Арифметика гиперболических формальных модулей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.741

Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 3(61). 2016. Вып. 3

АРИФМЕТИКА ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФОРМАЛЬНЫХ МОДУЛЕЙ

Р. П. Востокова1, П. Н. Питаль2

1 Балтийский государственный технический университет «ВОЕНМЕХ» им. Д. Ф. Устинова, Российская федерация, 190005, Санкт-Петербург, ул. 1-я Красноармейская, 1

2 Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

В работе рассмотрены гиперболические формальные группы, происходящие из теории эллиптических кривых, с точки зрения теории формальных модулей. В первой части работы изучены свойства гиперболических формальных групп: даны явные формулы для формальных логарифма и экспоненты, изучена их сходимость. Во второй части найдена изогения, ее ядро и высота, построен р-типический логарифм. Далее построены экспонента Артина—Хассе и функция Востокова, проверена корректность их построения и основные свойства. Библиогр. 4 назв.

Ключевые слова: гиперболические формальные модули, формальные модули, формальные группы.

Введение. В теории эллиптических кривых есть особый класс так называемых гиперболических кривых. Уравнение Вейерштрасса в проективной плоскости для таких кривых имеет вид

У 2Z + ц1 XYZ = X3 + ц2Х 2Z.

В настоящей работе мы изучаем формальные группы, соответствующие этим кривым. Мы строим основные арифметические характеристики этих формальных групп — логарифм и экспоненту (см. п. 1), исследуем их сходимость в полных дискретно нормированных полях (см. п. 1.3). Далее мы находим изогению и ее ядро для гиперболических формальных групповых законов (см. п. 2). Наконец, в целях нахождения явных формул спаривания Гильберта для гиперболических формальных модулей, построенных на максимальном идеале кольца целых локального поля, строим р-типический логарифм, функцию Артина—Хассе и обратную к ней функцию Востокова (см. п. 3).

1. Логарифм и экспонента гиперболического группового закона. 1.1. Инвариантный дифференциал. Для формальной группы Г(Х,У) над кольцом А инвариантным формальным дифференциалом называется дифференциальная формальная форма вида ш(Х) = Р(X)СХ € А[[Х]]СХ такая, что выполняется ш о Г(Х, У) = ш(Х) (подробнее см. в [1, с. 125]).

Для любого формального ряда Р[Х] € А[[Х]], удовлетворяющего равенству Р(Г(Х,У))Г(Х,У)х = Р(Х), дифференциальная форма ш(Х) = Р(Х)СХ будет формальным дифференциалом (здесь под Гх мы понимаем формальную производную Г(Х,У) по первой переменной). Если справедливо Р(0) = 1, дифференциальная форма ш называется нормализованным инвариантным дифференциалом и обозначается П.

Известно, что для любой формальной группы Г над кольцом А существует единственный нормализованный инвариантный дифференциал вида П = Гх(0,Х)-1СХ, а все остальные инвариантные дифференциалы имеют вид аП, где а € А (см., например, [1, с. 125]).

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2016

1.2. Логарифм и экспонента формальной гиперболической группы.

Для гиперболических эллиптических кривых соответствующая формальная группа имеет вид (см. [2])

Х + У-И1ХУ 1+^ХУ '

Замечание. В дальнейшем будем предполагать, что уравнение Т2 — ¡л\Т — ¡л2 = 0о (где О —кольцо, над которым мы рассматриваем разрешимо в О и а,Ь €

О —корни этого уравнения. Тогда будем иметь = а + Ь, ¡л2 = —аЬ, и, следовательно

Х+У-^ХУ _ Х + У ~{а + Ъ)ХУ аЯ' 1+/и2ХУ ~ 1 — аЪХУ

Логарифм формальной группы Еа,ь, который является изоморфизмом из Еа,ь в аддитивную формальную группу Оа = X + У, задается с помощью нормализованного инвариантного дифференциала О, как формальный интеграл: Хра ъ = / О (см. [3, с. 1058]). а '

Для вычисления нормализованного инвариантного дифференциала О найдем

аЬУ2-(а + Ь)У + 1 (1 — аЪХУ)2 ■

Тогда дифференциал будет равен

Ора,ъ (X) = Га,ь(0, Х)-^Х = (аЬХ2 — (а + Ь)Х + 1)X

(,.1,^2 , . . dх

(1 — аХ )(1 — ЬХ)'

Пусть выполняется а = Ь, тогда будем иметь

(1Х 1 ( 1 1 \ „ (1Х

(_ ^^ ¿Х = ^-У {ап+1 - 6-+1) -X". 11 — аХ 1 — ЬХ 1 а — Ь '

(1 — аХ)(1 — ЬХ) (а — Ь)Х \,1 — аХ 1 — ЬХ ) а — Ь^>о

Формально проинтегрировав последний ряд, получим

, ._„ (ап+1 _ Ьп+!)

X РаЬ(Х) = (а-ЬГ1-^(--а^Ь

' ^—' п +1

п>0

или

ХК,Ь{Х) = (а - ЬУ1- (\оё

Вычислим теперь формальную экспоненту для формальной группы ^ь, которая является обратной по суперпозиции к ряду Хра ъ:

ехр(аХ) — ехр {ЬХ) еРа-ь [ ' ~ а ■ ехр (аХ) - Ъ ■ ехр {ЬХ)'

Замечание. Несложно проверить, что при а = Ь логарифм формальной группы Еа,а будет равен Хра а = а-1^п> апХп, что в точности соответствует общему случаю, если записать Хра ъ в виде

= (а - Ь)"1 • £ • - Е (± •

п>0 п>0 \к>0 )

Аналогичное замечание верно и для экспоненты вра а (Х).

1.3. Области сходимости формальных экспоненты и логарифма.

Пусть О — полное дискретно нормированное кольцо нулевой характеристики и v — нормирование в О. Пусть M — максимальный идеал О, а p = Chai(O/M) —характеристика его поля вычетов (мы будем предполагать, что это не ноль).

Зададим кольцо О как О = О® Q и продолжим v на тензорное произведение естественным образом:

v(a ® b) = v(a) + ordp(b) • v(p), a eO, b e Q.

Пусть \\x\\p = pv(x) —норма на О, где р e R, 0 < р < 1. Изучим сходимость формальных степенных рядов f (X) = Еn>0 anXn с коэффициентами из О по норме У \\р. Известно (см., например, [1]), что

DV1) для всех натуральных чисел п справедливо неравенство i>(n\) ^ г/(р) •

DV2) ряд f = Еn>0 an сходится тогда и только тогда, когда имеет место равенство lim v(an) = ж;

DV3) пусть ряд f (x) = Еn>о anxn сходится на множестве A, и при этом существует N e N такое, что для всех натуральных чисел n = N и для всех элементов x из множества A верно v(anxn) ^ v(anxN); тогда для всех x из A также верно v(f (x)) = v (aN xN).

Пусть имеем a, b, c, ai, bi e О. Введем следующие обозначения: Dr = {x e О\v(x) > r};

Bf(x) = Diog (rf ) —экспоненциальный круг сходимости ряда f(x), если {x e О\ \\x\\p < rf(x)} —круг сходимости ряда f (x);

PL{x) = £ ^x«;

n > 1

PE{x) = E ЬхП-

n> 1

ME(x) = E

n! >1

MEa,b(x) = ME((a - b)x) - 1; MHLa(x) = E (a)n-1 xn;

n>1

MLa(x) = E

n> 1

НЬа}ь{х) = (6 - а) 1 Е " х";

для последних четырех рядов можно рассматривать ACf (х) — множество значений параметров (а, 6), при которых ряд I(х) сходится на границе круга сходимости;

ф = и(р)/(р - 1);

(I(X))п — п-й член ряда I(х) = Е апхп.

п> 0

Предложение 1.1. Справедливы утверждения:

a) БрЬ{х) = {х е 6\V(х) > 0};

ряд РЕ сходится в каждой точке области Вг^, причем если выполняется

р-1

Ь1 е 6*, справедливо v(PE(x)) = V(х) при х е ВРЕ(х); Щ Вме(х) = ряд МЕ расходится на границе круга.

Доказательство. а) Воспользуемся ВУ2 и изучим предел нормирования общего члена ряда на бесконечности, учитывая ап € О: ь>(РЪ(х))п = V ^ п ■

v(x) — V(п) ^ п ■ V(х) — (logp(n))v(p) ^ ж при п ^ ж.

b) Воспользовавшись ВУ1 и 6„ е О, получим 1/(РЕ(х))п = V (^■х") ^ пи{х) — 1у(п\) ^ п1у(х) — (п — 1) • = 1у(х) + (п — 1) • {г/{х) — • Очевидно, что

при г/(ж) > выполняется 1/(РЕ(х))п ^ v{x) + (п — 1) • (г/(х) — ^у) —> оо при п ^ ж. Более того, имеем V (РЕ(х)п) > V(х) Уп ^ 2, поэтому, учитывая v(PE(x))l = v(bl ■ х) = v(x), в соответствии с ВУ3, получаем V(РЕ(х)) = v(x) при v{x) >

c) В предыдущем пункте мы доказали С Вме- Предположим, что обратное

р-1

неверно, тогда в Вме должна по меньшей мере содержаться граница В т. е.

р-1

для любого г € {в € 0\ 1/(в) = ^у} ряд МЕ(т) сходится. Это эквивалентно v(ME(т))п ^ ж при п ^ ж. Выделив подпоследовательность, окончательно получим v(ME(т))рт ^ ж при т ^ж. Проверим, что это не так:

Ит 1/(МЕ(т))рт = Иш ( рт- 1/(р)Ур'

т^ж т^ж \ р — 1 ' ^

\ п=1

т1

Ит („(р)' ^

т^ж у ур — 1 р — 1 ; ; р — 1

Таким образом, мы нашли явное противоречие, заодно изучив поведение ряда на границе.

□

Из предложения 1.1 непосредственно вытекает следствие. Следствие 1.2. Пусть имеем а, 6 е6. Тогда справедливы следующие утверждения:

Вмиьа(х) = Bo, Асмиьа(х) = {а е 6\г/(а) > 0}; Вмьа(х) = Bo, Асмьа(х) = {а е 6(а) > 0};

ВиьаАх) = Во, АСиьа,ь (х) = 6х6\ {(а, 6) \ а,6 е6, v(a) + V (6) = 0};

ВмЕаЬ(х) = Вф-^(а-ь), АСмЕа, ь(х) пусто.

Теорема 1.3 (Сходимость формальных логарифма и экспоненты). Пусть Еа,ь(Х, У) = (X + У — (а + Ь)ХУ)/(1 — аЬХУ) — гиперболический формальный групповой закон над 6, тогда справедливы утверждения:

1) логарифм ъ(х) = (а —Ъ) 1 • Е ~—-- ' х"+1 расходится, только если

а' п^о п

выполняется V(аЬх) = 0, и сходится во всех остальных случаях.

2) экспонента ераЬ(х) = а ^^|-ь^ехр^ьх) 6 слУчае а, Ъ сходится при г/(ж) >

— — Ь) и расходится в остальных точках, в случае а = Ъ ^ 0 расходится только лишь в точке 0, и, наконец, если а = Ь = 0, сходится во всех точках.

Доказательство. Формальный логарифм Хра ъ совпадает с ИЬа Ь, для которого мы уже доказали требуемое в следствии 1.2.

/г. ехр (а — ь)Х — 1

Формальная экспонента определяется равенством ераЬ = аех-р(а-ь)х-ь = Ъа.мЕа'ъ-ъ ■ В случае х € -С^-^а-ь) РЯД МЕа^ сходится, согласно следствию 1.2, а значит, если выполняется аЫЕа^ = Ь (что, очевидно, возможно только при а = Ь), экспонента сходится как отношение сходящегося и ненулевого сходящегося. Проверим теперь сходимость на границе круга, т.е. предположим х = ^у — г/(а — Ь). Представим экспоненту в следующем виде:

еР„

Ьа

а ■ а ехр ((а — Ь)х) — Ьа

+а-

О(х)

Заметим, что если О сходится не к а-1, сходится и ряд 1/0, который равен (а ■ а ехр ((а — Ь)х) — Ьа)/(Ь — а) и, очевидно, расходится на границе Офх„(а-ь).

Остается случай а = Ь (предположим пока, что выполняется а = 0). В этом случае будем иметь

^ра, ъ = а

п> 1

а значит экспонента представляется как

апхп,

11

еРа , ъ =

и, очевидно, расходится только при х = 0. В случае а = Ь = 0 мы получаем аддитивный групповой закон с линейной экспонентой. □

2. Изогения, ее ядро и высота, р-типический логарифм. Пусть Га,ь — гиперболическая формальная группа, заданная на кольце А. Вычислим ее изогению [п]а^ь(Х) = вра ъ (п\ра ъ (Х)). После подстановки будем иметь

[п]а,ь(Х )

ехр ((а - Ъ)п{а - Ъу1 ■ (\оШ (га))) - 1

ехр (а - Ь) п(а - Ь)

1

1-ЬХ 1-аХ

Ь

Упростив, получим

Найдем ее ядро:

[п]аь(Х) =

1-ЬХ 1 — аХ

1

1-ЬХ 1 — аХ

Ь

1-ЬХ 1 — аХ

1

а(±Е

1-ьх -

1 — аХ '

Ь

0

1 ЬХ п

(Г^х) -1 = 0^(аС~Ь)Х = С-1^Х

С-1

а( - 6'

где С — корень п-й степени из 1.

1

1

а

а

х

а

п

п

п

п

Теперь изучим ряд [р]а<ь по модулю р, считая р нечетным простым числом:

1-ьх \р _ г

И.,(А-)= ^ - Х'1а-Ь)

(1-ЬХ у b а - аЪРХР - Ъ + ЪаРХР I 1 — аХ J

(ар — bp)(ab)~ ХР ! ХР

— 1j 1 • (ab)

а-Ъ 1 + Хр • °р~1-ьр-1 v 7 1 + ХР ■ Yi2 '

1 a-b

где использованы обозначения = ——+aZX—— = Y1 агЬр~к~г, к = 1,2. Далее

a i=0

раскроем ряд

X р

Si • ИГ1 = Si . (ab)-1 ]Г Х^ . (E2f.

+ 2 n'^1

Таким образом, имеем [p]a}b(X) = g(Xp) mod p, и следовательно высота Fa,b равна 1, т.е. мы доказали следующую теорему.

Теорема 2.1. Гиперболическая формальная группа имеет высоту 1 и изогению

Wa'b(X) = J 1-ьх h

с ядром кег[п]а_ь(Х) = {£„|£„ = ^rj}.

Следствие 2.2. Универсальный p-типический закон, соответствующий Fa,b, имеет логарифм вида

лР — hP

n>0

Теперь будем рассматривать а и Ь, как переменные. Определим операторы Л, Л-1, Д следующим образом:

Д(Ьт) = £рт, где £ € {а, Ь, Х} — переменная (оператор Фробениуса),

Л(Д)=(1-|)Л

Л-1(А)=Г1-^.

р

Предложение 2.3. Универсальный p-типический закон, соответствующий Га,ь, имеет логарифм вида

Ха,ь,р(Х) = (а — Ь)-1Л(Д) ((а — Ь)Х). Доказательство. Это проверяется простой подстановкой:

(а — Ь)-1Л(Д) ((а — Ь)Х) = (а — Ь)-1 (Л(Д)(аХ) — Л(Д)(ЬХ)) =

(а _ ъу1 \ уа—.ХрП-уЪ—-ХрП

рп рп

\п>0 1 п>0 1

пР _ bp

n>0 ^

В дальнейшем нам понадобится и обратный к р-типическому логарифму ряд еа,ь,р, который мы будем называть р-типической экспонентой. Его удобно записать на языке операторов.

Предложение 2.4. Универсальный р-типический закон, соответствующий Га,ь, имеет экспоненту (р-типическую экспоненту) вида

ва,ь,р(Х) = (а — 6)-1Л-1 ((а — 6)Х).

Доказательство. Убедимся, что ряды действительно взаимно обратны:

еа,ь,р (Ха,ь,р(Х)) = (а — 6)-1Л-1 ((а — Ь) ((а — Ь)-1Л(А) ((а — Ь)Х))) =

= (а — 6)-1Л-1 (Л(А)((а — 6)Х)) = (а — 6)-1(а — 6)Х = Х. □

3. Гиперболические формальные модули. 3.1. Экспонента Артина— Хассе. Пусть 6 — полное дискретно нормированное кольцо нулевой характеристики с совершенным полем вычетов, неразветвленное над Жр (тут под р мы, как и ранее, подразумеваем нечетное простое число), и а — автоморфизм Фробениуса на 6. Определим оператор Фробениуса А на кольце Х6[[Х]]:

А(аХт) = а(а)Хрт, а е6.

Пусть Г — формальная группа над 6 высоты Н с логарифмом А и экспонентой е. Зададим на Х6[[Х]] структуру кольца рядов Картье:

I +р д = Г(I, д), I, д е Х6[[Х]].

Пусть Гр — р-типическая формальная группа изоморфная Г с логарифмом Арр. Рассмотрим формальный ряд Л € О [А] такой, что выполняется Ар = Л(Д)(Х). Экспонентой Артина—Хассе и /-функцией Востокова формальной группы Г над 6 будем называть, соответственно, следующие формальные степенные ряды:

1. ЕР(/) = е(Л(Д))(/);

2. ^(/)=Л-1(Д)(А(Я),

где / € Х0[[Х]], а под Л мы подразумеваем обратный по композиции ряд.

3.2. Гиперболическая формальная группа. Пусть Га,ь — формальная гиперболическая группа. Согласно предложениям 2.3 и 2.4 соответствующие ей р-типические логарифм и экспонента имеют вид

Аа , ь ,р(Х) = (а — 6)-1 Л(А)((а — 6)Х); еа,ь,р(Х) = (а — 6)-1Л-1 ((а — 6)Х),

где обозначено

( А ^-1

Л(Д)= 1--р

Формальные экспонента и логарифм имеют вид

а-ьК ' а ■ ехр ((а — Ъ)Х) — Ъ а'ьУ \ V1 ~аХ,

Основываясь на этом, мы можем доказать следующую теорему.

Теорема 3.1. Экспонента Артина—Хассе и ¡-функция Востокова формального гиперболического закона имеют, соответственно, вид

Доказательство следующего утверждения следует непосредственно из лемм 2-4 работы [4].

Теорема 3.2 (Свойства экспоненты Артина—Хассе). 1. EPa b,lPa,b корректно определены, т.е. если справедливо f € X O[[X ]], выполняется Epa , b (f ),lPa, b(f) € XO[[X]], и являются взаимно обратными. 2. Epa, b (f + g) = Epa, b (f) +p Epa, b (g).

Литература

1. Silverman J. H. The Arithmetic of Elliptic Curves // Graduate Texts in Mathematics. SpringerVerlag. 2009. Vol. 106.

2. Buchstaber V. M., Bunkova E. Yu. Elliptic formal group laws, integral Hirzebruch genera and Krichever genera. 2010. arXiv: 1010.0944.

3. Колывагин В. А. Символ норменного вычета в локальных полях // УМН. 1978. T. 33, вып. 6(204). C. 217-218.

4. Востоков С. В. Явная форма закона взаимности // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1978. Т. 42, вып. 6. C. 1288-1321.

Статья поступила в редколлегию 7 октября 2015 г. Сведения об авторах

Востокова Регина Петровна — доцент; [email protected] Питаль Петр Николаевич — аспирант; [email protected]

ARITHMETIC OF HYPERBOLIC FORMAL MODULES

Regina P. Vostokova1, Petr N. Pital'2

1 Baltic State Technical University,

ul. 1-ya Krasnoarmeyskaya, 1, St. Petersburg, 190005, Russian Federation; [email protected]

2 St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; [email protected]

The paper considers hyperbolic formal groups which come out from the elliptic curve theory from the point of view of the theory of formal modules. The first part of the paper considers characteristics of hyperbolic formal groups, certain formulas for the formal logarithm and exponent are given, and convergence is scrutinized. Part two gives us the definition for p-typical logarithm; isogeny, its height and kernel are found. Further on Artin—Hasse function and Vostokov function were constructed, both correctness and their main features were checked.

Using these constructions primary elements in this kind of formal modules can be easily built, which are useful for constructing the Shafarevich basis. As a natural way of evolution, pairing on the hyperbolic formal modules can be explored. To sum up, this is the very first step of deriving explicit formula for Hilbert pairing on these kind of formal modules. The research is to be continued in this particular direction. Refs 4. Keywords: hyperbolic formal modules, formal modules, formal groups.

Доказательство. Простая подстановка легко дает нам заявленное.

□

References

1. Silverman J.H., "The Arithmetic of Elliptic Curves", Graduate Texts in Mathematics 106 (Springer-Verlag, 2009).

2. Buchstaber V. M., Bunkova E. Yu., Elliptic formal group laws, integral Hirzebruch genera and Krichever genera (2010), arXiv: 1010.0944.

3. Kolyvagin V.A., "The norm residue symbol in local fields", Russian Mathematics ¡Surveys 33, Issue 6(204), 239-240 (1978).

4. Vostokov S.V., "Explicit form of the law of reciprocity", Mathematics of the USSR-Izvestiya 13, Issue 3, 557-588 (1978).

Для цитирования: Востокова Р. П., Питаль П. Н. Арифметика гиперболических формальных модулей // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 2016. Т. 3(61). Вып. 3. С. 384-392. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.305

For citation: Vostokova R. P., Pital' P.N. Arithmetic of hyperbolic formal modules. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2016, vol. 3(61), issue 3, pp. 384-392. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.305