CC BY
80
Т о м X
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
19 7 9
№ 6
УДК 533.6.013.422
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПАРАМЕТРОВ КОМПОНОВКИ КРЫЛА С ДВИГАТЕЛЯМИ НА ВЕЛИЧИНУ КРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ ФЛАТТЕРА
Н. Г. Дулина
В работе исследуется зависимость критической скорости флаттера крыла большого удлинения от положения на нем двигателей. Предлагается приближенный способ параметрических исследований, основанный на принципе Рэлея. Рациональное положение двигателей по отношению к основным осям крыла определяется с помощью упрощенной модели, в которой массовые и жесткогтные характеристики крыла приводятся к выбранному сеченню.
1. Определение приведенных характеристик крыла с двумя двигателями. Крыло большого удлинения с двумя двигателями может быть представлено в виде консольной балки с двумя сосредоточенными массами. Рассматриваемая балка длины / имеет распределенные параметры: погонную массу гп, изгибную жесткость ЕУ, крутильную жесткость б/ и погонный момент инерции /т0, а также сосредоточенные массы М на расстояниях /, и I, от свободного конца балки. За сечение приведения А выбрано сечение крыла с внешним по отношению к фюзеляжу двигателем. Распределенные параметры предполагаются постоянными по длине балки.
Для нахождения приведенных массы и изгибной жесткости необходимо определить прогиб балки под действием собственного веса.
Интегрируя дифференциальное уравнение EJf" = Mmт, где Л1НЗГ— изгибающий момент, создаваемый собственным весом крыла и сосредоточенными грузами на нем, и удовлетворяя граничным условиям и условиям сопряжения в точках х = и х = 12, получаем выражения для прогибов: для 0 <*<;/!
+ (2 + Т) (1 - # - 3Ц1 -а)2 + (1 - 7)2] ~"} ;
для /!<л:</2
+ 1-(1 - «)2]-Ь(1-«)г(2 + «)-3Т + 2]| ;
ДЛЯ /2 < X < /
/з (*> - Шт - 4 (■*) + 3 + 4 £ [2 + 2;
7--Ч + +
-3
где а = А, т = А-.
Следовательно, прогиб в точке Л, находящейся на расстоянии /1 от свободного конца балки,
Т*-4т + 3 + 4 *
/и/
(2 + а)(1-а)Ч-(2 + 7)(1-Т)2'
-37[(1-а)2 + (1 -Т)2
Г
Из условия равенства энергий систем с распределенными и сосредоточенными параметрами легко найти1 выражения для приведенных изгибной жесткости и массы. Равенство потенциальных энергий
П _ 1 Vм Сизг/л
1 'изг — ~2~ I '
ЕУ
позволяет получить приведенную изгибную жесткость
^изг 576 -р- X
Л*
X
20 т 12 т/
К + 7*-4(а + 7) + 6] + 4" (^Г) С - 7) (72 - 2Т + 4 + За (а -
\ ~ М М р
^ _ 4 7 + з + 8 -¡щ- (I - 7)з + 4 Ш (1 - (2 + <. - 37))
Из равенства кинетических энергий
тя зг = 4" / <*) ^ + ^ + 4- ^ = тпрЛ (Л)
2)]
определяем приведенную массу отпр крыла с двумя двигателями
т
пр ■
пр
где — приведенная масса крыла, т"п —приведенная масса внутреннего двигателя, М — масса внешнего двигателя, соответственно равные:
т„
т1 Л (а, 7)
пр
(ММ ]2
{7<-47+ 3 + 8-^(1-7)3+4^(1 _ в)»(2 + а - 37)|
M ja4 — 4 а -(- 3 -f- 4 |аЗ-За^+За[2-г-1-(1-<*)2]+(1-а)2 (2+а)-3"(+2|J
^лр = f " M M '
J-[4 _ + 3 + 8 ш (1 - 7)3 + 4 ^ (1 - «)» (2 + a - 3T) j
+ (4 - "T'018 + 4- -r8 —a7T) + 4" (a<3 - T6) + -f ¿5 (*6 - T5) +
+ ¿3 (4- a«.- 4. .- + 4т5) + Мб (4~ <*4 —4 T4 ~ 2«3?)+
+ К h (*2 ~ f) + <1 - a) + k8 (1 -a') + + 2 k:e ks) (1 - a3) +
+ (*з k, + 4" ¿6 ¿7) (1 - a4) +4- (Ae + 2 Ae + 4 ¿3 ¿7) (1 - <*5) + + 4" + 2 k3 h) (1- a«) + 4" ¿6 (1 - a7);
= 3 + К2 + «К1 ~ a)2 + (2 + T)0 - T)2], = ¿4 = 3 [2^ — 1 — (1 a)2] — 4,
ftB = 3H-4AI[(l-a)»(2 + a)-3T+2]> ¿6 = -3£3(« + Т), /г7 = 6Аа(а + Т — 1) — 4, ¿8 = 3 + 2(£3-2*6).
Для нахождения приведенных момента инерции и крутильной жесткости находим угол закручивания ср(х) балки под действием собственного веса и сосредоточенных грузов. Угол закручивания будет определяться интегрированием уравнения свободного кручения. Удовлетворяя граничным условиям и условиям сопряжения, имеем:
* <*>=й/ {(-f )2 -1 +2-~г h (1 -^)+*2 (1 -«)]} >
W = & {("f )' - 1 + («1 +'«») (1"-4)}' '2<* <
где — вынос внешнего двигателя, а а2 — вынос внутреннего двигателя, p. = mga, при этом a — расстояние между линиями центров тяжести и центров жесткости крыла. Угол закручивания балки в точке А
**=ш к2 -1 + Щг - Т) + в, (1-«)]} •
Из условия равенства энергий систем с распределенными и сосредоточенными параметрами
1 ?М2кр(х)<1х __ Скр9~ икр — 2 ) в] ~ 2 '
ткр = 4-1 и (л) ^ + 4 Л^ ?22 (/,) + 4-Жа? (/О =
о
получаем приведенную крутильную жесткость
4- /7/
СКр = 4- (и212 + ЗЛ^а, [АГ^а, - [X/ (а + Т)] (а - т) + ЗЛ*£ (а, + а2) X
X (а, + (1+а)] (1-а)}/Ы (f-\)+2Mg [а, (1—г)+а2 (I-«)]}2
и приведенный момент инерции
^Пр = /'пр + Ма\,
где
. __ /«о/-^(а, 7) + + (Рз + 1) О-»)]3
Л К т)=-г + ЛТ (4" "I* + а) + X р* (а3 - *Г3) (а — т) + + (1-е) + А А («2 - 73) + (Зрз + 1) + 4" А (<*3 - Т3)+
+ А - 0—а2) [1 + «» + Ш
+ 1,
2Мр
л = а
Приведенные характеристики крыла с одним двигателем можно получить, если в выражениях для приведенных характеристик крыла с двумя двигателями положить а=1.
2. Определение центра тяжести, центра жесткости и геометрических параметров расчетной модели. Для параметрических исследований динамической компоновки крыла большого удлинения предлагается использовать простейшую модель (рис. 1), которая представляет собой невесомый абсолютно жесткий стержень, опирающийся концами на две упругие пружины с1 и с2, и сечение приведения с вынесенным внешним двигателем, расположенное на этом стержне таким образом, чтобы центры тяжести и жесткости у сечения крыла и модели совпадали. Выполнение последнего условия определяет хорду модели ¿>м как переменную величину. Жесткости пружин сх и с2 модели связаны с приведенными жесткостями крыла соотношениями:
г — г Л- г С — И2 с'Сз
°изг — £-1 Г 1-2) ^кр — "м с ^ >
где Ьи — расстояние между пружинами, равное хорде модели.
И^А '(сечение приведения характеристик) Чг, Ьм
м -О
т.
пр
Рис.
Учитывая, что центр тяжести профиля находится на расстоянии от передней кромки крыла, на основании предложенной модели находим центр тяжести системы
т„
'•пр
где М-—масса внешнего двигателя, ха— центр тяжести системы, а, — вынос внутреннего двигателя, а,— вынос внешнего двигателя. Центр жесткости данной модели легко определим в виде
-^ж - ^м
С3
С] ~т Со
Из условия совпадения центров жесткостей профиля крыла и
модели
-^ж —— Хы = Ь
м С.+С,
получим хорду модели
пр , С[Ф
Ь —X
-изг
м ' гпР Г
^ п
3. Расчет критической скорости флаттера. Модель имеет две степени свободы, которые характеризуются двумя координатами: вертикальным перемещением у центра тяжести хц и углом поворота относительно центра тяжести. Обе координаты являются функциями времени: у = у ф = •!»(/).
Жесткости обеих пружин в общем случае различны. Обтеканию крыла воздушным потоком скорости V соответствует приложение на расстоянии <1 от передней кромки сечения приведения модели аэродинамической приведенной подъемной силы /?4:
я4 = ьп V2 о + ап У'Ь—<*„ Уу,
и наличие приведенного аэродинамического момента М = Ь22 V2 •■!> + й2г УЪ — Уу,
где
-J/Чг, *h=cí4oJ /.
' 3 \
> 4 b, J
/
1~ьГ 4 j
3 JCn 1 / 1
~ "*fA ! [( 4 i V"5T 4
ffdx; dx;
<p2 dx;
2<Рл o
/, <p — статические прогиб и угол поворота консольной балки, а — хорда крыла.
Реакции упругих опор и /?2 имитируют упругие характеристики крыла.
Запишем уравнения равновесия модели:
R¡ •= R± — Ri — Ro¡
Im-*± = M + R,_ (b„ - xn) - Rt xa,
где
Ri (у + лцй), Ro = c2 \у — (Ьы — хц) ф],
и момент инерции системы
fт ~ Aip /ипр (-^ц Хж)2 •
В результате преобразований получаем следующую систему:
аи У + Си У + ¿и Ф — ^12 V2 Ф — ^12 V> + rfn Vy = О,
а22 Ф "1" С21 .У + С22 Ф--^22 ^ Ф _ ^22 Уф + ^21 KV = О-
Введем коэффициенты
au = ffinp + Aí; cn=ci + c2; = (í, + с2) *ц — с2 V.
я22 = 1т\ с21 = (tj -f- с2) — с2Ьы~, с21=с12; с22 — (ci "г с2) л'ц + с2 ¿>M (¿>м — 2лГц). Ищем решение системы в соответствии с общепринятым [1,2]:
у = Аеш, ü>z=Beimt. Приходим к уравнению для критической скорости флаттера LV* + MV- + =
где
N-AJ-4-)2 + А6 4- +А-„
1* I Д, / Т
А1 — си d22— (¿21 — ¿12) С\2 — ¿u с22,
А2 — ¿11 Ь22 ¿21,
Л3 -¿22 ^22 ¿ 11)
Л4 = ап а22,
Л5 — 1 ¿>22 4" ¿11 ¿22 — ¿12 ¿21» Л 6 = 1 С22 ' ^22 1 i Л7 = CnC22 — С12 C2i, Л8 — Ь\2 с21 Сц ¿>22,
из которого получается выражение для квадрата критической скорости флаттера
21 •
Знак перед корнем следует выбирать из условия получения наименьшего положительного значения Vlp.
4. Исследование критической скорости флаттера в зависимости от положения двигателей на крыле. В качестве числового примера рассматривается крыло постоянного сечения, обладающее следующими параметрами:
от = 115 , Ж = 725 , Im<¡ = 70 кГс2, / = 40 м, ¿7, = 9 м, £/=2ХЮ8 кГм2, GJ= 108 кГм2.
В работе исследовалась зависимость квадрата критической скорости флаттера от параметра y = l\¡l, характеризующего положение внешнего двигателя при фиксированном положении внутреннего двигателя а = /,//. В расчетах а принимало значения 0,4; 0,3; 0,2; 0,15.
На рис. 2 изображена зависимость vlp — квадрата критической скорости флаттера, отнесенного к квадрату максимальной критической скорости при а = 0,3, — от у для а = 0,15; 0,2; 0,3; 0,4_при отнесенных к хорде значениях выносов двигателей а^О.ЗЗ, а,= = 0,44. Можно заметить, что если положение внутреннего двигателя а =0,15, то внешний двигатель рационально размещать в области 0,35 <! у 0,45 или в области у >0,5; для а = 0,2 рациональные области для внешнего двигателя 0,3 < у < 0,425 и у >0,5; для
V2
и
о,ч
а,=0,2б а г = 0,35 а=0,15 —0,2 — 0,3 __-пи
"г. - -.'
—
0,2 0,1 Рис. 3
0,6
0,2 0,1 0,6 0,8 1,0 г
Рис. 4
«Ученые записки» № 6
На рис. 3 представлена та же зависимость при меньших значениях выносов а, = 0,26, а2 = 0,35. Рассмотрение графиков показывает, что если внутренний двигатель находится в положении а = 0,15, то внешний следует поместить в областях 0,4 -{ 0,45 или т >0,525; если а = 0,2, то внешний двигатель можно размещать в областях 0,375 < ? < 0,425 или т> 0,525; если а = 0,3, то 0,3 < <7 <0,35 или 7 >0,55; если а = 0,4, то т>0,55.
На рис. 4 показано размещение двигателей (обозначено точками) на крыле у ряда существующих самолетов. Заштрихованные области указывают зоны возможного размещения внешних двигателей при фиксированном положении внутренних двигателей. Видно, что полученные результаты согласуются с практикой проектирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гроссман Е. П., П а н о в к о Я. Г. Упругие колебания частей самолета. Изд. ЛК ВВИА, 1947.
2. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем. М., „Наука", 1964.
3. Бирюк В. И., Липин Е. К., Фролов В. М. Методы проектирования конструкций самолетов. М., .Машиностроение", 1977.
Рукопись поступила 4/1Х 1978 г.
