Спаривание Гильберта для многочленных формальных групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПАРИВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА

ДЛЯ МНОГОЧЛЕННЫХ ФОРМАЛЬНЫХ ГРУПП*

С. В. Востоков1, Е. В. Ференс-Сороцкий2

1. С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

1. Введение

В категории формальных групп есть особый класс формальных групп, играющих важную роль в теории чисел. Это формальные группы, которые выражаются многочленами и поэтому мы их будем называть многочленными формальными группами (м.ф.г.). Легко видеть, что любая м.ф.г. имеет вид Г(X, У) = X + У + аХУ, где а — некоторый элемент из кольца, над которым определена м.ф.г. Такие м.ф.г. связаны, например, с дзета-функциями в квадратичных полях [1].

В настоящей работе будем изучать эти м.ф.г. для целых алгебраических чисел и строить для них в явном виде спаривание Гильберта. Мы дадим основные определения, формулировки теорем и краткие наброски доказательств. Подробные доказательства планируется привести в следующей работе.

2. Простейшие свойства м.ф.г.

Пусть Г = X + У + аХУ — м.ф.г.

А. Логарифмом группы Га будет ряд

где Сп — корни степени п из 1.

В. Как известно, любая формальная группа ^ изоморфна над кольцом определения А р-типической формальной группе [2]. В нашем случае р-типической формальной группой для Еа будет формальная группа ґа,р с логарифмом

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №08-01-00777-а), а также 8РБ478, Mйnster, «Сеоте^всЬе 8^ик±игеп».

(§| С. В. Востоков, Е. В. Ференс-Сороцкий, 2010

п>1

что следует из очевидного равенства 1 + аГа = (1 + аХ )(1 + аУ).

Б. Корнями изогении [п]ра = а-1((1 + аХ)п — 1) будут элементы вида

Кег[п]^ = {£„ = а-1(С„ — 1)},

где

л,л, ар аР\ 2

А Д — о, -\--Д Н---г- Д + ...

р р2

и оператор Д определен как Д(Хт) = Хрт. Разумеется, Еа,р уже не будет м.ф.г.

3. Построение функций Артина—Хассе и обратных к ним для м.ф.г.

Пусть ^ — некоторая формальная группа, заданная над кольцом о, которое предполагаем полным дискретно нормированным кольцом. Функцией Артина—Хассе для ^ будем называть ряд Ер(X) Є о[[Х]], который задает изоморфизм между Xо[[Х]]+ и

X о[[Х ]]р.

Замечание. Здесь Xо[[Х]]+ означает кольцо с обычным сложением элементов, а Xо[^]]р — со сложением по формальному групповому закону ^(X, У):

/(X)+р ) := ^(/,3).

Пусть теперь о — кольцо векторов Витта над конечным полем и ст-автоморфизм Фробениуса на о. Пусть, далее, Д — оператор Фробениуса на кольце о[^]],

Д^™) = ст^^™, а Є о,

и ^а, а Є о, —м.ф.г. с логарифмом А^). Пусть /(X) —произвольный ряд из Xо[^]]. Предложение 1. 1. Ряд

ЕРа(ПХ))= л-1 ((і~Д

где с = 1ішт>і аР (р-ст)+ст-1 принадлежит Xо[^]]. Обратной функцией будет ряд

= (і - ^а) (*№))) Є Хо[[Х]]. (2)

2. Ряды Ера и 1ра осуществляют взаимно-обратные изоморфизмы между Xо[^]]+ и Xo[[X]]р и, тем самым, Efa является функцией Артина—Хассе для м.ф.г. ^а, а 1ра — обратной к ней функцией.

Набросок доказательства. Используя результаты работы [3], находим явный канонический тип для р-типической формальной группы ^а р и строим элемент с. Далее, проверяем, что Ера (/(X)) и 1-Ра(/(X)) Є Xо[^]]. Вторая часть предложения 1 несложно следует непосредственно из задания функций Ера и Я£ра (см., например, аналогичную проверку в [4]).

4. Базис формального модуля

Пусть К — некоторое отношение поля расширений кольца о и т — максимальный идеал кольца целых о к поля К. Предполагаем, как обычно, что поле К содержит ядро изоморфизма [рп]Ра нашей м.ф.г. ^а, т.е. Кег[р”]Ра С ^а(т).

Тогда на формальном модуле -Ра(т) определен стандартным образом обобщенный символ Гильберта

( , )ра,„ : К* х ^а(т) ^ Кег[р”]ра

(см., например [5]).

(/(X)),

(1)

1

Предложение 2. Для м.ф.г. = X + У + аХУ имеем

(а, ар"-1а)Ра,п = 0. (3)

Доказательство. Изогения [р”]Ра имеет вид [р”]Ра (X) = а-1((1 + аХ)р" — 1) = р”Х + • • • + ар -1Хр , поэтому а будет мультипликативной нормой в расширении к (1/Ь”к ар 1а. Отсюда и из основных свойств символа Гильберта (см, например,

[6]) и следует (3).

Пусть п — некоторый простой элемент в К и £ = а-1(£рп — 1) —первообразный корень изогении [р”]Ра (см. выше). Пусть о7 —кольцо целых подполя инерции поля К. Для а € К и в € ^а(т) и разложений а = ^4>т а*п®, а* € о7, ат —единица в о7, /3 = ^>0Ь4тгг, 6* (Е о7, р|Ьсь будем писать а := а(Х), /3 := /3(Х) для рядов

«№ = Е;>т«Д%№=Е;>0№ ~ ~

Предложение 3. Пусть Ь € о7. Элемент

= ЕРа(Ъ[рп](С))\х=7Г

является р”-примарным в формальном модуле ^а(т), т. е. К (1/[р”]Ра (^ь)) / К — расширение неразветвленное, степени р”, и для символа Гильберта имеем (п, ^ь)Ра,п = [ТтЬ]Ра (£), где Тг : о ^ Zp —оператор следа. Доказательство будет дано в следующей работе.

Пусть е — индекс ветвления поля К, в1 = е/(р — 1) и Ь € о.

Теорема 1. Элементы

|ар -1п®, ^ь | 1 < г < ре1,р { г | (4)

образуют базис формального модуля ^а(т) над Zp. При этом

(п,аР"-1п^^ ” = 0, (п,^ь)^,” = [ТгЬ](£). (5)

Доказательство. То, что элементы (4) образуют базис ^а(т), следует из свойств арифметики формального модуля -Ра(т) (подробнее см. в следующей работе). Относительно равенств (5) см. выше предложения 2 и 3.

Замечание. Базис (4) не является каноническим, т. е. разложение элементов по этому базису не будет как для базисов Шафаревича однозначным по шоё [р”]Ра (-РЦт)) (см. [7]).

5. Явное спаривание на формальном модуле -Ра(т)

Построим спаривание

(, )Ра, ” : К * х Я,(т) ^ Кег[р”]Ра

по следующей формуле:

(а,в)Ра,” = [Тг{а, в}](£), (6)

где

{«,/?} = ге8хФа1/3(Х) (рщу + ,

Фа,/з(Х) = £Ра (/3)а 1да - £(о)д—£Ра (/3), - V ~

для а £ К*, £Ра((3) определен в (2), д := Определение рядов а и [3 дано перед предложением 3.

Предложение 4. Имеют место равенства

Можно показать, что у ряда 1/([р"]Ра(£)) + (р — 1)/2а коэффициенты при степенях, взаимно простых с р, делятся на р” (см. для сравнения [4]). Поэтому достаточно доказать,

на р”. Проверка проводится, исходя из определения функции Іра(X) (см. (2)) и явного вида элемента с (см. (1)).

2. Равенство (8). По определению примарного элемента и спаривания (, }ра,п имеем

2. Спаривание (, }ра,п не зависит от выбора простого элемента п и от способа разложения элементов а и в в ряды по простому элементу п.

Доказательство. Первый пункт легко следует из определения спаривания (, }ра,п. Доказательство второго пункта будет проведено в следующей работе.

6. Основная теорема

Теорема 2. Спаривание (, }ра,п совпадает с обобщенным символом Гильберта и задает, тем самым, для последнего явную формулу.

Доказательство .

1. Согласно предложению 4 и теореме 1, значения спаривания совпадают на базисных элементах формального модуля ^а(т), когда первый аргумент является простым

(7)

(8)

что у ряда (ар 1Х®), р { г, коэффициенты при степенях, делящихся на р, делятся

{п,шь} = тевхХ-ЧРа (ЕРа (%"]*,(О))

геях 6X 1 = 6.

Отсюда следует (8), ч.т.д.

Предложение 5. (Основные свойства спаривания (, }ра,п.)

1. Спаривание (, }ра,п линейно по обоим аргументам, т. е.

(аіа2, в}Ра,” = (аі,в}Ра,” +Ра (а2,в}Ра,”, (аГ ,в}Ра,” = [г]Ра ((Л в}Ра,”) , Г Є ^р, (а в1 +ра в2}Ра,” = (а,в1}Ра,” +Ра (^ в2}Ра,” (а, [г]в}Ра ,” = [г]Ра ((а, в}Ра,”) , Г Є ^Р .

(9)

(10)

(11)

(12)

элементом п. Отсюда и из независимости спаривания (, )Fa,n от способа разложения элементов в ряды по п следует, что

(n,e)Fa,n = (n,e)Fa,n

для любого в G Fa(m).

2. Переход в первом элементе от п к любому элементу a G K* доказывается с использованием инвариантности спаривания (, )Fa,n относительно выбора простого элемента. Именно, пусть a = пте, е — единица поля K. Теперь, обозначая т = пе, получим

(a, в)п = (пт-1т, в)п = (пт-1,в)п +Fa (т, в)п =

= (п“-1,в)П +Fa (т,в)Т = ^"S^Fa.n +Fa (т,в^,П = K^Fa.n

Теорема доказана.

Замечание. Для произвольного целого алгебраического числа a, взаимно простого с фиксированным простым р, получаются аналогичные, но гораздо более сложные результаты. Размеры данной статьи не позволяют привести их здесь, и мы предполагаем публиковать их в следующих работах.

Литература

1. Honda T. On the theory of commutative formal groups, Journal of the Mathematical Society of Japan (2). 1970. Vol. 22. P. 213-246.

2. Hazewinkel M. Formal Groups and Applications. New York: Academic Press, 1978.

3. Бондарко М. В., Востоков С. В. Явная классификация формальных групп над локальными полями // Труды Математического Института имени В. А. Стеклова. 2003. Т. 241. С. 43-67.

4. Востоков С. В. Норменное спаривание в формальных модулях // Известия АН СССР. Сер. матем. Т. 43. Вып. 4. 1979. С. 765-794.

5. Fesenko I., Vostokov S. V. Local Fields and Their Extensions: A Constructive Approach // Translations of Mathematical Monographs. Vol. 121. AMS, 1993.

6. Колывагин В. А. Формальные группы и символ норменного вычета // Известия АН СССР. Сер. матем. Т. 43. Вып. 5. 1979. С. 1054-1120.

7. Шафаревич И. Р. Общий закон взаимности // Математический сборник. Т. 26 (68). Вып. 1. 1950. С. 113-146.

Статья поступила в редакцию 10 октября 2009 г.