SPEZIELLE DISTRIBUTIONEN AUF GRASSMANN’SCHER MANNIGFALTIGKEIT (II) Текст научной статьи по специальности «Математика»

вых пространств, так и его гипотетический аналог для аффинносвязного случая, о котором в [6] также упомянуто.

Работа поддержана РФФИ (проект № 96-01-00215).

Библиографический список

1. Игошин В.А. Пульверизационное моделирование квазигеодезических потоков // ДАН СССР. 1991. Т.320. №3. С.531-535.

2. Игошин В.А. Пульверизационное моделирование I // Изв. вузов. 1992. №6. С.63-

70.

3. Игошин В.А. Пульверизационное моделирование. II // Там же. 1994. №10. С.26-

32.

4. Игошин В.А. Пульверизационное моделирование. III // Там же. 1995. №5. С.39-

50.

5. Lie S., Engel F. Theorie der Transformationsgruppen. Leipzig: Teubner. 1893. Bd.3. 830 s.

6. Аминова А.В. Проективные преобразования как симметрии дифференциальных уравнений. - Казанский ун-т. Казань, 1991. - 18 с. Деп. в ВИНИТИ 22.04.91, №1707 -В91.

V.A. I g o s h i n

POINT INFINITESIMAL SYMMETRIES OF PULVERIZATION

By means of pulverization (geodesic) modelling method, which developed by author, it is found some geometrical criterion's of point infinitesimal symmetries of pulverization (or, that one and the same, geodesic flow of generalized affine connection ).

OÄE 514.75

SPEZIELLE DISTRIBUTIONEN AUF GRASSMANN'SCHER MANNIGFALTIGKEIT (II)

V.V. K a i s e r

( Friedrich-Alexander-Universität Erlanger-Nürnberg)

Ein analytischer Apparat ist umgescchrieben, der Resultaten, die im ersten Teil der Arbeit [1] formulieren sind, erlaubt zu erhalten hat.

2. Der analytische Apparat Hier werden die Grundbegriffe der geradlinigen Differentialgeometrie aus moderner Sicht erwähnt.

2.1. Derivationsformel und Strukturgleichungen. Es sei P3 ein dreidimensionaler projektiver Raum und M sei die Grassmann'sche Mannigfaltigkeit aller Geraden in P3. Man ordnet jedem Element leM ein projektives 4-Bein AieV=R4 (i=0,1,2,3) mit entsprechenden geometrischen Punkten ai={^Ai: XeRjeP3, so daß die Punkte a1, a2 auf der Gerade l liegen. Daraus bekommen wir die glatten Abbildungen1 Ai: M^V, die das sogenannte begleitende 4-Bein der Grassmann'schen Mannigfaltigkeit M bilden. Es sei dAilpTjM ^ TA.(1)V ^ V ihr Differential im Punkt leM. Für jedes Element u des tangentiellen Raumes TlM der Mannigfaltigkeit M im Punkt l wird dann sein

3

Bild dAi I l(u) auf TlM, das durch die Formel dA^ (u) = X®i (u)A- (1) wohlbe-

i=0 1

stimmt ist, die glatten Differential-formen ® j auf der Mannigfaltigkeit M bestimmen. Damit sind die Differentiale

3

dAi = X® iAj (2.1)

i=0

als Differentialformen auf der Grassmann'schen Mannigfaltigkeit M mit den Werten

im Raum V bestimmt. Da Ai die 0-Formen auf M mit den Werten in V sind, gilt

3 3

dAi = X® jAj = X®i a Aj, wo a das Zeichen der äußeren Multiplikation [2] be-i=0 i=0 deutet. Deswegen gilt nach der Formel (2.1) (vgl. [2])

3 , 3 f 3 A

0 = d2A = X(d®i a A - ®i a dA) = Xi d®i - X®

i=0V 7 j=0 v k=0

k

®: a®

j

A-. Daraus

j'

folgt, daß die Differentialformen ®i auf der Grassmann'schen Mannigfaltigkeit M,

die in den Derivationsformeln (2.1) auftreten, die sogenannten Strukturgleichungen des prrrojektiven Raumes

3

d®i = X®k a®k (2.2)

k=0

erfüllen.

2.2. Plücker'sche Übertragung. Es seien x, y zwei beliebige Punkte auf einer Geraden leM und X, Y seien entsprechende analytische Punkte im Raum V=R4, so daß x={^X I ^eR, A,^0}, y={^Y I ^eR, ^0}. Dann ist die schifsymmetrische bilineare Funktion XaY: V*xV*^R, die nach der Formel

X a Y(® ,0) = det

®(X) ®(Y) 0(X) 0(Y)

k

1 Diese Abbildungen werden natürlich nur in einer Umgebung des Elements leM glatt

definieren. Dies macht den Charakter der Betrachtungendieses Artikels lokal. Deswegen wird es weiter im Artikel angenommen, daß unsere Betrachtungen nur auf diese (oder wenn es nötig wird auf eine noch klenere) Umgebung eines Elementes leM beschränkt werden.

definiert wird, ein Element der äußeren Potenz a 2 V = R6. Es ist leicht zu berechnen, daß das äußere Produkt XaY nach dem Ersetzen der Punkte x und y durch andere Punkte x' und y' derselben Gerade l mit der Determinante der Übergangsmatrix von den Vektoren X, Y zu den Vektoren X', Y' multipliziert wird. Man bezeichnet tc: R6^-P5 die kanonische Abbildung des Raumes R6 in den 5-dimensionalen projektiven Raum P5. Dann wird der Punkt tc(XaY)eP5 durch die Angabe der Gerade leM eindeutig bestimmt. Die Abbildung M^-P5: l ^ tc(XaY) heißt die Plücker'sche Übertragung. In den homogenen Koordinaten wird sie folgenderweise berechnet. Es seien (x0, x1, x2, x3) und (y0, y1, y2, y3) die homogenen projektiven Koordinaten von Punkten x

und y einer Gerade leM in bezug auf die Basis A0, A1, A2, A3 des Raumes V = R4

3 3

(der analytischen Punkte). Dann gilt für X = ^ x1^ , Y = ^ y1^

i=0 1=0

XaY= ^ P1jA1 a Aj =p01B0+p02B1+p03B2+p12B3+p31B4+p23B5, i< j

wo die homogenen Plücker'schen Koordinaten pij der Gerade l nach den Formen

pij=xiyj-xjyi (i,j=0,1,2,3)

definiert werden, und die Vektoren

B0=A0aA1, B1=A0aA2, B2=A0aA3, B3=A1aA2, B4=A3aA1, B5=A2aA3 eine Basis des Raumes R6 bilden. Auf der offensichtlichen Gleichheit

0=(XaY)a(XaY)=2(P01P23+P02P13+P03P12)A0aA1aA2aA3 folgt, daß alle Punkte des projektiven Raumes P5, die den Geraden des Raumes P3

nach der Plücker'schen Übertragung entsprechen, die Plücker'sche Hyperquadrik Q4 bilden, die im Raum P5 mit Hilfe von der Gleichung

p01p23+p02p13+p03p 12=0

bestimmt wird. Die Plücker'sche Übertragung bildet die Grassmann'sche Mannigfaltigkeit M auf diese Plücker'sche Quadrik Q4 diffeomorph ab.

2.3. Basis des Rings von Differentialformen. Lemma 2.1. Es sei Ai (i=0, 1, 2, 3) ein wie oben im Punkt 2.1 gewähltes begleitendes 4-Bein der Grassmann'schen Mannigfaltigkeit M, die Punkte A0 und A1 dessen die laufende Gerade leM bestimmen. Dann sind die Differentialformen

Q1 =© 4,Q 4 =© 3,Q 3 =-© 4,Q4 =® 3 (2.3)

in jedem Punkt leM linear unabhängig und bilden eine Basis des kotangentialen Rau-

*

mes T M der Grassmann'schen Mannigfaltigkeit M. Beweis. Da Ai die differentiel-len 0-Formen auf der Mannigfaltigkeit M mit der Werten im Raum V = R4 sind, sind die AiAAj die 0-Fermen auf M mit den Werten in a 4 V = R6. Dann bakommen wir nach der bekannten Regel [2] der äußeren Differentierung des äußeren Produktes von zwei Differentialformen [2] mit der Verwendung der Formel (2.1):

dB = d( A л A)= dA л A + A л dA = = (w 0 + w - )b + ® 4B + ® 3B 4B + ® 0B-

Dies bedeutet, daß die Hyperebene Spann(Bo, Bi, B2, B3, B4) den Tangentiellen Raum der Plücker'schen Quadrik Q4 im Punkt Bo darstellt. Daraus folgt auch, daß die for-

2 3 2 3

men w4, w3, w4, w0 in jedem punkt leM linear unabhängig sind und eine Basis

des kotangentiellen Raumes T M der Grassmann'schen Mannigfaltigkeit M bilden. Das beendet den Beweis des Lemmas. Aus Diesem Lemma folgt, daß jede beliebige

Regelfläche mit Hilfe von einem Differentialsystem = = ^r = ^r, oder, kurz

А А А А

geschrieben, mit Hilfe vom System

Q1=0A1, (i=1,2,3,4) (2.4)

als eine Integralkurve einer 1-dimensionalen Distribution auf M bestimmt werden kann, wo а1 glatte Funktionen auf M sind und 0 eine glatte differentielle 1-Form auf M ist.

Literatur

1. Kaiser V. V. Spezielle Distributionen auf Grassmann'scher Mannigfaltigkeit (I) // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1997. Вып. 28. С. 3847.

2. Spivak M. A comprechensive introduction to differential geometry. Boston, 1970. Vol.1.

В.В. Кайзер

СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ГРАССМАНОВОМ

МНОГООБРАЗИИ(П)

Описан аналитический аппарат, позволивший получить результаты, сформулированные в первой части работы [1].

УДК 514.75

О КОНФОРМНОМ СООТВЕТСТВИИ МЕЖДУ ОБЛАСТЯМИ ЕВКЛИДОВА И РИМАНОВА ПРОСТРАНСТВ

Г.В. К у з н е ц о в

(Тульский государственный педагогический университет)