CC BY
10
СЛЕДСТВИЕ. Интерполяционный процесс равномерно
сходится на [-1,1], если выполнено одно из следующих условий:
1) функция / еС[-1,1] имеет ограниченную вариацию на [-1,1] и а, ре(-1,1/2) [7];
2) функция/ € С[-1,1] имеет офаниченную /^-вариацию на [-1,1],
р> \ и -1<а<1/р-1/2, -1<Р<1/р-1/2 [8];
00 v(k)
3) / е V\v(n)}, где функция v(к) такая, что [9] ]Г~3,2 < со .
к=\к ' 4
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Привалов А. А. О равномерной сходимости интерполяционных процессов Ла-гранжа // Мат. заметки. 1986. Т. 39, № 2. С. 228 - 243.
2. Привалов А. А. Критерий равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа // Изв. вузов. Сер. Математика. 1986. № 5. С. 49 - 59.
3. Чантурия 3. А. О равномерной сходимости рядов Фурье // Мат. сб. 1976 Т. 100, №4. С. 534-554.
4. Геронимус Я. Л. О сходимости интерполяционного процесса Лагранжа с узлами в корнях ортогональных многочленов // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1963. Т. 27, № 3. С. 529 - 560.
5. Неваи Г. П. Замечания об интерполировании // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1974. Vol. 25. P. 123- 144.
6. Пилипчук С. С. О признаках сходимости интерполяционных процессов // Изв. вузов. Сер. Математика. 1979. № 12. С. 39 - 44.
7. Vertesi P. Lagrange ¡interpolation for continuous functions of bounded variation // Acta Math. Acad. Sci. Hungar, 1980. Vol. 35. P. 23 - 31.
8. Кельзон А. А. Об интерполировании непрерывных функций ограниченной р-вариации // Изв. вузов. Сер. Математика. 1978. № 5. С. 131 - 134.
9. Kvernadze G. Uniform Convergence of Lagrange Interpolation Based on the Jacobi Nodes // J. of Approx. Theory. 1996. Vol. 87. P. 179 - 193.
УДК 519.4
В. Е. Новиков
О РЕШЁТКЕ ПОНЯТИЙ ЧАСТИЧНО ОДНОЗНАЧНОГО ОТНОШЕНИЯ*
В работе [1] на основе идей формального концептуального анализа [2] и аппарата алгебры отношений В. В. Вагнера было введено формальное понятие на контексте «-арного отношения. В настоящей статье получена алгебраическая характеристика решётки понятий частично однозначного отношения.
Работа выполнена при финансовой поддержке INTAS (грант № 99-1224).
102
Статья посвящена дальнейшему развития формального концептуального анализа [2] при его обобщении на «-арные отношения, что представляет собой один из подходов к решению таких известных задач математической кибернетики, как обобщение понятий и распознавание образов. В статье исследуется решётка понятий частично однозначного отношения. Важнейшим примером таких отношений являются базы данных с ключом [3], которые могут рассматриваться как одна из основных областей приложения результатов данной статьи. Главный результат статьи даёт алгебраическую характеристику решётки понятий для таких отношений и раскрывает взаимосвязь формального концептуального анализа с традиционным представлением о родовидовом отношении между понятиями в классической логике [4].
Пусть рсМ|Х...хМ„ - некоторое «-арное отношение и элементы х,- е М^ ,..., х,- еА/,- , 1 < <... <1к < п. Будем говорить, что ¿-система (х,- ) входит в р, если существует «-система (х1,х2,...,хп) е р, в ко-
торой элементы х(| ,...,х1к присутствуют в качестве соответствующих компонент. Если к = \, то просто говорим: элемент х,- еМ{, !</<«, входит в р.
Конечные непустые подмножества натуральных чисел 1 < <... < ¿к будем обозначать ¡к = (г,,'-.,...,¡к), в частности, /, =г,, п = (1,2,...,и). Результаты булевых операций над данными множествами обозначим следующим образом: = 4 и , ¿к * =1кп/у, ¿к \ js = 4 \ Л ■ Указанные множества будем использовать в качестве индексов, обозначая Л/(. := х...хМ/к,
х1к :=(х/,'х12 <-'х1к )•
Пусть р с: М-, 1 < к,х < и, сг^еА/^, X с Му . Введём следующие
обозначения:
*]к (Р)={^ е М]к | х1к входит в р},
)(р) = {(х1,...,х„)ер| а-и входит в (х1,...,хл)},
В. В. Вагнером [5]);
p¡|J (X) — результат последовательно взятых дуальных срезов
Подмножество X с М1 будем называть ¡¿.-понятием и-ар но го отношения р, если существует ]к , 1 < к <п , такой что
(обобщение дуального среза, введённого
Р1,(Р]к(Х)).
где )к — определяющая система атрибутов для ¡^-понятия X.
Будем говорить, что «-арное отношение рс Мп является частично однозначным относительно Л/; , 1<5<и, если каждый эле-мент х1 е М^ входит в р не более одного раза.
В [1] было показано, что в общем случае множество всех -понятий произвольного отношения р1 образует некоторое упорядо-
ченное множество относительно теоретико-множественного включения. С другой стороны, множество ¿1 -понятий с фиксированной определяющей системой атрибутов ук образует решётку [6], и для любой конечной решётки можно построить такое отношение р с Мп , в котором множество ¡3 -понятий }к -атрибута образует решётку, изоморфную данной [7]. В [6] также показано, что если отношение р с Мъ, 1 < 5 < и, является частично однозначным относительно М■ , 1<5<я, то его множество -понятий образует решётку. Во множестве /л. -понятий всегда присутствуют М¡^, 0 и {х; }, для всякого х- еМ; , входящего вр [71. Понятия М? и 0 назы-ваются универсальными, {х- } - индивидуальным, все остальные
-собственными.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть р с Мп - «-арное отношение, частично однозначное относительно М, 1 < .* < и. Множество неуниверсальных г5 -понятий этого отношения по одной и той же системе атрибутов , 1 < к < п, образует разбиение множества щ (р), которое будем обозначать через л,- (р)/л .
Будем писать с ]к и называть подвектором вектора ]к, если 5 < к и множество координат индексного вектора г5 является подмножеством множества координат индексного вектора } к.
ТЕОРЕМА. ПустьрсМй - и-арное отношение, частично однозначное относительно М, и 1 < р < п. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если с ]р, то п1з (р)/]р < (р)Д ;
2) если 71; (р)/ 7 <71? (р)/;- , то Щ(р)/]„ =7С/, (Р)/гТ
5 / ¿Р '3 ] 'ц '5 / Jp '5 I lqJp
СЛЕДСТВИЕ. ПустьрсМ7, - и-арное отношение частично однозначное относительно М1 , р<п, и /, -понятие X в решётке понятий не является атомом. Тогда X покрывает не менее двух -понятий этого отношения. (В частности это означает, что частично упорядоченное
104
множество -понятий в этом случае не может являться цепью, содержащей более трёх элементов.)
Замечание. В классической логике [4] понятия по родовидовому отношению также удовлетворяют условию, указанному в следствии: если в каком-либо виде удаётся выделить собственный подвид, то вместе с ним выделяются и другие подвиды, не менее одного. Это связано с тем, что исследователь, как правило, всегда строит однозначное отношение относительно изучаемого множества объектов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Wille R. Introduction to Formal Concept Analysis / Technische Hochschule Darmstadt. Darmstadt, 1996. Oktober. Preprint № 1878.
2. МейерД. Теория реляционных баз данных. М.: Мир, 1987. 608 с.
3. Аристотель. Категории (а именно «Введение к Категориям финикийца Пор-фирия ученика ликополитанца Плотина»), М.: Гос. соц.-экон. изд-во, 1939. 84 с.
4. Вагнер В. В. Теория отношений и алгебра частичных отображений // Теория полугрупп и её приложения. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1965. Вып. 1. С. 3 - 178.
5. Новиков В. Е. Решётки понятий «-арных отношений // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 4. С. 111-113.
6. Новиков В. Е. О системах замыкания на «-арных отношениях. Саратов, 2002. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 17.04.02, № 717-В2002.
7. Новиков В. Е. Спектральный анализ понятий на w-арных отношениях. Саратов, 2003. 21 с. Деп. в ВИНИТИ 07.10.03, № 1772-В2003.
УДК 681.3.06: 519.766.23
А. А. Орел
ФОРМАЛЬНО ГРАММАТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ XML-CXEM
Существуют две основные технологии для описания схемы XML: Document Type Definition (DTD - описание типа документа) и XML Schema [1, 2, 3]. Технология DTD используется для определения структуры XML-документа, в то время как XML Schema позволяет не только определить структуру, но также и тип данных, которые содержит документ, и любые ограничения, накладываемые на эти данные.
Для построения ХМГ Schema требуется выявление основных понятий предметной области, установление связей между ними и выбор способа их представления средствами XML.
Предлагается следующая технология построения XML Schema, разделенная на три основных этапа. На первом этапе формируется описание предметной области в виде предложений специализированного языка, содержащих определяемые и определяющие понятия, металингвистические конструкции и вспомогательную информацию. На втором этапе получен-
