CC BY
27
ФИЗИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2016. № 4. С. 27-34.
УДК 621.382 Р.Б. Бурлаков
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ КОРРЕКТИРУЮЩИМИ ФУНКЦИЯМИ В ДВУХКОМБИНАЦИОННОМ ЧЕТЫРЕХЗОНДОВОМ МЕТОДЕ ИЗМЕРЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ТОНКИХ ПРОВОДЯЩИХ СЛОЕВ
Рассмотрены соотношения между корректирующими функциями в двухкомбинаци-онном четырехзондовом методе измерения поверхностного сопротивления тонких проводящих слоев для случая произвольных расстояний между четырьмя зондами, установленными вдоль прямой линии, для различных комбинаций подключения токовых и потенциальных зондов. Представлены формулы для преобразования корректирующих функций в двухкомбинационном четырехзондовом методе.
Ключевые слова: измерения поверхностного сопротивления, двухкомбинационный четырехзондовый метод.
Введение
Одним из основных методов измерения поверхностного сопротивления р8 тонких проводящих слоев является четырехзондовый метод [1]. При реализации этого метода на плоскую поверхность проводящего слоя устанавливают на прямой линии четыре зонда 1, 2, 3 и 4, образующих с образцом точечные контакты. Через два внешних зонда 1 и 4 пропускают ток /14 , а на двух внутренних зондах 2 и 3 измеряют разность потенциалов У2Ъ (комбинация зондов 14,23). Если расстояния между соседними зондами одинаковы и равны 5, то поверхностное сопротивление р8 неограниченного проводящего слоя (толщиной w) с изолирующей границей при «1 рассчитывают по формуле:
Ps = (У2Ъ/11Л) • (*/ 1п2) = (^Д,) • С 14,23 , (1)
где С14 23 =ж/ 1п2 - поправочный коэффициент для этой комбинации зондов. Формулы, отличающиеся от (1) поправочными коэффициентами, для расчета р тонких пластин в виде диска или прямоугольника, имеющих ограниченные размеры по сравнению с расстоянием Э между зондами, приведены также в работах [2-6].
При измерении поверхностного сопротивления р полупроводниковых пластин, слоев и металлических пленок четырехзондовым методом одним из источников случайной погрешности является невоспроизводимость расстояний между зондами, которая приводит к ошибке в определении численного значения поправочного коэффициента, входящего в формулу для расчета р , и ограничивает возможности проведения особо точных измерений при контролировании распределения поверхностного сопротивления по площади однородных полупроводниковых слоев. Для ограничения этого источника случайной погрешности в работе [7] предложен двухкомбинационный четырехзондовый метод измерения поверхностного сопротивления.
Сущность двухкомбинационного метода состоит в том, что измерения разности потенциалов на потенциальных контактах и тока, протекающего через токовые контакты, выполняют для двух комбинаций подключения к
© Бурлаков Р.Б., 2016
зондам источника тока и измерителя напряжения, а затем рассчитывают поверхностное сопротивление, используя соответствующие теоретические соотношения, в которые не входят расстояния между контактами, и в результате этого исключается геометрический фактор (расстояния между контактами) и связанная с ним случайная погрешность измерения. Именно поэтому в стандартной методике измерения поверхностного сопротивления р (Л8ТМ: К-1529-97) применяют двухкомбинационный четырехзондовый метод, реализуемый с помощью двух комбинаций подключения токовых и потенциальных зондов (14,23 и 13,24), установленных на прямой линии [8]. При этом расчет поверхностного сопротивления р выполняют по формуле:
рs = КК, (2)
где ка =-14,696 + 25,173
и ^
V К )
- 7,872
Г К V
V К )
V
К = ^,
V
О - - 24
К = Т' -11 -
(3)
14 -43
Эта методика предложена в [9] и основана на вычислении поправочного коэффициента ка в выражении р = каКа по формуле:
к = ^ 11+/И,
(4)
где а =-
Я
К К
К К
К -1
V
п ' 34
К = — , а корректи-
рующая функция / (а) получена путем решения трансцендентного уравнения [10]:
ск
а-1 1п 2
а+1 / (а) После этого зависимость
1 1п 2 = — ехр——■
2 Р / (а)
к„
от Яа/Яь
представлена в виде полинома второго порядка (3) для диапазона значений Ка/К4 от 1,20 до 1,32.
Однако применение полинома второго порядка (3) для диапазона значений К„/К4 от 1,20 до 1,32 приводит к необходимости использования четырехзондового устройства, в котором отклонения расстояния 5 между зондами от его значения при равномерном их распределении не превышает ±10%, что ограничивает применение двухкомбинаци-онного четырехзондового метода в практике физического эксперимента. В связи с этим возникает задача создания таблиц с малым шагом для корректирующих функций.
В данной работе рассмотрены соотношения между корректирующими функциями в двухкомбинационном четырехзондовом методе измерения поверхностного сопротивления тонких проводящих слоев для случая про-
извольных расстояний между четырьмя зондами, установленными вдоль прямой линии, для различных комбинаций подключения токовых и потенциальных зондов. Представлены формулы для преобразования значений корректирующих функций в двухкомбинаци-онном четырехзондовом методе измерения поверхностного сопротивления проводящих слоев при переходе от одной пары зондовых комбинаций к другой, а также пример таблицы 2 значений корректирующей функции, полученной с помощью одной из этих формул.
Соотношения четырехзондового метода при различных комбинациях подключения зондов
В этом разделе использованы обозначения и формулы, относящиеся к методу измерения р , в основном, из работы [11], так как в ней кроме основных соотношений приведены также некоторые промежуточные математические выкладки.
Итак, в работе [11] в качестве образца рассматривается тонкий электропроводящий слой, выполненный из полупроводника или металла и расположенный на изолирующей плоской подложке (рис. 1). На проводящем слое установлены вдоль прямой линии четыре металлических зонда 1, 2, 3 и 4, которые образуют точечные контакты с этим слоем, при этом ^, э2 и - расстояния между соседними контактами 1-2, 2-3 и 3-4, соответственно, причем любое из расстояний 5 , «2 и , а также расстояние от любого из контактов 1, 2, 3 и 4 до внешнего контура проводящего слоя много больше толщины w этого слоя.
Рис. 1. Образец произвольной формы с четырьмя точечными контактами, расположенными на тонком проводящем слое вдоль прямой линии (случай зондовой комбинации 13,24)
В работе [11] приведены следующие выражения для вычисления поверхностного сопротивления р проводящего слоя при ис-
2
пользовании различных комбинаций подключения токовых и потенциальных зондов в однокомбинационном четырехзондовом методе:
Ps = v3•2л
V
= Vl4 • 2л •
V
Ps = 7^ •2л'
I13
ln
(¿2 + ¿3 )(¿1 + ¿2 )
ln
(¿2 + ¿3 )(¿1 + ¿2 )
(5)
ln
( ¿1
3 )• '
V,
V,
• 2л •
ln
( ¿1 + ¿2 + ¿3 )• ¿2
(6)
Ps =т ^ 2Л
= ^ • 2л-
ln
ln
( ¿2 + ¿3 )( ¿1 + ¿2 ) ( ¿1 + ¿2 + ¿3 )• ¿2
( ¿2 + ¿3 )( ¿1 + ¿2 ) ( ¿1 + ¿2 + ¿3 )• ¿2 _
(7)
При этом в случае зондовых комбинаций: (14,23 и 23,14), (13,24 и 24,13) и (12,43 и 43,12) из формул (5), (6) и (7) получены следующие соотношения для величин:
R14,23 V23 /114 , -^23,14 V14 /123
R13,24 V24 ! I13
R24,13 V13l 1 24
/124 , j 1 /I1 1 и
R4312 = V2/I43, имеющих размерность сопротивления:
R14,23 R23
= R = p • ln ( ¿2 +¿3)( ¿1 +¿2)
2л
R13,24 = R24,13 = Rb = — • ln
Ps_
2л
( ¿1 + ¿2 + ¿3 )•
R = R = R =PlL\n (¿2 +¿3)(¿1 +¿2)
R12,43 R43,12 Rc ~ ln / \
2 л ( Sj + + ) •
, (8) , (9) . (10)
"2 ' "3/
Из формул (8), (9) и (10) следует, что величины Ка , Кь и К удовлетворяют равенству:
К = К + К • (11)
Равенство (11) позволяет вычислить любую из трех величин К , Л4 и Лс, если две другие измерены.
При реализации двухкомбинационного четырехзондового метода можно использовать любую из трех двойных комбинаций: А— С, А—В и В-С, где А — любая из комбинаций (14,23 и 23,14), В — любая из комбинаций (13,24 и 24,13), С — любая из комбинаций (12,43 и 43,12).
В случае использования двух комбинаций А—С из формул (8) и (10) получают уравнение [7; 10; 12]:
ехр (-2лР^а/р8 ) + ехр (~2лКс/рв ) = 1. (12)
Из уравнения (12) можно определить р , если измерены К и Лс . Для этого уравнение (12) преобразуют к виду:
ch
(RJRC )-1 ln2
1
= — exp 2
fi
(13)
.(Д/Д) +1 Л
При получении уравнения (13) использовано равенство: 1п2/Л =л(К + )/р5 , из
которого следует формула для расчета р в рассматриваемом случае: л
Ps =\ol( ra + rc )• f1 '
(14)
где корректирующая функция Л = Л (Яс) есть решение трансцендентного уравнения (13) для измеренных значений К и .
Для случая применения двух комбинаций А—В из формул (8) и (9) можно получить уравнение [11]:
ехр (2лЯа/р8 ) - ехр (2 лЯь/р8 ) = 1, (15) которое преобразуется к виду:
'(Яа/Яь)-1 1п2"
¿h
( RJRb ) +1 f2
2 •exp
V f2 J
(16)
При получении уравнения (16) использовано равенство: 1п2/Л =л(Ка + К)/р , из которого получается формула для расчета р при использовании комбинаций А—В:
р =Л(К° +Кь )• Л, (17)
где корректирующая функция
Л = Л (К /К ) есть решение трансцендентного уравнения (16) для измеренных значений К и К .
Для случая применения двух комбинаций В—С из формул (9) и (10) можно получить уравнение [11]:
ехр ( 2л К/ рБ )- ехр (- 2лЯь! рБ ) = 1, (18) которое преобразуется к виду:
¿h
(Rb/Rc ) +1 ln2
1
= — exp 2
f3
(19)
V ^з J
(Яь/Яс)-1 Л При получении уравнения (19) использовано равенство: 1п2/Л =л(Яъ — )/р , из которого следует формула для расчета р при использовании двух комбинаций В—С: л
Ps =ta2< Rb - Rc f3 '
(20)
где корректирующая функция /3 = /3 (К /Кс) есть решение трансцендентного уравнения (19) для измеренных значений К4 и Кс.
Соотношения между корректирующими функциями в двухкомбинацион-ном четырехзондовом методе измерения поверхностного сопротивления проводящих слоев
Для минимизации записи формул в этом разделе введем следующие обозначения:
а = К , р= К, у = К .
к ' к
я
(21)
Используя равенство (11), выразим а через Р, Р через а , у через а и Р:
а = К =-1^ = К«!К =Р , (22)
К Ка - К Ка/К -1 Р-1
Р =
К К
К К
К К -К К„/Кс -1 а-1
, (23)
у = К = = К К == а -1. (24)
К ка - К ка/К -1 Р-1
Учитывая обозначения (21), формулы (14) и (17) можно записать соответственно в виде:
р =1^( К + К )■ / (а) =
л
1п2'
Я
1 + -
К/К )
л я [ 1 + 1
1п2
а
■ /1 (а) =
■/1 (а) ,
(25)
л
р =л( К + К )■ /2 (Р) =
л
1п2 л
1п2
Я
1 + -
1
Ка/Кь)
/2 (Р) =
Я
1+1
Р
\
/2 (Р) .
(26)
Из сравнения выражений (25) и (26) следует равенство:
1 + 1 Л(а) =
Р
■ /2 (Р). (27)
Из равенства (27) можно получить формулу для преобразования значений корректирующей функции / (Р) в соответствующие значения корректирующей функции / (а) при переходе от пары зондовых комбинаций А-В к паре зондовых комбинаций А-С , а также формулу для преобразования значений корректирующей функции / (а) в соответствующие значения корректирующей функции / (Р) при переходе от пары зондовых комбинаций А-С к паре зондовых комбинаций А-В:
/ ^м+ш. л (Р)=Р1$и (р)=
(а + 1)/а
( 2Р-1)/Р
(Р +1) (2Р-1)
/2 (Р) ,
(28)
где соответствующее значение а расчитывается по формуле (22),
/2 Р) = ОШ-/ (а) = ■ / (а) =
(Р + 1)/Р (2а-1)
(а + 1)
Л-1 ■ /1 (а) ,
а
(29)
(2а -1)
где соответствующее значение Р расчитывается по формуле (23).
Используя обозначения (21), формулу (20) можно записать в виде:
р =Л(К -Кс)■ /з(у) =
1п2
■ К
л 1п2
л
= 1п2
■ К
Ч
V К К)
■ /з (у) =
/з (у) ■
(30)
Подставив формулу (22) в выражение (30), получим:
р8=--К
р 1п2 '
(
!_ Р-1 Р Р
\
■ /з (у)=
л
1п2
■ К
2-Р Р
■ /з (У) ■
(31)
Из сравнения выражений (26) и (31) следует формула:
(
2-Р Р
\
/з (у) = Р + 1
+ ^ . Р
/2 (Р) ,
/з (У) = ■ /2 (Р) , где Р < 2. (32)
V2 Р)
Формула (32) позволяет выполнить преобразование значений корректирующей функции /, (Р) в соответствующие значения корректирующей функции / (у) при
переходе от пары зондовых комбинаций А-В к паре зондовых комбинаций В-С, при этом соответствующее значение у расчитывается
по формуле (24): у = 1/(Р - 1) ■
Подставив формулу (23) в выражение (30), получим:
р* =л- М -1} /з (у) =
1п2 1а а
л* (О-2!-Л (у) ■
(33)
Из сравнения выражений (25) и (33) следует формула:
а" 2 ^ /) = (— ]■ /) ,
а
а
а
■f
а +1 а — 2
f), где а > 2. (34)
Формула (34) позволяет выполнить преобразование значений корректирующей функции f (а) в соответствующие значения
корректирующей функции f (у) при переходе от пары зондовых комбинаций A-C к паре зондовых комбинаций В-С, при этом соответствующее значение у расчитывается
по формуле (24) : у = а — 1.
Таким образом, полученные выше соотношения между корректирующими функциями в двухкомбинационном четырехзондо-вом методе измерения поверхностного сопротивления проводящих слоев позволяют выполнять преобразования значений корректирующих функций при переходе от одной из трех пар зондовых комбинаций: A-C, A-B и B-C, к другой паре комбинаций. Однако предварительно должны быть получены значения хотя бы одной из трех корректирующих функций: f (а) , f (ß) и f (у) , в некотором диапазоне значений ее аргумента
путем решения соответствующего трансцендентного уравнения: (13), (16) или (19). Следует отметить, что наиболее полная таблица значений корректирующей функции: Л (а) в диапазоне значений а от 1 до 200 (с шагом 0,1 в диапазоне значений а от 1 до 20 и с шагом 1,0 в диапазоне значений а от 20 до 200) дана в работе [13]. Однако для широкого круга читателей доступ к полному тексту этой работы затруднен. В связи с этим ниже представлена довольно полная таблица 1 значений корректирующей функции /2 ,
которые получены в данной работе путем решения трансцендентного уравнения (16). Значения корректирующей функции /2 ,
представленные в таблице 1, использованы далее для вычисления представленных в таблице 2 значений корректирующей функции Л (а) путем применения формулы (28):
,, Ч (1 + 1) ,/дЧ
а (2^-1) ^ , в которой соответ-
ствующие значения а расчитывались по формуле (22): а=^{р~ 1) .
Функция f (ß) для различных значений отношения ß = Ra/Rb
Таблица 1
ß f2(ß) ß f2(ß) ß f2(ß) ß f2(ß)
1,05 0,311993 1,58 0,771003 2,55 1,130729 6,8 1,611852
1,06 0,330027 1,59 0,776435 2,6 1,143388 7 1,621662
1,07 0,346602 1,6 0,78181 2,65 1,155673 7,2 1,630988
1,08 0,36204 1,61 0,78713 2,7 1,1676 7,4 1,639863
1,09 0,376558 1,62 0,792395 2,75 1,179185 7,6 1,648321
1,1 0,390311 1,63 0,797607 2,8 1,190443 7,8 1,65639
1,11 0,403414 1,64 0,802766 2,85 1,20139 8 1,664096
1,12 0,415957 1,65 0,807874 2,9 1,212037 8,2 1,671464
1,13 0,428009 1,66 0,812932 2,95 1,222397 8,4 1,678515
1,14 0,439625 1,67 0,81794 3 1,232483 8,6 1,685269
1,15 0,450851 1,68 0,8229 3,05 1,242305 8,8 1,691745
1,16 0,461725 1,69 0,827812 3,1 1,251873 9 1,697959
1,17 0,472279 1,7 0,832677 3,15 1,261199 9,2 1,703928
1,18 0,48254 1,71 0,837496 3,2 1,270291 9,4 1,709665
1,19 0,492531 1,72 0,84227 3,25 1,279158 9,6 1,715183
1,2 0,502272 1,73 0,847 3,3 1,287809 9,8 1,720496
1,21 0,51178 1,74 0,851686 3,35 1,296251 10 1,725613
1,22 0,521071 1,75 0,85633 3,4 1,304492 10,2 1,730547
1,23 0,530158 1,76 0,860931 3,45 1,31254 10,4 1,735306
1,24 0,539054 1,77 0,86549 3,5 1,320401 10,6 1,739899
1,25 0,54777 1,78 0,870009 3,55 1,328082 10,8 1,744336
1,26 0,556315 1,79 0,874488 3,6 1,335589 11 1,748624
1,27 0,564698 1,8 0,878927 3,65 1,342928 11,2 1,75277
1,28 0,572928 1,81 0,883328 3,7 1,350104 11,4 1,756782
1,29 0,58101 1,82 0,88769 3,75 1,357124 11,6 1,760665
1,3 0,588953 1,83 0,892015 3,8 1,363992 11,8 1,764426
1,31 0,596762 1,84 0,896302 3,85 1,370714 12 1,768071
1,32 0,604443 1,85 0,900553 3,9 1,377293 12,2 1,771605
1,33 0,612001 1,86 0,904768 3,95 1,383735 12,4 1,775032
1,34 0,619442 1,87 0,908948 4 1,390043 12,6 1,778358
1,35 0,626768 1,88 0,913093 4,1 1,402277 12,8 1,781587
1,36 0,633985 1,89 0,917203 4,2 1,414026 13 1,784724
1,37 0,641097 1,9 0,921279 4,3 1,425318 13,2 1,787771
Окончание табл. 1
Р ш Р ш Р ш Р ш
1,38 0,648107 1,91 0,925322 4,4 1,43618 13,4 1,790733
1,39 0,655018 1,92 0,929332 4,5 1,446636 13,6 1,793614
1,4 0,661834 1,93 0,93331 4,6 1,456708 13,8 1,796417
1,41 0,668558 1,94 0,937255 4,7 1,466418 14 1,799144
1,42 0,675193 1,95 0,941169 4,8 1,475785 14,2 1,801799
1,43 0,68174 1,96 0,945052 4,9 1,484827 14,4 1,804385
1,44 0,688204 1,97 0,948904 5 1,493561 14,6 1,806904
1,45 0,694586 1,98 0,952726 5,1 1,502002 14,8 1,809359
1,46 0,700888 1,99 0,956518 5,2 1,510164 15 1,811753
1,47 0,707113 2 0,96028 5,3 1,518062 15,5 1,817481
1,48 0,713262 2,05 0,978662 5,4 1,525709 16 1,822872
1,49 0,719339 2,1 0,996362 5,5 1,533115 16,5 1,827952
1,5 0,725343 2,15 1,013421 5,6 1,540293 17 1,83275
1,51 0,731278 2,2 1,029876 5,7 1,547253 17,5 1,837287
1,52 0,737145 2,25 1,045762 5,8 1,554004 18 1,841584
1,53 0,742945 2,3 1,061111 5,9 1,560556 18,5 1,84566
1,54 0,748681 2,35 1,075951 6 1,566918 19 1,849532
1,55 0,754353 2,4 1,090309 6,2 1,579102 19,5 1,853214
1,56 0,759963 2,45 1,104209 6,4 1,590618 20 1,85672
1,57 0,765512 2,5 1,117676 6,6 1,601519 21 1,863252
Таблица 2
Функция / (а) для различных значений отношения а= Ка/Кс
а ВД а ад а Л(а) а ВД
21 0,5814418 2,724138 0,9209199 1,645161 0,9790455 1,172414 0,9978133
17,66667 0,6070132 2,694915 0,9224616 1,625 0,980047 1,166667 0,997946
15,28571 0,6293567 2,666667 0,9239576 1,606061 0,9809781 1,16129 0,998067
13,5 0,6491755 2,639344 0,9254096 1,588235 0,9818452 1,15625 0,9981776
12,11111 0,6669543 2,612903 0,9268194 1,571429 0,982654 1,151515 0,9982789
11 0,683044 2,587302 0,9281886 1,555556 0,9834097 1,147059 0,9983721
10,09091 0,6977087 2,5625 0,9295189 1,540541 0,9841169 1,142857 0,9984578
9,333333 0,7111528 2,538462 0,9308117 1,526316 0,9847797 1,138889 0,998537
8,692308 0,7235387 2,515152 0,9320685 1,512821 0,9854016 1,135135 0,9986102
8,142857 0,7349979 2,492537 0,9332907 1,5 0,9859861 1,131579 0,9986781
7,666667 0,7456386 2,470588 0,9344794 1,487805 0,986536 1,128205 0,9987411
7,25 0,7555508 2,449275 0,935636 1,47619 0,9870541 1,125 0,9987997
6,882353 0,7648108 2,428571 0,9367616 1,465116 0,9875427 1,121951 0,9988543
6,555556 0,7734836 2,408451 0,9378574 1,454545 0,9880041 1,119048 0,9989052
6,263158 0,7816251 2,388889 0,9389244 1,444444 0,9884403 1,116279 0,9989529
6 0,7892839 2,369863 0,9399636 1,434783 0,988853 1,113636 0,9989975
5,761905 0,7965022 2,351351 0,940976 1,425532 0,989244 1,111111 0,9990393
5,545455 0,8033173 2,333333 0,9419626 1,416667 0,9896147 1,108696 0,9990785
5,347826 0,8097622 2,315789 0,9429241 1,408163 0,9899665 1,106383 0,9991154
5,166667 0,8158661 2,298701 0,9438616 1,4 0,9903006 1,104167 0,9991501
5 0,8216552 2,282051 0,9447758 1,392157 0,9906183 1,102041 0,9991828
4,846154 0,8271527 2,265823 0,9456674 1,384615 0,9909207 1,1 0,9992136
4,703704 0,8323798 2,25 0,9465373 1,377358 0,9912086 1,098039 0,9992428
4,571429 0,8373556 2,234568 0,9473861 1,37037 0,991483 1,096154 0,9992703
4,448276 0,8420971 2,219512 0,9482145 1,363636 0,9917447 1,09434 0,9992964
4,333333 0,8466199 2,204819 0,9490232 1,357143 0,9919945 1,092593 0,9993211
4,225806 0,8509387 2,190476 0,9498129 1,350877 0,9922331 1,090909 0,9993445
4,125 0,855066 2,176471 0,950584 1,344828 0,9924612 1,089286 0,9993667
4,030303 0,859014 2,162791 0,9513373 1,338983 0,9926794 1,087719 0,9993879
3,941176 0,8627935 2,149425 0,9520732 1,333333 0,9928882 1,086207 0,9994079
3,857143 0,8664147 2,136364 0,9527923 1,322581 0,9932798 1,084746 0,9994271
3,777778 0,8698868 2,123596 0,9534951 1,3125 0,9936399 1,083333 0,9994452
3,702703 0,8732182 2,111111 0,9541821 1,30303 0,9939718 1,081967 0,9994626
3,631579 0,8764171 2,098901 0,9548538 1,294118 0,9942784 1,080645 0,9994791
3,564103 0,8794907 2,086957 0,9555106 1,285714 0,9945621 1,079365 0,9994949
3,5 0,8824457 2,075269 0,956153 1,277778 0,9948251 1,078125 0,99951
3,439024 0,8852886 2,06383 0,9567815 1,27027 0,9950696 1,076923 0,9995244
3,380952 0,8880252 2,052632 0,9573963 1,263158 0,995297 1,075758 0,9995382
Окончание табл. 2
а fi(a) а fi(a) а fi(a) а fi(a)
3,325581 0,890661 2,041667 0,957998 1,25641 0,9955091 1,074627 0,9995514
3,272727 0,893201 2,030928 0,9585868 1,25 0,9957071 1,073529 0,999564
3,222222 0,8956501 2,020408 0,9591632 1,243902 0,9958923 1,072464 0,9995762
3,173913 0,8980128 2,010101 0,9597275 1,238095 0,9960658 1,071429 0,9995878
3,12766 0,9002932 2 0,9602801 1,232558 0,9962285 1,068966 0,9996148
3,083333 0,9024953 1,952381 0,9628776 1,227273 0,9963813 1,066667 0,9996393
3,040816 0,9046228 1,909091 0,965226 1,222222 0,996525 1,064516 0,9996615
3 0,906679 1,869565 0,9673564 1,217391 0,9966603 1,0625 0,9996817
2,960784 0,9086673 1,833333 0,9692953 1,212766 0,9967878 1,060606 0,9997001
2,923077 0,9105907 1,8 0,971065 1,208333 0,9969082 1,058824 0,999717
2,886792 0,9124522 1,769231 0,9726849 1,204082 0,9970219 1,057143 0,9997325
2,851852 0,9142544 1,740741 0,9741716 1,2 0,9971294 1,055556 0,9997468
2,818182 0,9159999 1,714286 0,9755393 1,192308 0,9973277 1,054054 0,9997599
2,785714 0,9176912 1,689655 0,9768005 1,185185 0,9975062 1,052632 0,9997721
2,754386 0,9193304 1,666667 0,9779661 1,178571 0,9976673 1,05 0,9997938
При измерении поверхностного сопротивления р тонкого проводящего слоя, расположенного на изолирующей плоской подложке, выполняют последовательно измерения токов и напряжений для любых двух комбинаций зондов, например, А-С (или А-В), где А - любая из комбинаций (14,23 и 23,14), В - любая из комбинаций (13,24 и 24,13), С - любая из комбинаций (12,43 и 43,12). Переход от одной зондовой комбинации к другой осуществляют путем изменения подключения внешних проводников измерительной схемы к четырем клемам на выносной плате, к которым подключены одинаковые (по длине и площади сечения) соединительные проводники от металлических зондов. Затем расчитывают значения величин:
V V
V V
VV
г> _ ' 2з _ ' 14 г> _ 24 _ ' 1з г> _ 4з _ ' 12
К = Т ~ Т' К = ~Г ~ Т' Кс = Т~ ~ Т ■
14 2з "Чз 24 12 4з
Расчет поверхностного сопротивления р тонкого проводящего слоя выполняют по одной из формул (25) или (26), в которых применены обозначения: а = Ка/Кс , Р = Ка/Кь ■
При этом используют взятые из таблицы 2 (или 1) значения корректирующей функции f (а) или f (ß) , соответствующие измеренным значениям а или ß. Если при измерении ps используется, например, пара зондовых комбинаций A-B и, соответственно, значения корректирующей функции f (ß) , взятые из таблицы 1, где шаг значений аргумента ß составляет 0,01 в диапазоне его значений от 1,05 до 2,0, то для сокращения времени обработки результатов измерения формулу (26) можно представить в виде:
\ + -f (ß) = kßRa, (35)
Р = £2 R
ß
где значения поправочного коэффициента k , вычисленные по формуле:
kß - 1П^2
f
1
Л
1+-V ß
представлены в таблице 3.
• f (ß),
Таблица 3
Поправочный коэффициент к/; для различных значений отношения Р = Я;/Я„
ß kß ß kß ß kß ß kß
1,05 2,7593943 1,29 4,6723318 1,53 5,5653189 1,77 6,1358244
1,06 2,9054569 1,3 4,7202964 1,54 5,5938887 1,78 6,1553515
1,07 3,0375404 1,31 4,7670108 1,55 5,6219525 1,79 6,174606
1,08 3,1586428 1,32 4,8125327 1,56 5,6495252 1,8 6,1935938
1,09 3,2708132 1,33 4,8569188 1,57 5,676621 1,81 6,2123207
1,1 3,3755257 1,34 4,9002191 1,58 5,7032535 1,82 6,2307925
1,11 3,4738825 1,35 4,9424823 1,59 5,7294355 1,83 6,2490146
1,12 3,566734 1,36 4,9837521 1,6 5,7551796 1,84 6,2669924
1,13 3,654753 1,37 5,0240694 1,61 5,7804977 1,85 6,2847309
1,14 3,7384828 1,38 5,063474 1,62 5,8054013 1,86 6,3022353
1,15 3,81837 1,39 5,1020016 1,63 5,8299015 1,87 6,3195103
1,16 3,8947874 1,4 5,1396865 1,64 5,8540088 1,88 6,3365607
1,17 3,9680498 1,41 5,1765606 1,65 5,8777334 1,89 6,3533911
1,18 4,0384265 1,42 5,2126542 1,66 5,9010852 1,9 6,3700059
1,19 4,1061498 1,43 5,2479957 1,67 5,9240737 1,91 6,3864095
1,2 4,1714223 1,44 5,2826119 1,68 5,9467078 1,92 6,402606
1,21 4,2344214 1,45 5,3165285 1,69 5,9689964 1,93 6,4185996
Окончание табл. 3
3 kp 3 kp 3 kp 3 kp
1,22 4,2953041 1,46 5,3497693 1,7 5,990948 1,94 6,4343942
1,23 4,3542101 1,47 5,3823574 1,71 6,0125708 1,95 6,4499936
1,24 4,4112643 1,48 5,4143143 1,72 6,0338725 1,96 6,4654017
1,25 4,4665785 1,49 5,4456607 1,73 6,0548609 1,97 6,4806221
1,26 4,5202545 1,5 5,4764161 1,74 6,0755433 1,98 6,4956584
1,27 4,5723839 1,51 5,5065992 1,75 6,0959268 1,99 6,510514
1,28 4,6230511 1,52 5,5362279 1,76 6,1160183 2 6,5251923
Заключение
Таким образом, в данной работе получены соотношения (28), (29), (32) и (34) для преобразования значений корректирующих функций f ) , f2 (Ra/Rb) и f (RjRc),
в двухкомбинационном четырехзондовом методе измерения поверхностного сопротивления проводящих слоев при переходе от одной из трех пар зондовых комбинаций: A-C, A-B и B-C, к другой паре комбинаций. Представлена таблица 1 значений корректирующей функции f (Ra/Rj ) , которые получены
в данной работе путем решения трансцендентного уравнения (16). Значения корректирующей функции f (Ra/Rj ) , представленные в таблице 1, использованы для получения таблицы 2 значений корректирующей функции f (Ra/Rc) путем применения формулы (28). ЛИТЕРАТУРА
[1] Valdes L. B. Resistivity Measurements on Germanium for Transistors // Proc. IRE. Feb. 1954. Vol. 42. P. 420-427.
[2] Smits F. M. Measuremant of Sheet Resistivities with the Four-Point Probe // Bell Syst. Tech. J. 1958. Vol. 37. № 5. Р. 711-718.
[3] Vaughan D. E. Four-probe resistivity measurements on small circular specimens // Brit. J. Appl. Phys. 1961. Vol. 12. № 8. P. 414-416.
[4] Sune Thorsteinsson, Fei Wang, Dirch H. Petersen, Torben Mikael Hansen, Daniel Kj&r, Rong Lin, Jang-Yong Kim, Peter F. Nielsen, Ole Hansen. Accurate microfour-point probe sheet resistance measurements on small samples // Rev. Sci. Instrum. 2009. Vol. 80. 053902. P. 1-10.
[5] Nicola Bowler. Four-point potential drop measurements for materials characterization. Topical Review // Measurement Science and Technolody. 2011. Vol. 22. 012001. P. 1-11.
[6] He Kai, Li Yang, Chen Xing, Wang Jianxin, Zhang Qinyao. Influence of finite size probes on the measurement of electrical resistivity using the four-probe technique // Journal of Semiconductors. 2014. Vol. 35. № 8. 082003. P. 1-4.
[7] Rymaszewski R. Empirical method of calibrating a 4point microarry for measuring thin-film-sheet resistance // Electron. Lett. 1967. Vol. 3. № 2. P. 5758.
[8] Standard Test Method for Sheet Resistance Uniformity Evaluation by In-Line Four-Point Probe with the Dual-Configuration Procedure. ASTM (American Society for Testing and Materials). Designation: F 1529-97.
[9] Perloff D. S., Gan J. N., Wahl F. E. Dose Accuracy and Doping Uniformity of Ion Implant Equipment // Solid State Technology. 1981. Vol 24. № 2. P. 112-120.
[10] Van der PauwL. J. A Method of Measuring Specific Resistivity and Hall Effect of Discs of Arbitrary Shape // Philips Research Reports. 1958. Vol. 13. № 1. P. 1-9.
[11] Бурлаков Р. Б., Ковивчак В.С. К вопросу об измерении удельного сопротивления проводящих слоев четырехзондовым методом // Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 2. С. 59-68.
[12] Van der Pauw L. J. A Method of Measuring the Resistivity and Hall Coefficient on Lamellae of Arbitrary Shape // Philips Technical Review. 1958/1959. Vol. 20. № 8. P. 220-224.
[13] Ramadan A. A., Gould R. D., Ashour A. On the Van der Pauw method of resistivity measurements // Thin Solid Films. 1994. Vol. 239. Issue 2. P. 272275.
