CC BY
18
УДК 538.115
СПИНОВОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ В НЕСИММЕТРИЧНЫХ УЗКОЩЕЛЕВЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ГЕТЕРОСТРУКТУРАХ
Е. А. Андрюшин, С. А. Верещагин, А. П. Силин
Рассмотрен энергетический спектр несимметричных узкощелевых полупроводниковых гетер о структур. Исследованы условия возникновения спинового расщепления энергетических уровней. Получены аналитические выражения для энергетических уровней в случае слабой асимметрии.
В настоящее время вырос нитерес к исследованию влияния спин-орбитального взаимодействия на оптические и транспортные свойства полупроводниковых гетерострук-тур. Спин-орбитальное взаимодействие связывает движение электронов со спином элек тронов, что осуществляется в двумерном электронном газе в асимметричных квантовых ямах [1, 2]. Спиновое расщепление в полупроводниковых гетероструктурах аналогично хорошо известному свойству полупроводников группы А3В5 с инверсной асимметрией микроинверсионной асимметрии [3]. В полупроводниковых гетероструктурах спиновое расщепление может быть вызвано инверсионной асимметрией гетероструктуры [4]. В настоящей работе мы предлагаем простую модель для исследования спинового расщеп ления энергетических уровней. Это - асимметричная квантовая яма, составленная из узкощелевых полупроводников, описываемых уравнением Дирака, характерным примером которых являются полупроводники группы А4В6 [5].
Как известно, в двузонном приближении спектр гетероструктуры, составленной из узкощелевых полупроводников, описывается уравнением Дирака [5]. В настоящей работе будет рассматриваться случай, когда полуширина запрещенной зоны Д, работа выхода V и межзонный матричный элемент скорости и изменяются только на границах гетероструктуры, перпендикулярно которым направлена ось г. Тогда уравнение становится одномерным:
{«7°7Чг + 7°Д - Ш13\к± + V}ФА = ^лФА, (1)
где рг = —г^ - оператор проекции импульса на ось - проекция импульса на
плоскость, перпендикулярную оси г, А = ±1 - собственные значения оператора спи-
ральности (псевдочетности) Р — п ^^^ [6], Е\ и Фд - собственные значения энергии
и собственные функции для данного значения А, % = 1. Мы используем 7-матрицы в
0 / 0 г' \ _ / ш 0 \ _ следующем представлении: 7 = ,7= , где а - матрицы Паули.
у —г 0 у \ О —га I
Уравнение (1) расщепляется на две одинаковые системы уравнений для компонент Фа : Ф2А, Фза и ФгА, Ф4А- Поэтому ограничимся следующей системой:
[гп4- + ¿Д]ФХ = [V — Е\ — Аи*х]Ф3
аг
[ш4~ ~ г'Д]Ф3 = [V - Да + Хик±]9г. (2)
аг
и,
¿2
и,
Аз
и,
Рис. 1. Прямоугольная квантовая яма, составленная из трех полупроводников.
Рассмотрим прямоугольную квантовую яму шириной составленную из трех полупроводников, характеризующихся постоянными (г = 1,2,3) (рис. 1). Решая
уравнения (2) с учетом граничных условий [7], получаем уравнение, определяющее энергетический спектр связанных состояний:
А(С + С)
1г(Ы) =----=—--, 3
где
А__и2к в Д2 ^ ^ кхщ + Дх ^ _ к3и3- Д3
Е-У2 + \и2кх Е-У2 + \и2к± Е-Уу + Хщк^ Е -У3 + Хи3к±
и1к21=А1-(Ех-Уг)2 + и21к1; и\к1 = {Ех-У2У-А1-и\к1-, и\к2 = Д2 - (Ех - Уз)2 + и1к\.
Отметим, что А;, кх, к3 зависят от к\ и не зависят от А.
Рассмотрим вначале квантовую яму, симметричную относительно замены г —► —г, для которой Дх = Д3 > Д2, У\ = У3 = О, У2 = V, щ = и2 = из = и. Из (3) получим
кк и2
= Е(Е-У)-иЧ*+ ДхД2- (4)
Если, кроме того, У = 0, то Е и входят в уравнение (3) только в комбинации Е1 — и2к]_, решение можно представить в виде
Е1(кх) = Е1(0) + и2к1 (5)
Энергия зависит только от и не зависит от А, поэтому расщепления энергетических уровней по спиральности А нет.
Рассмотрим теперь несимметричную квантовую яму, в которой для простоты вновь положим У\ = Уз = 0,1/2 = Уно будем считать, что Дх — Д3 = Д. В этом случае получим
, , __ик(икх + ик2 + Д)_
8 " [Е(Е -У)- иЧ1](а + 1) - Д2(2Дх + Д + икг + ик2) - А Уикх(а - 1)'
где а = • Видно, что а — 1 при Д = 0. Уравнение (6) можно переписать в виде
/(к2±,Ех) = Хик±УА. (7)
Функция /(к±,Е\) зависит только от к\ и, следовательно, не зависит от А. Уравнение (6), определяющее энергетический спектр несимметричной квантовой ямы, при V ф О, Д ф 0 зависит от А, поэтому можно ожидать, что определяемый им спектр будет расшеплен по А. Исходное уравнение (1) и уравнение на собственные значения (6) содержит А только в комбинации Аследовательно они инвариантны относительно одновременной замены А —> — А и к± —к±. Поэтому Е\(к±) = Е-\(—к±) и энергетические зоны подобны валентной зоне 1пБЬ [8] (рис. 2). Мы ограничимся рассмотрением только электронного спектра. Спектр дырок аналогичен.
Рис. 2. Схема энергетических зон.
При малых отклонениях к±_ от к±х, которое соответствует экстремуму Е\(к±), будем искать закон дисперсии Е\(к±) в виде
2 Е
где параметры Е*, Ё, нужно определить.
Отклонение нашей гетероструктуры от симметричной мы будем считать малым, т.е. ^ < 1 и < 1. В первом порядке малости по указанным параметрам Д и V мы имеем Е = Е" = Ео и легко получить, что
(Е% - А22)^А\ - Е2
кт±х = XV А-—-1 -^-, (9)
2«(Дг - Д2)2(£0УД? - ЕЦ + Е2 + ДаД2)
где Е0 - решение уравнения (4) для к± = V = 0. В случае "мелкой" квантовой ямы, когда 1, из (4) следует
Подставляя в (9), получаем
ауд а У2Д2 <Р
А = 2' * = Е(°)-Е где £(0) = Е\(к± = 0), Е* = Е\(к*±х). Для узкозонной "глубокой" квантовой ямы (Дх > % > Д2) из (4), (9) получим
тг и _ АУД _ У2Д2 и 2 ~~ 2Д2сГ А\ ЪЫ'
Для широкозонной "глубокой" квантовой ямы Д2 >■ из (4), (9) получим
_ / 7г2 и2 \ _ ХУАж2и2 _ ж2и6У2А2
Ео-А2у 1 + - ^ , -ЬЛ Д2Д^3 > С - 2Д4Д5, ■
Результаты численного решения уравнения (3), которые представлены на рис. 3, указывают на применимость развитой в данной работе теории возмущений. На графиках
в.
представлена зависимость сдвига экстремума энергии <7 = для квантовой ямы
с параметрами 8г = ^ = 1.0, 62 = ^ = °-85 от г} = ПРИ 8 = ь! = 001 (рис. За) и от 8 при V = 0.01 (рис. ЗЬ). Сплошной линией показаны прямые, полученные по теории возмущений. При слабой асимметрии величина е, характеризующая изменение спектра, слишком мала для экспериментального наблюдения. Если рассмотреть яму с более сильной асимметрией, то может возникнуть другая трудность - исчезает уровень размерного квантования в яме. Здесь имеет место эффект, аналогичный хорошо известному для уравнения Шредингера, когда в несимметричной потенциальной яме энергетический уровень выталкивается из квантовой ямы [9]. Поэтому, чтобы наблюдались достаточно большие значения е, квантовая яма должна быть
q, Ю"5
v, 10"2 8» Ю-2
Рис. 3. Зависимость сдвига экстремума энергии для квантовой ямы с параметрами ^ = 1.0. и ¿2 = 0.85 от v при 6 = 0.01 (рис. За) и от 6 при v = 0.01 (рис. ЗЬ).
достаточно глубокой и сильно асимметричной, т.е. Д2 <С Аз Ai- Мы произвели расчет е на основе точного уравнения (3) со следующими параметрами квантовой ямы: Ai = 1.0, 82 = 0.05, S = 0.17, v = 0.37. Расчеты показали, что параметры энергетического спектра следующие: с = 1.21 • 10"4Ai, Е(0) = 0.816ДЬ к*±х = 2.72 • Ю-2^. Таким образом, эти эффекты будут заметны при гелиевых температурах для Ai порядка од ного электронвольта. Отметим, что значения k"LX и б, полученные по приближенным формулам (8) и (9), отличаются незначительно: е = 1.00 • Ю-4Ai, к]_х = 2.56 ■ Ю-2^.
Таким образом, в использованном нами приближении исходно не вырожденный по спину (по спиральности) электронный спектр расщепляется несимметричной ге-тероструктурой. При этом величина расщепления пропорциональна асимметрии системы (величинам V, А). Отметим, что подобные эффекты могут наблюдаться также и в исходно симметричных двойных гетероструктурах А3В5 — А3В5 — А3В5 (или А4Вб — А4В6 — А4Вв), т.к. величины барьеров различны для контактов А3В5(А4Вв) на одной стенке квантовой ямы и АзВ5(А4Ве) на другой стенке [10]. Рассматривае
мые в настоящей заметке особенности электронных спектров, по-видимому, можно было бы наблюдать в гетероструктурах, составленных из узкощелевых полупроводников (Л.3^5, AiBe) с глубинами ямы порядка 0.1 эВ и разницами в полуширинах запрещенных зон слоев 0.05 эВ, а также на границе с диэлектриком или вакуумом.
Авторы благодарны С. Г. Тиходееву за обсуждение результатов.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 96-02-16701 и 97-02 16346), Миннауки (проект 97-1087) и INTAS 96-0398.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Р f е f f е г P. and Z a v a d z k i R. Proc. 23 Int. Conf. Phys. Sem. 3, p. 1815.
World Scientific. Singapore 1996.
[2] P i к u s E. G. and P i с u s G. E. Phys. Rev., В 51, 16928 (1995).
[3] К a n e E. 0. J. Phys. Chem. Sol., 1, 249 (1957).
[4] В у с h к о v Yu. A. and R a s h b a E. I. J. Phys., C. 17, 6039 (1984).
[5] В о л к о в Б. А., И д л и с Б. Г., У с м а н о в М. Ш. УФН, 165, 799 (1995).
[6] И д л и с Б. Г., У с м а н о в М. Ш. ФТП, 26, 329 (1992).
[7] К о л е с н и к о в А. В., С и л и н А. П. ЖЭТФ, 109, 2125 (1996).
[8] Kane Е. О. J. Phys. Chem. Sol. 1, 249 (1957); 8, 38 (1959).
[9] J1 а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Квантовая механика, М., Наука, 1989, с. 90. [10] К h а п - С h е е m a U. М., К 1 i р s t е i п Р. С., М a s о п N. J. et al. Proc. 23
Int. Conf. Phys. Sem.. 3, p. 2271. World Scientific. Singapore 1996.
Поступила в редакцию 19 марта 1999 г.
