Сплайн-Виленкина-Крестенсона функции в представлении сигналов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN G868-5886

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2GG2, том 12, № 1, с. 79-89

ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ

УДК 621.391 © С. Н. Агиевич

СПЛАЙН—ВИЛЕНКИНА—КРЕСТЕНСОНА ФУНКЦИИ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ СИГНАЛОВ

Для решения задач синтеза радиосигналов при описании радиоизлучений предлагается использование теории сплайн-гармонического анализа. Использование этой теории позволяет эффективно учитывать гладкость функций, описывающих сигналы. Вводится понятие сплайн—Виленкина—Крестенсона функций. Их частными случаями являются непрерывные и дискретные функции Виленкина—Крестенсона, непрерывные и дискретные экспоненциальные функции. Вводится соответствующее более общее понятие ядер Котельникова, частными случаями которых являются фундаментальные сплайны (ядра Котельникова для сплайнов) и классическое ядро Котельникова. Предложен инструмент сплайн-гармонического анализа, названный сплайн-быстрым преобразованием в базисе сплайн—Виленкина—Крестенсона функций. Указано на возможность создания новых видов передач на основе изменения степени гладкости базисных функций. Существование функций различной степени гладкости на основе функций сплайн—Виленкина—Крестенсона открывает возможность построения системы сигналов, цифровая обработка которых будет происходить быстрее.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время в системах связи для передачи радиосигналов широко используются экспоненциальные функции. При этом информация передается путем изменения частоты, фазы, амплитуды этих бесконечно дифференцируемых функций. Для повышения скорости цифровой обработки таких радиосигналов часто используют алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ). Между тем, дискретные экспоненциальные функции (ДЭФ), лежащие в основе БПФ, являются частным случаем функций Виленкина—Крестенсона

(ВКФ). Скорость быстрых преобразований на основе этих функций может быть существенно выше за счет меньшего модуля представления чисел. Однако, гладкие (несколько раз дифференцируемые) аналоги для ВКФ отсутствуют. Существование функций различной степени гладкости на основе ВКФ открывает возможность построения системы сигналов, цифровая обработка которых будет происходить быстрее. Кроме того, при использовании не только амплитуды, частоты и фазы таких базисных функций, но и их степени гладкости открывается возможность для повышения скорости передачи информации. Для решения указанных задач в работе предлагается система новых базисов, названных автором сплайн—Виленки-на—Крестенсона функциями (СВКФ). Анализ сигналов по этой системе базисов назван сплайн-гармоническим анализом (СГА). Для восстановления СВКФ по их дискретным отсчетам получены соответствующие ядра, частным случаем которых

является ядро Котельникова. Предложены алгоритмы быстрых преобразований в базисе СВКФ.

Первая часть работы посвящена краткому изложению теории сплайн-гармонического анализа.

Во второй части статьи СГА обобщается на функции Виленкина—Крестенсона.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ СУЩЕСТВУЮЩЕЙ ТЕОРИИ СПЛАЙН-ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Основная идея этой теории заключается в том, что при обработке континуальных сигналов методами цифровой обработки сигналов (ЦОС) исследователю дается возможность учесть информацию о степени гладкости (дифференцируемости) исследуемого сигнала или его спектра, подобрав нужный базис по известной информации о гладкости исследуемого процесса. Это позволяет уменьшить количество спектральных коэффициентов разложения, представить анализируемую гладкую функцию в более рельефном виде, точно восполнять пропущенные значения функций. Частными случаями этой теории являются дискретный анализ, основанный на дискретном преобразовании Фурье и непрерывный анализ, основанный на интеграле Фурье.

Поясним физическую сущность сплайн-гармонического анализа. Пусть имеется пространство гладких функций — периодических сплайнов

дефекта 1 [1]. Любой сигнал (V) из этого про-

странства может быть построен из своего рода

"кирпичиков" — В-сплайнов Мр (V) порядка р и заданной степени гладкости р—1:

^ (V) = N 2 чМр (V - Ч),

м'т

(1)

где як — некоторые коэффициенты, N — количество отсчетов сигнала. При этом М'(0 — однопериодический единичный импульс единичной энергии. Известно [2], что его спектр, найденный с помощью БПФ, имеет равномерное распределение. А так как базисные функции в этом случае — дискретные экспоненциальные [2], аппроксимирующиеся ступенчатой функцией, то можно сказать, что гладкость анализируемой функции М1^) совпадает с гладкостью ДЭФ. Подадим на вход устройства, выполняющего БПФ, гладкий

импульс Мр (V). (Последовательности импульсов Мр (V) дляр=1, 2, 3, 4 представлены на рис. 1).

Отметим важную особенность этого воздействия: энергия любого такого воздействия тоже равна единице, как и у М'(^). Естественно, что форма реакции устройства на такое воздействие уже не будет иметь равномерный вид. С повышением частоты (увеличением п) спектральные коэффициенты (полученные с помощью БПФ) будут все меньше. И чем выше степень гладкости р-1, тем скорость уменьшения будет все больше (рис. 2).

Можно сказать, что устройство, реализующее

БПФ, есть фильтр нижних частот для Мр (Д).

В рассматриваемом случае гладкость единичного воздействия не соответствует гладкости базисных функций, в данном случае ДЭФ. Для такого соответствия и базисные функции должны иметь гладкость р-1. Из (1) получаем:

^ (V) = N 21ЧкМР (V - Ч) =

= N 2 Мр (V - Ч )2тПкрп (Я)

™ к п

=2рп (я)N2юПкМр (V - (к)=

п ^ к

=2^,< <')=2 спип (').

пп

где тр (V) — базисные функции гладкости р-1;

р„ (Я) = ^ 2®п4;

м к

<=Мр)=1 2^пкМр );

(2)

£п = Рп(г)/ирп ;

N■

Ю = ехр( ] 2п / N); Ы=ТЕтах — количество отсче-

гг , Г Ш/2-1

а; Т = 1; г = {гп j•-N/2 — совокупность

М4(?)

Рис. 1. Периодические 5-сплайны для р=1, 2, 3, 4

2 4 6 8 10

12 14

РпМ3 (ЬУ)

2 4 6 8

12 14

FnMm

тов сигнала;

2 4 6 8 10

Рис. 2. БПФ от М(1к) при р=1, 3, 4

12 14

0,5

0

0

2

4

6

8

0.5

0

0

2

4

6

8

п

0

10

п

п

дискретных отсчетов сигнала; сп = ¥п (г) ;

ир (V) — базисные функции гладкости р-1. Причем

ш,

шр (і)

ир (і) = ш^

п \ / р

(4)

(і) = 2 спи,' (і). (5)

п=-ж

а при р — ^ классический ряд Фурье:

2к]'пі

Р—

(6)

к=-~

Иначе говоря, для того чтобы гладкость базисных функций (3), (4) совпадала с гладкостью воздействия, необходимо результат выполнения БПФ

от любого сигнала £р ) в каждой точке поделить на результат выполнения БПФ от Мр (1к). а Естественно, что если $р <tk ) = Мр (;к ), то спектр

будет равномерным. Можно рассматривать в качестве спектральных коэффициентов и сп, но использовать в качестве базисных функций ир (V). При

этом тр (V) представляют собой экспоненциальноподобные функции, амплитуда которых в точках tk уменьшается с увеличением п по закону ир, а в промежутках между tk — это сплайны гладкости р-1. ир (V) интерполируют экспоненциальные функции, т.е. совпадают с ними в узловых точках, а между узловыми точками представляются сплайнами степени гладкости р-1. При р^-ж ир^) ^ е2щЫ [3]. Как видно, инструментом СГА является модернизированный алгоритм БПФ. Суть модернизации заключается в том, что для вычисления 8р (V) в любой точке выполняют БПФ от Z, делят каждую спектральную составляющую на БПФ от сплайна — ир, выполняют обратное

преобразование для получения {дп 2

При переходе из пространства периодических сплайнов Ор в пространство непериодических Ор из (2) можно получить [8]

хр (<) = |с(/ )ир (і) л/,

Ііт 8Р (і) = | с(/)е2п#/

р——^ V

(7)

(8)

— интеграл Фурье.

В работе [8] также показано, что из (2) для сигналов из Ор можно получить выражение для обобщенного ряда Котельникова:

Sp (і) = 2 (і - ).

(9)

к=-~

где

и (і - ік) = |

2п/к / ртах

ир (і)/Ртах/

— обобщенное ядро Котельникова для базисов сплайнов, а классический ряд Котельникова получается из (9) при р

затем

Ііт Sp (і) = 2 г

р—

определяют Sp (і) из (2) [4]. (Совокупность действий по выполнению БПФ от Z и делению каждой спектральной составляющей на ир для получения К,(ц) = — 2т~ЛЧк можно назвать алго-

^ к

ритмом сплайн—БПФ. В этом случае при р = 1 иП равномерно распределено, и мы имеем классический алгоритм БПФ.). В этом случае, например, интерполяция и поиск экстремумов производится в несколько раз точнее [5], чем с помощью локальных сплайнов [6], [7], и до нескольких раз быстрее, чем без использования БПФ. При Ктах — ~ из (2) можно получить обобщенный ряд Фурье [8]:

5Шп(і - ік )^та

П(і - ік )Ртах

(10)

Там же рассмотрены и выражения для восстановления производных и функций по дискретным отсчетам сигнала с шумом.

Следует отметить, что выражение, подобное (9), приведено в [9]. В этой работе обобщенное ядро Котельникова степени р-1 для базисов сплайнов (формула (15), с. 25) определяется следующим образом (с учетом наших обозначений):

) = 2(^-1)«М^ - к),

k<=Z

где М^1^ - к) — В-сплайнр-1степени (порядкар) и b_p-1(к) = М1’-1^/N)| = к, т. е. как свертка

непрерывного В-сплайна и дискретного В-сплайна

и

п

К

-К

к

к

степени -1. При этом БПФ от (b1n) 1 связано с up следующим образом:

Fn (bN-1(k)) = ■

,p-1

Представляется, что приведенное краткое описание СГА более приближено к классическим понятиям теоремы Котельникова, дискретного и непрерывного преобразований Фурье, чем это следует из [9]. Из теории СГА непосредственно следуют обобщенные выражения для сплайновых экспонент ир^), а на использовании классических экспонент, как известно, и построены системы связи.

Описанные в сжатой форме основы СГА позволяют рассматривать анализ и синтез сигналов с более общих позиций и выдать ряд практических рекомендаций.

Во-первых, теория СГА связывает воедино непрерывный и дискретный анализы Фурье, позволяя их рассматривать как частные случаи для р ^ ж ир = 1 (7).

Во-вторых, на наш взгляд, дается четкий ответ на условие, которое ставится в теореме Котельникова об ограниченности спектра. Ограниченным спектром в классическом понимании обладают функции, бесконечно дифференцируемые в каждой точке определения (10). И именно для таких процессов ядро Котельникова является оптимальным. Для сигналов, имеющих другое значение гладкости, оптимальными будут другие ядра, т. к. в экспоненциальном базисе эти сигналы не будут являться ограниченными. В случае несоответствия гладкости ядра и гладкости восстанавливаемой функции точного восстановления не происходит. В частности, классический идеальный фильтр не будет являться таковым для процесса, описываемого функцией с конечной дифференцируемостью.

В-третьих, появление нового параметра для описания излучения — гладкости — дает возможность синтезировать сигналы, в которых информация может передаваться не только путем изменения частоты, амплитуды и фазы, но и на основе изменения гладкости.

В-четвертых, теория СГА дает возможность выбирать ядра для восстановления сигналов в случае конечной суммы в (10). В [10] показано, что в такой постановке задачи ряд (10) является оптимальным с точки зрения сходимости только в том случае, когда спектральная плотность мощности ограничена и равномерна. Для других форм спектральной плотности мощности ядра Ьр(; - tk) с конечной р могут быть лучше.

СПЛАЙН-ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ФУНКЦИИ ВИЛЕНКИНА—КРЕСТЕНСОНА

В основе изложенной выше теории СГА лежат дискретные экспоненциальные функции. Между тем ДЭФ — это частный случай ВКФ. Последние могут позволить решать задачи анализа сигналов быстрее ввиду меньшего модуля представления чисел. Поэтому перейдем к поиску взаимосвязи между ВКФ и сплайнами.

Введем пространство Pal Gnp периодических сплайнов с упорядочением по Пэли [2] и распишем видоизмененное выражение (І):

PalSp (t) = N 2kqkMp (t 0 tk ) =

N Wk и

= N Е Mp (t 0 tk )Е Pal (n, k) PalFn (q)

N , и w

kn

= Е PalFn (q) N Е Pal (p, k)Mp (t0tk) =

N

Е Pal £n Pal mP (t) =Е Pal cn Pal Up (t),

(ІІ)

где

PalmP (t) =

(t) = 1Е Pal (n, k) Mp (t 0 tk),

N V и

Xni +i-iki

Pal (n, k) = wi=1 ,

w = (/2п/ц); ^ — модуль представления чисел; Pal(n, k) — комплексно-сопряженное Pal(n, k); 0 — сдвиг по модулю ц;

£n = Pal Fn (Z V Palup ;

Fn(q)=N Е Pal(pk q;

Nk

Fn (Mp) = N ЕPal (n, k) Mp (tk);

Pal

Pal n Pal

tk =

Pal

N;

Pal n

Fp(z); pU (t) = ■PamP-.

up

Paln

Из (11) видно, что появились новые функции р^тр^) и р^ир^). Рассмотрим свойства

Ра1тр ^).

Свойство 1.

Pal

mn

t ® l IN = Pal (n, l) Pal mp (t)

И I j

І

n

k

n

2

n

Доказательство:

Pal n

mp (t Ф l / N) =

u p+b

r Pal n ■>

N X^Pal (n, l) MJ

f k 01J

10-

X

Pal(n,l) — X Pal(n,k)MpI 10—

N , I x N

x N

v у

p

Palin l)Pal mn (t)•

Pamp (t) — N-периодические по отношению

Свойство 2.

Pal"',P

к N.

Доказательство:

При l = N (из свойства 1)

= Xsn X P-v^ = sr

n=-tt j=—^

где Pal(n, t) — континуальные функции ВКФ, PalVnp — коэффициенты Фурье в базисе Pal(n, t).

Из доказательства следует, что сплайны Pai mp (t) образуют ортогональный базис пространства Pal Gl •

Доказательство б):

N Xkmjft) mb (tk)=

Pal n

mp(t®N/N) = Pal(n,N)PalmP„ (t) =

= Pal (n,0) Palmp (t) = Palmp (t).

Свойство 3.

Справедливы выражения:

а) J Pall mp (t)Pal mb (t)dt = S'r PalUp+b ,

0

б) N X Pal mp (tk ) mr (tk ) = Sr Pal upUhr •

Доказательство а): i

J Pal mp (t)Palmb (t)dt =

0

= X Palcn (Palmp \alcn (mb ) =

n=—^

~ ff 1 __________________

= Xf J Pal(n, t) p-Х (t)dt

f1

J Pal(n, t) Palmb (t )dt

If i

Xf $1J Pal(n, t)M1

dt

x

1

' J Pal(n, t)Mb f 10 tk Jdt

X (s'v’,p )(«;v„*) =

= Xp.iFn(mp(t.)) PlF„(mb(tk))

Pal

5r p b

D 1 U/ D •

n Pal n Pal r

Свойство 4.

Сплайны Pal mp

(t )/V

2 p Pal un

un образуют орто-

нормированный базис пространства Gn .

Доказательство:

Из 3, а) следует:

J Pal mp (t)/V

PalUnp Palmr‘

(t )/i/ p.,K pdt = s;.

Свойство 5.

Сплайны Palmn I t УХ 2n ^ Pal un

интерполи-

руют Pal (n, t), а именно:

Palmp (l / N) = Pal in l / N)•

Доказательство:

f p-®l/V

V

2 N

у

= pal(n, l / N) Palmn ^2N J = Pal(^ l / N) p^ • Свойство 6.

Свертка Pal mp * Pal (t) = Pal mP +Ь8Р •

Доказательство непосредственно следует из 3, а)

Доказанные выше свойства показывают, что (11) есть разложение сигнала PalSp (t) по базис-

П1

Pal n

ным функЦиям palmP (t) или Palnp (t) •

= Pal mn

x

IV 0

П = — со

Обозначим черезРа,Ср пространство непериодических сплайнов. Напомним, что для РаіОр

N = ТРа1Кшах, где Т = 1 (однопериодический случай) период сигнала, Ра1Кшах — максимальная частота

анализа сигнала в базисе шр (і) (ир (і)).

ТЕОРЕМА 1.

Любой сигнал Ра^р (і) из пространства Ра[Ср

с ограниченной спектральной плотностью может быть представлен с помощью выражения

Р^’ (І )= 22>РсіІр I і ® ік \ Следствие 1. При ц = N получаем:

Sр (і) = 2'-и (і - 4),

к=-~

где и (і - ік) =

К

е

-2Щрк / Кт

ир (і)/ .

тах -рт

Раі

sр (І ) = 2 г„рЛр

і 0 ік

= S ф (7, і)

(см. [7], выражение (9) при 5,Ф = 0), откуда и следует искомый результат.

Следствие 2. При ц = N и р

классический ряд Котельникова

получаем

Раі

^^р (і )= 2 7

$іпп(і - ік )К

к тах

Х= N р—~>

к=-~

П(І - Ік )Ктах

Доказательство см. в [8]: следствие теоремы 2.

Следовательно, ограниченным спектром в классическом понимании обладают только сигналы, бесконечно дифференцируемые в каждой точке интервала времени их определения.

Замечание. В обозначениях работы [9] ядро

Ра1Ьр-1^ V 0 tk Л\ можно выразить следующим образом:

Ра1 ир-1 (' і 0'] = 2 Р., (У )

М

р-1

kєZ

І 0 Ік

ТЕОРЕМА 2.

Обобщенный ряд Фурье сигнала из Ра[Ср

представляется в следующем виде

■Чр (І )= 2 рсСпРсир (І)

п=-^

РаІШр (І)

Раі

п=-~ Ра1™п

п р

ип

Доказательство:

Из (11) имеем:

N /2-1

= 2 Ра1 С п Ра1 и п (V ) •

п=-N /2

Устремим ¥тах ^ ж, тогда

Нш Ра1 ^Р (I) = 2 Ра/Сц Ра/и п 0 ),

тах п=—ж

что и требовалось доказать.

Следствие 1. При ^ = N справедливо

Доказательство:

Из [2] известно, что при равенстве модуля представления чисел л и количества отсчетов на периоде N функции Виленкина—Крестенсона переходят в ДЭФ. Тогда

Раі

Sр (І) = ДЭФ Sр (І) = 2 с„ир (І).

Доказательство непосредственно следует из следствия 1 теоремы 1.

Следствие 2. При л = N и р ^ ж имеем классический ряд Фурье

1—” р.^р(І) = 2с„е

2щпі

р—

Х=N

Доказательство следует из следствия 1 теоремы 1 и выражения (16) в [8].

Следствие 3. Из (11) при ц = N и р = 1 следует:

5 Ч<) = 2 с,и'Л<).

Полученное выражение можно рассматривать как классическое дискретное разложение сигнала

5р (V) (дискретный анализ Фурье) в базисе ступенчатых функций и1^), которые в точках ^

совпадают с ДЭФ. Теорема 2 показывает, что при разложении сигнала минимума спектральных коэффициентов можно достичь в базисе, гладкость которого совпадает с гладкостью описывающей сигнал функции. В частности, из следствия 2 этой

теоремы видно, что базисные функции е2щМ оптимальны для бесконечно дифференцируемых сигналов. И чем больше отличаются степень диф-

К

1

п

п

п=-

ференцируемости сигнала и гладкость базисных функций, тем больше спектральных коэффициентов потребуется для разложения анализируемого процесса.

Базисные функции Ра1тр <t), Ра^п <t^ полученные в настоящей статье, можно назвать сплайн—Виленкина—Крестенсона функциями и ввести для них соответственно обозначения

5Ра1р (п, V) и 8Ра1р (п, V) при упорядочении по Пэли и яЖа1р (п, V), 8Жа1р (п, V) при упорядочении по Уолшу. Частным случаем 5Ра1р (п, V)

и 8Жа1р (п, V) при р = 1 и V = tk являются дискретные экспоненциальные функции для соответствующего упорядочения 8Ра11(п, V ) и

8Ша11(п, V) — континуальные функции ВКФ.

В качестве примера 8Жа1р (п, V) при ц = 2 (модуль 2) на рис. 3, 4 показаны первые восемь базисных функций для р = 3, 4. Построены они с помощью быстрого преобразования Уолша (БПУ). От каждой из базисных функций Уолша вычисляли БПУ.

Результат делили на БПУ от М 4^к). Затем выполняли обратное быстрое преобразование Уолша

(это также БПУ) для получения як в (11) и с учетом диадного сдвига [2] вычисляли 8Жа14(п, V) .

Как видно, описанный порядок действий аналогичен алгоритму сплайн—БПФ, суть которого пояснена в первой части статьи. Вообще же, подобным образом можно вычислять промежуточные значения между узлами функции в любом базисе 8Жа1р (п, V). Наглядное представление

о 8Ра1р (п, V), когда л = N дает рис. 1 в [8] .

Теперь обратимся к ядрам ЬрI V 0 tk I (12)-(14).

При л = N представление об этих ядрах дает рис. 2

из [8]. Для случая л = 2, ік = 0 ядра Ь3 (і 0 ік),

2

ЬЛ( і 0 ік) представлены на рис. 5.

2

В отличие от и (і 0 ік) (классического карди-

N

нального или глобального базисного сплайна) представленный на рисунке сплайн имеет конечный носитель. Ненулевые значения Ь (і 0 ік)

2к

принимает только на 4 интервалах из восьми. При увеличении N ситуация не изменяется. Поэтому, с одной стороны, данное ядро можно

/\ /Л /

V

N. IX /1 к /1 /

N N4/

/ \ Г\

V 1/ И П /

и

V" \/ ч/

012345678

Рис. 3. Базисные функции SWсl (п, і)

Рис. 4. Базисные функции SWсl (п, і)

2

4

7

использовать при проектировании систем связи и для восстановления отсчетов сигнала или его спектра. С другой стороны, они быстро сходятся, и их можно использовать для формирования вейв-летного базиса [3].

РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

В ходе исследования был проведен эксперимент, результат которого демонстрирует рис. 6. Сплошной линией представлен результат построения сплайна по отсчетам zk = {0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0} с помощью кубического сплайна с ядром Ь4(—к), а

пунктирной — с помощью Ь4 (^ 01к). При этом

сдвиг ядра Х4(^ 01к) осуществлялся "по кругу",

2

т. е. обычным образом (без диадной свертки).

Как видно, качество восстановления сигнала по дискретным отсчетам оказалось довольно хорошим. За пределами единичных отсчетов "хвосты" быстро сошлись к нулю.

С \

Отметим еще одно свойство Ь’

При

разработке СГА исходили из того, что рассматриваемое ядро должно находиться путем взятия интеграла от произведения дискретной базисной функции ВКФ и ее непрерывного варианта соответствующей степени гладкости (14), как это сделано в классической теореме Котельникова. Между тем, можно определить ядро по-другому.

Из (12) имеем:

Я’ (* )= N £ Ч‘М" С10

Раї

При РаїЯ’ (*)= Ра1Ьр (*) (4 = 0) узловые точки 2к

есть совокупность {1, 0, 0,...,0}, тогда коэффициенты дк можно получить, используя алгоритм сплайн—БПФ в базисе функций Виленкина—Кре-

„ Г Ш/2-1

стенсона. Для этого над 2 = {гк }к=_ N /2 выполняют БП в базисе функций Виленкина—Крестенсона, делят на Раїи’ и делают обратное преобразование.

При этом, как известно, БП от М 1(їк) — Ра1и1п имеет равномерный спектр в любом базисе ВКФ. Следовательно, в этом случае алгоритм сплайн— БПФ вырождается в обычный алгоритм БПФ. Именно так и получены представленные на рис. 5

функции Ь4(ґ 0 ґк).

2к

Наглядное представление обо всех рассматриваемых базисных функциях может дать рис. 7.

Функции 8Раї1 (п, *) расположены на передней

Рис. 5. Графики функций ядер преобразования:

А — график функции ядра Ь3 ^ О tk),

2

А1 — график функции ядра Ь4 (^ 01к)

Рис. 6. Восстановление функций: А — с помощью ядра 1^(1 — 1к ), А1 — с помощью ядра Ь4 (^ 01к)

грани своеобразного куба.

Здесь представлены континуальные ВКФ, при ^ = 4 — дискретные функции ВКФ (см. рис. 2.5 [2]), $>Ра1р (п, I) при ц = N — левая грань куба

0

10

20

30

40

и при р^ ж это е щп , БРаї’ (п, *) при л = 2 — верхняя грань куба, функции на основе базиса Уолша, представители которых для р = 4 рассмотрены выше. Для получения ядер ЬрI * 0ґк I необ-

ходимо выбрать дискретную базисную функцию БРаї 1(п, *к) на передней грани "куба" и свернуть с соответствующей непрерывной функцией БРаї’ (п, *) внутри "куба". В частности, свертка БРаї 1(п, ґк) с БРаї 1(п, *) дает прямоугольный

импульс, а ДЭФ и е2щпі — ядро Котельникова.

На рис. 8 представлены диадные сдвиги для

Ь’

* 0

при /л = 2.

Предложенные базисные функции могут использоваться в системах связи. Изменяя не только частоту, фазу или амплитуду функции

БРаї’ (п, *), но и ее гладкость р, можно увеличить скорость передачи информации за счет расширения размерности изменяемых параметров. А т. к. для синтеза и анализа функций можно использовать быстрые алгоритмы в базисе ВКФ, то увеличение скорости цифровой обработки будет существенным (для БПУ выигрыш в скорости по сравнению с БПФ может быть от 5 до 13 раз [2]).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рис. 7. Базисные функции Браї’(п, *)

\ >

Таким образом, в настоящей работе теория СГА распространена на функции Виленкина— Крестенсона. Тем самым, во-первых, получены сплайн—Виленкина—Крестенсона функции. Их частными случаями являются дискретные функции Виленкина—Крестенсона, дискретные экспоненциальные функции, континуальные ВКФ, классические непрерывные экспоненциальные функции. Получен ряд Фурье в базисе СВКФ. Дано графическое представление полученных базисных функций БЖа14(^) и БЖа13(^).

Во-вторых, на основе дискретных функций Ви-ленкина—Крестенсона и непрерывных сплайн— Виленкина—Крестенсона функций получены соответствующие ядра, частными случаями которых являются фундаментальные сплайны (ядра Котельникова для сплайнов) и классическое ядро Котельникова. Доказана теорема отсчетов, частными случаями которой является теорема отсчетов для функций любой степени гладкости, доказанная ранее в работе [8], и классическая теорема Котельникова.

В-третьих, предложен инструмент СГА, названный быстрым сплайн-преобразованием в базисе функций сплайн—Виленкина—Крестенсона.

Рис. 7. Диадный сдвиг ядра Ь4 (ґ 0 ґк)

Частным случаем является сплайн—БПФ и БПФ.

В-четвертых, показано, что на основе теории СГА возможна разработка новых видов передач для систем связи. Информация может передаваться путем изменения гладкости базисной функции.

В-пятых, продемонстрировано, что Ьр I t О ^

чений функций с помощью L’

t О tk

В-седьмых, скорость цифровой обработки радиосигналов, синтезированных на основе предлагаемых функций, можно существенно увеличить по сравнению со скоростью обработки сигналов, синтезированных с использованием экспоненциальных функций.

Приложение. Доказательство теоремы 1.

Для сигналов из Ор имеем:

Бр«)= NX“Мр(tОtk '1 =

Nk » )

1£мр 1^’tОtk "Хл5/(п,к) Ра,Гп(д) =

Pal

N

: Е Pal Fn (q) N Е Pal(n k) M1

n N k

t О tk

- Е Pal Fn (q)mn’ (t) = Е Pal Fn (z)

n

:Е^ ЕzkPal (nk)

Pal

mP (t)

Pal

Palm’ (t)

Pal Un

X,ztNЕ Pal(n,k)pJJ;(t)

k

=Е z

k Pal

L’

t О tk

Перейдем из G’ в G ’. Для этого устремим

Pal

lim n / T = f,

t

TilT1 PalL’ (t О tk T І л

N / 2 —1

k Pal

L’

t о tk

(п1)

\ ґ J

lim 1/T = df ;

т

N / 2 —1

ТІП1 N Е Pal(^ k) Pal Un (t)

max

2

= lim

2

— Е Pal t ^

nk

т ^ж FT f

max n Fmax

T Fm

Pal Un/T (t) =

T2

max

2

могут быть кандидатами для построения вейвлет-ного базиса, т. к. часть из них имеют конечный носитель.

В-шестых, экспериментально подтверждена возможность восстановления промежуточных зна-

2

^ f

Fmax

Pal

f,

Fm

U’ (t )df,

Pal f

(п2)

где

’(f\ _

PalUf (t) =

m’it)

Pal Uf

Palm’ (t) =

PalUf

1 ж ________ I

(t) = — Е Pal

N k=—1

— Е Pal N £—L

f,

f, — Fm

k Л

Л Z-

M’

t О tk

v л у

Fm

M’ (tk).

n=— N /2

Здесь значения / и Fmax понимаются как текущая и максимальная частоты в используемых базисах.

Таким образом, выражение (п1) с ядром (п2) доказывает теорему 1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

2. Трахтман А.М., Трахтман В. А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Советское радио, 1975. 208 с.

3. Zheludev V.A. Periodic splines, harmonic analysis and wavelets in Signal and image representation in combined spaces, wavelet // Anal. Appl., 7 / eds Y.Y. Zeevi and R. Coifman. Academic Press, San Diego, CA, 1998. P. 477-509.

4. Желудев В.А. Периодические сплайны и быстрое преобразование Фурье // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32, № 2. С. 179198.

5. Агиевич С.Н., Малышев С.Р., Подымов В.А., Смирнов П.Л. Сплайн-интерполятор. Патент 116669 РФ // Б.И. 1998. № 21. 34 с.

6. Агиевич С.Н., Смирнов П.Л., Желудев В.А., Красильников С.Н., Хохленко Ю.Л. Способ оценивания несущей частоты и устройство для его осуществления. Патент 2100812 РФ // Б.И. 1997. № 36; Б.И. 1999. № 26. 104 с.

7. Алексеев А.А., Агиевич С.Н., Желудев В.А., Макеев В. М. Применение локальных сплайнов для цифровой обработки частотно-временных функций плотности распределения сигнальной энергии // Радиотехника и радиоэлектроника. 2000. № 3. C. 296-311.

k

max

2

k

В. Агиевич С.Н., Алексеев А.А., Глушанков Е.И. Модели сигналов в базисах сплайнов дефекта

1 и оценивание параметров радиоизлучений // Радиоэлектроника (Известия вузов). 1995.

T. ЗВ, № 4. С. 3-1б.

9. Unser M. Splines // IEEE Signal Processing Magazine. 1999. V. 1б, N б. P. 22-ЗВ.

10. Мановцев А.П. Основы теории радиотелеметрии. М.: Энергия, 1973. 354 с.

Военный университет связи, Санкт-Петербург Материал поступил в редакцию 12.11.2001.

SPLINE—VILENKIN—KRESTENSON FUNCTIONS FOR SIGNAL REPRESENTATION

S. N. Agievich

Military Communication University, Saint-Petersburg

We present here a computational technique named Spline Harmonic Analysis in a new basis of the Spline— Vilenkin—Krestenson functions. The discrete Fourier transform in the basis of the Vilenkin—Krestenson functions is a special case of the new Spline Harmonic Analysis. We present more general spline functions. Cardinal splines and the Kotelnikov kernel are special cases of the new general spline functions. The new spline functions could be used in communication systems.