Смешанные сферические функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

принципов функционирования оптового рынка электроэнергии представляется крайне затруднительным.

В связи с этим автором предлагается постановка задачи в упрощенном виде, сохраняющем, по мнению автора, основные принципы модели: ряд ограничений опускается, некоторые представлены в ином виде. Упрощенная модель используется для проведения экспериментов по методу Монте-Карло. Результатом вычислительного эксперимента является построение графиков плотностей распределения узловых цен и оценка эффективности использования субъектом оптового рынка статистики при подаче ценовых заявок. Комплекс вычислительных процедур реализован с использованием вычислительной системы Maple.

Миронов Денис Александрович Пермский государственный ун-т Россия, Пермь

e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 10 мая 2007 г.

СМЕШАННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1

© В. Ф. Молчанов, М. Ю. Сидляр

Пусть имеются два однородных пространства X и У с одной и той же группой движений С. В задачах теории представлений и гармонического анализа, связанных с парами таких пространств, естественно возникают «смешанные» сферические функции. Мы обсудим эту ситуацию на примере пары двойственных гиперболоидов в пространстве М” с лоренцовой сигнатурой.

В пространстве М” возьмем билинейную форму сигнатуры (1,п — 1):

[х, у] = —ХхУх + Х2У2 + ... + Хпуп.

Группа С = ЯОо (1, п — 1) сохраняет эту форму. Мы считаем, что С действует на М” справа: х ^ хд (соответственно этому мы пишем векторы в виде строки). Рассмотрим следующие однородные пространства: X : [х,х] = 1 (однополостный гиперболоид), У : [х, х] =

= —1,х1 > 0 (пола двуполостного гиперболоида), С : [х,х] = 0,х1 > 0 (конус). Возьмем начальные точки: х0 = (0,..., 0,1) € X, у0 = (1, 0,..., 0) € У. Стационарные подгруппы этих точек: Н = ЯО0 (1, п — 2), К = ЯО(п — 1).

хРабота поддержана РФФИ (проекты № 05-01-00074а, № 05-01-00001а, №06-06-96318 р_центр_а, №07-01-91209 ЯФ_а), Голландской организацией научных исследований (ЫШО) (проект №047-017-015), научной программой «Развитие Научного Потенциала Высшей Школы» РНП. 2.1.1.351 и темпланом № 1.2.02.

Напомним [1] представления Та, а € С, связанным с конусом. Пусть 5 — сечение конуса С плоскостью Х\ = 1, оно состоит из точек в = (1, в2,вп), в2 + ... + вП = 1, так что Б — это единичная сфера в Мга_1. Представление Та действует в Р(5) по формуле

(Та(g)<fi)(s) = (Д.-) (Sg)J

Пространство Н-инвариантов в представлении Та двумерно, базис образуют обобщенные функции

еа,£ = [х°,вГ£ = вП£.

где £ = 0,1. Здесь мы используем обозначение ^,£ = |£|^^п£)£. Пространство

К-инвариантов в представлении Та одномерно, базис — тождественная единица т.

Определим смешанную сферическую функцию Фа,е на гиперболоиде У следующим образом

фа, e(y) — (Та (д)ва,£,т )s

= / ea,e(s)[-y,s\2-n-a ds,

JS

где ds — евклидова мера на S, д Е G такой, что у0д — у. Интеграл абсолютно сходится при Re а > — 1, и может быть аналитически продолжен по а во всю плоскость как мероморфная функция (с полюсами там же, где их имеет 9a,e - первого порядка). Функция Фа,е(у) принадлежит Cте(,У), она инвариантна относительно H, следовательно, она зависит только от уп = [x0,y\: Фa,e(y) — Ea,e(yn), где Ea,e(c) — функция из Cте(М). Она имеет интегральное представление:

ГП _____

Ea,e(c) — Qn-2 / (c + л/c2 + 1 cost)a,e(sint)n-3dt,

J0

где Qm — объем единичной сферы в Rm. Отсюда, в частности, вытекает, что она имеет четность е: Ea,e(—c) — ( —1)eEa,e(c). Далее, она является собственной функцией дифференциального оператора

^ , 2 . d2 d v2

D — (c +1) dc2 + 2c* + •

а именно,

DEa, e — а(a + n — 2)Ea,e-Сферическая функция Фо-^ имеет следующее свойство симметрии по а:

ф sin ап ф

2-n-a,e sin(nn/2) — (—1)e sin (а + n/2) п a'e'

Рассмотрим функцию, зависящую от двух комплексных параметров а и т:

P(z) — P(а,т; z) — (z2 — 1)aP-2a(z),

где в правой части стоит функция Лежандра. Функция P(z) аналитична в плоскости с разрезом (—то, —1\.

Теорема. Омешанная сферическая функция Фа, e выражается через функцию P от мнимого аргумента:

Фа,е(у) — (2n)(n-1)/2 (eian/2 + (—1)ee-ian/2)-1 х

X [P(iyn) + ( —1)eP(—iyn)\ , где в качестве параметров функции P надо взять а — v/2, т — —а — v — 1, v — (n — 3)/2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Молчанов В.Ф. Представления псевдо-ортогональной группы, связанные с конусом // Матем. сб. 1970. Т. 81, №3. C. 358-375.

Молчанов Владимир Федорович Тамбовский государственный ун-т Россия, Тамбов

e-mail: [email protected]

Сидляр Михаил Юрьевич Тамбовский государственный ун-т Россия, Тамбов e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 10 мая 2007 г.

КОМПЛЕКС ОРГАНИЗАЦИОННО-ПЕДАГОГИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ СТУДЕНТОВ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА

( Е. А. Москвина

Проблема нашего исследования заключается в определении путей повышения эффективности и усиления профессиональной направленности математического образования студентов педагогического вуза.

Актуальность проблемы исследования определяется рядом факторов, главный из которых — возрастание требований общества и различных отраслей производства к образовательному, научному и культурному уровню специалистов, к профессиональному мастерству, к развитию творческой личности, способной самостоятельно овладевать новейшими достижениями науки и техники.

Ключевой фигурой реформируемой образовательной системы выступает учитель как творец педагогического процесса, как носитель и субъект общей и профессиональной культуры, от эффективности подготовки которого зависит качество любого другого специалиста. Сегодня, в условиях новых общественно-экономических отношений и изменившихся требований к образованию и подготовке педагогических кадров требуются специалисты, обладающие профессиональной компетентностью, творческим мышлением, ответственные, свободно владеющие своей профессией и ориентированные в смежных областях деятельности, способные к эффективной работе по специальности и готовые к постоянному профессиональному росту.

Квалифицированный учитель математики в условиях резкого ускорения процесса обновления знаний должен иметь не только достаточную фундаментальную подготовку по основам математических наук, но и способности и навыки дальнейшего самообразования, повышения собственной математической культуры, развития его математических способностей и мышления.

В математической подготовке студентов в настоящее время наблюдается ряд существенных недостатков: недостаточная сформированность целостности математических объектов,