CC BY
22ISSN 0868-5886 НА УЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2012, том 22, № 2, с. 112-123
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
УДК 621.391 © С. Н. Агиевич
МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ И ВРЕМЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ СПЛАЙН-АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Предлагаются разработанные методы и реализующие их алгоритмы оценивания спектральных и временных параметров сигналов в базисах функций сплайн-характеров (БФСХ). Описывается метод быстрых преобразований сигналов в БФСХ. Обосновывается его высокая вычислительная эффективность. Демонстрируется выигрыш в объеме вычислений при переходе от дискретных экспоненциальных функций к частному случаю БФСХ — базису сплайн-Виленкина-Крестенсона функций (СВКФ). Рассматриваются методы оценивания несущей частоты сигналов на основе глобальных сплайнов. Предлагается алгоритм сплайн-БПФ в базисах функций сплайн-характеров. Анализируется эффективность методов оценивания несущей частоты сигналов с точки зрения точности, скорости и помехоустойчивости обработки. Оцениваются вычислительные затраты на интерполяцию при использовании классического и предлагаемого методов на примере частного случая БФСХ — СВКФ.
Кл. сл.: оценивание параметров сигналов, функции сплайн-характеров, быстрые преобразования сигналов, базис сплайн-Виленкина-Крестенсона функций
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЛАЙН-ХАРАКТЕРОВ
Пусть имеется пространство функций, заданных на абелевой группе Н и принимающих значения в некотором кольце К, т. е. областью определения функций является группа Н , областью значений — кольцо К. Это пространство обозначим через L(H, К). Аналогами комплексных экспонент в L(H, К) являются характеры %(п, k) [1]. Характеры образуют ортонормированный базис в пространстве L(H,К). Характеры %(п,k), определенные на конечном отрезке, называются % -функциями. В дальнейшем для общности будем использовать понятие "характеры", а из контекста будет ясно, о каком случае (конечном или бесконечном) будет идти речь. Одним из достоинств характеров %(п, k) является их многообразие, определяемое многообразием групп Н и колец К . Однако все они являются функциями дискретными, поэтому реализация на их основе сигналов для непосредственного излучения в эфир невозможна. Получить гладкие ортонормированные базисные функции оказалось возможным, объединив свойства %(п, k) и сплайнов. В результате в полученном пространстве ь(НК) Gp периодических сплайнов сигнал дНК) «Р ^) можно разложить следующим образом:
L( H ,K)
Sp (t) = - У N
k L(H,K)
qkMp (t © tk ) =
где
L(H,K)
= У L(H,K) Cn L(H,K) ^ p (t), n
4(t) = L(HK)К(0/VUHxtiP ; L(H,K) К(t)
(1)
=—y^(n, k)Mp (t ©tk); x(n, k) — характеры груп-
N
пы Н ; Ь(Н,К) Сп ~ Ь(Н,К) Рп (ь(Н,К)П1 /Ь(Н,К)иП ;
/ — модуль представления чисел; © — сдвиг по мои
дулю и ; ь(Н,К) < = Ь(Н,К) Р„(МР) =1 к)М );
1» к
^ = ((р + к]; %(п,к) — комплексносопряжен-ное %(п,к). Заметим, что сплайны
Ь(Н,К) ^р (0 _ Ь(Н,К) тр({Ь(Н,К)Р
образуют ортонормированный базис пространства Ь(Н К)Gp . Будем называть их сплайн-характерами.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ В БАЗИСАХ ФУНКЦИЙ СПЛАЙН-ХАРАКТЕРОВ
Для пространств ь(НК) Gp (при t = к) введем
пары прямых и обратных преобразований Фурье (ПФ) в базисах функций сплайн-характеров
(БФСХ):
, (н, к) ^ (к) = £ , (Н, К) Fn (д-), (н, к) X р (k ) =
п
= Е L(Н,К)Кп (7) / L(Н,К)^ ^/¿(Нг)^?2^L(Н,К)ХП (k) , (2)
п
где
L (Н
, к) К (д *)=-1 Е ^(п'k) L ( н , к) дк =
N к
= N Е ^ (к ) X (Н,К) ^к.
(3)
Отметим, что при р = 1 частными случаями пары выражений (2) и (3) являются выражения, полученные в [1] ((3.9) и (3.10)).
МЕТОД БЫСТРЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ СИГНАЛОВ В БАЗИСАХ ФУНКЦИЙ СПЛАЙН-ХАРАКТЕРОВ
Согласно (2), для нахождения спектральных коэффициентов в базисе ь(Н К) Xрп необходимо вычислить дискретное ПФ ь(Н К) Еп (д*). Один из вариантов его вычисления — через ь(Н К) Еп (7). Для этого необходимо полученную последовательность ь(НК)Еп (7) поэлементно умножить на последовательность ^(Н,К) и2р I\(Н,К) ир . Элементы последней последовательности могут быть вычислены заранее, а для вычисления ь(НК) Еп (7) имеются быстрые алгоритмы [1]. Следовательно, переход из базиса функций характеров (БФХ) в БФСХ на выборке длиной N увеличивает количество операций преобразования на N. Это касается как ПФ в БФСХ, так и его быстрого алгоритма.
Таким образом, быстрое преобразование в БФСХ существует, и его основа — алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) в БФХ. При этом вычислительная сложность БПФ в БФСХ на выборке длиной N увеличивается на N операций умножения по сравнению с алгоритмом БПФ в БФХ. Сравнение вычислительных затрат классического алгоритма БПФ со всеми алгоритмами БПФ в БФСХ — задача невыполнимая по причине бесконечного количества последних. Поэтому остановимся на некоторых из них.
Сравним вычислительные затраты, требуемые для осуществления алгоритмов БПФ для частного случая БФСХ — базисов сплайн-Виленкина-Крестенсона (СВКФ). Для достижения этой цели воспользуемся подходом, предложенным в [2]. Если принять, что на операцию умножения и сложения тратится одинаковое время, то предельный
Рис. 1. Выигрыш в объеме вычислений БПФ при переходе от базиса ДЭФ к базисам ВКФ и СВКФ при и = 2, 4
выигрыш по скорости обработки £ при использовании быстрого преобразования Уолша (БПУ) относительно дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ) в алгоритме БПФ будет достигать £ = 5. В то же время применение функций Вилен-кина-Крестенсона (ВКФ) по модулю 4 обеспечивает £ = 3.25. В рассматриваемом случае для получения спектра использовался алгоритм БПФ в базисах СВКФ [3]. Согласно этому алгоритму на N входных точек преобразования, дополнительно к стандартному объему вычислений необходимо добавить N операций умножения. Это приводит к увеличению объема вычислений по сравнению с классическими алгоритмами БПУ и БПФ в базисе ВКФ по модулю 4. Однако получаемый выигрыш в этих случаях по сравнению с использованием классического алгоритма БПФ все равно оказывается существенным.
Данные об объеме вычислений для алгоритма БПФ [4] и результаты [2] позволили представить выигрыш в скорости цифровой обработки сигналов (ЦОС) графиком рис. 1 [5]. Анализ полученных результатов показал, что выигрыш в объеме вычислений при переходе к базису СВКФ может достигать 2^3 раз.
Таким образом, реализация операций ЦОС с использованием алгоритма БПФ в базисе СВКФ ведет к существенному сокращению вычислительных затрат. Аналогичные результаты можно получить и при рассмотрении алгоритма в базисе сплайн-Рейдера.
АЛГОРИТМ СПЛАЙН-БПФ В БАЗИСАХ ФУНКЦИЙ СПЛАЙН-ХАРАКТЕРОВ
Довольно часто при выполнении стандартных операций ЦОС (фильтрации, вычислении корреляционных функций, определении несущей частоты) возникает необходимость осуществления интерполяции обрабатываемых дискретных данных о непрерывных функциях. Следовательно, возни-
Рис. 2. Алгоритм сплайн-БПФ в БФСХ
кает необходимость разработки вычислительно эффективного алгоритма интерполяции сигналов. В теории сплайн-гармонического анализа (СГА) таким алгоритмом является алгоритм сплайн-БПФ в ДЭФ [6]. Его вычислительная эффективность базируется на том, что он построен на основе классического БПФ, поэтому по свойствам сравним
с известным алгоритмом интерполяции, основанным на добавлении нулевых коэффициентов в спектральной области. Отличие состоит в том, что вместо добавления нулей в спектральной области используется информация о степени гладкости. Это позволяет осуществлять не линейную интерполяцию, как в классическом случае, а соответствующую выбранному порядку сплайна (например, кубическому). Рассматриваемый подход реализации быстрых преобразований позволяет разработать алгоритм сплайн-БПФ (СБПФ) сигналов в БФСХ. Рассмотрим особенности этого алгоритма.
Так как в основе алгоритма сплайн-БПФ в базисе ДЭФ лежат процедуры БПФ, то разумно положить процедуры БПФ в БФСХ в основу алгоритма сплайн-БПФ в БФСХ. Исходными данными для алгоритма (см. рис. 2) являются объем выборки N, порядок сплайна р, тип группы Н и кольца К, модуль
представления числа ц , отсчеты сигнала {гк } и шаг
сетки интерполяции h.
Разработанный алгоритм (рис. 2) отличается от известного не только переходом от ЭФ к БФСХ, но и отказом от увеличения количества спектральных коэффициентов перед осуществлением операции ОБПФ в соответствующем базисе, поскольку получение интерполяционных значений происходит уже во временной области. Структурная схема, реализующая указанные процедуры, представлена на рис. 3. В Приложении (табл. 1) представлены сравнительные затраты на интерполяцию при использовании классического и предлагаемого методов на примере частного случая БФСХ — СВКФ.
Анализ полученных результатов показывает, что выигрыш в объеме вычислений может достигать от 1.69 до 2.71 раза даже на коротких выборках сигнала. Таким образом, предложенный алгоритм обладает вычислительной эффективностью и может быть использован для осуществления фильтрации, вычисления корреляционных функций, определения несущей частоты.
) )
Рис. 3. Принцип реализации процедур интерполяции в БФСХ
МЕТОД ОЦЕНИВАНИЯ НЕСУЩЕЙ ЧАСТОТЫ В БАЗИСАХ ФУНКЦИЙ СПЛАЙН-ХАРАКТЕРОВ
Большое значение при приеме сигналов имеет оценивание несущей частоты. Для классических моделей сигналов в базисе ДЭФ оценивание осуществляется с использованием ПФ. Однако для сигналов, синтезированных в БФСХ, невозможно правильно оценить несущую частоту на основе базиса Фурье. Естественно, данную операцию необходимо выполнять в БФСХ.
На рис. 4 представлены эпюры, поясняющие принцип оценивания частоты в БФСХ.
Аналоговый сигнал г(^) (рис. 4, а) дискретизи-руют ) (рис. 4, б), затем вычисляют последовательность комплексных спектральных коэффициентов Ь(Н К)Рп (г) (рис. 4, в) методом преобразования в выбранном пользователем базисе характеров. Одновременно тем же методом 5-сплайн заданной степени р -1 преобразуется в последовательность комплексных дискретных отсчетов
(рис. 4, г). Порядок 5-сплайна определяется пользователем и зависит от степени гладкости анализируемого сигнала. Затем последовательность комплексных спектральных коэффициентов Ь(НК) Рп (г) делят поэлементно на последовательность комплексных дискретных отсчетов
4инК) ип2р /ьНК)ир для базисов ь(НК)%Р(0
(рис. 4, д). Далее вычисляют компоненты спектральной плотности мощности ь(Н К)« (п) в БФСХ (рис. 4, е) заданной степени р -1 с помощью выражения, представленного на рис. 4, е, где N — нормирующий множитель. На новом массиве компонент спектральной плотности мощности находится максимум г (рис. 4, ж), а значение несущей частоты сигнала определяется по формуле /п = г А/, где А/ — расстояние между спектральными компонентами Ь(Н К) %р (t).
Оценим вычислительные затраты рассмотренного подхода. Его основу составляют процедуры
, 4 ^)=Ь(Н,К)«Р (t)
«(п)=ЦН,К)Рп (2)
ь( Н ,К) ип
_I_|_
«(п) Рп (г)
) V ! ь(н К) п\ >
ь(н,К) ^ ' _ Ь(Н,К)
Д Ь(НК) ип ь(Н,К) ип
) Я(п)= N
Re
Ь(Н ,К)
Рп ( 2)
V
. ип
ь( Н,К) п _1_1_
1т
Ь(Н ,К)
Рп ( 2)
у
ип
ь( Н,К) п
J_I_
г+1 г+2
в
п
г
п
п
+
е
п
ж
Рис. 4. Принцип оценивания несущей частоты в БФСХ
п
г
БПФ в БФСХ. Сокращения объема вычислений данной процедуры возможно за счет формирования сигналов в базисах сплайн-Рейдера, в СВКФ с использованием модуля 2...4. В этом случае вычислительные затраты сократятся в 2.3 раза.
МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ НЕСУЩЕЙ ЧАСТОТЫ СИГНАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АЛГОРИТМА СПЛАЙН-БПФ В БАЗИСАХ ФУНКЦИЙ СПЛАЙН-ХАРАКТЕРОВ
Дальнейшее повышение вычислительной эффективности и точности оценивания возможно за счет учета информации о гладкости спектральной плотности мощности сигналов. Поскольку точность оценивания определяется величиной частотного разрешения, то необходимо повысить разрешающую способность. При классическом подходе это достигается за счет увеличения длины реализации сигнала, в том числе и путем добавления нулевых значений. При этом существенно растет объем вычислений, а интерполяция осуществляется по линейному закону без использования информации о степени гладкости спектральной плотности мощности сигнала. В связи с этим предлагается использовать сплайн-интерполяцию в частотной области. Причем эту операцию предлагается проводить с помощью вычислительно эффективного алгоритма сплайн-БПФ в БФСХ. Возможны два варианта интерполяции [7].
В первом случае используются коэффициенты всей реализации. Во втором — интерполяция производится только вблизи исходного максимального спектрального коэффициента. Эффективность указанных методов оценивалась с позиций скорости ЦОС (Приложение, табл. 2).
Характеристика методов по точности определения несущей частоты сигналов представлена в Приложении, табл. 3. Согласно табл. 3, чем выше степень гладкости интерполируемого процесса, соответственно и степень гладкости сплайна, тем выше точность интерполяции [8]. Если h = 0.1, то точность кубической интерполяции с использованием глобальных сплайнов будет пропорциональна 0.0001. При классическом подходе точность интерполяции пропорциональна h = 0.05 или необходимо значительное увеличение объема вычислений.
Важно отметить, что использование глобальных сглаживающих сплайнов может повысить помехоустойчивость определения несущей частоты. Согласно табл. 3 (см. Приложение), при выборе кубического сплайна выигрыш в помехоустойчивости может достигать 0.5 дБ.
МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ НЕСУЩЕЙ ЧАСТОТЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЛОКАЛЬНЫХ СПЛАЙНОВ
Основное отличие локальных сплайнов от глобальных состоит в том, что для интерполяции используется значительно меньший объем информации. Например, для поиска экстремума достаточно данных лишь о вблизи расположенных отсчетах сигнала. Это относится и к простейшим сплайнам, таким как сплайны минимального шаблона (СМШ), квадратичные (КВСМШ) и кубические (КСМШ), квазиинтерполяционные сплайны (КИС), сплайны максимального сглаживания (СМС) [9]. Однако обеспечиваемая ими точность и помехоустойчивость ниже по сравнению с глобальными сплайнами, а вычислительная эффективность существенно изменяется в зависимости от длины реализации.
Представление о вычислительной эффективности простейших сплайнов на примере СМШ с использований экспоненциальных функций и СВКФ с модулем 2 и 4 дает табл. 4 (в Приложении). Характеристика точности определения несущей частоты сигналов представлена в Приложении в табл. 5.
Анализ полученных результатов показал, что при выборе наиболее часто используемого кубического СМС выигрыш в помехоустойчивости может достигать 0.22 дБ.
МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ СИГНАЛОВ
Предлагаемый метод базируется на свойствах сплайнов и предложенного алгоритма СБПФ. Его вычислительная эффективность обеспечивается при условии расчета корреляционной функции при предельно низкой частоте дискретизации. Вариант структурной схемы, реализующий метод, в соответствии с указанными требованиям, представлен на рис. 5.
Сравнительные затраты на вычисление корреляционных функций при использовании различных базисов представлены в Приложении в табл. 6. При этом интерполяция на Я-N точках производится для получения дополнительных значений корреляционной функции на всей ее области определения. А интерполяция на Я - 2 точках производится только в районе максимума. Здесь Я — количество точек интерполяции между двумя узловыми точками, N(2) — количество интервалов интерполяции, 4 — количество операций для получения одного интерполируемого значения. Полученные результаты подтверждают вычислительную эффективность предложенного алгоритма.
Рис. 5. Вычисление автокорреляционной функции в БФСХ
Рис. 6. Фильтрация в базисах СВКФ
МЕТОД ФИЛЬТРАЦИИ СИГНАЛОВ В БАЗИСАХ ФУНКЦИЙ СПЛАЙН-ХАРАКТЕРОВ
Вариант структурной схемы метода фильтрации сигналов в базисах функций сплайн-характеров представлен на рис. 6. Вычислительная эффективность метода фильтрации — в Приложении, табл. 7.
В основе разработанного метода лежит использование алгоритма СБПФ в БФСХ. Анализ полученных результатов показывает, что даже без интерполяции выигрыш в объеме вычислений достигает от 1.45 до 2.86 раза на коротких выборках сигнала. Данный факт подтверждает вычислительную эффективность разработанного метода.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Разработана аналитическая основа методов оценивания спектральных и временных параметров сигналов в БФСХ.
Предложен метод быстрых преобразований сигналов в БФСХ, обладающий высокой вычислительной эффективностью. Выигрыш в объеме вычислений при переходе от ДЭФ к частному случаю БФСХ — базису функций сплайн-Виленкина-Крестенсона — достигает 2.. .3 раз.
На основе разработанного алгоритма сплайн-БПФ в БФСХ предложены методы оценивания несущей частоты сигналов с использованием глобальных сплайнов. Вычислительная эффективность указанных методов для СВКФ достигает 2.54 раза и более даже на коротких выборках сигнала. А выигрыш в помехоустойчивости для сглаживающих глобальных сплайнов может достигать
1 дБ.
Использование методов оценивания несущей частоты сигналов на основе локальных сплайнов может обеспечить выигрыш в помехоустойчивости до 0.5 дБ при достаточно высокой вычислительной эффективности.
При расчете корреляционных функций сигналов вычислительные затраты по сравнению с классическим подходом для СВКФ как частного случая БФСХ сокращаются в 2.1 и более раза.
Выигрыш в объеме вычислений при фильтрации сигналов может достигать от 1.45 до 2.86 раза даже на коротких выборках сигнала по отношению к классическому подходу.
Таким образом, применение разработанного аналитического аппарата обработки сигналов обеспечивает повышение помехоустойчивости при общем снижении вычислительных затрат.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Табл. 1. Количество операций на интерполяцию различными методами в базисах СВКФ (квадратичный сплайн)
Параметры метода Количество операций
N Модуль числа Алгоритм интерполяции БПФ в базисе ВКФ Переход в базис сплайнов Количество точек интерполяции, X ОБПФ в базисе ВКФ, N точек ОБПФ в базисе ВКФ, N•X точек Количество операций на интерполяцию, Х^ точек Всего Выигрыш
64 ЭФ Доб. нулей 384 - 8 - 4608 - 4992 -
64 ЭФ СБПФ 384 128 8 384 2048 2944 1.69
64 2 СБПФ 192 64 8 192 - 2048 2496 2
64 4 СБПФ 256 128 8 256 - 2048 2688 1.85
128 ЭФ Доб. нулей 896 - 8 - 10240 - 11136 -
128 ЭФ СБПФ 896 256 8 896 4096 6144 1.81
128 2 СБПФ 407 128 8 407 - 4096 5038 2.21
128 4 СБПФ 535 256 8 535 - 4096 5422 2.05
256 ЭФ Доб. нулей 1024 - 8 - 22528 - 23552 -
256 ЭФ СБПФ 1024 512 8 1024 8192 10752 2.19
256 2 СБПФ 410 256 8 410 - 8192 9268 2.54
256 4 СБПФ 552 512 8 552 - 8192 9808 2.44
512 ЭФ Доб. нулей 4608 - 8 - 49152 - 53760 -
512 ЭФ СБПФ 4608 1024 8 4608 - 16384 26624 2.01
512 2 СБПФ 1440 512 8 1440 - 16384 19776 2.71
512 4 СБПФ 2355 1024 8 2355 - 16384 21658 2.48
Табл. 2. Количество операций на интерполяцию при определении несущей частоты различными методами в базисах СВКФ (кубический сплайн)
Параметры метода Число операций на интерполяцию
Модуль числа Алгоритм интерполяции Число точек интерполяции, X Реализация БПФ в базисе ВКФ Переход в базис сплайнов Вычисление спектр. коэф. БПФ в базисе ВКФ Переход в базис сплайнов ОБПФ в базисе ВКФ ХМ2 XN Х-2 Всего Выигрыш
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
64 ЭФ Нулями 8 4608 - 9216 - - - - - - 13824 -
64 ЭФ СБПФ 8 384 64 128 160 64 160 1280 - - 2240 6.17
64 ЭФ СБПФ 8 384 64 128 160 64 160 - - 80 1040 13.26
64 2 СБПФ 8 110 64 64 110 64 110 - 2560 - 3082 4.48
64 2 СБПФ 8 110 64 64 110 64 110 - - 80 602 22.96
Табл. 2 (продолжение)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
64 4 СБПФ 8 192 64 128 84 64 84 1280 - - 1896 7.29
64 4 СБПФ 8 192 64 128 84 64 84 - - 80 696 19,86
128 ЭФ Нулями 8 10240 - 20480 - - - - - - 30720 -
128 ЭФ СБПФ 8 896 128 256 384 128 384 2560 - 4736 6.48
128 ЭФ СБПФ 8 896 128 256 384 128 384 - - 80 2256 13.61
128 2 СБПФ 8 230 128 128 230 128 230 - 5120 6194 4.95
128 2 СБПФ 8 230 128 128 230 128 230 - - 80 1154 26.62
128 4 СБПФ 8 390 128 256 192 128 192 2560 - - 3846 7.98
128 4 СБПФ 8 390 128 256 192 128 192 - - 80 1366 22.48
Табл. 3. Интерполяционные и сглаживающие свойства глобальных сплайнов
Метод интерполяции Потенциальная точность интерполяции Требование к функции Выигрыш в помехоустойчивости, дБ
Добавление нулей 1/2h С1 -
Квадратичная интерполяция < o( h4 z(4) ) V max ' с4 -
Квадратичное сглаживание < o( h4 z(4) ) max с4 0.3
Кубическая интерполяция < o( h5 z(m5aX) 5/384( h 4 z mX) с5 -
Кубический сглаживающий сплайн < o( h5 z(m5aX), 5/384( h 4 z mX) с5 0.5
Интерполяционный сплайн 4-й степени < o( h6 z(6) ) V max ' с6 -
Сглаживающий сплайн 4-й степени < o( h z(6)) V max ' с6 0.9
Интерполяционный сплайн 5-й степени < o( h1 z(7) ) V (ax ' с7 -
Сглаживающий сплайн 5-й степени < o( h1 z(7) ) V (ax ' с7 1.1
Табл. 4. Количество операций на интерполяцию при определении несущей частоты различными методами с использованием локальных сплайнов
Параметры метода Число операций на интерполяцию
N Модуль числа Алгоритм интерполяции Число точек интерполяции, X Реализация БПФ в базисе ВКФ Переход в базис сплайнов Вычисление спектр. коэф. Одной точки X- N/2 X • N X -2 Всего Выигрыш
64 ЭФ Доб. нулей 8 4608 - 9216 - - - - 13824 -
64 ЭФ КВСМШ 8 384 32 128 21 5376 - - 5920 2.33
64 ЭФ КВСМШ 8 384 32 128 21 - - 336 880 15.7
64 ЭФ КСМШ 8 384 32 128 28 7168 - - 7712 1.79
64 ЭФ КСМШ 8 384 32 128 28 - - 448 992 13.93
64 ЭФ СМШ 4-й степени 8 384 32 128 80 20480 - - 21024 0.66
64 ЭФ СМШ 4-й степени 8 384 32 128 80 - - 1280 1824 7.58
64 ЭФ СМШ 5-й степени 8 384 32 128 102 26112 - - 26656 0.52
64 ЭФ СМШ 5-й степени 8 384 32 128 102 - - 1632 2176 6.35
64 ЭФ КИС 5-й степени 8 384 32 128 175 44800 - - 45344 0.3
64 ЭФ КИС 5-й степени 8 384 32 128 175 - - 2800 3344 4.13
64 ЭФ СМС 5-й степени 8 384 32 128 175 44800 - - 45344 0.3
64 ЭФ СМС 5-й степени 8 384 32 128 175 - - 2800 3344 4.13
64 ЭФ Доб. нулей 8 390 128 256 - - - - 13824 -
Табл. 5. Интерполяционные и сглаживающие свойства локальных сплайнов для различных методов оценивания несущей частоты
Метод интерполяции Потенциальная точность интерполяции Требование к функции Выигрыш в помехоустойчивости, дБ
1 2 3 4
Добавление нулей 1/(2А) С1 -
КВСМШ 0.047 ^ С4 -
Квадратичный КИС < 0.047 ^ С4 -
Квадратичный СМС 0.047 ^ С4 0.1
КСМШ 35/1152 h 4 С5 -
Кубический КИС < 35/1152 h4 С5 -
Табл. 5 (продолжение)
1 2 3 4
Кубический СМС 35/1152 h 4 z<4> С5 0.22
СМШ 4-й степени 132677/13271040 h5 z^ С5 -
КИС 4-й степени < 132677/13271040 h5 z^ С6 -
СМС 4-й степени 132677/13271040 h5 z^ С6 0.34
СМШ 5-й степени 59/5120 h6 ziX С7 -
КИС 5-й степени < 59/5120 h6 ziX С7 -
СМС 5-й степени 59/5120 h6 ziX С7 0.5
Табл. 6. Количество операций на вычисление корреляционных функций в базисах СВКФ
N § В е Вычисление спектральных коэффициентов Si ренэ к е ечот £ В е f i $ В е с Количество операций на интерполяцию Всего Выигрыш
Модуль числ БПФ в базис (операций) е j 1 Н пс чилоК f ОБПФ в бази N точек ОБПФ в бази NX точек На XN точках На X2 точках
64 ЭФ 384 - 384 8 - 4608 - - 5376 -
64 2 192 64 64 8 192 - 2048 64 2560/576 2.1/9.33
64 4 256 64 384 8 256 - 2048 64 3008/1024 1.78/5.25
128 ЭФ 896 - 768 8 - 10240 - - 11904 -
128 2 407 128 128 8 407 - 4096 64 4806/1134 2.48/10.5
128 4 535 128 768 8 535 - 4096 64 6062/2030 1.96/5.86
256 ЭФ 1024 - 1536 8 - 22528 - - 25088 -
256 2 410 256 256 8 410 - 8192 64 9124/996 2.75/25.19
256 4 552 256 1536 8 552 - 8192 64 11088/2960 2.26/8.48
512 ЭФ 4608 - 3072 8 - 49152 - - 56832 -
512 2 1440 512 512 8 1440 - 16384 64 20288/3968 2.8/14.32
512 4 2355 512 3072 8 2355 - 16384 64 24678/8358 2.3/6.8
Табл. 7. Количество операций на фильтрацию в различных базисах (без интерполяции)
N Модуль числа БПФ в базисе ВКФ (операций) Вычисление спектральных коэффициентов сигнала, прошедшего через фильтр ОБПФ в базисе ВКФ N точек Всего Выигрыш
1 2 3 4 5 6 7
64 ЭФ 384 64 384 832 -
64 2 192 64 192 448 1.86
Табл. 7 (продолжение)
1 2 3 4 5 6 7
64 4 256 64 256 575 1.45
128 ЭФ 896 128 896 1920 -
128 2 407 128 407 943 2.04
128 4 535 128 535 1198 1.6
256 ЭФ 1024 256 1024 2304 -
256 2 410 256 410 1075 2.14
256 4 552 256 552 1360 1.69
512 ЭФ 4608 512 4608 9728 -
512 2 1440 512 1440 3392 2.86
512 4 2355 512 2355 5222 1.86
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вариченко Л.В., Лабунец В.Г., Раков М.А. Абстрактные алгебраические системы и цифровая обработка сигналов. Киев: Наукова думка, 1986. 247 с.
2. Трахтман А.М., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Советское радио, 1975. 208 с.
3. Агиевич С.Н. Сплайн-Виленкина-Крестенсона функции в представлении сигналов // Научное приборостроение. 2002. Т. 12, № 1. С. 79-89.
4. Рабинер Л., Голд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. Пер. с англ. М.: Мир, 1978. 848 с.
5. Агиевич С.Н., Беспалов В.Л. Цифровая обработка сигнала: скорость и экономия ресурса // Мобильные системы. 2007. № 3. С. 26-29.
6. Желуде в В.А. Периодические сплайны и быстрое преобразование Фурье // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32, № 2. С. 179-198.
7. Агиевич С.Н., Малышев С.Р., Подымов В.А. и др. Способ (варианты) и устройство (варианты) оцени-
METHODS OF THE ESTIMATION OF SPECTRAL AND TEMPORARY PARAMETER SIGNAL ON THE BASIS OF THE THEORIES OF SPLINE ALGEBRAIC HARMONIC ANALYSIS
S. N. Agievich
Saint-Petersburg
The developed methods and realizing them algorithms of the estimation of spectral and temporary parameter signal in base function of spline-character (BFSH) are suggested. The method for quick transformations of sig-
вания несущей частоты. Патент № 2168759 RU, МПК6 G 06 F 17/14, G 01 R 23/ 00, № 99126680/09. Заяв. 16.12.99. Опубл. 10.06.01. Бюл. № 16. 132 с.
8. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.
9. Желуде в В.А. Локальные сплайны с регулирующим параметром // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31, № 2. С. 193-211.
г. Санкт-Петербург
Контакты: Агиевич Сергей Николаевич, [email protected]
Материал поступил в редакцию 25.10.2011.
nal in these bases is described. Its high computing efficiency is proved. The advantage in calculation volume in passing from discrete exponential function to particular case BFSH — a base spline-Vilenkin-Krestenson functions — is shown. Methods for the estimation of signal carrying frequencies are considered using global splines. The algorithm of spline-BPF is offered in the base functions of spline-character. Efficiency of the methods for the estimation of signal carrying frequencies from the points of view of accuracy, velocities and noise-immunity of the processing is analyzed. The computing expresses on interpolation with the use of classical and proposed methods on the example of the particular case BFSH — SVKF are evaluated.
Keywords: estimation parameter signal, functions spline-haracter, quick transformations signal, the base of spline-Vilenkin-Krestenson functions
