CC BY
7
dB = d( A л A)= dA л A + A л dA =
= (w 0 + w - )b + ® 4B + ® 3B 4B + ® 0B-
Dies bedeutet, daß die Hyperebene Spann(Bo, Bi, B2, B3, B4) den Tangentiellen Raum der Plücker'schen Quadrik Q4 im Punkt Bo darstellt. Daraus folgt auch, daß die for-
2 3 2 3
men w4, w3, w 4, w 0 in jedem punkt leM linear unabhängig sind und eine Basis
des kotangentiellen Raumes T M der Grassmann'schen Mannigfaltigkeit M bilden. Das beendet den Beweis des Lemmas. Aus Diesem Lemma folgt, daß jede beliebige
Regelfläche mit Hilfe von einem Differentialsystem = = ^r = ^r, oder, kurz
А А А А
geschrieben, mit Hilfe vom System
Q1=0A1, (i=1,2,3,4) (2.4)
als eine Integralkurve einer 1-dimensionalen Distribution auf M bestimmt werden kann, wo а1 glatte Funktionen auf M sind und 0 eine glatte differentielle 1-Form auf M ist.
Literatur
1. Kaiser V. V. Spezielle Distributionen auf Grassmann'scher Mannigfaltigkeit (I) // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1997. Вып. 28. С. 3847.
2. Spivak M. A comprechensive introduction to differential geometry. Boston, 1970. Vol.1.
В.В. Кайзер
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ГРАССМАНОВОМ
МНОГООБРАЗИИ(П)
Описан аналитический аппарат, позволивший получить результаты, сформулированные в первой части работы [1].
УДК 514.75
О КОНФОРМНОМ СООТВЕТСТВИИ МЕЖДУ ОБЛАСТЯМИ ЕВКЛИДОВА И РИМАНОВА ПРОСТРАНСТВ
Г.В. К у з н е ц о в
(Тульский государственный педагогический университет)
Пусть Еп евклидово п - мерное пространство и V" - п - мерное риманово пространство и £ О^ О - точечное невырожденное дифференцируемое отображение области О пространства Еп в область О пространства V" , так что для точки х еО имеем у=£(х)е О . Присоединим к точке х множество всех аффинных реперов {х, ё }(10=1,.-,п) с началом в этой точке. Положим а = £*х(ё), где £*х - касательное линейное отображение к отображению f в точке х. Так как Гх -невырожденное отображение, то вектора а независимы и образуют репер в касательном пространстве к V".
Уравнения перемещения реперов {х, ё } и {у, а} запишем в виде
& х =©' ё, d ё =ю]1 ё, & у=ш1 а, d а =ш а а^], (1)
где а - векторы, образующие с а репер второго порядка, связанный с точкой у
[1]. Дифференциальные формы ю1 и ю]1, входящие в эти уравнения, удовлетворяют уравнениям структуры евклидова пространства
Бю1 = ю^лю1], Бю1] = юк,лю1к . (2)
В свою очередь, дифференциальные формы ш1 и ш^ удовлетворяют уравнениям структуры риманова пространства
Бш1 = ш^лш1] , Бш1] = шк]лш1к + 1/2 Я 1]к1шклш1 , (3)
где Я 1]к1 - тензор кривизны риманова пространства V".
Обозначим через £ 1] и ! 1] метрические тензоры пространств Еп и V" в точках х и у соответственно. В силу (1) элементы длины в этих пространствах записываются в виде
■ ■ 2 ' ' = £ 1]ю1ю], & Б = £ 1] ш1ш' . (4)
Тензоры £ 1] и £ 1] , ' в силу (1), удовлетворяют уравнениям
& £ 1]= £ 1кюк]+ £ к]юк1, & £ 1]= £ 1к шк] + £ к]шк1+ £ укшк . (5)
В силу согласованного выбора реперов в пространствах Е" и V" 1-формы ю1 и ш1, определяющие перемещение точек х и у , связаны равенствами :
ш1 = ю1 . (6)
Эти равенства представляют собой основные дифференциальные уравнения рассматриваемого соответствия £ Дифференцируя их внешним образом и применяя лемму Картана, получим
ш1] - ю1] = %юк, (7)
где = И1к].
Пусть отображение f О - является конформным. Тогда d Б 2= Х^2, где X - коэффициент конформности, зависящий от точки Х=Х(х). Положим Х=еа. Ввиду этого
I и=е2а ёи . (8)
Дифференцируя последнее соотношение с помощью формул (5), получим е2а £ 1к(шк]-юк])+е2а £ к](шк1-юк0+ £ укшк = 2е2а £ ^а.
Так как a=a(x), то
da = адо' . (9)
Ввиду этого и соотношений (7), получим
e2a g ikhkji + e2a gkjhkii + g iji = 2e2a gijai. Отсюда находим компоненты тензора hj :
hijk=ôijak + 6'kaj - gjka' - 1/2 g11 ( g ijk+ g kij- gjki). (10)
Подставляя (10) в (7), получим
TOij-aij=8ijda+ajŒi-aiaj-1/2 g ii( g g kij- g jki)rak . (11)
Как и в [1] введем обозначения
fjk =- 1/2 g ii( g ijk+ g kij- g jki), (12) где yijk = yikj. Тогда (11) с учетом (12) примет вид :
0ij - = ôijda + aj©i - atoj , (13)
где 0ij = - yijk®k, ai = g ijaj, j gjk®k.
Найдем дифференциальные продолжения соотношений (9) и (13). Дифференцируя первое из них, получим
VaiA^i = 0, (14)
где Vai = dai - ajŒji - ковариантный дифференциал ковектора ai. Из соотношений (14) в силу леммы Картана следует, что
Vai = aij«j, (15)
где aij = aji. Дифференцируя уравнения (13) и учитывая, что
d0ij=0kjA0ik + Rjkira W, где тензор Rijki выражается через тензор R ijki, получим
(Vai-aida+P^i)Aroj -(Vaj-ajda+Proj)Aroi-RijkirakAroi=0, (16)
где
Р = 1/2 g kiakai . (17)
Далее имеем Vai - aida + P^i = (aij - aiaj + Pgij)raj = a ijraj, где
a ij = aij - aiaj + pgij . (18)
Подставляя (18) в (16), получим
(a ik gji - a jk g ii - Rijki)rakAroi = 0.
Окончательно имеем
Rijki= a ik gji- a ii gjk -a jk g ii+ a ji g ik . (19)
Следуя терминологии Нордена [2] такое риманово пространство назовем конформно-евклидовым и обозначим через Сп. Свертывая (19) с gik, найдем
1/e2aRji = a g ji + (n-2) a ji,
где a = gik a ik.
При n=2 из последней системы следует, что 1/е2^! = a g ji, т.е. рассматриваемое пространство является пространством Эйнштейна. Но нас больше интересует случай n>3. В этом случае a ji = 1/(n-2)(1/e2a Rji - a gji). Свертывая последнее соотношение с gji, найдем
a=1/e4aR/2(n-1), (20)
где R - скалярная кривизна пространства Cn. Тогда
a ji = 1/(n-2) (1/e2a Rji - 1/e4a R/2(n-1) gji). (21)
Приравнивая (18) и (21), а также (20) с a = glk a ik, получим a,j-a,aj+P g ij=1/(n-2)(1/e2a Rij-1/e4a R/2(n-1) g ij),
g ijaij + (n-2)p = 1/e4a R /2(n-1). (22)
После умножения второго равенства из (22) на g ij, запишем
aij=(1/e4a R/2n(n-1)-(n-2)p/n) g ij . (23)
Подставляя (23) в (18), получаем
a j=Q g ij- aiaj, (24)
где Q = 1/e4a R/2n(n-1) - 2(n-1)p/n.
Если коэффициент в (23) при gij обозначить за Т, то aij = T gij. И из (15) найдем
Vai =T g ij®j = Troi . (25)
В работе [3] рассматривалось торсообразующее векторное поле, а именно одно из его частных случаев - сходящееся векторное поле, порожденное конформным отображением в евклидовом пространстве. Для торсообразующего векторного поля v1 будут верны равенства
Vij =a g ij + pjVi . (26)
Сравнивая (24) и (26) , можно сделать вывод, что векторное поле a1 является торсообразующим. В зависимости от a и Pj в (26) можно получить специальный вид торсообразующего векторного поля [4]. В нашем случае Q - произвольная функция от a, а aj - градиент. Получаем, что ai является конциркулярным векторным полем [5]. Нами доказана
Теорема. Конформное отображение между областями евклидова и риманова пространств определяет в области евклидова пространства конциркулярное векторное поле.
Векторное поле ai , по аналогии с [2], назовем вектором конформного преобразования. Тогда теорему можно сформулировать следующим образом: вектор конформного преобразования между евклидовым и римановым пространствами является конциркулярным векторным полем.
Для более наглядного представления полученного результата рассмотрим в En подповерхности уровня коэффициента конформности a - эквиконформные гиперповерхности. Выберем в En репер так, чтобы вектор e n был ортогонален к этим гиперповерхностям и имел единичную длину, а вектора e а (a=1,...,n-1) касались этих гиперповерхностей. Тогда будут верны соотношения
(e a e ь)= g ab, (e a e n)=0, (e n e n)=1. (27)
Уравнение эквиконформной гиперповерхности запишем в виде
= 0. (28)
После дифференцирования (28), найдем
rona = babrob, (29)
где bab=bba - асимптотический тензор эквиконформной гиперповерхности. Также имеем da = апЮп. Так как в этом случае aa = 0 и Р = 1/2(ап)2, то из соотношений (25) следует, что
= -Т/ап Юа, dan = ТЮ . (30)
На эквиконформной гиперповерхности da=0, юп = О.Тогда в силу первого из соотношений (30) и (29) получаем : bab = -Т/ап gab. Отсюда следует, что экви-конформные гиперповерхности являются гиперсферами S^1. При этом геодезические круги сферы S^1 будут переходить также в геодезические круги. Это было несколько иначе обнаружено К. Яно [5].
Библиографический список
1. АкивисМ.А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин, 1977. 83 с.
2. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М., 1976.
3. Кузнецов Г.В. О конформном соответствии между областями евклидова пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1996. Вып. 27. С.48-53.
4. Каган В.Ф. Субпроективные пространства. М., 1961.
5. Yano K. ^circular geometry 1-4 // Proc. Imp. Acad. Tokyo, 1940. №16. P.195-200, 354-360, 442-448, 505-511.
G.V. K и z п e t s о v
ABOUT THE CONFORMAL CORRESPONDENCE BETWEEN THE DOMAINS OF THE EUCLIDEAN AND RIEMANN SPACES
1п the given work is cornidered conformal сог^ро^епсе between areas euclidean a^ riemaпn of spaces. The vector conformal of transformation is ertered a^ is show^ that the given vector is concircular a vector field. It is cornidered equiconformal hypersurfaces, which in this case is hyperspheres.
УДК 514.75
К АФФИННОЙ ТЕОРИИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ И. А.К у з я к и н а
(Калининградский государственный университет)
Теория точечных отображений применена к аффинной теории векторных полей. Введены понятия связности, обобщающей связность Врэнчану, коллине-ации и гиперплоскости Чеха, индикатрисы и множества характеристических
