CC BY
149
Но предложенный алгоритм имеет и существенный недостаток — это требования к свободной памяти. Помимо того, что требуется, по крайней мере, один дополнительный буфер размером 1024*8 байт для хранения вычисленных значений, также требуется буфер примерно такого же объема для хранения массива поворачивающих коэффициентов. В предложенном алгоритме они располагаются последовательно друг за другом для каждой из 1024 «бабочек». Конечно, можно сделать и повторное использование поворачивающих коэффициентов, но это приведет к увеличению команд и, соответственно, уменьшению скорости выполнения расчета. Так что в каждом конкретном случае разработчик должен решать, что важнее — используемая память или скорость вычисления.
Библиографический список
1. Рабинер, Л. Теория и применение цифровой обработки сигналов / Л. Рабинер, Б. Гоулд : пер. с англ. ; под ред. Ю. И. Александрова. — М. : Мир, 1978. — 848 с.
2. Процессор «Мультикор». [Электронный ресурс]. — иИЬ : http://multicore.ru/index.php?id = 601 (дата обращения: 02.05.2010).
3. Процессор Тідег8ИЛЕ.С. [Электронный ресурс]. - иИЬ : http://www.analog.com/en/embedded-processing-dsp/Tiger SHЛRC/processoгs/TigeгSHЛRC_benchmaгks/fca.html (дата обращения: 13.03.2011).
4. Процессор ТМ5320С67х. [Электронный ресурс]. - ЦБЬ :http://focus.ti.com/dsp/docs/dspplatfoгmscontentaut.tsp?sectionId = 2&familyId = 327&tabId = 499 (дата обращения: 13.03.2011).
5. Альтман, Е. А. Оптимизация вычислительной схемы быстрого преобразования Фурье / Е. А. Альтман. — Омский научный вестник. — 2006. — № 10. — С. 9—11.
ГРИЦУТЕНКО Станислав Семенович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Системы передачи информации».
СИДОРЕНКО Андрей Сергеевич, аспирант кафедры «Системы передачи информации».
Адрес для переписки: e-mail: andrey.s.sidorenko@gmail. com
Статья поступила в редакцию 20.05.2011 г.
© С. С. Грицутенко, А. С. Сидоренко
"ДК 6813 Л. А. ДЕНИСОВА
Омский государственный технический университет
СОБЫТИЙНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦИФРОВОЙ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ_________________________________________
Предлагается подход к исследованию систем управления с переменными параметрами методом событийного моделирования. Представлена математическая модель системы автоматического регулирования, реализованная средствами событийного моделирования МАНАБ/Б1ти!1пк/Stateflow.
Ключевые слова: математическая модель, событийное моделирование, передаточные функции с переменными параметрами, цифровая система автоматического регулирования, переменный период квантования.
Наиболее распространенным средством автоматизации технологических процессов во всех отраслях промышленности являются цифровые автоматические регуляторы. Особенно широко они используются в тепловой и атомной энергетике, где в настоящее время проводится модернизация средств автоматики [1]. Поэтому вопросы создания средств математического моделирования, предназначенных для проектирования и настройки цифровых автоматических регуляторов, являются весьма актуальными.
При разработке систем автоматического регулирования (САР) теплоэнергетических параметров необходимо учитывать особенности объектов автоматизации, характеризующихся, с одной стороны, непрерывностью технологических процессов, а с другой — дискретным характером управляющих воздействий, формируемых цифровой системой регулирования.
Кроме того, нужно иметь в виду, что спроектированная система автоматического регулирования дол-
жна сохранять свои показатели качества при действии возмущающих факторов различной природы, влекущих за собой изменения параметров объекта управления.
Также важным моментом является то, что в реальных цифровых автоматических регуляторах период квантования является нестабильным, переменным, зависящим от времени обработки информации процессорным устройством регулятора, то есть управляющие воздействия на объект управления формируются регулятором через неравные промежутки времени.
Таким образом, цифровая система регулирования, состоящая из непрерывного объекта управления с переменными параметрами и цифрового регулятора, является непрерывно-дискретной, гибридной системой [2] и ее исследование требует применения специального математического аппарата.
В настоящей работе рассмотрен подход к исследованию динамических характеристик системы управ-
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011
Mem
Рис. 1. Схема моделирования САР в среде MATLAB/Simulink/Stateflow
regulator
G>
ffl-
fOi
20 I
Os+iT
pulse regulator
Ж
Pulse
Generator
%
-KD
open/ close
П
pulse regulator 1
представлены модели, выполненные в рамках стандартного набора МАТЪАВ/8ти1тк, в нижней — созданные средствами Statef1ow. Simu1ink-блоки в верхней части схем, представляемые Statef1ow-диаг-раммами выделены тенью. Предусмотрено переключение выходных сигналов, сформированных исследуемыми модельными реализациями.
Рассмотрим подробнее каждую из подсистем.
Подсистема regu1ator (рис. 2) — это модель импульсного регулятора. В верхней части схемы модель построена с помощью стандартных средств Simu1ink. Входящее в состав традиционного импуль-сного регулятора трехпозиционное релейное звено с гистерезисом представлено двумя двухпозиционными реле для входных сигналов разной полярности. В обратной связи присутствует инерционное звено с пере-
к
(к — коэффици-
даточной функцией W(s) -
Рис. 2. Схема моделирования импульсного регулятора
ления с переменными параметрами средствами событийного моделирования. Для представления предлагаемого подхода приводится математическая модель системы автоматического регулирования типового объекта автоматизации — уровня жидкости в резервуаре. Данная модель реализована в интерактивной среде для выполнения научных и инженерных расчетов МАТЬАВ с пакетами расширения Simu-1тк и Statef1ow.
Пакет событийного моделирования Statef1ow, основанный на теории конечных автоматов, предоставляет возможности моделирования процессов, управляемых событиями [3]. Statef1ow является средством, пригодным для проведения вычислительных экспериментов с системами управления, представленными в гибридно-автоматной форме, реализующим графические функции и операторы темпоральной логики.
На рис. 1 приведена математическая модель системы регулирования, выполненная в среде МАТЬАВ/ SimuЦnk/Statef1ow. Модель САР содержит подсистемы: модели цифрового импульсного регулятора, рабочего органа — регулирующего клапана (РК) и технологического объекта управления. Сигнал рассогласования на входе в регулятор формируется алгебраическим суммированием сигналов заданного, текущего значений регулируемого параметра (уровня жидкости в емкости), а также сигнала от жесткой обратной связи по положению РК. Каждая из подсистем включает две модельные реализации: в верхней части
Ts + 1
ент передачи, T — динамическая постоянная звена) с постоянными параметрами, заданными своими численными значениями.
С целью моделирования работы регулятора с переменным периодом квантования в Simulink-модель включена Stateflow-диаграмма, реализующая релейные звенья и инерционного звена в обратной связи.
Stateflow-диаграмма pulse regulator 1 (рис. 3) содержит состояние A_state, вызывающее две графические функции f1 и f2. Графическая функция f1, реализует дискретную модель, которая задается в виде аппроксимирующего разностного уравнения T kh,
Уі -
T + h
yt-1 +
T + h1 где h1 — такт дискрети-
зации; xt, yt (yl_1) — значения входного и выходного сигналов в текущем (предыдущем) такте. Графическая функция f2 реализует функцию релейных элементов с помощью конструкции из точек принятия решений и переходов, которая аналогична схеме «если - то».
Для моделирования системы переменным периодом дискретизации используется функция AFTER темпоральной (временной) логики. Временной логический оператор after — двоичный оператор, операндами которого является количество Stateflow-событий. Для циклической работы состояния A_state предназначено выражение «after(h1,event)», что означает: «активизировать состояние A_state не ранее, чем через h1 временных циклов (наступлений событий «event»)». При этом величина такта квантования h1 носит случайный характер и вычисляется при
e,%
const
Рис. 3. Stateflow-диаграмма pulse regulatorl, реализующая импульсный регулятор с переменным тактом квантования
control valve
Рис. 4. Схема моделирования регулирующего клапана
Рис. 5. Схема моделирования технологического объекта управления
каждой активизации состояния A_state. События «event» задаются в модели Simulink-блоком Pulse Generator (генератор импульсов) с периодом, выбранным в соответствии с тактом дискретизации непрерывной части - модели объекта управления.
Подсистема control valve (рис. 4) представляет собой модель регулирующего клапана, управляющего расходом воды на стоке из емкости, снабженного электрическим исполнительным механизмом (ИМ). Модель РК с ИМ представлена усилительным звеном с коэффициентом передачи, учитывающим пропускную способность клапана и его время хода, а также и интегратором с ограничениями (на схеме выде-
лены тенью). В случае перехода по технологическим причинам на резервный регулирующий клапан его параметры - время хода и ограничения - могут изменяться. Для учета этого в Simulink-модель включена Stateflow-диаграмма, реализующая интегрирующее звено с переменными параметрами. Структура и функции данной Stateflow-диаграммы такие же, как и у рассмотренной ниже Stateflow-диаграммы объекта управления.
Подсистема TOU (рис. 5) — это модель технологического объекта управления, в которой учтено, что уровень в емкости является интегралом от материального баланса между притоком и оттоком жидкости. Поэтому объект управления представлен усилительным звеном с коэффициентом передачи, обратно пропорциональным постоянной интегрирования, а также интегрирующим звеном с ограничениями и возможностью установки начального состояния (на схеме выделены тенью). В случае наличия в резервуаре пароводяной смеси при изменении плотности жидкости, зависящей от давления и температуры, меняются динамические характеристики объекта, а именно, постоянная интегрирования, которая является переменным параметром в рассматриваемой модели.
Для моделирования соответствующего объекту интегрирующего звена с переменными параметрами в Simulink-модель включена Stateflow-диаграмма TOU1. Stateflow-диаграмма TOU1 (рис. 6) вызывается на каждом шаге моделирования. Вычисления производятся с тактом дискретизации h =0,01 с, что позволяет считать процесс непрерывным, так как такт дискретизации цифрового регулятора h1 =0,1 с.
При реализации средствами MATLAB/Simulink передаточная функция интегрирующего звена 1
W(s) =----
может быть задана только своими численными значениями. Соответствующая дискретная модель, которая реализуется средствами Stateflow графической функцией задается в виде аппроксимирующего
h
разностного уравнения
Уі = Ун + 2p(xt + xt-i)
', где
In1
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
263
File Edit View Simulation Tools Add Help
eye t » a I ■> - -f n и ■Jjajsj в® їй ® і»
Рис. 6. Stateflow-диaгpaммa ТОШ, реализующая передаточную функцию интегрирующего звена с переменными параметрами
700
s
s- 600 _ü
® 500
ш
ä 400
0
0
1
jlllll 1
150 200
t,c
0
50
100
250
300
350
150 200
t,c
Рис. 7. Переходные характеристики САР при моделировании в среде MATLAB/Simulink/Stateflow (возмущение заданием на 20 %)
h — такт дискретизации; xt, (xt_1), yt (yt—1) - значения входного и выходного сигналов в текущем (предыдущем) такте.
Stateflow-диаграмма TOU1 содержит четыре состояния. В начальный момент активно состояние ожидания waiting, которое является общим источником для состояний A — C. Переход из состояния waiting к одному из трех остальных состояний происходит через подключаемое соединение (точку принятия решения). В зависимости от значения переменной select (соответствует определенному режиму работы системы) выполняется переход в одно из состояний A — C.
Каждое из состояний A — C вызывает графические функции f1 и f2, имея свой набор фактических параметров, включая постоянную интегрирования реализуемой передаточной функции. Графическая функция f1 возвращает в качестве результата выходной сигнал передаточной функции без учета ограниче-
ний. Графическая функция f2 реализует ограничения интегратора. Такая реализация упрощает Stateflow-модель: вместо того, чтобы определять значение выходной переменной внутри каждого из состояний, оно определяется единожды в графических функциях. При изменении режима работы системы и значения select через внутренний переход происходит возврат к подключаемому соединению и к новому состоянию из A — C.
На рис. 7 приведены результаты расчета в среде MATLAB/Simulink/Stateflow переходных характеристик САР при отработке регулятора с переменным тактом дискретизации возмущения заданием на 20%/
Предлагаемая модель интегрирующего звена с ограничениями с переменными параметрами совместно с моделью апериодического звена с переменными параметрами, также выполненной средствами MATLAB/Simulink/Stateflow [4], предназначена для имитации работы САР в случаях, когда из опыта эксплуатации известно, что характеристики объекта управления изменяются при его функционировании.
Использование предлагаемого подхода делает возможным на имитационной модели с переменными параметрами провести испытания и настройку систем управления в различных режимах работы, что значительно сокращает сроки их проектирования.
Библиографический список
1. Методы классической и современной теории автоматического управления : учебник. В 5 т. Т. 3. Синтез регуляторов систем автоматического управления / Под ред. К. А. Пупкова и Н. Д. Егу-пова. — М. : Изд-во МГТУ им Н.Э. Баумана, 2004. — 616 с.
2. Рогачёв, Г. Н. Использование гибридно-автоматного метода для описания систем автоматизации и управления / Г. Н. Рогачёв // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2009. — № 12. - С. 14-19.
3. Дьяконов, В. П. MATLAB 6.5 SP1/7 + Simulink 5/6 в математике и моделировании / В. П. Дьяконов. - М. : Солон-Пресс, 2005. - 576 с.
H
H
50
100
300
2
0
0
50
100
300
50
4. Денисова, Л. А. Событийное моделирование системы автоматического регулирования питания парогенератора энергоблока АЭС / Л. А. Денисова, Е. М. Раскин // Омский научный вестник. — 2010. — №3 (93). — С. 204 — 209.
ДЕНИСОВА Людмила Альбертовна, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Ав-
томатизированные системы обработки информации и управления».
Адрес для переписки: e-mail: [email protected]
Статья поступила в редакцию 06.07.2011 г. © Л. А. Денисова
"ДК 519653 А. В. МАЙСТРЕНКО
А. А. СВЕТЛАКОВ Р. О. ЧЕРЕПАНОВ
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ МАТРИЦЫ ГИЛЬБЕРТА И ПРИЧИН ЕЕ ПЛОХОЙ ОБУСЛОВЛЕННОСТИ____________________________________
В данной статье проводится анализ важнейших свойств матриц Г ильберта и формулируются две предполагаемые причины их плохой обусловленности. Приводятся некоторые результаты экспериментальных исследований, выполненных с целью подтверждения или опровержения гипотетических причин плохой обусловленности данных матриц.
Ключевые слова: матрица, норма, элемент, масштабирование, представление чисел.
Введение
При исследовании различных алгоритмов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), обращения матриц и т.п. очень часто используются широко известные матрицы Гильберта. Данные матрицы интересны тем, что они очень плохо обусловлены даже для сравнительно небольших значений их порядка и, соответственно, числа их обусловленности с увеличением порядка очень быстро растут [1]. Именно эта особенность матриц Гильберта обусловливает их широкое использование в качестве своего рода оселка, с помощью которого проверяются и оттачиваются свойства различных вычислительных алгоритмов решения СЛАУ, обращения матриц и т.п.
Анализ особенностей матрицы Гильберта
Как известно [1], с матрицей Гильберта часто приходится сталкиваться при решении задачи аппроксимации функций алгебраическими полиномами. При этом ошибку аппроксимации обычно оценивают с помощью евклидовой метрики. Так как данная метрика является дифференцируемой функцией по каждому из неизвестных коэффициентов полинома, то ее минимум достигается при равенстве нулю частных производных по каждому из коэффициентов. Произведя все необходимые операции, получаем СЛАУ следующего вида: , ,
Не = Ь, (1)
где Н — квадратная порядка т матрица, элементы которой определяются равенствами
i + j - 1
; i,j = 1,m,
(2)
е — т-мерный вектор-столбец, составленный из неизвестных коэффициентов с., 1 = 1, т полинома;
,
Ь — т-мерный вектор-столбец, компоненты Ь. которого вычисляются в соответствии с равенствами:
Ь = 17(1) 1(1 -1)сй = 0, 1 = 1, т, (3)
о
где у(1) — аппроксимируемая функция.
Полученная выше матрица Н является матрицей Гильберта, далее будем обозначать ее символом «Нт», индекс т в котором указывает ее порядок.
Рассмотрим ряд особенностей матрицы Нт, представляющих интерес с точки зрения рассматриваемых в данной работе вопросов. Первые три из них обнаруживаются при рассмотрении равенства (2) и заключаются в следующем:
1. Матрица Нт является симметричной относительно ее главной диагонали, и все ее элементы являются рациональными числами. При этом максимальным ее элементом является элемент И11, а минимальным — элемент Итт и эти элементы определяются равенствами
а) Ьи = 1 и б) Ьтт=1/(2т-1),
все элементы матрицы Н, кроме И11 = 1, строго меньше единицы.
2. Диагональные элементы И11 матрицы Нт с увеличением индекса 1 монотонно уменьшаются. При
1
h
Ч
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
