Модели портфельного инвестирования с применением асимметричных мер риска и генетических алгоритмов Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

48 (90) - 2011

Математические методы анализа

в экономике

УДК 519.865.5

МОДЕЛИ ПОРТФЕЛЬНОГО ИНВЕСТИРОВАНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ АСИММЕТРИЧНЫХ МЕР РИСКА И ГЕНЕТИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ

А. Г. ИСАВНИН,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математических методов в экономике Е-mail: isavnin@mail. ru

Д. Р. ГАЛИЕВ,

студент факультета прикладной математики и информационных технологий Е-mail: damir. galiev@mail. ru Казанский (Приволжский) федеральный университет, филиал в г. Набережные Челны

Статья посвящена использованию альтернативных мер риска при построении моделей портфельного инвестирования. Рассмотрены асимметричные, когерентные и комплексные меры риска. Проведен сравнительный анализ эффективности различных метрик. Для решения оптимизационных задач были использованы генетические алгоритмы. Эксперименты проводились с данными по активам, которые торгуются на российском фондовом рынке.

Ключевые слова: портфельное инвестирование, асимметричные меры, риск, алгоритм.

Выбор оптимального инвестиционного портфеля является ключевой задачей в деятельности коммерческих банков, пенсионных фондов, страховых компаний и др. Основной целью исследования является анализ эффективности альтернативных мер риска в задачах выбора оптимального инвестиционного портфеля.

Большинство из рассмотренных мер риска являются асимметричными и в отличие от симметричных мер отражают риск движения цен в негативную сторону. Под негативной стороной понимается снижение цен при длинных позициях в портфеле и повышение цен при коротких позициях в портфеле.

Определим основные переменные, которые будут использоваться далее. Пусть х = (х1, х2,..., хп) -вектор, определяющий структуру инвестиционного портфеля, п - количество активов в инвестиционном портфеле. При этом

х = еТх =1

1=1

где е - единичный вектор-строка размерности

1х п.

Доходности активов являются случайными величинами и характеризуются вектором

г = (г1, г2,..., гп). Очевидно, что доходность инвестиционного портфеля равна

п

R = Е г X = гТ х-

1=1

Иногда вместо средней доходности используют альтернативные меры: прогнозы доходности по моделям временных рядов [4], оценку потенциала роста, оценку доходности по Блэку-Литтерману [12]. В предлагаемом исследовании авторы использовали оценку Блэка-Литтермана, так как считают ее наиболее удачной для применения на практике [2]. Пусть - и Risk0 - нижняя граница доходности портфеля и верхняя граница определенного вида риска соответственно. Часто в качестве этих величин берут доходность бенчмарка Явм и риск бенчмарка RiskBM . В качестве бенчмарка могут выступать различные фондовые индексы (индекс ММВБ, индекс РТС). Рассмотрим более подробно некоторые меры риска.

Мера риска Value-At-Risk Значение VaR

отражает величину убытка, которая соответствует нижнему квантилю распределения доходности портфеля для заданной вероятности а. Этот показатель стали активно использовать в финансовом риск-менеджменте после выхода международного документа Базель II [3]. В этом документе VaR является одной из рекомендуемых мер для количественной оценки риска. Значение VaR для доверительного уровня а рассчитывается по формуле VaRа(R)=-# (а)Ж, где 1 - кумулятивная функция распределения величины Я;

Ж - значение капитала инвестора в денежном выражении.

С точки зрения теории вероятностей величина VaR является а-квантилем распределения доходности. Другими словами, убыток портфеля не превысит величину VaRа (Я) с вероятностью 1 - а. Обычно на практике принимают значение а = 0,05. Статистическая оценка VaR, которую авторы использовали в задачах оптимизации, рассчитывается следующим образом:

VaRа ^)= гТх - 1.645ТХЙх, где 1,645 - квантиль нормального распределения для вероятности а = 0,05; V - матрица ковариаций исторических доход-ностей.

Данная оценка справедлива для случая, когда доходности активов обладают нормальным рас-

пределением. Величина VaR обладает определенным недостатком - она не удовлетворяет свойству полуаддитивности когерентной меры риска [11]: риск портфеля может превышать сумму рисков подпортфелей или инструментов.

Мера риска Conditional Value-at-Risk (CVaR). Одним из направлений развития методологии VaR является CVaR, он отражает среднее значение убытков, которые могут превысить VaR. Так, CVaR для а-уровня рассчитывается по формуле [11]

CVaRa [f (r, х )] = M [ f (r, x )|f (r, x )> VaRa(R )], где M - математическое ожидание.

В качестве функции потерь, в самом простом случае, выступает величина отрицательной доходности портфеля, которая равна

f (r, х )= -rT х = -R.

Эта мера риска является когерентной и позволяет более адекватно оценивать риск портфелей и отдельных активов, которые обладают распределением доходности с «тяжелыми хвостами». Понятие когерентной меры риска было предложено относительно недавно [6]. Пусть X - случайная величина, выражающая размер возможных потерь в будущем. Когерентной была названа мера риска р, обладающая следующими свойствами: р(Х )=p(max (X ,0)),

р(Х + Y )<р(Х )+p(Y ),

VA,> 0: р(АХ )=А,р(Х ),

VB > 0: р(В + Х) = B + р(АХ).

Эти условия являются вполне логичными требованиями, которые следует применять к мерам риска.

Среднее абсолютное отклонение (Mean Absolute Deviation, MAD). Использование показателя MAD представлено, например, в работе [9]. Еще в 1991 г. были разработаны модели выбора оптимального инвестиционного портфеля, где в качестве основной меры риска выступала величина MAD. При этом предполагалось, что доходности активов в портфеле распределены нормально. Основное преимущество модели на основе этого показателя заключается в отсутствии необходимости рассчитывать матрицу ковариаций доходностей активов. В работе [7] было показано, что модели с минимизацией MAD дают результаты, близкие к результатам моделей, в которых минимизируется дисперсия. Для оценки MAD применяется следующая формула:

MAD (R)=M (R - MR\)

Статистическая оценка MAD находится следующим образом:

„ 1 N

MAD (R ) = N gfa - R| )

где R1,R2,...Rn - выборка случайной величины R, 1 N

а R = - У R,. Nil

Комплексные меры риска (Complex Risk Measures, CRM). Так называемые комплексные меры риска были предложены Ю. В. Куреленковой. Они позволяют объединять показатели CVaR и MAD. Например, один из таких показателей можно рассчитать по формуле

CRM (R) = CVaRa (R)- fiMAD (R), где коэффициент p > 0 позволяет изменять вес меры рассеяния при вычислении комплексной меры риска. В рассматриваемых авторами экспериментах

Р = 0,1.

Нижние частные моменты (Lower Partial Moments, LMP). Мера риска LMP определяется двумя параметрами: показателем степени k и целевой доходностью т. Для определенной величины R, значение LMP рассчитывается следующим образом:

LMPxJc = M [(т- R)k | R < т]P (R < т).

Если примем значения величин т = MR, k = 1, k = 2, то получим значения полувариации и полудисперсии соответственно:

SD (R) = M [(R - MR)| R < MR]P (R < MR),

SV (R) = M [(R - MR)21 R < MR] P (R < MR)2.

Статистические оценки SD(R) и SV(R) находятся по формулам:

1 T —

SD (R ) = - У min [(R - R ),0],

1 T _ 2

SV (R ) = - У min [(R - R ),0] .

T i=i

В качестве типичных значений т часто используют безрисковую ставку доходности или нулевую доходность. Эти величины означают риск потери относительно альтернативных издержек и риск абсолютных потерь соответственно. Показатель k в данном случае является параметром неприятия риска. Более подробные сведения о LPM изложены в [10].

Функция полезности, ориентированная на потери (Loss-oriented Utility Function). Класси-

ческая модель оптимизации портфеля ориентирована на максимизацию функции полезности. Инвестор предполагает максимизировать полезность u(R) распределения доходности портфеля, т. е. M (u(R)) ^ max .

Этот подход построен на основе работы Д. Неймана и О. Моргенштерна [5]. Функция полезности Неймана-Моргенштерна имеет квадратичную форму. Однако квадратичная форма - не единственный вид функции полезности. В работе [9] показано, что функция полезности u (R) должна обладать как минимум следующими свойствами: u' > 0, u" < 0, u'" > 0. Например, u (x) = -exp (-x) -один из возможных видов функции полезности. В зависимости от целей могут быть составлены и другие функции, более полно отражающие риск. Например, с помощью функции полезности отражаются отрицательные отклонения от среднего значения. Целевую функцию для задачи выбора портфеля можно записать так: M [u (R - MR)] ^ max. Статистическая оценка функции полезности M [u (R)] выглядит следующим образом:

M

— 1 T _

[и (R - R)]=7У-ехр (-х< + х)

T t=1

Величина просадки как оценка риска (Conditional Drawdown-at-Risk, CDaR). Впервые возможность использования величины просадки в качестве меры риска была показана в работе А. Чехлова, С. Урсаева и М. Забаранкина из университета Portfolio optimization with drawdown constraints (США, штат Флорида) [7]. Просадка - снижение стоимости портфеля относительно исторического максимума стоимости. В данном случае, функция просадки имеет вид

f (x j )=

max

i<k < j

У|1+У

"1511+5 * J* I

Величина CDaR является ожидаемым значением (1 - а) процентов просадок и может быть вычислена с использованием следующей формулы:

CDaRa (x, п)=П + (1 -а)"1 5 [max (0, f (x, j )-n)],

м

где n - порог просадки, т. е. величина падения стоимости портфеля, превышение которой можно считать просадкой.

Рассмотренные авторами модели риска обобщены в табл. 1.

1=1

t=i

Таблица 1

Некоторые асимметричные меры риска

Мера риска Формула

Value-at-Risk (VaR) VaR«(R )=- Fr-(a)W

Conditional Value-at-Risk (CVaR) WaR« (f (r, x)) = M (f (r, x) | f (r, x) > VaRa (R ))

Mean Absolute Deviation (MAD) MAD (R) = M (R -MR\)

Complex Risk Measure (CRM) CRM (R) = CVaRa (R)-ßM4D (R)

Нижние частные моменты (LMP) LMPTk = M[(т-R)k | R <T]P(R <T)

Полудисперсия (LMP при k=2) SV (R ) = M [(R - MR )2 | R < MR ] P (R < MR )2

Функция полезности, ориентированная на потери M [и (R - MR )]

Просадка как мера риска (CDaR) CDaR« (x, n) = П + (1 - a)-1 £ [ f (x, j)- n]+ j=i

Общий вид моделей. В рамках рассмотренных определений могут решаться задачи следующего типа: минимизация риска при заданной нижней границе доходности

Risk(R) ^ min

rTx >= R, eTx = 1 x >= 0

(1)

и максимизации доходности при заданной границе риска

T

r x ^ max

Risk (R) <= Risk0 <eTx = 1 . (2)

x >= 0

Генетические алгоритмы. Решение оптимизационных задач (1) и (2) с помощью классических методов является довольно трудоемким. В случае большого количества оптимизационных задач иногда бывает удобно использовать генетические алгоритмы. Генетическими алгоритмами называют эвристические алгоритмы поиска на основе эволюции приближений, используемые для задач оптимизации и моделирования [1, 8]. Схема работы простого генетического алгоритма представлена на рис. 1.

С помощью генетических алгоритмов можно решать сложные нелинейные оптимизационные задачи с наличием ограничений. Авторами при решении оптимизационных задач были использованы следующие значения параметров алгоритмов:

7х"

количество хромосом - 7;

количество особей - 1 000;

вероятность скрещивания - 0,8;

вероятность мутации - 0,2;

тип селекции - турнирная;

тип скрещивания - двуточечное;

тип формирования нового поколения - только

потомки.

Начало алгоритма

> Г

Создание стартовой популяции

Пока не найдено решение или не выполнен критерий остановки

Скрещивание

i

Мутация

Отбор

Завершение >

ч алгоритма J

Рис. 1. Блок-схема простого генетического алгоритма

35

Результаты экспериментов. Авторами были проведены эксперименты с моделями выбора оптимального инвестиционного портфеля, где в качестве мер риска использовались рассмотренные меры. Эксперименты проводились с несколькими высоколиквидными активами, которые торгуются на Московской межбанковской валютной бирже (обыкновенные акции ОАО «Татнефть» (TATN), ОАО «Газпром» (GAZP), ОАО «Ростелеком» (RTKM), ОАО «ВТБ» (VTB), ОАО «ЛУКОЙЛ» (LKOH), ОАО «Полюс-Золото» (PLZL), ОАО «Сбербанк России» (SBER). Структуры портфелей при различных значениях соответствующих мер риска представлены на рис. 2. По оси абсцисс отмечены значения коэффициента Шарпа [4]. Этот показатель по-другому называют коэффициент «доходность - разброс» (reward-to-variability ratio) и обозначают как RVAR:

RVAR =

rp - rf

с

где гр - средняя доходность портфеля за рассматриваемый промежуток времени; г^ - среднее значение безрисковой ставки; ср - стандартное отклонение доходности портфеля (общий риск).

В качестве безрисковой ставки использовалась доходность государственных облигаций.

Проведем сравнительный анализ различных мер риска со стандартной мерой риска - среднеквадратичным отклонением доходности. Для сравнения авторы использовали средние значения каждого из рассмотренных показателей. Соответствующая информация представлена в табл. 2.

Проанализировав табл. 2, можно заметить, что альтернативные меры риска в большинстве своем показывают лучшие результаты по сравнению со стандартной мерой риска - среднеквадратическим отклонением.

Таблица 2 Сравнение различных мер риска

Показатель Значение показателя риска для портфеля, оптимизированного по среднеквадратичному отклонению Значение показателя риска для оптимизированного портфеля

VaR 0,2 0,21

CVaR 0,26 0,25

MAD 1,61 1,56

CRM 1,11 1,28

SD 0,71 0,67

U 2,35 2,77

MDD 14,71 12,5

Средние значения коэффициента Шарпа для различных портфелей, оптимизированных по каждой из мер риска, в том числе и для среднеквадратичного отклонения, равны: Value-at-Risk (VR) - 1,25; Conditional Value-at-Risk (CVR) - 1,27; Mean Absolute Deviation (MAD) - 1,31; Complex Risk Measure (CMR) - 1,2; полудисперсия (LMP при k=2) - 1,3; функция полезности, ориентированная на потери - 1,28;

просадка как мера риска (CDaR) - 1,23.

Здесь опять можно заметить, что альтернативные меры риска в большинстве своем показывают лучшие результаты по сравнению со стандартной мерой риска - среднеквадратическим отклонением.

Выводы. По результатам вычислительных экспериментов с построением инвестиционных портфелей по данным российского фондового рынка можно сделать вывод, что рассмотренные асимметричные меры риска более адекватно характеризуют понятие риска по сравнению с классическими методами, так как отражают риск изменения доходности портфеля только в негативную сторону. В экспериментах авторов все портфели строились только с положительными долями. Из результатов проведенных экспериментов следует, что лучшим соотношением показателей риска и доходности обладают портфели, в которых в качестве меры риска использовались показатели полудисперсии и CVaR. При использовании в качестве меры риска показателя среднего абсолютного отклонения (MAD) наблюдались результаты, эквивалентные использованию стандартной меры риска - сред-неквадратического отклонения. Результаты для комплексной меры риска CRM существенно зависят от коэффициента р. При выбранном авторами значении коэффициента Р портфели, оптимизированные по CRM, по сравнению с мерой CVaR, показали худшие результаты. То же самое можно сказать и о функции полезности как мере риска. Окончательный результат будет существенно зависеть от выбранной инвестором функции полезности. Для всех моделей необходимо учитывать, что все они оптимизированы на исторических данных. Следовательно, спустя краткосрочный период необходимо периодически проводить перерасчет долей активов в портфеле. Это особенно актуально для показателя риска максимальной просадки - CDaR. Вопрос временного горизонта для перерасчета достоин

100

100

~~I I Г

2,57 2,23 1,89 1,55 1,21 0,87 0,53 0,19

RVAR

100

80 -

40 -

20 -

0А-,-,-,-,-,-,-RVAR

2,57 2,23 1,89 1,55 1,21 0,87 0,53 0,19 в

100

RVAR

2,57 2,23 1,89 1,55 1,21 0,87 0,53 0,19 д

RVAR

RVAR

2,57 2,23 1,89 1,55 1,21 0,87 0,53 0,19 г

100

RVAR

2,57 2,23 1,89 1,55 1,21 0,87 0,53 0,19 е

RVAR

2,57 2,23 1,89 1,55 1,21 0,87 0,53 0,19

I I TATN ЕПЗ GAZP ИИ VTB о LKOH Ш SBER

I RTKM PLZL

7х"

Рис. 2. Модели с различной мерой риска, %: а - мера риска VaR; б - мера риска CVaR; в - мера риска MAD; г - мера риска CRM; д - мера риска SD; е - мера риска как функция полезности; ж - мера риска CDaR

37

отдельного исследования и до сих пор остается открытым. Также можно отметить эффективность использования генетических алгоритмов при решении большого количества оптимизационных задач с наличием сложных ограничений.

Список литературы

1. Вороновский Г. К. Махотило К. В., Петра-шев С. Н., Сергеев С. А. Генетические алгоритмы, искусственные нейронные сети и проблемы виртуальной реальности. Харьков: Основа, 1997.

2. Галиев Д. Р., Исавнин А. Г. Использование VaR-ограничений в модели Блэка-Литтермана при формировании инвестиционного портфеля // В мире научных открытий. 2011. № 6.

3. Международная конвергенция измерения капитала и стандартов капитала: новые подходы (Базель II). URL: http://www. cbr. ru/today/pk/Basel. pdf.

4. Миссаров М.Д., Исавнин А. Г., Махму-тов И. И., Галиев Д. Р. Анализ портфельных инвестиций. Наб. Челны: Лаб. операт. полиграфии, 2011.

5. Нейман Д., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука. 1970.

6. Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath. D. Coherent Risk Measures / Carnegie Mellon University. 1999. URL: http://onlinelibrary. wiley. com/ doi/10.1111/1467-9965.00068/pdf.

7. Chekhlov A., Ursaev S., Zabarankin M. Portfolio optimization with drawdown constraints / University of Florida. 2000. URL: http://www. ise. ufl. edu/uryasev/drawdown. pdf.

8. Goldberg D.E. Genetic algorithms in search, optimization, and machine learning / D. E. Goldberg // MA: Addison-Wesley, 1989.

9. Konno H., Yamazaki H. Mean Absolute Deviation Portfolio Optimization Model and It's Applications to Tokyo Stock Market / H. Konno, H. Yamazaki // Management Science. 1991. № 37.

10. Lohre H. Portfolio construction with Asymmetric Risk Measures // Union Investment -Frankfurt am Main, 2007.

11. Rockafellar R. T., Uryasev S. Optimization of conditional value-at-risk // Journal of Risk. 2000. № 2.

12. Walters J. The Black-Litterman Model in Detail / J. Walters // Harvard Management Company. 2009. № 2.