CC BY
17
УДК 539.21
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР АСИММЕТРИЧНЫХ ВАРИЗОННЫХ УЗКОЩЕЛЕВЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ГЕТЕРОСТРУКТУР
Е. А. Андрюшин, Ш. У. Нуцалов, А. П. Силин
Получены уравнения, определяющие энергетический спектр электронов и дырок в двух узкощелевых полупроводниковых гетероструктурах: в пилообразной сверхрешетке и в варизонной квантовой яме. Приведены результаты численного решения этих уравнений.
В последнее время большой интерес привлекает исследование оптических и транспортных свойств асимметричных полупроводниковых гетероструктур [1 - 3]. Спин-орбитальное взаимодействие в асимметричных узкощелевых гетероструктурах приводит к спиновому расщеплению энергетических уровней [4-9]. Одним из примеров асимметричной гетероструктуры является пилообразная сверхрешетка [10]. Пилообразные сверхрешетки на основе А1хСа1-хАз, в которых х линейно меняется от 0 в начале периода до 0.2 в конце периода, обладают интересными переходными поляризационными свойствами [11] и могут использоваться для создания солнечных батарей [12]. Здесь стоит отметить, что в гетероструктурах, подобных сверхрешеткам Л/хСа1_хЛ5, в основном изменяется зона проводимости и изменением валентной зоны можно пренебречь. Спектр электронов и дырок таких сверхрешеток в однозонном приближении был рассчитан в работе [13].
В данной работе рассматриваются две узкощелевые варизонные асимметричные гетероструктуры: пилообразная сверхрешетка (рис. 1), варизонная квантовая яма (рис. 2). Целью настоящей работы является изучение таких особенностей энергетических спектров, которые отсутствуют у их широкозонных аналогов, а также выявление причин этих особенностей.
Для адекватного описания варизонных гетероструктур эффективным оказывается использование уравнения Шредингера, в котором масса зависит от координаты [14].
Е Е < га <3' Е <*
; : < , 1 < 2 <3 г 3
0 с! 2с1 2 1
Рис. 1. Зависимость ширины энергетической щели от координаты в пилообразной сверт-решетке.
Рис. 2. Зависимость ширины энергетической щели от координаты в варизонной квантовой яме.
Однако для описания узкощелевых полупроводников А1УВ^1 необходимо использовать гамильтониан дираковского типа, в котором роль скорости света играет матричный элемент скорости межзонных переходов [15]. Мы будем использовать уравнение Дирака, приведенное в работе [16].
Энергетический спектр узкощелевых пилообразных полупроводниковых сверхрешеток. Как уже было отмечено, для расчетов гетероструктур в двухзонном приближении необходимо использовать уравнение Дирака
#ф = [1/7°73рг +х 7°(71Р* + 72Ру) + 7°Л(г) + <?(*)]Ф = ЯФ-
Здесь 2Д - ширина запрещенной зоны, 7° и 7 = (71,72,73) - матрицы Дирака, 1у± и и - кейновские матричные элементы для движения вдоль плоскостей гетероструктуры и перпендикулярно им, Ф - биспинор, р = — г V - оператор импульса, (7(.г) - работа выхода. Волновую функцию Ф можно выбрать в виде Ф = ^(г)ехр(гг • ¿х), где к± = (кХ1ку, 0). Положено Н = 1. Следуя той же работе [16], введем оператор спиральности
Р = г7°73егН (2)
имеющий собственные значения А = ±1. Прямой подстановкой можно убедиться, что он коммутирует с исходным гамильтонианом. В качестве волновой функции гамиль го ниана (1) можно выбрать собственные функции оператора спиральности, так что
Рфх(г) = А^д(г),
и уравнение для приобретает вид
Н"7°73-г + 7°Д(*) - + ад - Е]грх = 0.
аг
(3)
Рассмотрим энергетический спектр пилообразной сверхрешетки (рис. 1), у которой — Д(г) = \{Ео + Кг)] тогда после перехода к безразмерным переменным имеем
к±а1>± 2 V
г = ав, Е — Гае, Е0 = Гае о, К± = -, а = —
V Г
1
Д(5) = в(з) = -^а(б0 + = Гад(з), [-г'7°73^ + 7°<7(5) - гч3\К± + (д(з) - е)]ФА = 0.
(4)
Для последующих расчетов необходимо определиться с выбором представления матриц Дирака. Мы остановимся на представлении [17], в котором
• о з г7 7 =
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 -1 о 0 1 0 0 . 3 0 0 0 -1
7 = -н =
-1 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0
В этом представлении решение уравнения (4) имеет вид [18]
Фг
—1
Фх =
-фгХё9
Фз Фз\е{в
{в_ А:т гку
(5)
фх=СА Аг
,1/3
я + е0 — е +
К1
+ С2В1
с1/3 5 + е0 - С +
К1
е
0з = -— Фг+е-^Сг
е
| М'
б1/3 +
+ С2В1'
б1/3 5 + бо - б +
К?
Здесь Аг, В1 - функции Эйри [18], С^ - нормировочная константа, а С2 определяется сшиванием этих решений на границе периода согласно блоховским условиям
Фх( 0) - -¿м ф\{й/а)
02(0) — с ф2(с1/а)
(6)
что приводит к трансцендентному уравнению
2 со8(Ы) = ■к[А{{г1)Вг\г2) + Ая(г3)Вг'(г1) - А1\г1)В1(г2) - Аг{г2)В1(гх)\ (7)
которое и определяет спектр. Для некоторых значений параметров (¿/а = 0.9, К\ = 0.3, б0 = 0.1) это уравнение было решено численно, результаты приведены на рис. 3. Ветви б > б0 соответствуют электронам, а ветви с < 0 - дыркам.
Е
Рис. 3. Результаты численного расчета энергетического спектра пилообразной сверхрешетки.
Рис. 4. Зависимость ширины энергетической щели от координаты в произвольной гетеро-структуре.
Интересно отметить, что в спектре образуются энергетические мини-щели не только в зоне проводимости (для рассчитанной гетероструктуры ширина первой мини-щели 0.138), но и в валентной зоне, где нет никакой модуляции потенциала (для рассчитанной гетероструктуры ширина первой мини-щели 0.116).
Уравнение (7) задает е как функцию А'х- Исследование функции е(Л'х) показывает наличие экстремума при А'х = 0.
Обращает на себя внимание то обстоятельство, что в дисперсионное уравнение (7) спиральность не вошла, следовательно, спиновое расщепление энергетических мини юн в пилообразной сверхрешетке отсутствует. Эта особенность может быть получена д я любой гетероструктуры, у которой дно зоны проводимости задается произвольной пе риодической функцией Н(г) с не более, чем одним разрывом первого рода на период.
потолок валентной зоны не меняется (рис. 4). Уравнение Дирака вновь можно свести к безразмерному уравнению
[-г'7°73^- + 70MÍ) " ПЗХК± + h(s) ~ С)]Фа = 0, (8)
as
аналогичному (4). Решение задается все тем же соотношением (5), но теперь
Ф\ = C7i{«i(e) + С2Ф2(5)}, ф3 = -Щ^х + е^СгЩМ + С2Ф'2(з)},
где $1(5), Ф2(^) - независимые решения некоторого дифференциального уравнения, определяемого формулой (8). Существенно, что вронскиан этих функций
W = Ф1(5)Ф'2(а) - Ф2(з)Ф[(з) = const.
При этом дисперсионное уравнение будет выглядеть так:
2 соs(kd) = И/-1[Ф1(г1)Ф2(г2) + Фх(г2)Ф'2(21) - Ф2(г1)Ф'1(^) - Ф2(г2)Ф'1(г1)],
и в него вновь не входит спиральность для произвольной функции H(z).
Последний результат оказался довольно неожиданным. Дело в том, что отсутствие спинового расщепления было доказано ранее для гетероструктур трех типов. Гетеро-структуры первого типа обладают свойством Ev = —Ec(—z), здесь Ес - дно зоны проводимости, a Ev - потолок валентной зоны, второго - Ev(z) = Ev(—z), Ec(z) = Ec(—z), a третьего - Ev(z) = —Ec(z) [19]. Пилообразная сверхрешетка ни одному из этих требований не удовлетворяет; таким образом мы имеем дело с новым типом гетероструктур, в спектре которых нет расщепления по спину, что связано с блоховскими условиями (6).
Энергетический спектр узкощелевой варизонной квантовой ямы (рис. 2). Вновь перейдем к безразмерным переменным в уравнении (3), на этот раз несколько иначе:
U\ Ajd vu Ed z Fd
Oi = — 6j = —— T)i =- t = - s = - К — kj_d f = -
V{ u\ i>i v\ d v 1
¿ = 1,2,3 — номер области, j = 0,1,2,3 нумерует Д (рис. 2).
В области 1 Д(г) = Д, G(z) = 0. Решение будем искать в виде ф\ = е'3*1, ф3 = a\t0xX. Аналогично в области 3, в которой Д(г) = (Д2 + Дз)/2, G(z) = (Д2 — Дз)/2, положим фх = е~рзХ, ф3 = а3е~^зХ. В области 2, где Д(г) = (Aj + Д0 + Fz)/2, G(z) = (Д0 - Дг + Fz)¡2, решение имеет вид
0з =
АК±ъфг - [СгАг' + С2Вг'
(9)
Здесь 5о = Ь = [¿К. + <М/]-1/3-
На границах областей сшиваем решения по правилам, полученным в работе [20]:
у/щ.
01(0-0) 0з(О - 0)
= л/^2
01(0 + 0) 0з(О + 0)
01(1-0) 03 (1 - 0)
= л/^З
01(1+0) 03 (1 + 0)
и получаем дисперсионное уравнение
[Л»(л2)Б«(л1) - А«(в1)Д»(в2)] ' [А7Г772 + а162{е + 0а)] • [-ХКщ + а362(е + ^)] +
+[Лг/(з1)Яг'(з2) - Л»(а2)51',(в1)] • [ХКг]2 - а362(е + в^Ч +[Лг(51)Вг'(52) - Л»'(в2)Б»(я1)] • [ХКу]2 - а1«52(б + в^Ь-Ч (10)
+[Лг'(52)Бг'(51) - А{\зх)В1\82)}Ь-2 = 0.
Анализ последнего уравнения показывает, что если дно зоны проводимости на участках 1 и 3 одинаково, а потолок валентной зоны вообще не зависит от координаты (т.е. в = 01 — в2 = #з), то все члены, содержащие Л, сокращаются. Следовательно, спиновое расщепление в энергетическом спектре варизонной квантовой ямы при этих условиях отсутствует. Аналогично тому, как это сделано для пилообразной сверхрешетки, можно показать, что этот результат не зависит от того, как изменяется дно зоны проводимоеч и на втором участке гетероструктуры.
8
-0.5
-1 -
-1.5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Рис. 5. Зависимость энергии электронов от поперечного импульса.
Де 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
0
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
Дкх
1.2П 1.1 1.0 0.9, 0 8 0.7 0.6-0.5 0.4 0.3 0 2! 0.1
О
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60*
Рис. 6. Зависимость спинового расщепления по энергии от наклона /. Рис. 7. Зависимость спинового расщепления по импульсу от наклона /.
Если одно из указанных выше условий нарушено, в спектре, определяемом уравнением (10), появляется расщепление по спину. Это уравнение было решено численно для варизонной гетероструктуры с параметрами rji — tj2 — щ = 62 = = 1, 6 = 0.8, в0 = 0.1, в\ — 0.5, в2 = #з = 1-1, / = 3. Решение для дырок показано на рис. 5. Величину спинового расщепления удобно характеризовать параметрами АК± и Дб. На рис. 6 и 7 показано, как они зависят от наклона /, когда остальные параметры гетероструктуры не меняются. Видно, что есть область оптимального значения / äs 30, при котором Дб максимально.
Настоящая работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 00-02-17529) и стипендии им. JI. Д. Ландау, предоставленной KFA Forschungszentrum Jülich GmsH.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Р f е f е г P., Zavadzki R. Proc. 23d Int. Conf. Phys. Semicond., 3, p. 1815. World Scientific, Singapore, 1996.
[2] A h д p ю ш и н E. А., Верещагин С. А., Силин А. П. Краткие сообщения по физике ФИАН, N б, 21 (1999).
[3] И в ч е н к о Е. Л., Л я н д а - Г е л л е р Ю. В., П и к у с Г. Е. ЖЭТФ, 98, 989 (1990).
[4] В у с h к о V Yu. A., Rashba Е. I. J. Phys. С, 17, 6039 (1984).
[5] Д ь я к о н о в И. М., К а ч о р о в с к и й В. Ю. ФТП, 20, 178 (1986).
[6] Г е р ч и к о в В. JL, С у б а ш и е в А. В. ФТП, 26, 131 (1992).
[7] В а с ь к о Ф. Т. ЖЭТФ, 30, 574 (1979).
[8] В а с ь к о Ф. Т., Прима Н. А. ФТП, 21, 1734 (1979).
[9] A n d г у u s h i n Е. А., Silin А. P., V е г е s h с h a g i n S. A. Phys. Low-Dim. Struct., 3/4, 85 (2000).
10] С и л и н А. П. УФН, 147, 485 (1985).
11] С а р a s s о F., L и г у i S., Tsang W. Т., В е t h е а С. G., L е v i n е В. F. Phys. Rev. Lett., 51, 2318 (1983).
12] Андрюшин E. А., Силин А. П. УФН, 161, 129 (1991).
13] JI о б a e в А. П., Силин А. П. Краткие сообщения по физике ФИ АН, N 1, 19 (1985).
14] К о 1 е s n i к о V А. V., Silin А. P. Phys. Rev. В, 59, 7596 (1999).
15] Abakumov V. N., Р е г е 1 V. I., Y a s s i е v i с h I. N. Nonradiative Recombination in Semiconductors/: Elsevier Science Publishers В. V., 1991.
16] В о л к о в Б. А., И д л и с Б. Г., У с м а н о в М. Ш. УФН, 165, 7 (1995).
17] А х и е з е р А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. М., Государственное изд-во физ.-мат. литературы, 1959.
18] И д л и с Б. Г., У с м а н о в М. Ш. ФТП, 26, 329 (1992).
19] К о 1 е s n i к о V А. V., Silin А. Р. J. Phys.: Condens. Matter, 9, 10929 (1997).
20] С и л и н А. П., Ш у б е н к о в С. В. ФТТ, 40, 1345 (1998).
Поступила в редакцию 27 декабря 2000 i
