CC BY
13
ЬИБЛИОП'АФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Небалусв С.И. Алгсбро—топологические характеристики толерантных пространств // Математика и её приложения. Caparon: Изд-во Capar, ун-та, 1991. С. 105-107.
2. Небапуев С.И. Фундаментальная группа толерантного пространства и толерантные накрытия // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Tei. докл. V междунар. конф. Тула, 2003. С. 166 167.
УДК 519.4
В. £. Новиков СПЕКТР ПОНЯТИЙ НА « АРНЫХ ОТНОШЕНИЯХ*
Эта статья является продолжением статей [1,2] и посвящена дальнейшим исследованиям понятий на л-арных отношениях. В ней дан перечень основных определений, включая спектр понятий и-арного отношения, и приведены некоторые результаты исследований спектра понятий бинарных отношений. Основной результат статьи показывает, что любое конечное бинарное отношение определяется своим спектром понятий с точностью до подобия.
Пусть р сМ, х... х Мп - некоторое «-арное отношение и элементы x¡ еЛ/(|,..., x¿tEM¡t. 1 <í'j <...<ik < п. Будем говорить, что ¿-система (xit,...,x¡k) входит в р, если существует л-система, (xj, х2,-••,•*„) е р, в которой элементы x¡i,...,x¡t присутствуют в качестве соответствующих компонент. Если А=1, то просто говорим: элемент x¡ е M¡, 1 <г < п, входит в р.
Рассмотрим конечные непустые подмножества из множества натуральных чисел, упорядоченных естественным образом. Упорядоченные
множества условимся обозначать ik =(ii,¡2.....ГДе l-'i < — <»'*> при
этом положим i| = i,, ñ = (1,2.....п). Указанные множества будем использовать в качестве индексов, обозначая М,- x...xMi(=M¡t, (xii,xÍ2,...,x¡k)=x¡k, {M¡t ,...,M¡t }={Mji[}, } = {*<*}• Задачи> свя"
занные с теорией реляционных баз данных [3], естественно приводят к следующим трём унарным операциям над отношениями.
Пустьр с Мн, 1 <k,s<n и a¡k е М. Тогда формула
(P)={*í( eAfrJ входит в р} будет определять оператор проекции п-ариого отношения р на Ai¡t, формула
' Работа выполнена при поддержке INTAS (грант № 99-1224).
81
<4;, }(Р)={(^.-,*Я) е р| а]к входит в ,...,*„)}
определит оператор выбора на п-арном отношении р по к-системе ае М ■ , а множество
р л(д0:=я7.<ак}(р))
будем называть элементарным у д. -срезом р через X] .
Многие свойства этих операторов приведены в [1] и [2]. Элементарный срез в свою очередь приводит к определению дуального среза. Пусть по-прежнему р с Мл, 1 < < л и Л/у . Множество
П Р)М)
х; (¡X
будем называть дуальным ¿¡^-срезом р через подмножество X.
Таким образом, дуальный Уд -срез на множестве М -. выделяет подмножества с некоторой общностью атрибутов из Л/; , именно то, что мы
привыкли понимать под понятиями. Для дуального среза справедливо следующее свойство: из X с М ■ следует X с р(X).
Пусть р сЛ/я и 1<5<п. Подмножество X с М - будем называть -понятием п-арного отношения р, если существует ¡к , 1 <к<п , такой что
При этом Уд будем называть определяющей системой атрибутов (^-понятия X, элементы множества X будем называть его объектами.
По свойствам дуального среза в множестве всех -понятий всегда присутствуют М- , 0 и {х; }, для всякого х^ е М■ , входящего в р. Понятия Л/; и 0 назовём универсальными, а {.*> } — индивидуальным.
11РЕДЛОЖЕНИЕ 1. Объект может быть сам себе атрибутом только для индивидуальных понятий.
В классической логике и в теории реляционных баз данных объект редко описывается атрибутом, имеющим совпадение с этим объектом. Мы также будем исключать из рассмотрения /5 -понятия с определяющей системой атрибутов Уд э 15. При этом из множества -понятий будет исключаться лишь некоторое множество индивидуальных понятий. Обозначим Ср(М, ) - множество всех /¿.-понятий отношения р, С'р(МI ) - множество всех ^.-понятий, исключая ^-понятия с определяющей системой атрибутов Уд з • При этом ;5 -понятия с определяющей системой атрибутов Уд, где /д П/5 = 0, назовём -понятиями внешнего атрибута. Ихли Уд с , то говорим о -понятии внутреннего атрибута. Наконец, если
1k Di, #0 и jk <Xis, то говорим о is-понятии смешанного атрибута. К примеру, в случае бинарного отношения рсЛ/2 множество Cp(Mj) совпадает с множеством I-понятий внешнего атрибута отношения р.
Пусть рс:Л/,7 и 1 <s<n. Множество Ср(М- ) является частично
упорядоченным но включению. Множество всех частично упорядоченных множеств понятий «-арного отношения р, рассматриваемых с точностью до изоморфизма, назовём спектром понятий отношения р. Определение полной решётки можно найти в [4].
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Спектр понятий любого бинарного отношения состоит не более чем из трех полных решёток.
Естественно возникает вопрос о том, возможно ли построение бинарного отношения, для которого данная произвольная полная решётка содержалась бы в его спектре? Решение этой задачи можно получить из основного результата в [5| (The Basic Theorem on Concept Lattices).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Для всякой полной решётки L можно построить бинарное отношение pcAi2, в котором множество 1-понятий внешнего атрибута С'ЛМХ) образует решётку, изоморфную L.
Бинарные отношения рсД2, <;cß2 называют подобными, если существуют подстановка teS2 и биекции fl:Al-> , f2 : А2 —> ßT(2) такие, что (а1,а2)ер равносильно (/т(1 )(а,(1)),/т{2)(ах(2))) е<;.
Следующие результаты касаются анализа спектра понятий бинарного отношения.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Пусть рсЛ2, <;£Я2- Если решётки Ср(Л,), С(,(А2) изоморфны соответственно решёткам C\(ß[), С,(й2), то отношения р и с, подобны.
Замечание. Очевидно, предложение 4 останется в силе, если в его условии решётки Ср(Л[), Ср(Л2) будут изоморфны соответственно решёткам С,(В2), С(Д,)-
ТЕОРЕМА. Два конечных бинарных отношения подобны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же спектр понятий.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Иоников В.Е О системах замыканий на л-арных отношениях. Саратов, 2002. 12 с. Деп. в ВИ11ИТИ 17.04.02 № 717 - В2002.
2. Новиков В.Е Решётки понятий л-арных отношений // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Ич-во Сарат. ун-та, 2002. Выи. 4. С. 111 113.
3. МейерД. Теория реляционных баз данных. М.: Мир, 1987.
4. Биркгоф Г. Теория решёток. М.: Наука, 1984.
5. Ganter В., Wille R. Formal Concept Analysis: mathematical foundations. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag. 1999.
