многочлена Фп (х) , то оно является нормальным расширением поля 0>. Автоморфизмы поля 0> п относительно умножения образуют группу порядка р(п) . Эту группу называют группой Галуа поля 0> п над полем 0> и обозначают О (0> п / 0>) . Известно [1: 213], что группа G (0> п / ^) изоморфна группе иX п приведенных классов вычетов по модулю п. Таким образом, круговое поле 0> п имеет абелеву группу Галуа. Согласно теории Галуа, всякое промежуточное поле ^, 0> с ^ с 0>п также абелево над ^ . Оказывается, что такими промежуточными полями исчерпываются все абелевы расширения поля 0>. Это следует из теоремы Кронекера-Вебера [2], которая утверждает, что всякое абелево расширение поля 0> является подполем некоторого кругового поля.

П

нормальным и имеет абелеву группу Галуа. Значит, оно будет подполем некоторого кругового поля.

Основной задачей данной статьи является нахождение минимального кругового поля 0>т,

содержащего поле 0> \tg П\. Кроме того, рас-

I п)

смотрен алгоритм вычисления количества вещественных подполей данного кругового поля. При этом использована схема, приведенная в работе [4: 357], по которой устанавливается взаимнооднозначное соответствие между конечными подгруппами группы всех примитивных характеров Дирихле и конечными абелевыми расширениями поля 0>.

2. При нахождении минимальных многочле-

П

нов чисел tg —, где п е М, п ф 2, важную роль п

играют рациональные функции Яп (х), обладающие свойствами:

Р (х)

1) R, (x) = QVr. где P. (x), Qn (x)

много-

В работе [3] доказано, что поле Q| tg— \, по-

П т

рожденное числом tg—, n e ^,n Ф 2, является

n

члены с целыми коэффициентами, степени которых не больше , ,

2) R, (tga) = tgna .

Многочлены Pn (x) и Qn (x) находятся из того, что

sin na = Cln cosn-1 asina - C cosn-3 a sin3 a +... +

. í i\k/^ 2k+1_n - 2k -1 „„-2k+1 „ .

+(-1) Cn cos a sin a +...

cos na = cosn a- C2 cosn-2 a sin2 a +

n

+CAn cosn-4 a sin4 a-... + (-1)k C2 cosn-2k asin2k a +...

P (tga~) , .

Отсюда tgna = -^-------------7 = Rn (tga), где

Qn (tga)

Pn (x) = C\x - Clx3 +... + (-1)k С+1 x2k+1 +... (здесь

m

количество слагаемых будет l =

n + 1

),

дп (х) = 1 - спх2 +... + (-1)* С1кх2к +... (количество слагаемых равно п+1-/).

Заметим, что числители и знаменатели функции Яп (х) могут быть вычислены по рекуррентным формулам:

Рп+1 ( х )= Рп ( х) + х& ( х) , йп+1 (х) = & (х) - хРп (х) , п = иА ...

Р (х) = х, Ql (х) = 1.

Например, Р2 (х) = 2х, Q2 (х) = 1 - х2,

Р3 (х) = 3х - х3, Q3 (х) = 1 - 3х2,

Р4 (х ) = 4 х - 4 х3, Q4 (х ) = 1 - 6 х2 + х4,

Р5 (х) = 5х -10х3 + х5, Q5 (х) = 1 -10х2 + 5х4. Так как ^ (х) - многочлен с целыми коэффициента-

П

ми, корнем которого является число tg —, то

п

очевидно, что ^ (х) = х, tз (х) = х2 - 3,

^(х) = х - 1. При п > 5 для вычисления многочленов ^ (х) в [3] доказаны рекуррентные формулы, приведенные в следующих утверждениях: Утверждение 1. Пусть п = 2к +1, к - натуральное число, р(п) - функция Эйлера. Тогда имеется многочлен tn (х) с целыми коэффициентами степени р(п) , корнями которого являются

П

числа tg —, где и пробегает приведенную сис-п

тему вычетов по модулю п.

Эти многочлены находятся рекуррентно из следующих формул:

1) Рп (х) = (-1)кх^ (х), п = 2к + 1 - простое число,

2) ((х))рМ tq ((х)) = tq (хК (х) п=ръ

р - простое, НОД М = 1,

3) (р (х))р(q) tq (р (х)) = tn (х), п = pq, Р -

простое, НОД (Р^) = р.

Утверждение 2. Пусть п = 4к + 2, к - натуральное число. Тогда имеется многочлен tn (х) с целыми коэффициентами степени р(п) , корня-

п

ми которого являются числа tg —, где 5 пробе-

п

гает приведенную систему вычетов по модулю п. Многочлен tn (х) находится из равенства

(Q2 (x)ГЫ tn1 (R (x)) = ±^ (x)tn (x),

n = 4k + 2 = 2 (2k +1) = 2n1. Утверждение 3. Пусть n = 4k, k - натуральное число. Тогда имеется многочлен tn (x) с

целыми коэффициентами степени -^^(п), кор-

sn

нями которого являются числа tg —, где s про-

n

бегает ту часть приведенной системы вычетов по модулю n, для которой s = 1(mod 4). Для s = 3( mod 4) соответствующие числа являются корнями многочлена tn (-x) .

Искомые многочлены находятся из равенств:

1) Qk (x) t4 (Rk (x)) = t4 (±x) tn (x) , n = 4k, k - нечетное простое число,

2) (Qp (x^^q (Rp (x)) = t4q (±x)tn (x), n = 4k,

k - нечетное составное число, причем k = pq, p

- простое, НОД (p,q) = 1,

3) (Qp (x^ t4q (Rp (x)) = tn (x), n = 4k, k -

нечетное составное число, k = pq, p - простое, НОД (p,q) = p,

4) (Q2 (xЖ0"] t4l ((2 (x)) = ±tn (x), n = 4k, k = 21

- четное число.

Утверждение 4. Многочлены tn (x) неприводимы над полем рациональных чисел.

При доказательстве теорем 2, 3, 4 показыва-

Г П Л

ется, что всякое поле вида QI tg— I при некото-

I n )

Г п л

ром m совпадает с полем QI cos— I. Поэтому

I m)

сначала докажем следующее утверждение: Теорема 1. Для любого натурального m

QI cos

П

m

:Q 2

Q 2m : Q I CoS

П

m

= 2.

m

Доказательство. Как показано в [5], при нечетном m степень алгебраичности числа cosП

равна 2p(m ) = -2p(2m), при четном m -

p(m ) = -ip(2m). Таким образом, для любого натурального m > 1 степень алгебраичности числа

cosП вычисляется по формуле 1p(2m). В то m2

1

2

же время

n 2п 1 / —i \

cos— = cos- = —(u + и ),

m

2m 2

где

2n . 2n _

и = cos---+ i sin--- - первообразный корень

2m 2m

степени п

2m .

Отсюда

cos —єQ2m = Q(и), то есть QIcos —I

m 1 m j

следует, что

Q 2m ,

причем

Q2m : Qi cos —

m

n

= 2. Теорема доказана. я минимального кр вого поля, в котором содержится поле 0> I tg

—

—

2п

—

2п

образом, корню tg— многочлена tn (х) соот-

п

2s + п , ч

ветствует корень tg--------- многочлена t2n (х),

2п

$п 25 + п

причем числа tg—, tg---------п рационально вып-----------------------------2п

ражаются друг через друга, то есть

_( пі _( 2s + п I тх

УI tg— І = у I tg------I. Из нормальности этих

I п ) І 2п )

расширении

следует,

что

«(tg п |=«(«п)=в («^ )=в («п

Лемма доказана.

Лемма 2. Если п - нечетное число, то

Q

Доказательство. Корнями многочлена

t2n (х), deg t2n (х) = р(2п) являются числа tg—,

2п

где 5 пробегает приведенную систему вычетов по модулю 2п. Для многочлена t4n (х) имеем

degt4n (х) = 1-р(4п) = р(2п), а его корнями яв-1п

ляются числа tg —, где НОД(1,4п)=1 и 4п

3. Задача нахождения минимального круго-

п

решается с помощью следующих утверждений: Лемма 1. Если п - нечетное число, то

l = 1(mod 4) . Рассмотрим

(sn п) 2s + п

число

4п

п. Так как НОД(5,2п)=1,

аI1=®, _

\ п) \ 2п

Доказательство. Если п - нечетное число, то р(2п) = р(п) и поэтому deg t2n (х) = deg tn (х).

Значит, многочлены tn (х), t2n (х) имеют одно и то же число корней. Корни многочлена tn ( х ) п

имеют вид tg —, где 5 пробегает приведенную п

систему вычетов по модулю п, причем п (п п| -1

\-+ті=^п- ■

то НОД(и,п)=1 и НОД(25+п,4п)=НОД(25+п,п)=

=НОД(25,п)=НОД(5,п)=1. Это означает, что чис-

25 + п , ч

ло tg—4— п - корень многочлена t4n (х)

или

1-

sn

2п

, ч тт 25 + п ( п п I

^(-х). Но — п=^!^+тг п

4п \ 2п 4) , $п

1 - tg — 2п

25 + п _( 5п|

Отсюда следует, что tg-пє ^ I tg— I =

4п \ 2п)

—

= Ql'g 1,

то

есть

Если п - нечетное число, то из условия НОД(5,п)=1 следует НОД(25+п,2п)=НОД(25+п,п)= =НОД(25,п)=НОД(5,п)=1. Это значит, что

tg 2^ +п п - корни многочлена t2n (х). Таким

°(tg^П)=°[tgП]с °[tgП1 •Так как О, П

п ( п ) g 4п

tg— = К2 \ tg— 1 =-----, то очевидно, что

2п I 4п) л ,2 П

1 -

4 (* Тп )с ° \* Тп ) . Значиг’

^ I tg — I = ^ \ tg —\. Лемма доказана.

^ 2п) ^ 4п)

Лемма 3. Если п = 0 (mod4), то е \tg ^ Л=«(tg 2 П Л.

Доказательство. В силу утверждения 3 многочлены tn (х) и tn (-х) имеют различные корни.

Это означает, что многочлен tn (х) не является

четной функцией, а содержит х и в нечетных степенях. Поэтому он имеет вид

tn ( х) = а (х2) + хЬ (х2), где а (у), Ь (у)е Ж [у],

причем Ь (у) - ненулевой многочлен. Таким образом, имеем

П

4k

■ і і 2 — і

- 1 = a I tg — I +

и V . 4k)

Г/ 2 П

a | tg —

П V 4k

4k _ , Г 2 П

bl tg2 —

4k

П

4k

П

eQ

П

2 П

’ 4k

?2 — I. Так как в

4k

то же время tg — е Q \ tg— I, то очевидно, что

4k

QI tg ПП- I = Q f tg2 ~ I. Лемма доказана.

Лемма

4.

Если

П

а ф—, 2

то

^ ^ 2а) = ^ (008 2а).

Доказательство следует из того, что

1 - tg2 а 2 1 - 008 2а

0082а =---------------------—, tg а =-.

1 + tg а 1 + 008 2а

Используя эти леммы, докажем теоремы:

п

п

П '

Теорема 2. Если n = 4k, то Q

Q n,

n

= 2.

Доказательство. В силу лемм 3, 4 имеем Q| tgП1 = QftgП\ = Qftg2Qfcos-П

[ n: Q] = p(n),

то

Q n: Q

бовалось доказать.

Теорема 3. Если

Q

2n,

= 2, что и тре-

n = 4k + 2 , то = 2.

Доказательство. По условию п = 2п1, п -нечетно. Тогда по леммам 1, 2

( п п )

= О

Q

(

П

V n1)

= Q

П

2n

П

4n.

. Но в силу

лемм 2, 3, 4 с учетом теоремы 1 имеем

П

Q| tg^ I = Q

П

4n

= Q

П

4n

= Q

cos-

П

2n

П

= Q| cos | с Q2n.

n

Из

того,

л 1) что

Q

: Q

= p(n), [Q2n : Q] = P(2n) = 2p(n) :

следует

Q2n: Q

= 2 . Теорема доказана.

Q

Теорема

П tg-n

4.

Если

Q 4

n = 4k ± 1, то

= 2.

Доказательство. С учетом лемм 1, 2, 3 име-

ем

Q Vtg П )=Q Г tg — )=Q Г tg )=Q Г cos—

Тогда по

П

n

Q

теореме 1 получаем,

^ 4п. При п = 4к ± 1 имеем

что

Q

: Q

= p(n),.

[Q 4n: Q] = p(4n) = p(4 )p(n) = 2p( n)

Поэтому

Q 4n: Q

= 2. Теорема дока-

п) ^ 4к) ^ 4к) ^ 2к,

Отсюда, используя теорему 1, находим

^ (tg ПП ^ (008 “ПП1 с ^4к = ^ п. Так как tg П -

алгебраическое число степени -^Р^), а

зана.

4. Алгоритм нахождения всех вещественных подполей данного кругового поля покажем на примере поля 0> 20.

Рассмотрим все группы, состоящие из примитивных характеров Дирихле по модулям т, где т - произвольный делитель п = 20 . Так как примитивные характеры по модулю т существуют тогда и только тогда, когда т либо нечетно, либо делится на 4 [4: 471], то в нашем случае нужно найти примитивные характеры по модулям 4, 5 и 20. Число примитивных характеров по

модулю т равно '^ц(ё)р^т), где суммирование ведется по всем делителям й числа т , и - функция Мёбиуса, р - функция Эйлера [4: 470]. Значит, по модулю 4 имеется один, а по модулям 5 и 20 будут по три примитивных характера. По модулю 4 классы вычетов 1 = 1 + 4к, 3 = 3 + 4к являются взаимно-простыми с модулем 4, то есть и Ъ 4 = {1,3} = (3). Значит, по модулю 4 всего будет два характера. Один из них главный характер х0, принимающий только одно значение 1. Второй характер х1 является примитивным характером и задается равенством Х1 (3 + 4к) = -1. Из того, что

и Ъ 5 = {1 + 5к ,2 + 5к ,3 + 5к ,4 + 5к} = (3) следует, что по модулю 5 имеются 4 характера, включая

t

n

главный характер. Оставшиеся три характера задаются равенствами х2 (3 + 5к) = -1,

X (3 + 5к) = ¡, Х4 (3 + 5к) = - и будут примитивными. Группа иЪ20 ={1,3,7,9,11,13,17,19}, где

t = t + 20к, к е Ъ . Так как иЪ20 = (3)п), 1 = 3,

7 = 33, 9=32, 13=3• й, 17 = 33-И, 19=32-11,

то характеры по модулю 20 достаточно задать на 3 и 11. Примитивные характеры по модулю 20 обозначим через х5, Х6, Х7 . Они задаются равенствами Х5 (3) =1 Х5 (11) = -1, Хб (3) =

Хб (11) = -1, Х7 Х7 (11) = -1.

Построенные нами примитивные характеры образуют конечные подгруппы

М 0 = Хl, Х2, Хз, Х4, Х5, Х6, Х7}, М1 = {Хс^ Х1}, М2 = {Хер Х2 } , М3 = {Хер Х5 } ,

М4 = {Хo, Х2, Хз, Х4 } , М5 = {Хo, Х2 , Х6, Х7 } ,

М6 ={Х0, Х1, Х2, Х5} группы всех примитивных характеров Дирихле. Подгруппе М( соответствует вещественное подполе кругового поля 0> 20 тогда и только тогда, когда выполняется условие Х] (-1) = 1 для всех характеров хх е Mi. Этому

условию удовлетворяют характеры х0,х2,Х6,Х7, которые образуют подгруппы M2,M5. Поэтому соответствующие им подполя поля Q>20 являются действительными. Таким образом, круговое поле Q20 имеет два действительных подполя. Можно показать, что действительными подпо-лями будут QI cos—

Q ( cos—) = Q ((5),

причем

П

QI cosjo I: Q

= 4,

П

Q| cos— |: Q

= 2.

1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.; Физ-матлит, 2001. - Ч.3. - 272 с.

2. Шафаревич И. Р. Новое доказательство теоремы Кронекера-Вебера // Тр. мат. ин-та АН СССР. -1951. - Т.38. - С.382-387.

3. Галиева Л.И., Галяутдинов И.Г. Об одном классе уравнений, разрешимых в радикалах // Изв. вузов. Математика. - 2011. - №2. - С.22-30.

4. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. -М.: Наука, 1985. - 504 с.

5. Галиева Л.И., Галяутдинов И.Г. Об одном классе неприводимых многочленов // Вест. ТГГПУ. -2008. - №2(13). - С.8-11.

ON ONE CLASS OF REAL SUBFIELDS OF CYCLOTOMIC FIELDS

L.I.Galieva, I.G.Galautdinov, E.E.Lavrenteva

First we find the minimum cyclotomic field Qm containing the field Q^tg— J, n e N, n Ф 2. Then we cite the algorithm for quantifying real subfields of Qm field.

Key words: cyclotomic field, normal extension, group of primitive Dirichlet characters.

Галиева Ляля Исхаковна - кандидат физико-математических наук, профессор кафедры алгебры Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета.

E-mail: [email protected]

Галяутдинов Ильдархан Галяутдинович - кандидат физико-математических наук, профессор кафедры алгебры Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета.

E-mail: [email protected]

и

Лаврентьева Елена Евгеньевна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета.

E-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 24.04.2011