Современные подходы к оценке рыночного риска инвестиционного портфеля ценных бумаг Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 336.714 К.В. Филиппов

СОВРЕМЕННЫЕ ПОДХОДЫ К ОЦЕНКЕ РЫНОЧНОГО РИСКА ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ

Проведен анализ современных подходов к оценке рыночного риска при формировании инвестиционного портфеля. Исследованы работы Г. Марковица, Д. Тобина, У. Шарпа., на основе которых в 80-е гг. XX в. была разработана методика оценки рисков портфельных инвестиций, получившая название «Value-at-Risk» (VaR) и исследования П. Артцнера и Ф. Делбайна, на основе которых в конце 90-х гг. ХХ в. метод VaR был модифицирован и предложен метод Conditional Value at Risk (CVaR) и позже Conditional Drawdown-at-Risk (CDaR). Выделены достоинства и недостатки таких методов как историческое моделирование, метод учета рисков инвестиционного портфеля путем вычисления Value at Risk (VaR), метод Монте-Карло (статистическое моделирование), метод на основе Conditional Value at Risk (CVaR), метод на основе меры риска Conditional Drawdown-at-Risk (CDaR).

Ключевые слова: доходность инвестиций, инвестиционный портфель, оценки рисков портфельных инвестиций, стоимость активов.

ш я од риском в экономике понимают потенциальную воз-

-Жж. можность отклонений доходности инвестиций от ожидаемых величин, возникающую в условиях неопределенности [1]. Возможность измерения степени риска отдельных активов и инвестиционного портфеля в целом основывается на предположении, что ожидаемая доходность отдельных активов, составляющих портфель, выражается случайными величинами, распределенными по законам нормального (Гауссовского) распределения. В таком случае математической мерой риска будет распределение вероятностей случайных значений доходности на отдельном отрезке времени, которое наиболее часто принято выражать через дисперсию о2 стандартного отклонения от средней арифметической величины доходности.

Необходимо отметить, что основным недостатком предлагаемых в экономической теории методов оптимизации инвестиционного портфеля является недоучет влияния отдельных факторов риска, а также невозможность выразить его в виде вероятных денежных потерь инвестора при наступлении неблагоприятных событий, учитываемых этим риском.

В качестве компенсации этого теоретического пробела одновременно с развитием теории портфельных инвестиций, существенный вклад в которую внесли работы Г. Марковица, Д. Тобина, У. Шарпа и др., получили свое развитие модели учета риска портфельных инвестиций.

Оценивая совокупный риск инвестиционного портфеля, экономисты пришли к выводу, что он не может быть измерен путем вычисления средневзвешенного показателя величин дисперсии составляющих его активов. Этот феномен они объясняли тем, что совокупный риск инвестиционного портфеля зависит не только от рисков отдельных ценных бумаг, но и от возможности взаимовлияния этих бумаг на доходность друг друга.

Основываясь на этих предположениях, в 80-е гг. ХХ в. сотрудниками инвестиционного банка J.P.Morgan была разработана методика оценки рисков портфельных инвестиций, получившая название «Value-at-Risk», которое можно определить как «мера, значение риска» (далее - методика VaR) [2]. В настоящее время метод VaR является одной из наиболее распространенных методик учета риска инвестиционного портфеля.

В основе метода VaR лежат статистические методы, включающие анализ распределения вероятностей всех возможных величин потерь, характеризующих изменение различных рыночных факторов.

Это определяет достоинства метода VaR по сравнению с подходом к учету рисков, предлагаемым в моделях Г. Марковица, Д. Тобина, У. Шарпа и др. К ним следует отнести:

- возможность измерения рисков величиной потерь, соотнесенных с вероятностями их возникновения, что позволит дать реальную оценку необходимого резервного капитала под риски портфеля;

- возможность универсального (сопоставимого) измерения рисков в условиях различных фондовых рынков;

- возможность агрегирования рисков в единую величину, характеризующую общий риск инвестиционного портфеля, с одновременным учетом информации о количестве позиций, периоде их поддержания и волатильности.

Указанные достоинства метода способствовали его широкому распространению.

VaR как агрегированная мера риска инвестиционного портфеля позволяет оценить максимальные потери инвестора за заданный период времени с учетом заданного распределения факторов риска. Обозначим величину потерь, являющуюся случайной величиной и зависящую от изменения котировок составляющих портфель финансовых инструментов, через Х, а период времени исследования, измеряемый в равных интервалах поддержания рыночных позиций, через t, доходность портфеля, представляющую собой случайную величину, через V. Тогда VaR для заданного уровня доверительности р будет определяться значением потерь за время t с вероятностью р: Р (Х <V) = р. С позиций теории вероятности р является квантилем заданного распределения.

Согласно данному методу, динамика VaR инвестиционного портфеля прямо пропорциональна V t , где t обозначает исследуемый временной интервал (период поддержания позиций). Поэтому для описания динамики VaR в виде функции достаточно вычислить его значение за определенный период времени (например, за 1 день) [3].

Методика учета рисков инвестиционного портфеля путем вычисления VaR требует определения ряда базовых показателей:

1. Вероятностное распределение факторов риска, напрямую влияющих на доходность входящих в портфель ценных бумаг, во времени (р). Требует изучения и анализа данных статистики.

2. Волатильность распределения (т.е. стандартное отклонение), характеризующую риски при допущении, что логарифмы динамики доходности активов подчинены нормальному (Гауссовскому) закону распределения с нулевым средним. К сожалению, на практике данное условие, как правило, не выполняется, что требует дополнений.

3. Доверительный уровень, определяемый как вероятность, с которой возможные потери инвестора не будут превышать VaR (confidence level).

4. Период (шаг) поддержания рыночных позиций t, для которого рассчитывается VaR (holding period).

В настоящее время получили распространение три основных подхода к расчету VaR, которые имеют свои достоинства и недостатки [4]: аналитический подход (иначе называемый методом вариации - ковариации); историческая симуляция; статистическое моделирование (также известен как метод Монте -Карло).

Аналитический метод основан на предположении, что доходность ценных бумаг распределяется во времени по закону нормального распределения. В таком случае допустимо выразить риск портфеля через комбинацию линейных коэффициентов чувствительности доходности к некоему множеству рыночных факторов, и ковариационную матрицу. Для ее построения применяют также несколько подходов:

- используя исторические данные (например, применение для этих целей моделей, учитывающих изменение риска с течением времени;

- с использованием полученных на основе изучения котировок опционов встроенных волатильностей;

- путем комбинации этих подходов.

Далее оценивается вероятное изменение стоимости активов, которое определяется как произведение его чувствительности к изменению цены каждого актива, вычисленному на данный момент, и возможного изменения цен. Достоинством аналитического подхода вычисления VaR является то, что портфель достаточно оценить один раз, с использованием текущих цен.

В последующем оценка VaR активов может быть рассчитана следующим образом:

где [А] - модуль величины изменения стоимости активов; а - квантиль распределения соответствующего уровня вероятности; о - волатильность; Р - текущие цены активов.

Этот метод расчета VaR основан на предположении о линейности входящих в портфель финансовых инструментов. Все, что требуется для расчетов, - это структура активов в инвестиционном портфеле и анализ поведения их текущих позиций за определенный (небольшой) период времени, и построение ковариационной матрицы. Динамику изменения текущих цен составляющих портфель активов можно получить с использованием автоматических систем, обслуживающих фондовые рынки, в том числе и доступных через сеть Интернет (например, RiskMetrics™). Это позволяет построить ковариационные матрицы активов.

Существенным достоинством аналитического подхода к расчету VaR являются простота и доступность метода при достаточной точности для большинства инвестиционных портфелей.

(1)

Недостатками данного метода являются:

- невозможность учета рисков одиночных событий, поскольку они, как правило, не учитываются при расчете распределения вероятностей за короткий промежуток времени, либо существенно искажают информацию;

- для большинства финансовых инструментов характерны значительные отклонения от законов нормального распределения по краям графика распределения, получивших также название «тяжелые хвосты» (fat tails), вследствие чего расчетные значения VaR, как правило, несколько искажены (они могут быть как завышены, так и занижены).

Метод исторического моделирования также имеет свои достоинства и недостатки. Он относится к группе методов полного оценивания и является непараметрическим. В его основе лежит предположение о том, что фондовый рынок в ближайшем будущем является стационарным.

Историческое моделирование включает в себя несколько этапов.

Этап 1. Выбирается определенный ограниченный период времени T (к примеру, 300 торговых дней), который разбивается на равные шаги (например, 1 день). За этот период отслеживаются изменения стоимости всех входящих в портфель ценных бумаг на каждом шаге. Обозначим цену актива как Р, а долю актива в портфеле как i. Строится график динамики цен (T - сценарий) для каждого актива.

Этап 2. На основе исторических данных для каждого Т-сценария симулируется будущая гипотетическая цена активов (обозначим ее как P). Она определяется как сумма текущей цены i-го актива и предполагаемого прироста цены, который соответствует данному Т - сценарию.

Этап 3. Производится оценка всего инвестиционного портфеля с учетом траекторий распределения исторически симулированных цен исторически симулированным ценам. Для каждого сценария вычисляется вероятное изменение общей стоимости инвестиционного портфеля.

Этап 4. Т-сценарии событий сортируются по мере убывания, и, затем, в соответствии с заданным уровнем доверительности определяется та оптимальная структура портфеля, VaR которой, опреде-

ляемый как величина максимально возможного убытка, не превышает допустимую величину.

При применении метода исторического моделирования необходимо помнить, что, с одной стороны, его точность увеличивается с увеличением глубины исследуемого периода Т. С другой стороны, исследование слишком большого промежутка времени может привести к тому, что в основе сценария будут устаревшие данные, заглушающие современные тенденции, что отрицательно скажется на точности прогнозов. Поэтому выбор оптимального временного промежутка является одной из главных задач исторического моделирования.

Существенными достоинствами метода исторического моделирования можно считать:

- позволяет учесть отклонения Т-сценариев от графика нормального распределения, он не учитывает стохастическую модель рынка, следовательно, отпадает проблема «тяжелых хвостов»;

- позволяет произвести полное оценивание инвестиционного портфеля;

- исключает риск использования ошибочной модели оценки активов;

- использует для полного оценивания простой и доступный способ - историческую динамику цен.

Простота и универсальность исторического метода стали причиной того, что в 1993 г. он был выбран Базельским комитетом в качестве базового подхода оценки рыночных рисков.

К основным недостаткам исторического метода необходимо отнести:

- в основе метода лежит изначально спорное предположение о том, что прошлое может быть перенесено на будущее;

- метод позволяет рассмотреть лишь одну траекторию динамики цен, что снижает его точность;

- недостаточная глубина периода времени Т ведет к появлению серьезных ошибок в расчетах;

- метод не учитывает различий влияния устаревших и последних данных динамики цен, в результате чего выбор слишком большого временного Интервала моделирования также ведет к существенным искажениям;

- в случае больших портфелей метод является очень трудоемким, поскольку он требует регулярного отслеживания стоимости

большого количества активов за достаточно большой промежуток времени.

Третий подход, статистическое моделирование, известный также как метод Монте-Карло, представляет собой моделирование случайных процессов по заданным характеристикам. Основным отличием от метода исторического моделирования является то, что сценарии поведения активов строятся не путем изучения исторических данных, а с помощью генератора псевдослучайных величин. Задаются лишь параметры распределения (например, волатильность, математическое ожидание). Этот метод позволяет построить большое число сценариев (десятки тысяч и более). Далее метод напоминает историческое моделирование.

Для симулирования траектории цен отдельных активов могут быть использованы различные модели генерирования псевдослучайных величин. Наиболее распространенными на сегодняшний день являются модель геометрического броуновского движения, экспоненциальное распределение и др. В последнее время также появились генераторы случайных величин, позволяющие не задавать параметры распределения, а использовать непосредственно исторические данные за определенный период времени.

В методе Монте - Карло траектория цен представлена последовательностью симулированных генератором псевдослучайных цен, начиная с текущей (0-шаг) и заканчивая на некотором конечном шаге, выбранном на усмотрение исследователя (например, на 10000-м). Точность прогнозов зависит от количества смоделированных шагов.

После построения сценариев также, как и в методе исторической симуляции, производится полное оценивание инвестиционного портфеля по цене последнего шага. Далее производится оценка VaR.

Существенными достоинствами метода Монте - Карло являются:

- учет случайности динамики рыночных цен, что выгодно отличает его от исторического метода;

- на конечный результат не влияет нелинейность распределения величин, что дает преимущества по сравнению с аналитическим методом;

- возможность анализа нескольких сценариев траектории цен, что существенно повышает точность расчетов;

- универсальность метода (возможность охвата любых гипотетических и исторических распределений).

К основным недостаткам данного метода можно отнести:

- сложность и дороговизну расчетов;

- техническую ограниченность существующих генераторов случайных чисел, которые работают с использованием детерминированных алгоритмов, в результате чего последовательность случайных чисел через некоторое ограниченное количество шагов начинает повторяться (в простейших генераторах это происходит уже через несколько тысяч шагов), что влияет на точность расчетов (для повышения точности моделирования необходимы новейшие, дорогостоящие генераторы).

Анализ метода VaR показал, что необходимо выделить следующие его недостатки, которые присущи ему не зависимо от применяемых подходов:

- метод не позволяет учитывать возможность больших потерь инвестора вследствие наступления событий с малой вероятностью;

- метод не позволяет оперативно учесть корелляцию активов в случае резких изменений рыночной ситуации, характерных для отечественной экономики, поскольку не зависимо от подхода в его основе лежат исторические данные, которые «гасят» эти изменения;

- метод не обладает субаддитивностью. В литературе приводятся примеры расчетов, когда вычисленная VaR портфеля превышает VaR двух его частей, что противоречит здравому смыслуп [5].

Таким образом, метод VaR дает хороший эффект в условиях стабильно развивающихся фондовых рынков. Однако даже при однократном резком изменении рыночных условий применение этого метода может иметь серьезные последствия.

Новым этапом в развитии оценки рисков инвестиционных портфелей стала публикация в конце 90-х гг. ХХ в. исследований П. Артцнера и Ф. Делбайна [6], которые предложили и исследовали новое качество для измерения рыночных рисков - когерентность, обозначающую связь отдельных условий риска между собой. Авторы усовершенствовали метод VaR, предложив его модификацию - Conditional Value at Risk (CVaR).

Согласно предложенной авторами методике, величина риска тогда будет когерентной, когда выполняются следующие четыре условия:

1. р (Х) = р (max (Xi0);

2. p (X+Y) < p (X) + p (Y);

3. выполняется равенство p(XX) = Xp(X) при любых поло-

жительных X;

4. выполняется равенство р(А+Х) = А + р(Х) при любых

положительных Х и А>0.

где Х - случайная величина, выражающая прогнозируемый размер потерь в будущем в некоторый момент времени Т; р - величина риска.

При анализе этих условий, рассматриваемые П. Артцнером и Ф. Делбайном как разумные требования к величине риска, получаем следующие выводы.

Первое условие вытекает из предположения, что риском является не всякое изменение цены актива, а лишь вероятность наступления отрицательных по сравнению с ожиданием последствий. Тогда риск будет измеряться величиной капитала, необходимого для покрытия убытков в случае изменения рыночной ситуации. В таком случае естественным требованием к величине риска является положительное значение потерь Х (отрицательное значение Х будет соответствовать дополнительному доходу инвестора).

Второе условие описывает свойство субаддитивности риска, согласно которому общая величина риска портфеля не может превышать сумму рисков отдельных его частей. Действительно, сложно представить, что величина резерва покрытия рисков портфелей Х и Y может быть больше, чем величина резерва для компенсации риска портфеля (Х+Y). В эффективном портфеле такая величина будет больше общей величины риска портфеля, в неэффективном -равна ей.

Третье условие вытекает из свойства субаддитивности портфелей и означает, что если инвестор имеет несколько абсолютно одинаковых портфелей (Х), то величина риска для них также будет одинакова, а, следовательно, величина риска общего портфеля, состоящего из абсолютно одинаковых частей, должна быть равна сумме величин рисков этих равных частей.

Четвертое условие предусматривает, что если мы заранее предполагаем увеличение потерь на определенную величину А, то общий риск определенных и вероятных потерь должен быть равен сумме риска вероятных потерь и предполагаемой известной величины потерь.

Если применить эти условия к VaR, то станет очевидным, что данный показатель не всегда обладает свойством когерентности. Этого недостатка при некоторых ограничениях лишен предложенный авторами показатель CVaR (Conditional Value-at-Risk).

Он определяется как условное математическое ожидание величины потерь при условии Х^, которое может быть выражено следующим образом:

CVaRa( X) = E (X\X>q), (2)

где Х - размер потерь инвестиционного портфеля через период времени N; q - величина, равная VaRa(X); а - квантиль распределения соответствующего уровня вероятности.

Следует отметить, что показатель CVaR является более консервативной величиной по сравнению с VaR, поскольку его величина для одного и того же уровня а будет выше. Достоинством CVaR является то, что он позволяет учитывать возникновение больших потерь, возможных с малой долей вероятности. Т.е. если VaR показывает наиболее вероятную величину риска, то CVaR характеризует максимально возможный размер потерь. Это решает проблему распространенных на практике случаев отклонения рисков от графика нормального распределения (проблему «тяжелых хвостов»).

Недостатком CVaR является невозможность учета рисков с течением времени.

Сходным с методом CVaR является мера риска CDaR (Conditional Drawdown-at-Risk), предложенная отечественными исследователями [7].

CDaR определяется как средняя величина CVaR для части убытков инвестиционного портфеля (1-а) х 100 %, где а - соответствующий уровень вероятности наступления этих потерь. При этом значение функции убытков определяется как вероятное снижение доходности инвестиционного портфеля по сравнению с максимальным уровнем доходности за определенный промежуток времени. То есть CDaR определяет сумму убытков, в то время как CVaR - процент убытков от цены портфеля.

Общим недостатком моделей определения размеров риска инвестиционного портфеля является то, что они рассчитаны на определенный сформированный портфель, в то время как модели оптимизации портфеля позволяют оценивать эффективность соотношения финансовых инструментов в портфеле, что также необходимо

для решения задач управления. Очевидно, что при решении задач оптимизации эти модели должны использоваться в разумном сочетании. Основной сложностью при этом представляется формирование целостной, взаимоувязанной системы, представленной в виде единого пакета программного обеспечения, включающего в себя комплекс методов управления инвестиционным портфелем, достаточный для принятия адекватных решений в каждый определенный момент времени.

Кроме того, следует отметить их недостатки, снижающие их эффективность для условий российского фондового рынка, а именно тот факт, что большинство моделей разработаны экономистами стран с развитым фондовым рынком, и рассчитаны на действие в стабильных условиях. Следовательно, требуется формирование механизмов адаптации западных моделей к российским условиям фондового рынка, находящегося в фазе развития и наиболее актуальной остается задача оптимизации инвестиционного портфеля в условиях развития российского фондового рынка.

---------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Боди З., Мертон Р. Финансы / Пер. с англ. - М.: Вильямс. 2003. С. 148 -152; Виленский П.Л., Лившиц В.М., Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов. - М.: Дело. 2002. С. 94 - 95; Крушвиц Л. Инвестиционные расчеты / Пер. с нем. - СПб: Питер. 2001. С. 67-71 и др.

2. См. подробнее: Лобанов А., Порох А. Анализ применимости различных моделей расчета Value-at-Risk на российском рынке акций // РЦБ. 2001. № 2. С.65-70.

3. Мищенко В.В. Оптимизация портфеля ценных бумаг по уровню терпимости риска инвестором // Омский научный вестник. 2002. Вып. 20. С. 148-151.

4. Фролькис В. Введение в теорию и методы оптимизации для экономистов. - СПб.: ИД «Питер», 2002. С. 189.

5. Balasanov Y. VаR is not appropriate measure for risk and economic capital. -Bank of America working report. 1999.

6. Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. Coherent Measures of Risk. -1998, Preprint; Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. Definition of Coherent Measures of Risk, 1997, Symposium on Risk Management at the European Finance Association 24th Annual Meeting. - Viena, Austria. 1997.

7. Chekhlov A., Uryasev S., Zabarankin M. Portfolio Optimization With Drawdown Constraints.B. Scherer (Ed.) - London: Asset and Liability Management Tools, Risk Books, 2003. http://www.ise.ufl.edu/myasev/ drawdown.pdf. nsrj=i

К. V Filippov

MODERN APPROACHES TO AN ESTIMATION OF MARKET RISK OF AN INVESTMENT PORTFOLIO OF SECURITIES

The analysis of modern approaches to an estimation of market risk is carried out at formation of an investment portfolio. Works of Markovits, Tobina and Sharp are investigated., on which basis in 80th of XX century the technique of an estimation of risks of portfolio investments, received the name «Value-at-Risk» (VaR) and researches of P.Artzner and Delbayn on which basis in the late nineties XX century method VaR has been modified and offered method Conditional Value at Risk (CVaR) and later Conditional Drawdown-at-Risk (CDaR) has been developed.

In this research we have shown Merits and demerits of such methods as historical modelling, a method of the account of risks of an investment portfolio by calculation Value at Risk (VaR), a method of Monte-Carlo (statistical modelling), a method on the basis of Conditional Value at Risk (CVaR), a method on the basis of a measure of risk Conditional Drawdown-at-Risk (CDaR) are allocated.

Key words: investment return, investment portfolio,risk estimation for the portfolio investments, asset value.

— Коротко об авторе ---------------------------------------------

Филиппов К.В. - аспирант кафедры АСУ, Московский государственный горный университет. [email protected]