CC BY
37
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Т о м XVIII 1987
№ 1
УДК 629.735.33.015.4 :533.6.013.42
СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПОЛУЖЕСТКОЙ ДИНАМИЧЕСКИ ПОДОБНОЙ МОДЕЛИ, ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ИСХОДНОМУ КРЫЛУ ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ УРАВНЕНИЙ ФЛАТТЕРА
В. М. Фролов
Предлагается способ получения основных геометрических характеристик динамически подобной полужесткой модели из условия совпадения аэродинамических коэффициентов уравнений флаттера этой модели, полученных на основе гипотезы стационарности и применения метода Га-леркина с аналогичными коэффициентами упругого натурного крыла с произвольными флаттеробразующими формами изгибных и крутильных собственных колебаний.
Постановка задачи. Требуется определить для полужесткой схематической динамически подобной модели, способной совершать колебания с формами:
7=-у-.г и у=шВ, (1)
где ¡(z), ср(г)—формы изгибных и крутильных колебаний, ее геометрические характеристики: корневую хорду, Ьо, сужение т|, полуразмах /, относительное положение жесткости (оси вращения для схематической модели) x<¡lb, чтобы в соответствии с гипотезой стационарности аэродинамические коэффициенты уравнений флаттера Ь12, 622, ¿и, di2, d2i и (¿22 полужесткой модели соответствовали коэффициентам натуры, формы собственных колебаний которой произвольны.
Жесткостные и массовые коэффициенты ац, CI22, Cu, С12, С22 схематизированной модели и натуры делаются совпадающими за счет подбора жесткостей соответствующих пружин модели и распределения в ней масс.
Форма в плане модели трапецнедальная, и текущее значение хорды (рис. 1) будет:
6 (г) - *0Ji +_!)-£-] . (2)
Исходное натурное крыло может иметь произвольную форму в плане.
Рис. 1
Необходимо достигнуть совпадения для полужесткой модели и реального крыла величин следующих коэффициентов [1]:
При вычислении коэффициентов (3) — (7), которые записаны в виде [1], значения величин Су и Хо/Ь считаются постоянными по размаху модели. Подобие коэффициентов ¿12 и ¿21 при заданном значении Хо/Ь приводит к одному условию при определении геометрических параметров модели. Таким образом, имеется пять условий для определения трех геометрических параметров, из которых выбираются г), /, х0/Ь, и коэффициентов форм колебаний Л и В, которые влияют на выбор массовых моментов инерции модели /*, ¡1, 1хг.
При выбранных для полужесткой модели формах колебаний (1) и функции хорд, записанной в виде выражения (2), определенные интегралы в выражениях для указанных коэффициентов (3)—(7) берутся в замкнутой форме.
С учетом сказанного выше, значения коэффициентов (3)—(7) представляются в
виде:
Входящие в коэффициенты определенные интегралы ¡и /2, ■ ■., Ь. имеют следующие значения:
(3>
о
I
(4)
о
/
(5)
о
/
(6)"
(7>
(8)
¿22-----------г
(
3 Х0
4 Ь
)(■
Ь ~ 4
)
У3 = Л-2 J Ь ~ dz = (1 + 3t)~i) Л*,
о
/.-aj-l*,*-4i(-L + Jp. + Ei)№
г Í
(1 + Т,—1) (1 + Yf2) В*.
(11)
(12)
(13)
Для того, чтобы коэффициенты уравнений схематической модели лучше соответствовали натуре, можно принять равными строительные удлинения модели и натуры. Определим строительное удлинение:
Лстр ■
I . М1+Ч-1)
ХГ' r,et‘"----------2~
Тогда
21
ЛСТр •
Ы1 +1) х)
(14)
В случае равенства строительных удлинений можно полагать равными коэффициенты с“ для натуры и модели. С учетом выражений (9)—(14) можно дать окончательную запись для коэффициентов Ь12, 622, ¿и, ¿12, ¿21, dz%\
Р
Зл,
■стр
Л1±лд)-Ав, 1+1) 1
Ъчч ------ ■
4/С _
3 р
¿n = r
Ia 1+1)' 1 + if (l+i)-1)2
1 +3YJ-1
6\с
1 + lf
А*,
¿21 — г К
1 + 2i)~i + 3 т)~2
31
стр
(1 + 1Г1)2
АВ,
¿22------------Г
К
1бс; j
41+т]-2
X3 (1 + Y) —1)2
В\
.(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
где
Хд
Ь
Следует отметить, что предложенное выше условие для выбора величины строительного удлинения является естественным, однако оно не является обязательным.
¿11 ^22 -Определив из выражений (15)—(19) комбинацию придем к кубическому
уравнению, определяющему параметр сужения г| для полужесткой модели
(i)a + 3y¡ + 4) (Г) + 1) + 2 ;
6(*1+1) ¿11 Ьъ)
(20)
Е42
Аналогичная комбинация из других коэффициентов позволяет получить квадратное уравнение для определения параметра К:
У— _ И * - 71 1 (і + ^хі + ^і^хі+ 2^-1) _ 2
Л 2 / 16с“ і (1+2кі_1 + Зіі_2)(1+ТІ—Ч--П-2)
Из отношения выражений (18) и (15) определим длину I схематической модели: ¿21 Хстр (1 +1)-0(1 + 2т)-1)
¿]2 к 1 + 2!)-! + Зтг3 ’
(22)
поскольку все входящие в (22) значения коэффициентов и параметров известны.
Выражение (17) при известном значении / из (22) позволяет определить коэффициент А формы изгибных колебаний (1):
Г , ».
[ 11 Рг
—тР (! + ^ -НІ12, (23)
(1 з^—») ]
Отношение выражений (15) и (17) определяет коэффициент В крутильных колебаний полужесткой модели
1 *13 1 -г-Зг“1
В =—--------— А ——'— . (24)
2 ¿и 1 + 2ч~1 ’
Значения параметра г), входящего в выражения (21) — (24), берется из решения уравнения (20). Из формулы (14) определяется величина корневой хорды модели Ьо-
Таким образом, система-выражений (14) — (19) позволяет вычислить все искомые пара-
метры схематической модели.
Массовые характеристики полужесткой модели, выражаемые моментами инерции ІХ, /г, Іхі, определяются ИЗ УСЛОВИЯ ЄЄ ПОДОбИЯ натуре ПО коэффициентам Си, С12, С22:
(1 V 1 1
іх=яЄп(а) ' г~С22 В2 ’ АВ ’
(25)
Из уравнения совместных изгибно-крутильных колебаний натуры'
Р<- (?(о2 + Я = 0 (26)
определяются необходимые жесткости пружин модели, которые обеспечивают получение требуемых частот колебаний согласно уравнению (26).
В уравнении (26) коэффициенты Р, 0, и ^ имеют следующие значения:
Р=с 11 С22— С]2> (? = Й11 С22й22 Сц< /?=*вцв22-
Жесткости пружин, обеспечивающих для полужесткой модели требуемые согласно (26) частоты колебаний, определяются в соответствии с принятой конструктивной схемой. Схематическая полужесткая модель, подобная натуре, может быть использована как для экспериментальных исследований, так и для расчетных оценок флаттера [2].
Отметим, что построение эквивалентной натуре полужесткой схематической модели было основано на использовании аэродинамических коэффициентов (3) — (7), полученных по гипотезе стационарности, поэтому на точности такого моделирования могут сказаться погрешности, вносимые гипотезой стационарности.
Числовые примеры. По расчетным данным, имеющимся в работе [1], рассчитывались проектные параметры полужестких схематических моделей.
Были выбраны крыло (стр. 113 [1]) и хвостовое оперение (стр. 209 [1]). Аэродинамические и массовые характеристики приведены в табл. 1.
М3
Таблица 1
Модель из работы [1] 6)5 Ь 22 йц ^13 ^21 ¿22 дст дсУ асУ да.
Крыло Оперение Все В, р« лей. В ТЕ полужесті -3,48-10—6 -0,63-10~4 расчеты п аультате бл. 2 при сой моделі —0,51*10—4 -0,328-10“3 зоводились были полу ведены исэ 1. 4,59-10—6 0,895-Ю“4 в систем чены геом ■одные гее -2,818-10-4 -0,351-Ю-2 е, принято етрические »метричеси 5,43-10-5 0,354-10~3 й в работе характерне іе характер 0,779-Ю-2 0,0812 [11- тики полуд истики И X -0,254 -0,275 ІЄСТКИХ арактер Т а б л 2.33 1.8 моде- истики ■і ц а 2
1 ’І х0 Ь НО) ЬЦ) А В
Крыло Исходные Модель 1610 720 4,32 0,2 0,361 390 28 90 140 0,213 0,118
Оперение Исходные Модель 370.5 446 2,64 0,73 0,31 106 74 40 101,5 1,87 0,9
Из результатов, приведенных в таблицах, видно, что полужесткая модель имеет геометрическую форму, существенно отличающуюся от исходной. Обе эти формы в плане показаны на рис. 2.
Оперение
Рис. 2
Данная методика была распространена на построение эквивалентной полужест-кой модели для стреловидной несущей поверхности (рис. 3). В приведенной выше методике для модели строительное удлинение выбирается. Если строительное удлинение полужесткой модели выбрать вдвое большим, чем на натуре, то форма несколько изменится, (см. рис. 3). Форма в плане строится относительно оси вращения, угол стреловидности которой определяется по коэффициентам Ьц и Ьц. Существенной особенностью такого моделирования является то, что сужение на полужестких моделях получается меньше единицы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гроссман Е. П. Флаттер. — Труды ЦАГИ, вып. 284, 1937.
¿.Булычев Г. А. О возможности анализа различных форм флаттера на одной динамической модели.— Ученые записки ЦАГИ, т. 17, № 3,
1986.
Рукопись поступила 26/1/ 1986 г.
