CC BY
25
УдК 532.517.2/ 626.01 DOI: 10.22227/1997-0935.2018.3.400-412
совершенствование математической модели ламинарного контрвихревого течения
А.Л. Зуйков1'2, В.А. Суцепин2, Е.Ю. Жажа2
'Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет
(НИУМГСУ), '29337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ), '25319, г. Москва, Ленинградский проспект, д. 64
Предмет исследования: работа посвящена исследованию ламинарного течения несжимаемой жидкости, в котором движущиеся в цилиндрической трубе спутные коаксиальные слои вращаются в противоположных направлениях. В литературе течение получило название контрвихревого.
Цели: совершенствование теоретической модели контрвихревого ламинарного течения. В турбулентном диапазоне течение характеризуется интенсивным перемешиванием движущейся среды и гашением ее механической энергии. Оба свойства находят практическое применение: первое — в технологиях, включающих смешивание неоднородных и многофазных сред; второе — для гашения механической энергии потоков жидкостей или газов в высоконапорных гидротехнических водосбросах и для подавления шума авиадвигателей, гребных винтов. Теоретическое исследование ламинарных контрвихревых течений позволяет выявить общие физические закономерности их гидродинамики. Материалы и методы: в основу теоретической модели ламинарного контрвихревого течения положен метод разложения дифференциальных уравнений Навье—Стокса в ряды Фурье—Бесселя.
Результаты: получены уточненная теоретическая модель ламинарного контрвихревого течения, основанная на снятии указанного допущения, и уточненные формулы расчета радиально-продольных распределений азимутальных и аксиальных скоростей в исследуемом течении в виде рядов или произведений рядов Фурье—Бесселя. Распределения азимутальных и аксиальных скоростей представлены графически в виде их профилей.
Выводы: повышена точность аналитического расчета полей скоростей в контрвихревых течениях при малых числах Рейнольдса.
КЛЮчЕВыЕ СЛОВА: контрвихревое течение, ламинарное течение несжимаемой жидкости, уравнения Навье— Стокса, ряды Фурье—Бесселя, радиально-продольное распределение скоростей течения в цилиндрическом канале
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Зуйков А.Л., Суцепин В.А., Жажа Е.Ю. Совершенствование математической модели ламинарного контрвихревого течения // Вестник МГСУ. 2018. Т. 13. Вып. 3 (114). С. 400-412.
improvement of the mathematical model of laminar flow with oppositely-rotating
coaxial layers
A.L. Zuikov12, V.A. Sucepin2, E.Ju. Zhazha2
^ 'Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU),
t- 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, '29337, Russian Federation;
w Moscow Automobile and Road Construction State Technical University (MADI),
f 64 Leningradsky prospekt, Moscow, '25319, Russian Federation
0
^ Subject: this paper relates to the field of hydrodynamics and scientific foundations of hydraulic engineering construction, and
is devoted to investigation of the laminar flow of an incompressible fluid in which two coaxial layers moving together along a cylindrical tube rotate in opposite directions. In literature, this flow is called counter-vortex.
Research objectives: improvement of the theoretical model of the counter-vortex laminar flow. In the turbulent range, the flow is characterized by intensive mixing of the moving medium and dissipation of its mechanical energy. Both these properties find practical application: the first one — in technologies that involve mixing of heterogeneous and multiphase 2 media; the second one — for dissipation of mechanical energy of flows of liquids or gases in high-head hydraulic spillways
and for suppressing the noise of aircraft engines and propellers. Theoretical study of laminar counter-vortex flows with oppositely rotating layers allows us to reveal the general physical laws of their hydrodynamics.
Materials and methods: the theoretical model of the laminar counter-vortex flow is based on the method of expansion of the Navier—Stokes differential equations into Fourier—Bessel series. The improvement of the theoretical model of the laminar counter-vortex flow consists in elimination of the previously used assumption that the second partial derivative with respect to the axial coordinate on the right-hand side of equation (9) of this article is negligible. ^ Results: a refined theoretical model of the laminar counter-vortex flow is obtained, based on the removal of this assumption.
1 More accurate formulas for calculating the radial-longitudinal distributions of azimuthal and axial velocities in the studied JJ flow are obtained in the form of Fourier—Bessel series or products of these series. The distributions of azimuthal and axial q velocities are represented graphically in the form of their profiles.
IQ Conclusions: it is shown that taking into account the second partial derivative with respect to the axial coordinate on the
right-hand side of equation (9) leads to a more accurate theoretical model of the laminar counter-vortex flow and makes it
Л tfl
PO
о
H
>*
О
400
© А.Л. Зуйков, В.А. Суцепин, Е.Ю. Жажа
possible to substantially improve the accuracy of the analytical solution for velocity fields in such flows, namely by more than 2.3 % for small Reynolds numbers (less than Re = 100).
KEY WORDS: counter-vortex flow, laminar flow of incompressible fluid, Navier—Stokes equations, Fourier—Bessel series, radial-longitudinal distribution of flow velocities in cylindrical channel
FOR CITATION: Zuikov A.L., Sucepin V.A., Zhazha E.Yu. Sovershenstvovanie matematicheskoy modeli laminarnogo kontrvikhrevogo techeniya [Improvement of the mathematical model of laminar flow with oppositely-rotating coaxial layers]. Vestnik MGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering]. 2018, vol. 13, issue 3 (114), pp. 400-412.
ВВЕДЕНИЕ
В статье рассматривается теоретическая модель сложного пространственного течения вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе, в котором спутные коаксиальные слои вращаются в противоположных направлениях. В русскоязычной научно-технической и нормативной литературе течение получило название «контрвихревое» [1-3]1. Характерные профили азимутальных и6 и аксиальных и скоростей в контрвихревом течении показаны на рис. 1. Актуальность исследования контрвихревых течений связана с тем, что в турбулентном диапазоне они характеризуются интенсивным перемешиванием (диффузией) движущейся среды и гашением (диссипацией) ее механической энергии. Оба свойства имеют большой потенциал практического применения [4-10]: первое — в технологиях, включающих смешивание неоднородных и многофазных сред в микробиологии, химии, экологии, теплотехнике, энергетике, двигателе- и ракетостроении; второе — для гашения механической энергии потоков жидкостей и газов, например в высоконапорных гидротехнических водосбросах или для подавления шума авиадвигателей, винтов судов и субмарин. Эффективное развитие этих технологий невозможно без знания гидродинамики контрвихревых течений. Такие течения наблюдаются также в отсасывающих трубах гидротурбин при неноминальных режимах их работы [11], что бывает причиной крупных аварий на гидроэлектростанциях [12]. Теоретическое изучение ламинарных контрвихревых течений важно тем, что позволяет выявить общие физические закономерности их гидродинамики. Целью статьи является совершенствование теоретической модели контрвихревого ламинарного течения.
обзор литературы
Начало исследования контрвихревых течений относится к 80-м гг. прошлого века [3] и было связано с разработкой эффективных способов гашения избыточной кинетической энергии холостого потока воды, сбрасываемого через глубинные гидротехнические водосбросы. В тот период в Советском Сою-
1 СО 34.21.308-2005. Гидротехника. Основные понятия.
Термины и определения / РАО «ЕЭС России».
Рис. 1. Кинематическая структура двухслойного контрвихревого течения
зе планировалось в ближайшие годы строительство сразу нескольких высоконапорных гидроузлов. Исследования были экспериментальными. Однако и до настоящего времени исследование контрвихревых течений ведется преимущественно методами физического [2, 10, 13-16] или численного [1, 2, 17, 19] моделирования.
методы исследований
Статья развивает результаты опубликованных в недавнее время работ [1, 19-24], где в цилиндрической системе координат г - 6 - х (см. рис. 1) установившееся (д/дt = 0, где t — текущее время) неравномерное (д/дх Ф 0) симметричное относительно оси цилиндрического канала (д/д6 = 0) контрвихревое течение вязкой несжимаемой жидкости в ламинарном диапазоне описывается уравнениями Навье—Стокса [25]
дм дм м д ! P .
ur—- + их—--— =--1 П+— | +
дг дх r дг ^ р
+v
( д 2 и
дм
- 4 +
дг гдг r
дх2
д(ги„) дм ur 6 + и х—-гдг дх
f д 2м
= V
дм
—^ +
V
ди
дг гдг r
ди„
д2и Л
дх2
х д ! P .
иг—- + их—- =--1 П+— | +
дr дх дх I
( д2 и
ди + —- +
д2м ^
дr rдr дх
(1)
m
ф о т х
s
*
о
У
Т
0 s
1
(л)
В
г
3 У
о *
W
СО
X
О >
с во
¡г о
н *
О
X 5 X Н
О ф
где и, и0 и их — радиальная, азимутальная и продольная составляющие вектора локальной скорости течения соответственно; П и Р — потенциал внешних массовых сил и давление; р и V — плотность и кинематическая вязкость жидкости соответственно.
результаты исследования
Полагая радиальные скорости много меньше азимутальных (иг << и0) и осевых (и г << и), уравнения (1) с учетом озееновского приближения [26-28] приводятся к нормированной по радиусу трубы Я и средней по расходу Q скорости потока V = Q/nR2 к замкнутой системе двух линейных дифференциальных уравнений параболического типа с двумя неизвестными нормированными (безразмерными) скоростями и0 и их [21]
ди0 дх
д_ дх
_1_ Re
гя2
д и„ ди„
дг гдг г
ив + д иа
дх-2
'и. ^
д V
1д
2
дхдг Re дг
д и дм д м
2" +— + " 2 дг гдг дх
(2)
и0 = их = 0 при г = 1 для х > 0, ди
и0 = —- = 0 при г = 0 для х > 0, дг г
ив = Ц0г + —-; их = 1 при х = 0 для 0 < г < 1,
г 2
и0 = 0; их = 2(1 - г ) при х = да для 0 < г < 1,
(3)
2| их гdг = 1 при х > 0.
(4)
дольное распределение азимутальных скоростей, в частном случае найдено в статьях [21, 22], а в общем — в виде быстро сходящегося ряда Фурье— Бесселя в работе [23]
и0 (г, х, Re) =
^ GJ1Ck г) ( = 2^ " 1 \ ехр
п=1 х „.! 0(ХИ)
-2Х2 х
Re^л/Rë2
+ 4X2
(5)
где J0(...) и J1(...) — функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков [29]; X — действительные нули функции Бесселя первого рода первого порядка Jl(Xn) = 0; ап — постоянная п-го частного решения
а = г„
1
Jo(xn)
-1
(6)
Решение второго уравнения системы (2), определяющего радиально-продольное распределение аксиальных скоростей, представим в виде суммы
их (г, х, Re) = и + Д,
(7)
где Re — число Рейнольдса, Re = УЯ/у.
Граничные условия задачи отыскания функций и0(г, х, Re) и и(г, х, Re), включающие условия на стенках трубы (г = 1), ее оси (г = 0), на входе (х = 0) в зону взаимодействия коаксиальных слоев с противоположным вращением (активную зону) и на бесконечном удалении от входа (х = да), имеют вид [24]
где и — аксиальные скорости в течении, не имеющем азимутальных скоростей (и = 0); Д — дефицит аксиальных скоростей при закрутке слоев потока (ив Ф 0).
Можно видеть, что при и0 = 0 второе уравнение системы (2) примет вид
д ( ди
дх У дг
д (ди
1
Re
д
2,- V-
дг У дг I гдг
дг
ди Л д2 | ~дг Уд
ди
дг .
Его решением, показанным в [22, 26], также является ряд Фурье—Бесселя
где Ц и Г0 — задаваемые нормированные коэффициенты радиального распределения азимутальных скоростей на входе в активную зону; для формирования контрвихревого течения Ц и Г0 должны задаваться с обратными знаками.
Решение задачи должно также отвечать требованию сохранения интеграла объемного расхода вязкой несжимаемой жидкости при течении в непроницаемой цилиндрической трубе с твердыми неподвижными стенками
и(г, х^е) = 2(1 - г2) -
^ 4
/=1 х<
1-
Jр(у) Jo(x¡).
ехр
-2Х 2 х
Re+>/Re2 + 4Х
(8)
где X. — нули функции Бесселя первого рода второго порядка J2(X.) = 0.
При и0 Ф 0 второе уравнение системы (2) для дефицита аксиальных скоростей в контрвихревом течении Д имеет вид
2 дД) =
г дх дх У дг
Решения уравнений системы (2) с граничными условиями (3) и интегралом сохранения расхода (4) приведены в цитированных выше работах [1, 19-25], которые в хронологическом порядке улучшают и дополняют друг друга. Решение первого уравнения системы (2), которое определяет радиально-про-
1
Re
д2 (дД
дг2 У дг
д (дДЛ 1 (дД\ д2 (дД
гдг У дг I г У дг I дх У дг
(9)
В наших работах [1, 20, 21, 24] при решении этого уравнения вторая частная производная по ак-
сиальной переменной х в его правой части принималась пренебрежимо малой, что использовалось ранее в классических работах по циркуляционно-продольным течениям [26, 27, 30]. Не оспаривая это допущение, рассмотрим решение свободное от него, т.е. более точное, позволяющее построить более совершенную теоретическую модель течения. Для этого подставим в уравнение (9) распределение (5):
-16 ^ GnJl(Xnr)
- X -"-
Re г П=1 X„Л(Х„)
-2X2 х
-1 " X-/ " / " ' \ ехР -1 к
Ие^Re2 + 4Х" ) к=1 J0(Xk) (1 + + 4X2 ) ^ Ие^Re2 + 4Х
^ ХгЛ(Х кГ)
-2Хкх
к
дД
дх I дг
Re
д2 ГдД^ + д ГдД
дг2 I дг ) гдг I дг
1
дА1 21 Гай*
дД дг
(10)
где Хк — нули функции Бесселя первого рода первого порядка J1(Xk) = 0; Gk — вычисляемая по (6) постоянная к-го частного решения
Gk =Г0
1
J0(Хк)
-1
-а
(11)
Введение ряда к, определяющего производную ди6/дх, вызвано необходимостью разделить независимые ряды п и к. Умножим (10) на число Рейнольдса (И£), разложим его на п х к уравнений, где слагаемые ряда п последовательно умножаются на слагаемые ряда к, и рассмотрим произвольное "к-е уравнение:
Х^(Х "Г) ^(Х кг)
Г! Л Л I4«' exp +
(1 + )X"ГJo(X") Jo(X к) [ Ив+д/ Re2 + 4Х" Re2 + 4Х
-2Х 2 х
-2Х ^ х
+и^дАк
дх I дг
дх2
дД"к
дг
дд—
дг2
дД"к
дг
д Г дД„
гдг I дг
1 Г дД„
дг
(12)
Положим его решением
дД*
дг
16G"Gk Х2 Ф"к
-2Х 2 х
-2Х ^ х
Г! К К ПК exp +
(1 + ^ 1 + 4X2 )х "Jo(X") [ Ив^ Re2 + 4Х" Ив^ Re2 + 4Х 2
(13)
где Ф"к — функция радиальной переменной г.
В результате подстановки (13) в уравнение (12) находим
^(Х „г ) ^(Х *г )
гх^0(хк )
(
-ф
2Х 2
2Х 2
1 + 71 + 4X2 М2 1 + >/ 1 + 4X2
1+-
ИВ2
2Х 2
2X2
1 + ^1 +1 + ^ 1 + 4X2/ИВ2
д2 Ф„к , дФ„к -Ф"к_
дг2 гдг г2
(14)
Отметим, что уравнение (14) зависит только от радиальной переменной г, входящей в функцию Ф„к. Рассмотрим в его левой части сумму в квадратных скобках, где числители и знаменатели дробей умножим у первой дроби на 1 - [1 + ^„/Ив)2]0,5, а у второй на 1 - [1 + ^Х^в)2]0,5; тогда после очевидных преобразований получим
1 + ■
2Х 2
2Х 2
1
1+7^1X^7 1+^11+4Х 2^2
1+^+4 1+4Х 2
ИВ2
ИВ2
00
Ф О т X
5
*
О У
Т
0
1
(л)
В
г
3
у
о *
3
Умножая теперь этот результат на оставшийся сомножитель второго слагаемого в левой части уравне- 4 ния (14), придем к следующим результатам:
-Ф-
V
1 + у! 1 + 4X2 ^е2 1 + \/ 1 + 4X2 ^е2
1++. 1+412
Re2
Re2
= -Ф.
(
1 + у! 1 + 4X 2^е2
= -Ф.
1+-1+£+11+£ -1
Л
(
1 + у1 1 + 4X2/Re2
1 -"+£+11+£ -1
\\
(
X2--
П^^/Т+^^е2^X2 (1 -41+4X2^)
1 + 71 + 4X 2/ Re2 к 1 + ^ 1 + 4X 2/Re2
Л
= -ф.
1+-
4X2
Re2 (1 + 71 + 4X 2/Re2) (1 + ^ 1 + 4X 2/Re2)
+x2
1+-
4X2
Re2 (1 + 41 + 4X 2/Re2) (1 + 41 + 4X2/Re2)
Эти преобразования показывают, что в круглых скобках результирующих выражений
1+
4X2
и 1+
4x 2
Re2
(1 + )(1 + ) Re2 (1 + 4
1 + 4X2/Не
1(1
1 + 4X2/Re2
вторыми слагаемыми можно пренебречь в сравнении с единицей. Так, при числе Рейнольдса Re = 250 и более их значения будут менее 0,05, если значения констант X2 и Xk будут менее 57,323, т.е. меньше 18-го корня функции Бесселя первого рода первого порядка. Как показывает практика ряды Фурье—Бесселя сходятся значительно раньше, значимыми с точностью до 1 ■ 10-3 являются их первые восемь-девять слагаемых. Сказанное позволяет свести (14) к неоднородному уравнению Бесселя:
д2Фпк + дФпк + (л 2 + л 2 1 Лф Jl(Xпг)Jl(Xкг)
+тдг-+^X2- г7 Jф2k=;
(15)
решение которого известно [1, 21, 22, 25, 32]:
СО X
о >
с во
2 о
н *
О
X 5 X Н
О ф
10
Ф2к = г BkJ1(XkГ), (16)
где А2 и Вк — постоянные интегрирования.
Описание решения (16) приведено в статье [24], где отмечается, что применяемый здесь метод решения частного дифференциального уравнения (15) и, соответственно, общего исходного дифференциального уравнения (10) принципиально отличается от традиционных методов. В традиционном подходе каждое частное решение является решением исходного дифференциального уравнения, поэтому сумма частных решений также является его решением. В рассматриваемом подходе ни одно частное решение не является решением исходного дифференциального уравнения (10), но сумма всех 2 х к частных решений являться его решением при таких коэффициентах (постоянных) А2 и Вк, при которых тождественно выполняется равенство произведений бесконечных рядов в правой и левой частях выражения
да да р>
2Х А2 X2J1(X2Г )£ вк— [ (X кг)] =
2=1 к =1 дг
^ кг )
^ л0Сч)'
Это подробно рассмотрено в упомянутой статье [25], где найдены постоянные А2 и Вк
А =—— и В.=----.
Подставляя значения постоянных А и В в (16), получим
Ф 2к =
лЛ пг) J1(X кг)
2X2XкЛ0(xк )
Вводя теперь Ф в (13), находим пк-е частное решение
8ВД X к70(Х„ г ) j1(X кг)
- , _, вхр -- , --
дг X2Jo(X")Jo(Xk) (1 + ^ 1 + 4X2 ) + 4X2 уИв2 + 4Х;
-2Х2 х
-2Х ^ х
^ )
а сумма п х к частных решений, получаемая разделением рядов
А .
-=8 XX У:(Х"Г) вхр
дг
"=1 х20(х" )
-2X2 х
Gk Хк71(х кг)
I- X / I-\ вхр ,-
Ив^Ив2 + 4Х2 ) к=1 70 (Хк) (1 + ^/1 + 4X2 ) ^ Ив^Ив2 + 4Х
-2Х2
к
дает точное решение исходного дифференциального уравнения (10).
другое линейно независимое решение уравнения (12) найдем, положив
(17)
дДк
дг
'6G"Gi X, Ф „
(>+4
1 + л 1 + 4Х 2^
вхр - , -
) 70(Хк) ^ Ив^ Ив2 + 4X2 Ив^Ив2 + 4Х;
-2X2 х
-2Хк х
что сводит (12) к аналогичному (15) однородному уравнению Бесселя, но с Х„70(Х„) в знаменателе правой части
5 2Ф„
дг2
+5ф „к
+ |х2 +х2 1 |ф 71(х „Г) 71(х кГ) я +1Х„ +Хк--2 |Ф„к =--л т п , .
гдг I г ) гХ^(Х„)
„ 0 ^ „)
Повторяя выполненный выше вывод, находим второе решение задачи (10)
дд = 8у G"J1(x"Г) 5г £ х„л(х „)
(
вхр
-2X2 х
Л
-1 " X- к у к ' вхр - к
Ив^Ив2 + 4X2 ) к=1 70(Хк) (1 + + 4Х2 /Ив2) ^ ^в2 + 4Х;
0(ХкГ )
-2Х кх
(18)
Следует заметить, что при числе Рейнольдса, равном Ив = 250 и более, стоящее в знаменателе ряда Фурье—Бесселя по к выражение 1 - [1 + ^Х,/^)2]0,5 фактически равно двум, отличаясь от него в пределах до 5 %, если значения константы Хк будет менее 28,641, т.е. менее девятого корня функции Бесселя первого рода первого порядка. Но как отмечалось выше, значимыми с точностью до 1 ■ 10-3 являются первые во-семь-девять слагаемых ряда Фурье—Бесселя.
Поэтому принимая
1+ 411 + Щ * 2,
Ив2
далее запишем сумму двух независимых решений (17) и (18), деля которую на два, получим общее решение исходного дифференциального уравнения (10) в виде суммы произведений рядов Фурье—Бесселя
дД = 2Х Сф^ХЛ вхр дг "=1 Х2Л(Х„) Р
+2 XX"Г) вхр
-2X2 х
Х 0(х " )
Ив2 + 4Х
-2Х2 х
70(Хк)
-2Х ^ х
Ив2 + 4Х
Ив2 + 4Х 2
к=1 70(х к )
-2Хк х
Ив2 + 4X2
(19)
Последующее интегрирование решения (19) позволило получить следующее распределения дефицита скоростей в контрвихревом течении со встречной закруткой двух спутных взаимодействующих концентрических слоев
» G 2
Д(г, х,Ив) = -2
I „=1 Х„
С
¿-i 1 2
"=1 х"
1 + 70(Х"72) - 7 0(Х„гл/2)"
70(Х „72) - 70(Х „г у/2)'
Л(Х„Т2) ,
-2Х 2 х
7 2 (X „л/2)
2" (
(
вхр
вхр
Л
-2X2 х
Л
Ив2 + 4Х"
Ив2 + 4Х
(
да
X ск ^р
к =1
-2Х ^ х
^ С 70(Х г)
"2 " вхр "=1 Х270(х" )
-2Х 2 х
Ив2 + 4X2
v С!о(Хкг) г X к к вхр к=1 70(хк )
Ив2 + 4Х 2
м
я
ф
о т X
5
*
О У
Т
0
1
(л)
В
г 3
у
о
X 3
-2Х 2 х
Ив2 + 4X2
При корректировке полученного решения в статье [25] введением дополнительного однородного уравнения
д ( дД0
дх У дг
Re
д2 (дД,
дг У дг
д (дД0
гдг У дг
-4(дД° 1+
дг
д2 (дД
дх У дг
учитывающего равномерный радиальный профиль аксиальных скоростей (и = 1) на входе в активную зону (при х = 0), при котором дД /дг = 0, и полученного в результате его решения дополнительного уточняющего слагаемого
да О2 ( Г
Д0(г, хДе) = ХЦг ]1 + 0"
,=1 X, I 00
(
2 + ~г
X ?
1-
лo(X,■),
м
1-
л 0 (X/) л 0^,)
(
ехр
-2X 2х
Л
Re^Л/Rë2 + 4X2
общий дефицит аксиальных скоростей при контрвихревом течении составит
да О2 I Г
Д(г, хДе) = Х021 + 0
,=1 Xi I 00
2+«
1-
-2II |
Л^,) ,
лo(X^л/2) - лo(X2Г^/2)
Л2^ >/2)
1-
ехр
лр(у)
Л^,-)
ехр
-2x 2х
Re+7 Re2 + 4X2
-2X2 х
Re+Л/ Re2 + 4X
да а
-I ^
2
2=1 x 2
1 + л0^2 72) - лo(Xиг^/2)'
л 2 (X „72)
(
ехр
^ 2 х
Re+Л/ Re2 + 4X
I а ехР
-2X 2 х
Re+Л/ Re2 + 4X
^ал„(X г)
+| \ аК 2 ' ехр
2=1 Xи л^)
-2x 2 х
Re+^/ Re2 + 4X
V а^о^^) г
| кг ^ ; ехр
=1 Jo(X к )
-2X 2 х
Re+7 Re2 + 4X
(20)
Таким образом, вследствие закрутки взаимодействующих коаксиальных слоев появляется не только связанный с ней дефицит скоростей Д, но и не равный нулю корректирующий дефицит Д0, который необходимо учитывать, удовлетворяя поставленные граничные условия (3).
В результате, согласно (7), в окончательном виде радиально-продольное распределение аксиальных скоростей в контрвихревом течении равно сумме решений (8) и (20):
, (г, х,Ке) = 2(1 - г2)-I « I,
1 + *
1-
1
л0^,).
СО X
о >
с
во
со ^
2 о
н *
О
X 5 X Н
О ф
с ехр
а
2=1 X2
-2x 2 х
Re+7 Re2 + 4X2
^72) - Л^г^)
лo(X- лo(X2^72)
1+
л 2 (X 2л/2)
(
ехр
л 2(X^^/2)
^ 2 х
ехр
1 - л0 (X,г)
Л^,) _
-2X2х Re+Л/ Re2 + 4X2
^ ал0(1 г)
+| 22 ^ 2 у ехр 2=1 ^л0(x2 )
-2X2 х
Re+7 Re2 + 4X
Re+^/ Re2 + 4X
V ак л0 (X кг) г | кг ^ ; ехр
Л Г
да
I а ехр
-2X 2 х
Re+A/ Re2 + 4X
к=1 jo(xk )
-2X2: х
Re+Л/Re2 + 4X
(21)
где X, — действительные нули функции Бесселя первого рода второго порядка; X2 и Xk — действительные нули функции Бесселя первого рода первого порядка; а2 и ак — вычисляемые по (5) и (11) постоянные п-го и к-го частных решений.
Для иллюстрации полученных теоретических результатов на рис. 2 представлены графики радиаль-но-продольных распределений азимутальных и аксиальных скоростей в ламинарных контрвихревых течениях, выполненных по данным аналитических расчетов по формулам (5) и (21). В качестве примеров контрвихревых течений на входе в активную зону (при х = 0) заданы два режима: первый режим (режим 1) с параметрами Г0 = -1, 00 = 4,2, в котором внешний слой потока вращается по часовой стрелке, а внутренний слой — против часовой; второй режим (режим 2) с параметрами Г0 = 1,216, 00 = -4,241 имеет обратные направления вращения слоев. Расстояния от входного створа активной зоны (х = 0) до характерных се-
чений, в которых производились расчеты профилей скоростей, указаны на рис. 2 рядом с расчетными профилями в долях радиуса трубы (х = 5.К, 10, 20, 40, 80). Расчеты выполнены при числах Рейнольдса, равных Re = 500.
Анализ полученных результатов показывает, что повышение интенсивности закрутки слоев, определяемое значениями чисел Г0 и □ резко повышает неравномерность профиля аксиальных скоростей в начале активной зоны. Далее по длине активной зоны профили сглаживаются. К створу, расположенному на расстоянии 80 радиусов трубы от входа в активную зону, азимутальные скорости полностью гасятся, а радиальное распределение аксиальных скоростей соответствует профилю равномерного продольно-осевого течения Пуазейля [25].
Учет второй частной производной
д2
дХ2 [~дг,
по аксиальной переменной х в правой части уравнения (9), приводя к совершенствованию теоретической модели ламинарного контрвихревого течения, в целом не позволяет существенно повысить точность получаемых аналитическим путем результатов по полям скоростей контрвихревых течений при числах Рейнольдса Re = 500 и более. Чтобы убедиться в этом, достаточно сопоставить рис. 2 из настоящей статьи с аналогичным рис. 2 из опубликованной ранее статьи [24]. Таким образом, точное выражение экспоненты
(
ехр
-2Х 2 х
Л
Re+7Re
+4X2
(22)
присутствующее в расчетных формулах, полученных в результате выполнения настоящей работы, может быть заменено в инженерных расчетах на более простой аналог
(23)
ехр| к -
рассмотренный в более ранних работах по контрвихревым течениям [1, 19-24]. Такая замена снижает точность расчетов при числах Re = 500 в пределах 0,1 %. Это согласуется с выводами классических работ [26-28, 30].
Однако при снижении чисел Рейнольдса картина меняется. Так, при числе Рейнольдса Re = 200
учет второй частной производной в уравнении (9), т.е. применение экспоненты в виде формулы (22) вместо формулы (23), повышает точность расчетов уже на 0,6 %, при Re = 100 — точность расчетов возрастает на 2,3 %, а при Re = 50 — на 8,5 %. Таким образом, при низких числах Рейнольдса (менее Re = 100) при расчетах может использоваться только полученная в данной работе усовершенствованная теоретическая модель ламинарного контрвихревого течения.
Направление закрутки взаимодействующих спутных коаксиальных слоев, вращающихся в противоположных направлениях, не отражается на распределениях аксиальных скоростей. Этот вывод следует из анализа тех же рис. 2 из настоящей и предыдущей [24] статей, в которых автором целенаправленно было изменено направление вращения взаимодействующих противоположно закрученных слоев контрвихревых течений.
В остальном по теоретическому анализу структуры полей скоростей в ламинарных контрвихревых течениях автор рекомендует следовать выводам, изложенным в работах [1, 19-24].
выводы
1. Анализ полученных результатов показывает, что повышение интенсивности закрутки слоев, определяемое значениями чисел Г0 и □ резко повышает неравномерность профиля аксиальных скоростей в начале активной зоны.
2. К створу, расположенному на расстоянии 80 радиусов трубы от входа в активную зону, контрвихревое течение трансформируется в равномерное продольно-осевое течение с нулевыми азимутальными скоростями и радиальным распределением аксиальных скоростей, соответствующим профилю течения Пуазейля [25].
3. В результате выполненной работы получена усовершенствованная теоретическая модель ламинарного контрвихревого течения в цилиндрической трубе. Модель позволяет существенно повысить точность расчетов полей скоростей при малых числах Рейнольдса (менее Re = 100).
4. Смена направлений закрутки взаимодействующих спутных коаксиальных слоев, вращающихся в противоположных направлениях, не отражается на радиально-продольных распределениях аксиальных скоростей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ахметов В.К., Волшаник В.В., Зуйков А.Л., Орехов Г.В. Моделирование и расчет контрвихревых течений / под ред. А.Л. Зуйкова. М. : Изд-во МГСУ, 2012. 252 с.
2. Карелин В.Я., Кривченко Г.И., Мордасов А.П. и др. Физическое и математическое моделирование систем гашения энергии в вихревых водосбросах // Физическое и математическое моделирова-
00
Ф О т X
5
*
О У
Т
0
1
(л)
В
г
3
у
о *
3
Вестник МГСУ Том 13 Выпуск 3 (114)
о
СО
1,0
0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0
г/К
г/К
К
N
'40
✓
г
И
Л — 51 У
/ Л 2( [
с. ) \ 1
-5 *
N * I
Ю Г /
У* > - > ц
**
1
/ ¡г.
( s
<
41
-3 г/Я - 2 1 0
X К
10 2С ¡( 1 '
у*
40
1 и/ щ
X = Ы<
Г ^
У N
ч )
1',/У
0,8
0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0
2 )
N
> IV = Ц
Ш Ш
41
10 \ Л = >{\
)
/ V
-14 г/К - 3 - 2 - 1 0 9 8 7 6 5 4 - 3 - 2 - ] ( | : 0 !
и/У
-3 -2 -1 О
1
ь
Ь
и
Ъ §
а ь
0
ф э с
1
т
5
|
и/У
-22 -21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7-6-5-4 -3 -2 -I О
Рис. 2. Распределение азимутальных и аксиальных скоростей в контрвихревых течениях: вверху — режим 1; внизу — режим 2
ние гидравлических процессов при исследовании крупных гидроузлов комплексного назначения «MF-89» : тез. науч.-техн. совещания в г. Дивно-горск в 1989 г. Л. : Изд-во ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1989. С. 11-12.
3. Кривченко Г.И., Квятковсшя E.B., Mордa-сов A^. и др. Высоконапорная водосбросная система с контрвихревым гасителем энергии потока воды // Гидротехническое строительство. 1981. № 10. С. 29-31.
4. Белоусов A.C., Caжин Б.C., Лоnaков A.B. и др. Mодель гидродинамических течений в аппаратах с коаксиальными закрученными потоками // Успехи в химии и в химической технологии. 2011. Т. 25. № 10 (126). С. 110-113.
5. Белоусов A.C., Caжин Б..C., Caжин B.Б и др. Гидродинамика течений плотной фазы в аппаратах с коаксиальными закрученными потоками // Успехи в химии и в химической технологии. 2011. Т. 26. № 1 (130). С. 131-134.
6. Bолшaник B.B., Орехов Г..B. Области применения взаимодействующих закрученных потоков жидкостей и газов // Вестник MГСУ. 2015. № 7. С. 87-104.
7. Mордaсов A^., Орехов Г..B., Bолшaник B.B. и др. Руководство по проектированию и конструкторская документация вихревых аэраторов на донных водовыпусках плотин. M. : MИСИ—MГСУ. 1992. 186 с.
8. Caжин Б.C., CaжинaМ.Б., AnaрушкинaM.A. и др. Особенности гидродинамики и области применения вихревых аппаратов различных типов // Известия вузов. Технология текстильной промышленности. 2013. № 1 (343). С. 135-138.
9. CaiM^H Б..C., CaжинaМ.Б., Caжин B.Б. и др. Анализ гидродинамических особенностей вихревых аппаратов с целью уточнения области их рационального применения // Успехи в химии и в химической технологии. 2012. Т. 26. № 10 (130). С. 99-103.
10. Чурин П.C. Исследование возможности использования энергетических водоводов высоконапорных гидроэлектростанций для сброса холостых расходов : дис. ... канд. техн. наук. 2015. 159 с.
11. Bолшaник B.B., Зуйков A.Л., Mордaсов B.B. Закрученные потоки в гидротехнических сооружениях. M. : Энергоатомиздат, 1990. 280 с.
12. Акт технического расследования причин аварии, произошедшей 17 августа 2009 года в филиале Открытого Акционерного Общества «РусГидро» «Саяно-Шушенская ГЭС» имени П.С. Непорожнего. M., 2009. 141 с.
13. Chao Y.C. Recirculation Structure of the Co-annular Swirling Jets in a Combustor // AIAA Journal. 1988. Vol. 26. No. 5. Pp. 623-625.
14. Chur,n P., Kapust,n S., Orehov G., Pod-daeva O. Experimental Studies Counter Vortex Flow Modeling // Applied Mechanics and Materials. 2015. Vol. 756. Pp. 331-335.
15. Mattingly J.D., Oates G.S. An investigation of the mixing of co-annular swirling flows // AIAA Paper. 1985. No. 0186.
16. Vu B.T., Gouldin F.C. Flow measurements in a model swirl combustor // AIAA Journal. 1982. Vol. 20. No. 5. Pp. 642-651.
17. Chen Y.S. A numerical methods for three-dimensional incompressible flow using nonorthogonal body-fitter coordinate systems // AIAA paper. 1986. No. 86-1654. 9 р.
18. Nan Gui. Numerical study of vortex evolution and correlation between twin swirling flows // Advanced Materials Research. 2012. Vol. 516-517. Pp. 976-979.
19. Зуйков А.Л. Профили тангенциальных скоростей в циркуляционном течении в трубе // Вестник МГСУ. 2009. № 3. С. 195-199.
20. Зуйков А.Л. Распределение продольных скоростей в циркуляционном течении в трубе // Вестник МГСУ. 2009. № 3. С. 200-204.
21. Зуйков А.Л. Структура вязкого циркуляци-онно-продольного течения в цилиндрическом канале // International Journal of Computational Civil and Structural Engineering. 2012. T. 8. № 2. С. 82-96.
22. Зуйков А.Л. Уточненные азимутальные скорости в течении за локальным завихрителем // Вестник МГСУ. 2012. № 1. С. 51-56.
23. Зуйков А.Л., ОреховГ.В., ВолшаникВ.В. Распределение азимутальных скоростей в ламинарном контрвихревом течении // Вестник МГСУ. 2013. № 5. С. 150-161.
24. Зуйков А.Л. Распределение продольных скоростей в ламинарном течении с противоположно вращающимися коаксиальными слоями // Вестник МГСУ. 2017. T. 12. Вып. 9 (108). С. 1027-1038.
25. Зуйков А.Л. Гидравлика: в 2 т. T. 1: Основы механики жидкости. М. : Изд-во МИСИ—МГСУ, 2014. 518 с.
26. Batchelor G.K. Axial flow in trailing line vortices // Journal of Fluid Mechanics. 1964. Vol. 20. No. 4. Q Pp. 645-658. с
27. Пилипенко О.В. Вращательно-поступатель- н ное движение вязкой несжимаемой жидкости с об- s разованием кавитационной полости // Гидрогазодинамика технических систем. Киев : Наукова думка, Г 1985. С. 46-55. о
28. Тимошенко В.И., Павловский В.П. К расчету закрученного движения вязкой жидкости во вход- О ном участке цилиндрической трубы // Гидрогазодинамика технических систем. Киев : Наукова думка, 1 1985. С. 66-70. w
29. Korn G.A., Korn T.M. Mathematical handbook Ы for scientists and engineers : definitions, theorems and □ formulas for reference and review. Publisher Dover С Publications, 2000. 1151 p. *
30. Тарг С.М. Основные задачи теории ламинар- * ных течений. М. ; Л. : Гостехтеориздат, 1951. 420 с. 1
31. Зуйков А.Л. Гидродинамика циркуляцион- 4 ных течений. М. : Изд-во АСВ, 2010. 216 с. w
Поступила в редакцию 27 ноября 2017 г.
Принята в доработанном виде 10 декабря 2017 г.
Одобрена для публикации 25 февраля 2018 г.
Об авторах: Зуйков Андрей Львович — доктор технических наук, профессор кафедры гидравлики, Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ), 125319, г. Москва, Ленинградский пр-т, д. 64; профессор кафедры гидравлики и гидротехнического строительства, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; [email protected];
Суцепин Валентин Александрович — кандидат технических наук, доцент кафедры гидравлики, Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ), 125319, г. Москва, Ленинградский пр-т, д. 64; [email protected];
Жажа Елена Юрьевна — кандидат технических наук, доцент кафедры гидравлики, Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ), 125319, г Москва, Ленинградский пр-т, д. 64; [email protected].
REFERENCES
1. Akhmetov V.K., Volshanik V.V., Zuikov A.L., Orekhov G.V. Modelirovanie i raschet kontrvikhrevykh techeniy [Simulation and calculation of countervortex flows]. Moscow, Moscow State University of Civil Engineering, 2012. 252 p.(In Russian)
2. Karelin V.Ya., Krivchenko G.I., Mordasov A.P., et al. Fizicheskoe i matematicheskoe modelirovanie sistem gasheniya energii v vikhrevykh vodosbro-sakh [Physical and mathematical modeling of energy quenching systems in vortex spillways]. Fizicheskoe i matematicheskoe modelirovanie gidravlicheskikh protsessov pri issledovanii krupnykh gidrouzlov kom-pleksnogo naznacheniya «MG-89» : tezisy nauch-no-tekhnicheskogo soveshchaniya v g. Divnogorsk v 1989 g. [Physical and mathematical modeling of hydraulic processes in the study of large hydroelectric complexes of complex designation "MG-89": abstracts of the scientific and technical meeting in Divnogorsk
^ in 1989]. Leningrad, B.E. Vedeneea VNIIG, 1989, t- pp. 11-12. (In Russian)
w 3. Krivchenko G.I., Kvyatkovskaya E.V., Mordait sov A.P. et al. Vysokonapornaya vodosbrosnaya siste-¡^ ma s kontrvikhrevym gasitelem energii potoka vody ^ [High-pressure spillway system with counter-vortex 2 absorber of water-flow energy]. Gidrotekhnicheskoe GQ stroitel'stvo [Hydro-engineering Construction]. 1981, PO no. 10, pp. 29-31. (In Russian) ^ 4. Belousov A.S., Sazhin B.S., Lopakov A.V. et al. q Model' gidrodinamicheskikh techeniy v apparatakh I— s koaksial'nymi zakruchennymi potokami [Model of ^ hydrodynamic flows in apparatus with coaxial swirling flows]. Uspekhi v khimii i v khimicheskoy tekhnologii S [Advances in Chemistry and in Chemical Technology]. tt 2011, vol. 25, no. 10 (126), pp. 110-113. (In Russian) 2 5. Belousov A.S., Sazhin B.S., Sazhin V.B. et al. jj Gidrodinamika techeniy plotnoy fazy v apparatakh s <D koaksial'nymi zakruchennymi potokami [Hydrodynamics of dense-phase flows in apparatus with coaxi-
al swirling flows]. Uspekhi v khimii i v khimicheskoy tekhnologii [Advances in Chemistry and in Chemical Technology]. 2011, vol. 26, no. 1 (130), pp. 131-134. (In Russian)
6. Volshanik V.V., Orekhov G.V. Oblasti primen-eniya vzaimodeystvuyushchikh zakruchennykh potokov zhidkostey i gazov [Fields of application of interacting swirling flows of liquids and gases]. Vestnik MGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 7, pp. 87-104. (In Russian)
7. Mordasov A.P., Orekhov G.V., Volshanik V.V. et al. Rukovodstvo po proektirovaniyu i konstruktorskaya dokumentatsiya vikhrevykh aeratorov na donnykh vodovypuskakh plotin [Guidance on the design and design documentation of vortex aerators at the bottom of the water outlets of dams]. Moscow, MISI-MGSU, 1992. 186 p. (In Russian)
8. Sazhin B.S., Sazhina M.B., Aparushkina M.A. et al. Osobennosti gidrodinamiki i oblasti primeneniya vikhrevykh apparatov razlichnykh tipov [Hydrodynamic characteristics and the scope of various types of vortex apparatus]. Izvestiya vuzov. Tekhnologiya tekstil'noy promyshlennosti [News of the universities. Technology of the textile industry]. 2013, no. 1 (343), pp. 135-138. (In Russian)
9. Sazhin B.S., Sazhina M.B., Sazhin V.B. et al. Analiz gidrodinamicheskikh osobennostey vikhrevykh apparatov s tsel'yu utochneniya oblasti ikh ratsio-nal'nogo primeneniya [Analysis of hydrodynamic features of vortex devices for the purpose of clarifying the field of their rational application]. Uspekhi v khimii i v khimicheskoy tekhnologii [Advances in Chemistry and Chemical Technology]. 2012, vol. 26, no. 10 (130), pp. 99-103. (In Russian)
10. Churin P.S. Issledovanie vozmozhnosti ispol'zovaniya energeticheskikh vodovodov vysoko-napornykh gidroelektrostantsiy dlya sbrosa kholostykh raskhodov : dis. ... kand. tekhn. nauk. [Investigation of
the possibility of using power conduits for high-pressure hydroelectric power stations for the discharge of idle costs: thesis of candidate of technical sciences]. 2015. 159 p. (In Russian)
11. Volshanik V.V., Zuikov A.L., Mordasov V.V. Zakruchennye potoki v gidrotekhnicheskikh sooruzheni-yakh [Swirling flows in hydraulic structures]. Moscow, Energoatomizdat Publ., 1990. 280 p. (In Russian)
12. Akt tekhnicheskogo rassledovaniya prichin avarii, proizoshedshey 17 avgusta 2009 goda v filiale Otkrytogo Aktsionernogo Obshchestva «RusGidro» «Sayano-Shushenskaya GES» imeni P.S. Neporozhnego [Act of technical investigation of the causes of the accident, which occurred on August 17, 2009 in the branch of the Open Joint Stock Company "RusHydro" Saya-no-Shushenskaya HPP named after P.S. Neporozhny]. Moscow, 2009. 141 p.(In Russian)
13. Chao Y.C. Recirculation Structure of the Co-annular Swirling Jets in a Combustor. AIAA Journal. 1988, vol. 26. no. 5, pp. 623-625.
14. Churin R., Kapustin S., Orehov G., Poddae-va O. Experimental Studies Counter Vortex Flow Modeling. Applied Mechanics and Materials. 2015, vol. 756, pp. 331-335.
15. Mattingly J.D., Oates G.S. An investigation of the mixing of co-annular swirling flows. AIAA Paper. 1985, no. 0186.
16. Vu B.T., Gouldin F.C. Flow measurements in a model swirl combustor. AIAA Journal. 1982, vol. 20, no, 5, pp. 642-651.
17. Chen Y.S. A numerical methods for three-dimensional incompressible flow using nonorthogonal body-fitter coordinate systems. AIAA paper. 1986, no. 86-1654, 9 r.
18. Nan Gui. Numerical study of vortex evolution and correlation between twin swirling flows. Advanced Materials Research. 2012, vol. 516-517, pp. 976-979.
19. Zuikov A.L. Profili tangentsial'nykh skorostey v tsirkulyatsionnom techenii v trube [Profiles of tangential velocities in the circulation flow in a pipe]. Vest-nik MGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering]. 2009, no. 3, pp. 195-199. (In Russian)
20. Zuikov A.L. Raspredelenie prodol'nykh skorostey v tsirkulyatsionnom techenii v trube [Distribution of longitudinal velocities in the circulation flow in a pipe]. VestnikMGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering]. 2009, no. 3, pp. 200-204. (In Russian)
21. Zuikov A.L. Struktura vyazkogo tsirkulyatsi-onno-prodol'nogo techeniya v tsilindricheskom kanale [Structure of a viscous circulation-longitudinal flow in a cylindrical channel]. International Journal of Computational Civil and Structural Engineering. 2012, vol. 8, no. 2, pp. 82-96. (In Russian)
22. Zuikov A.L. Utochnennye azimutal'nye skorosti v techenii za lokal'nym zavikhritelem [Refined azimuth velocities in the course of the local swirler]. Vestnik MGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 1, pp. 51-56. (In Russian)
23. Zuikov A.L., Orekhov G.V., Volshanik V.V. Raspredelenie azimutal'nykh skorostey v laminarnom kontrvikhrevom techenii [Distribution of azimuthal velocities in a laminar counter-vortex flow]. Vestnik MGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 5, pp. 150-161. (In Russian)
24. Zuikov A.L. Raspredelenie prodol'nykh skorostey v laminarnom techenii s protivopolozhno vrashchayushchimisya koaksial'nymi sloyami [Distribution of longitudinal velocities in a laminar flow with oppositely rotating coaxial layers]. Vestnik MGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering]. 2017, vol. 12, issue 9 (108), pp. 1027-1038. (In Russian)
25. Zuikov A.L. Gidravlika [Hydraulics]: v 2 vol. Vol. 1: Osnovy mekhaniki zhidkosti [Fundamentals of fluid mechanics]. Moscow, MISI-MGSU. 2014. 518 p. (In Russian)
26. Batchelor G.K. Axial flow in trailing line vortices. Journal of Fluid Mechanics. 1964, vol. 20, no. 4, pp. 645-658.
27. Pilipenko O.V. Vrashchatel'no-postupatel'noe dvizhenie vyazkoy neszhimaemoy zhidkosti s obra-zovaniem kavitatsionnoy polosti [Rotational-transla-tional motion of a viscous incompressible fluid with the formation of a cavitation cavity]. Gidrogazodinamika tekhnicheskikh system [Hydrogasodynamics of Technical Systems]. Kiev, Naukova dumka Publ., 1985, pp. 46-55. (In Russian)
28. Timoshenko V.I., Pavlovskiy V.P. K raschetu zakruchennogo dvizheniya vyazkoy zhidkosti vo vk-hodnom uchastke tsilindricheskoy truby [Revising the n calculation of the swirling motion of a viscous fluid in C the inlet section of a cylindrical tube]. Gidrogazodin- H amika tekhnicheskikh system [Hydrogasodynamics of s Technical Systems]. Kiev, Naukova dumka Publ., 1985,
pp. 66-70. (In Russian) p
29. Korn G.A., Korn T.M. Mathematical handbook p for scientists and engineers: definitions, theorems and formulas for reference and review. Publisher Dover 0 Publications, 2000. 1151 p. J
30. Targ S.M. Osnovnye zadachi teorii lami- 1 narnykh techeniy [Main problems of the theory of lami- J nar flows]. Moscow-Leningrad, Gostekhteorizdat Publ., J 1951. 420 p. (In Russian) □
31. Zuikov A.L. Gidrodinamika tsirkulyatsionnykh C techeniy [Hydrodynamics of circulation flows]. Mo- J scow, ASV Publ., 2010. 216 p. (In Russian) «
Received November 27, 2017.
Adopted in final form on December 10, 2017.
Approved for publication on February 25, 2018.
About the authors: Zuikov Andrey L'vovich — Doctor of Technical Sciences, Professor ofthe Department of Hydraulics and Hydraulic Engineering, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Jaroslavskoe Shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; Professor of the Department of Hydraulics, Moscow Automobile and Road Construction State Technical University (MADI), 64 Leningradsky prospect, Moscow,125319, Russian Federation; [email protected];
Sucepin Valentin Aleksandrovich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Hydraulics, Moscow Automobile and Road Construction State Technical University (MADI), 64 Leningradsky prospekt, Moscow, 125319, Russian Federation; [email protected];
Zhazha Elena Yur'evna — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Hydraulics, Moscow Automobile and Road Construction State Technical University (MADI), 64 Leningradsky prospekt, Moscow, 125319, Russian Federation; [email protected].
<0
o >
E
DQ
<0
S o
I*
O
X
s
X H
o a ta
