Азимутальный вихрь и функция тока в ползущем течении в трубе Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК л/чплл

4/2014

ГИДРАВЛИКА. ИНЖЕНЕРНАЯ ГИДРОЛОГИЯ. ГИДРОТЕХНИЧЕСКОЕ СТРОИТЕЛЬСТВО

УДК 532.542.1

А.Л. Зуйков

ФГБОУВПО «МГСУ»

АЗИМУТАЛЬНЫЙ ВИХРЬ И ФУНКЦИЯ ТОКА В ПОЛЗУЩЕМ ТЕЧЕНИИ В ТРУБЕ

Посвящена аналитическому исследованию структуры установившегося неравномерного ползущего течения в цилиндрическом канале. Показано, что структура течения определяется уравнением Лапласа относительно азимутального вихря скорости и уравнением Пуассона относительно функции тока. Распределения азимутального вихря и функции тока получены в виде рядов Фурье — Бесселя.

Ключевые слова: ползущее течение, азимутальный вихрь, функция тока, уравнение Лапласа, уравнение Пуассона, разложение Фурье — Бесселя.

Ползущие течения широко распространены в природе [1], исследованию их гидродинамики при производстве полимеров посвящены [2—4]. В [5, 6] показано, что структура установившегося неравномерного ползущего течения в цилиндрической трубе определяется уравнением Лапласа, которое при симметричном относительно оси канала течении имеет вид

д2 юе + дюе юе + д2 юе = 0 (1)

дг2 гдг г1 дх2 где г и х — радиальная и продольная координаты (рис. 1); юе — азимутальный вихрь (вихрь по азимутальной координате е),

диг дых

®е =—г----; (2)

дх дг

и и и — радиальные и аксиальные скорости.

Рис. 1. Схема течения

Согласно (1) распределения таких структурных характеристик ползущего течения, как азимутального вихря, функции тока, радиальных и аксиальных скоростей, не зависят от физических свойств жидкости и распределения ази-

мутальных скоростей и При равномерном течении, при котором частные производные по продольной координате х равны нулю, уравнение (1) сведется к

Ä dr

д(гюе) rdr

= 0,

(3)

а азимутальный вихрь (2) будет равен

®е =

dux dr

Интегрируя (3), находим

dr

C

= Cr +

r

(4)

откуда в результате получаем

г2

ых =-С — - С 1п(г) + С2,

где С, С1 и С2 — константы.

Поскольку на оси трубы при г = 0 аксиальная скорость имеет конечное значение, не равное ±да, то С1 = 0. Принимая на стенках трубы радиусом R вследствие вязкого прилипания жидкости их = 0, получаем С2 = СR2/2 и

CR2

/

2

.2

\

1 - ^

V R2 У

(5)

Интегрируя (5), определим среднюю по расходу Q скорость потока

V =

nR nR2 откуда С = 4V/R2 и

Q 1 R C R

- J ux 2nrdr = — J

1 --

R2

dr2 =

CR2

\

u = 2V

f 2 l -V R У

, или в нормированной

форме ux = 2 (l - r2

(6)

где их = их/У и г = r^R.

Следовательно, при равномерном ползущем течении распределение аксиальных скоростей по сечению трубы соответствует профилю Пуазейля [7] для ламинарного потока. Положим этот профиль граничным условием на бесконечном удалении от входа в трубу (при х = да), поскольку именно к такому распределению скоростей стремится неравномерное ползущее течение, имеющее на входе произвольный профиль.

Для определения трансформации течения на участке от входа в трубу до створа с профилем Пуазейля нормируем уравнение (1)

d2 юе + dwQ

дг2 rdr dur dux

= 0,

где ю0 =-

dx

дГ ' r

д2 юе dx2

ur . x --— и x = —. V R

(7)

Кроме профиля Пуазейля (6) необходимым условием является сохранение объемного расхода по длине трубы ввиду непроницаемости ее стенок и несжимаемости жидкости

u =

x

2

r

4

0

о

+

2

ВЕСТНИК

МГСУ-

4/2014

|их 2Мт = 1 для х > 0.

(8)

Для решения задачи (7) воспользуемся методом Фурье, положив азимутальный вихрь произведением двух функций ше (г,х) = ф(г)"ф(*), где один из сомножителей зависит только от текущего радиуса, а второй — от осевой координаты. Это позволяет привести уравнение (7) к равенству

1 ду

ф дх2

^ ( я2

Ф

д> + дф дг2 гдг

Ф

г2

выполнение которого обеспечивается только в том случае, если его правая часть, являющаяся произведением функций от х, и левая часть, являющаяся произведением функций только от г , одновременно не зависят ни от х, ни от г , т.е. обе части равны одной и той же постоянной ^ называемой константой разделения

1

ф дх2

д2ф + дф дг2 гдг

А

г2

Таким образом, приходим к задаче Штурма — Лиувилля [8] с системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений

г 2

д2Ф дф ! 1 п +ГдГ|ф=0;

д 2ф дх 2

-ПФ = 0,

(9)

имеющей три решения в зависимости от того: ^ < 0, ^ = 0 или ^ > 0.

В первом случае положим п = < 0. Тогда система (9) приводится к

виду

а2 Ф.+ аМ,2 + ±

дГ Гдг

Г ;

| = 0;

д2 ф дх2

+ Х2„ ф = 0.

Первое уравнение этой системы представляет собой модифицированное уравнение Бесселя [9], имеющее только мнимые корни. На этом основании случай ^ < 0 следует исключить из дальнейшего рассмотрения. Во втором случае при ^ = 0 находим

д ф + дф

дг2 гдг г2

-4- = 0;

д2 ф

дх

•2

= 0,

а

откуда

C

ф = Сг + Cl; r

ф = с2 x+с ,

и

( С Л ю0=фф = Cr + — \(С2х + С )•

V r J

(10)

В решении (10) константу интегрирования С2 следует положить равной нулю в соответствии с первым граничным условием (6), согласно которому при х = да азимутальный вихрь должен иметь конечное значение, равное

ди х д

со 0 =--

2 (1 - ,2 )■

= 4г. (11)

дг дг IV ) _ Положив далее С3 = 1, приходим к выражению (4), отражающему радиальное изменение аксиального вихря при равномерном ползущем течении. При этом согласно ранее полученному имеем С1 = 0, а согласно (11) С = 4.

Таким образом, при ^ = 0 решением задачи (7) является равенство (11). В третьем случае п = > 0, тогда система (9) примет вид

д ф дф дг2 ГдГ

/

1

л

^ n

r у

ф = 0;

д2 ф

дх

•2

-^ПФ = о.

Первое уравнение этой системы является однородным уравнением Бесселя [9], имеющим п-е частное решение

фи = пг),

где Ап — постоянная; Jl(X пг) — функция Бесселя 1-го рода 1-го порядка, а решением второго является

Ф„ = С ехр(^пх) + С2 ехр(-^пх), причем константу С1 здесь согласно первому граничному условию (8) следует положить равной нулю.

При полной системе частных решений получаем ряд Фурье — Бесселя

= Фф = Ё AnJ1 (К r )exP(-K х),

(12)

n =1

где константа С2 вошла в постоянную А

Общее решение задачи (7) запишем как сумму (11) и (12)

(r,X) = ^-^Ц- = 4r + An J (Xnr)exp(-XnX).

dx dr

n = 1

(13)

Получив радиально-аксиальное распределение азимутального вихря в установившемся неравномерном ползущем течении, обратимся к отысканию функции тока которая для двумерного симметричного относительно оси трубы течения связана с радиальными и аксиальными скоростями равенствами

ВЕСТНИК

МГСУ-

4/2014

иГ =--, их =-,

гдх гдг

обращающими уравнение неразрывности

д(гиг) дих

(14)

= 0

гдг дх

в тождество. Подставляя выраженные через функцию тока значения радиальных и аксиальных скоростей в (2), в результате получаем уравнение Пуассона

д2 ¥ д2 ¥ д¥

-+---= -гю0

дх2 дг2 гдг

или, переходя к его нормированной форме, согласно (13) запишем

д2¥ дг¥

+---= -4г2 - Г У (X г)ехр(-Х х),

X дг2 Гдг Л ' К '

■ Ч

где Ч = —.

Я

Положим функцию тока равной сумме Ч (г, х) = ^(г) + ¥2(г, х), где (г) и ¥2 (г, х) — являются решениями уравнений

(15)

д ^

дг2 д2¥,

дх2

Г дг д2Ч. д г2

= -4г

2 .

2 = -г Е АЛ(К г)ехр(-Хя х).

гдг л

п = 1

(16)

(17)

Первое уравнение системы (17) определяет радиальное распределение функции тока при х = да, и приводится к виду

д_ дГ

ГдГ

дих

дГ

= -4Г,

откуда

о

о Адф Л 1 Г с1их = [ d ^ = -4 Г Мг

к а ^ГдГ' г

rdr

МГ

= 2(1 - Г^

IйТ, = 2Д1-г2)Мг или ¥1 = г

( ^ 1 - г-2

(18)

оо V "У

Общее решение второго уравнения системы (17) может быть получено в виде суммы ряда бесконечного множества частных решений

^2 =

п = 1

найденных из уравнений

д2 Ч

2п

+ -

д2 Ч

2п

дЧ

2п

дх2

дг2

гдг

= - АпгМЬ- пг) ехр(-^ пх)-

(19)

(20)

или их =

и

Разложением Фурье частного решения для функции тока на произведение двух сомножителей х¥2п (г, х) = фп (Г) -фп (х), один из которых фп (г) зависит только от текущего радиуса, а второй фп (х) — только от осевой координаты, приведем (20) к виду

Ф,

д2 Фп

дх2

+ Фп

^д2Ф„ дф„

дг2

гдг

= - AnrJl(k nr )exp(-^ пх).

Теперь разделив полученное уравнение на фяфя и перенеся многочлен в скобках в его правую часть, находим

ф дх1

1 + AnrJl(Xn r )exp("^nx)

_ • /-Ч • П 1 V П '

дГ rdr фп

(21)

Можно видеть, что левая часть полученного равенства зависит только от аксиальной координаты, а правая — только от радиальной, если

Ф„ = С exp(-A, nx),

(22)

где С — константа.

Будем искать решение, удовлетворяющее последнему условию, которое позволяет утверждать, что при его выполнении ни левая, ни правая части (21) не зависят ни от х, ни от г, а равны некой общей константе

1 52Ф„

1

ГЯ2

+ A rJx (X r)exp(-XnX)

_ о • • n 1 ^ n /

dr rdr Фп

Ф„ дх2 ф ^ ^

В результате вновь приходим к задаче Штурма — Лиувилля с системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений

-ПФИ = 0;

д Ч

дх2

д2ф„ дфп , . т „ ,ч ехр(-А,пх)

-^г + пФп = -AnrJi (Xnr) vy n '

(23)

дг гдг фя

Легко видеть, что удовлетворяющее условие (22) решение получается из первого уравнения системы (23), если ц = Хп . При этом второе уравнение системы приводится к неоднородному уравнению Бесселя [10]

дг rdr

(24)

где Вп — константа, равная Вп = Ап/С. Положим функцию ф равной

Фп = Фп1 + Фп2, (25)

что позволяет разложить уравнение (24) на два, одно из которых однородное с решением фя1, а второе — неоднородное с решением фя2

^-%- 2 Ф., = о.

dr2 rdr

д2 Ф«2 дФ«2 . ,2

дг2

-^ff-+ h 2 (h r).

rdr

(26)

ВЕСТНИК

МГСУ-

4/2014

Решением первого в системе (26) однородного уравнения Бесселя будет фи1 = пг), (27)

при этом

ЗФп1

дг

= Вп Ь пг0(Ь пГ X

(28)

где Бп — постоянная; J0 (Xпг) — функция Бесселя 1-го рода 0-го порядка. Умножим теперь первое уравнение системы (26) на фп2, а второе — на фп1:

Фп

д2 ф«1 ф«2 дфп1

дг

•2

дг

- + К Ф„ А 2 = 0;

Ф п1

д2 ф»2 Ф«1 дф

дг

дг

- + К фВ 1ф„2 =-ф„1 пГ X

и вычтем из второго первое:

д2 фи

фщ^-фиГ Т"

д2 фи1 1

дг2

дг2

ф„1 -фи2 | = -фИ1 ВпгМХпг). (29) дг дг

Можно видеть, что стоящая в скобках сумма является определителем Вронского или вронскианом

ф дФ"2 ф фп1 —т:--фп 2

дг

дф

п1

дг

фп1 фп 2 ф'п1 ф'п 2

= Ж,

а его производная по г равна первым двум слагаемым уравнения (29)

Ж_А[Ф дФп--ф

.. — .. Ч"п1 Тп 2

дг дг V дг дг

дфп1 д2 Фп 2 ф д2 Ф

-фп 2

= фп1

п1

дг2

дг2

Тогда уравнение (29) может быть переписано в виде

дЖ Ж д (Ж^

-г:---Т = -ф„1 ВпГМ^ пг), или "тт — | = -ф„1 ВЛ(Х пГ )•

дг г дг ^ г )

(30)

Разделяя переменные и подставляя в (30) значение функции фп1 из (27), после интегрирования

Ж

1 ¿1 -I = -ВД 1 З(Х пг

находим

К = Фп! ^-фп Г Т"

дг

дфш =-ВВГ-

дг

2

32(Х пГ) - 30(Х пГ) 32(Х пГ)

+ СпГ.

где J2 (Xпг) — функция Бесселя 1-го рода 2-го порядка; Сп — константа.

Подставим в последнее равенство известные значения функции фп1 и ее производной по г согласно (27) и (28), а также, используя рекуррентные соотношения, связывающие функции Бесселя [9], выразим функцию Бесселя 1-го рода 2-го порядка через функции Бесселя 1-го рода 0-го и 1-го порядков

J2^пГ) = ^^ - Jо(Хп*),

X пг

в результате получим

МКГ) %п^о(к „г )ф„ 2 =

дг

r2

= - Вп — {J?(X пГ) - JпГ)

2 J(k „Г)

k nr

- Jo(k „Г)

С

. (31)

D„

Замечая, что решение этого уравнения может быть получено только при Сп = 0 и в его левой и правой частях имеется только одна комбинация соответствия слагаемых, содержащих J0 (Xпг), а именно

г2 2

-к п30(Х пг )ф„ 2 =- В—32 (к пг),

находим

Ф» 2 =

В 2

n 2 =1^Г J0(к »Л

при этом

дф

2к

В»

В»

^ = -^Jo(X »r)--»-r2 J(X nr). dr X n 2

(32)

(33)

Подставляя выражения (32) и (33) в уравнение (31), нетрудно убедиться в том, что оно тождественно выполняется. Выполняется соответственно и неоднородное уравнение Бесселя в системе (26). Таким образом, согласно (25) имеем

В 2

Фп =Ф„1 + Фп 2 = ВД(к пГ) + J0(X nr),

далее и в результате по (19)

DnrJ (Хп Г) + 2Х-Г2 J (К Г)

С ехр(-Хп x),

^2 = п = Z

п = 1 п = 1

В 2

DnrJi(Xnr) + 2 J0(Xnt)

С exp(-X nx).

При этом общее решение задачи (15) согласно (16) примет вид

W = W1 +^2 = r

■2

Г ■ 2^

1 - Г-2

V у

+ 1

n = 1

В

2Х

DnJX пГ ) + 2 Jо (Х пГ)

С exp(-X nX).

Но согласно (8) и (14) при г = 1 имеем ^ = 0,5 , тогда, следуя полученному распределению, должно выполняться равенство

в

DnJi(Xn) + ) = 0,

откуда

2k nDn_ Jo(X „)

Вп J1(k „)

Подставляя полученный результат в найденное распределение функции тока и замечая, что Ап = ВпС, окончательно находим

ВЕСТНИК

пкич л/ол-л Л

4/2014

2 r2 , x) = r2 1--

г

П |-r00^ Г Jofr n)

2 2 , An n)

I n = i n _ 1 V n>

Ji(Xnr) - rJo(V) exp(-^nX). (З4)

Полученное решение отвечает поставленным граничным условиям (6) и (8). Остается открытым вопрос о значении константы А . Этот вопрос мы рассмотрим в следующей статье, где исследуется распределение аксиальных и радиальных скоростей.

1. Van Dyke M. An Album of Fluid Motion. Stanford. The Parabolic Press. 1982. 184 p.

2. Giesekesus H. A simple Constitutive Equation for Polymer Fluids Based on the Concept of Deformation Dependent Tensorial Mobility // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 1982. Vol. 11. pp. 69—109.

3. Bird R.B., Armstrong R.C., Hassager O. Dynamics of Polymeric Liquids. Vol. 1. Fluid Mechanics. 2nd ed. New York. John Willey and Sons. 1987. 565 p.

4. Снигерев Б.А., Алиев К.М., Тазюков Ф.Х. Ползущее течение вязкоупругой жидкости со свободной поверхностью в условиях неизотермичности // Известия Саратовского университета. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11. Вып. 3(1). С. 89—94.

5. Орехов Г.В., Зуйков А.Л., Волшаник В.В. Контрвихревое ползущее течение // Вестник МГСУ 2013. № 4. С. 172—180.

6. Моделирование и расчет контрвихревых течений / В.К. Ахметов, В.В. Волшаник, А.Л. Зуйков, Г.В. Орехов ; под ред. А.Л. Зуйкова. М. : МГСУ, 2012. 252 с.

7. Зуйков А.Л. Распределение продольных скоростей в циркуляционном течении в трубе // Вестник МГСУ. 2009. № 3. С. 200—204.

8. ВладимировВ.С. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1988. 512 с.

9. Korn G.A., Korn T.M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York. General Publishing Company. 2000. 1151 p.

10. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. М. : Наука, 1971. 288 с.

Поступила в редакцию в январе 2014 г.

Об авторе: Зуйков Андрей Львович — доктор технических наук, профессор кафедры гидравлики и водных ресурсов, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(495) 287-49-14 вн. 14-18, [email protected].

Для цитирования: Зуйков А.Л. Азимутальный вихрь и функция тока в ползущем течении в трубе // Вестник МГСУ 2014. № 4. С. 150—159.

A.L. Zuykov

The article is devoted to the analytical study of the structure of steady non-uniform creeping flow in a cylindrical channel. There are many papers on the hydrodynamics of such flows, mainly related to the production of polymers. Previously we showed that the structure of steady non-uniform creeping flow in a cylindrical tube is determined by the Laplace equation relative to the azimuthal vorticity. The solution of Laplace's equation

Библиографический список

AZIMUTHAL VORTICITY AND STREAM FUNCTION IN THE CREEPING FLOW IN A PIPE

regarding the azimuthal vorticity is dedicated to the first half of the article. Fourier expansion allows us to write the azimuthal vortex in the form of two functions, the first of which depends only on the radial coordinate, and the second depends only on the axial coordinate. Fourier expansion can come to the Sturm — Liouville problem with a system of two differential equations, one of which is homogeneous Bessel equation. The radial-axial distribution of the azimuthal vorticity in the creeping flow is obtained on the basis of a rapidly convergent series of Fourier — Bessel. In the next article the radial-axial distribution of the stream function will be discussed. The solution is constructed from the Poisson equation based on the solution for the azimuthal vortex distribution. Fourier expansion can come to the Sturm — Liouville problem with a system of two differential equations, one of which is inhomogeneous Bessel equation. The inhomogeneous Bessel equation is solved through the Wronskian. The distribution of the stream function is obtained in the form of rapidly converging series of Fourier — Bessel.

Key words: creeping flow, azimuthal vorticity, stream function, Laplace equation, Poisson equations, decomposition of Fourier — Bessel.

References

1. Van Dyke M. An Album of Fluid Motion. Stanford, The Parabolic Press, 1982, 184 p.

2. Giesekesus H. A Simple Constitutive Equation for Polymer Fluids Based on the Concept of Deformation Dependent Tensorial Mobility. Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 1982, vol. 11, pp. 69—109.

3. Bird R.B., Armstrong R.C., Hassager O. Dynamics of Polymeric Liquids. Vol. 1 Fluid Mechanics. 2nd ed. New York, John Willey and Sons, 1987, 565 p.

4. Snigerev B.A., Aliev K.M., Tazyukov F.Kh. Polzushchee techenie vyazkouprugoy zhid-kosti so svobodnoy poverkhnost'yu v usloviyakh neizotermichnosti [Creeping Flow of Visco-elastic Fluid with a Free Surface in a Non-Isothermal]. Izvestiya Saratovskogo universiteta [Proceedings of the Saratov University]. New. Ser. Mathematics. Mechanics. Informatics. 2011, no. 3 (1), pp. 89—94.

5. Orekhov G.V., Zuykov A.L., Volshanik V.V. Kontrvikhrevoe polzushchee techenie [Creeping Counter Vortex Flow]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 4, pp. 172—180.

6. Akhmetov V.K., Volshanik V.V., Zuykov A.L., Orekhov G.V. Modelirovanie i raschet kontrvikhrevykh techeniy [Modeling and Calculation of Counter Vortex Flows]. Moscow, Moscow State University of Civil Engineering Publ., 2012, 252 p.

7. Zuykov A.L. Raspredelenie prodol'nykh skorostey v tsirkulyatsionnom techenii [The Distribution of the Longitudinal Velocity in the Circulation Flow in the Pipe]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering], 2009, no. 3, рp. 200—204.

8. Vladimirov V.S. Uravneniya matematicheskoy fiziki i spetsial'nye funktsii [The Equations of Mathematical Physics and Special Functions]. Moscow, Nauka Publ., 1988, 512 р.

9. Korn G.A., Korn T.M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York, General Publishing Company, 2000, 1151 p.

10. Korenev B.G. Vvedenie v teoriyu besselevykh funktsiy [Introduction to the Theory of Bessel Functions]. Moscow, Nauka Publ., 1971, 288 р.

About the author: Zuykov Andrey L'vovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Hydraulics and Water Resources, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoye shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (495) 287-49-14, ext. 14-18; [email protected].

For citation: Zuykov A.L. Azimutal'nyy vikhr' i funktsiya toka v polzushchem techenii v trube [Azimuthal Vorticity and Stream Function in the Creeping Flow in a Pipe]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 4, pp. 150—159.