CC BY
40
Краткие сообщения
Дифференциальные уравнения
УДК 517.956.32
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Н.Д. Голубева
Самарский государственный технический университет,
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
E-mail: depcy@yandex. ru
Рассматривается нелокальная задача с интегральным условием первого рода для гиперболического уравнения. Доказана однозначная 'разрешимость исследуемой задачи. Для доказательства разрешимости используется метод вспомогательных задач, получена априорная оценка.
Ключевые слова: нелокальная задача, интегральное условие, априорная оценка.
1. Постановка задачи. Рассмотрим в области D = {(x,t) : 0 < х < I, 0 < t < Т; Т < 1} уравнение
Будем считать, что функции ф(х), ф(х), /(ж, 4), К(х) заданы и для них выполнены условия согласования:
Задачи с интегральными условиями образуют один из классов нелокальных задач, к исследованию которых приводят математические модели различных физических процессов. Представляют интерес смешанные задачи для гиперболических уравнений с нелокальными интегральными условиями, они активно изучаются (см. [1-3] и список литературы в них). Задача с двумя интегральными условиями, где вместо граничного условия (3) задаётся интегральное условие вида (4), была
Наталья Дмитриевна Голубева (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. высшей математики и прикладной информатики.
ии ~ ихх + с(х, у)и = /(ж, і) и поставим для него задачу со следующими условиями:
(і)
и{х, 0) = ф{х), щ(х, 0) = ф(х); ux(0,t) = 0,
(2)
(3)
(4)
рассмотрена в [1]. Условие (4), как отмечено в [2], является интегральным условием первого рода, так как содержит лишь значения искомого решения во внутренних точках области.
Используя методы, разработанные в [1], исследуем исходную задачу.
Решением задачи (1)—(4) будем называть функцию u(x,t) G Wf (-D), удовлетворяющую в классическом смысле условиям (2)—(4) и для п. в. (ж, t) G D уравнению (1).
Основной результат работы сформулируем в виде следующей теоремы.
Теорема. Если f(x,t) G L2(D), ft(x,t) G L2(D), ф(х) G W^O, l), ф(х) G W^O,/), K{x) G C2[0, /], c(x,t) G C(D), ct(x,t) G C(D), K'{0) = 0, mo существует, единственное решение задачи (1)-(4).
2. Априорная оценка. Прежде чем доказать основную теорему, докажем следующее утверждение.
Лемма. Если выполнены условия теоремы, то существует постоянная С > 0 такая, что решение задачи (1)-(4) удовлетворяет неравенству
<С{и\\12{в) + \\ф\\12{в) + \\ф\\12{в)). (5)
Доказательство. Пусть и(х, £) — решение задачи (1)-(4). Умножим обе части уравнения (1) на функцию
v(x,t) = К(х) ( (£ - x)K(£)ut(£,t)d£ ■Jo
rl /о
и проинтегрируем по области DT = {(x,t) : 0 < х < 1,0 < t < т;т G [0,Т]}:
/ / (utt — ихх + cu)vdxdt = / fvdxdt. (6)
Jo Jo Jo Jo
Преобразуем первый интеграл в левой части равенства
/1=1 / Uttvdxdt,
Jo Jo
проинтегрировав сначала по ж, затем по t, с учётом условия (4):
/*Т pi рТ pi pi
11 = / / uttvdxdt = / / utt(x,t)K(x) / (£ — х)Кt)d£dxdt
/о Jo Jo Jo
d / rl \ 2
K(£)ut(£,t)d£
0 \J x
I ILLк *
x K(£)utt{£,t)dt^Jdtdx.
Учитывая второе начальное условие (2), имеем
i-i / rl \ 2 1 ri / rl
Jo (/ dx + \ j0 (/ dx-
Преобразуем второй интеграл в левой части равенства
Ь = / / иххус1х<м,
■!о -)о
интегрируя дважды по ж и учитывая условие (4):
/*т А пт А
иххьс1хскЬ = / / ихх(х, 1)К(х) / (£ — х)К(£)щ(£, =
^0 ^0 *х
и{х,г)К'{х) [ (£-х)К(£)щ(£^)(]£
х У
и(х, Ь)К'"(х) ( (£ — х)К(£)«((£, Ь)(Щ(И—
«/ Ж
/0
т А
+1 (и(х7г)К(х)I к(€)щ(€7г)<]£
/о </0
- I [ и(х, Ь)К''(х) [ ио ио -1х
I
г /.г
м(ж, Ь)К'(х) / К(£)щ(£^)с1£с1х&-\-
/ / м(ж, 1)К2 {x)ut{x,t)dxdt.
/о ./о
Вычисляя последний интеграл, интегрируя по частям по 4, а также учитывая условия леммы и первое начальное условие (2), получим
/7
/0 </0
г/.(х,£) /* (_К/7(х)(£ — х) — 2_К/(х))_К(£)г/^(£,£)с££с£хсЙ;-Ь
«/ ж
Н— [ К2(х)и2(х,т)с1х--------------[ К2{х)ф2 (х)с1х.
2 Уо 2 Уд
Теперь равенство (6) можно переписать так:
с1 / 1-1
1
J К(£)щ(£,т)(1£^ с!х + — J К2(х)и2(х,т)с1х =
= \/0 (/ <1х+\/0 К2 (Ж)^2 (ж)йж+
+ [ [ и{х,Ь) [ (К"(х)(х—£)+2К!(х)+
Jо ./о Jx
+ [ ( /(х,Ь)К(х) [ (х — £)К(£)щ(£, ^с1£с1х&+
Jо ./о ./ж
О ./0
+ С(ж, Ь)К(ж)(£ — х))К(£)щ(£, ^с1£с1хсИ. Оценим интегралы в правой части этого равенства с помощью неравенства Коши: ,-1 / ,-1 \ 2 1 /•;
J К(£)щ(£,т)с1£^ dx + - J K2{x)u2{x,т)dx ^
К(ОФ(0^^] Н— I K2(x)ф2(x)dx + 3 I I f2(x,t)dxdt+
/ 2 Уд ./о
* Jo V® / ^ ./о ./о ./о
+ I I (2К2(х)х2 + К2{х)12) ( I К(£)щ(£,Ь)с1£\ <1х<М + 3 I I и2(х,Ь)(1х(М-\-Jo ио \их / ио и о
+ I J (К''(х)х + 2К'(х) — С(х,1)К(х)х)2 К(£)щ(£,Ь)с1£^ с1хсИ+
+ 1о 1о ^~К"^ + С<ух^)К<ух))2(х2 + /2)(/ <1хЛ-
Из условий леммы следует, ЧТО найдутся такие положительные постоянные 771, М, N. что
РІ
т
I (и2(х,т)+(^! К(£)щ(£,т)<3£^ ^сіх^ <
J J ^м2(ж,і) + (У 7С(£)м((£, ^с1хсИ+
+ м( [ [ /2(ж,^сіхсИ + [ ф2(х)с1х+ [ ф2(х)сЬ
\Уо Jo ■!о ій
Н ^ К(х,Ь) ^ к, Ы ^ К'(х,Ь) ^ /г', к" ^ К"(х,Ь) ^ /г", где 2т = тт(/г2,1), М = = тах(3, 3/г2/2 + (/г"/ + 2к' + сок1)2 + 2{к" + сок)212), 2М = тах(/г2, /г2/2, 6).
Применив лемму Гронуолла из работы [5], получим неравенство (5) с константой С = Мемт/тП
3. Доказательство теоремы существования и единственности решения задачи
(1Н4). Так как неравенство, полученное в лемме, справедливо для любого г (Е [О, Т], то из неравенства (5) при / = 0, ф = 0, ф = О следует, что не может существовать более одного решения задачи (1)-(4).
Аналогично [1] сведём исходную задачу к операторному уравнению.
Пусть и{х, £) удовлетворяет уравнению (1) и условиям (3), (4). Умножим (1) на К (ж) и проинтегрируем по х от 0 до I:
/ К(х)ии(х,Ь)с1х — / К(х)ихх(х,Ь)с1х + / К(х)с(х,Ь)и(х,Ь)с1х = /о ио Jo
= [ К(х)/(х^)с1х.
■) о
Вычисляя здесь второй интеграл по частям, с учётом условий (3) и (4) получим
—К(1)их(1,Ь)+ / (К'(х)их(х, £) + с(х,Ь)К(х)и(х,Ь))с1х = / К(х)/(х,Ь)с1х. ио ./о
Пусть и{х,Ь)—решение второй краевой задачи для уравнения (1) с граничными условиями вида (3) и
мж(/,г) =/х(£) (7)
и начальными условиями (2).
Если /х(£) можно подобрать так, чтобы выполнялось условие (4), то и{х,Ь) будет решением исходной задачи (1)-(4).
Пусть /х(£) € И^О,!1), м(^) = 0, Ь < 0, тогда вторую краевую задачу для уравнения (1) с граничными условиями (3), (7) можно свести к задаче с однородными граничными условиями. Для этого введём новую неизвестную функцию й(ж, £) = = м(ж, 4) — и>(ж, 4), где
М х,г) = /
J о
Тогда й(х,1) является решением следующей задачи:
йи ~ йхх + с(ж, Ь)й = /(ж, £), й(ж,0) = ф(х), щ(х, 0) = ф(х); йх(0,£) = 0, йх(1,г) = 0,
где /(ж, 4) = /(ж,*) — с(ж, £)и>(ж, £).
Используя результаты и методы работы [4], можно показать, что если /((ж,£) (Е Ь2(В), К(1) ^ 0 и /х(£) (Е (0, Г), то существует единственное решение второй краевой задачи из И^-О).
Пусть и{х,Ь) = Т(ц, /, ф, ф) —решение вспомогательной второй краевой задачи.
Тогда, применив условие (4), приходим к уравнению относительно /х(£):
-к(1)1л(г) + 1Т(р(г)) = с{1), (8)
где
IV = I (К'(х)ух(х, £) + с(х,Ь)К(х)у(х, ^)с1х, 6?(£) =
Jo
Лемма. .Если ТС(/) 7^0 и выполняются условия теоремы, то существует единственное решение уравнения (8).
Доказательство.
Единственность. Предположим, что существуют два решения Ц2^), то-
гда /х(£) = /XI (^) — /Л2(^) удовлетворяет однородному уравнению
—ТС(/)/х(£) + I (К!(х)йх(х, £) + с(ж, Ь)К(ж)м(ж, Ь))(1,х = 0, (9)
Jo
где й(ж, 4) —решение вспомогательной задачи для однородного уравнения
^жж с(ж, ^— 0,
но й(ж, 4) является также решением однородной нелокальной задачи и, как доказано выше, м(ж, 4) = 0. Тогда из (9) выполняется равенство ТС(/)/х(£) = 0, так как К{1) ф 0, то /х(£) = 0.
Существование. Условие К {Г) ф 0 позволяет решить уравнение (8) относительно /х(£):
1 А 1 А
/х(^) = / (К'(х)их (ж, *) + С(ж, г)К(х)и(х, ф!х— / ТС(ж)/(ж, £)йж.
К\Ч Уо К{1) Уд
В силу свойств решения вспомогательной задачи операторы Т, (д/дх)Т ограничены, оператор /У : И7! —>• вполне непрерывен, поэтому оператор
1 [1
А = ——— / (К'(х)их + с{х,1)К{х)и)<1х К-\Ч ио
вполне непрерывен [6], и из единственности решения уравнения (8) следует существование решения, тогда существует единственное решение задачи (1)—(4) и(ж,£). □
Автор выражает искреннюю признательность и благодарность Л. С. Пулькиной за постановку задачи, денные советы и консультации.
К(х)/(х,Ь)(1х + /Т(/, ф, ф).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения// Дифференц. уравн., 2004. Т.40, №7. С. 887-892; англ. пер.: Pul’kina L. S. A nonlocal problem with integral conditions for a hyperbolic equation // Differ. Equ., 2004. Vol. 40, no. 7. Pp. 947-953.
2. Пулькина Л. С. Нелокальные задачи с интегральными условиями для одномерного волнового уравнения// Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук, 2010. Т. 12, №2. С. 52-58. [Pul’kina L. S. Nonlocal problem with integral conditions for onedimensional wave equation// Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) mezhdunarodnoy akademii nauk, 2010. Vol. 12, no. 2. Pp. 52-58].
3. Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости некоторых граничных задач со смещением для линейных гиперболических уравнений // Математический журнал (Казахстан), 2009. Т. 9, №2. С. 78-92. [Kozhanov A.I., Pul’kina L.S. On the solvability of some boundary value problems with shift for linear hyperbolic equations // Matematicheskiy zhurnal (Kazakhstan), 2009. Vol. 9, no. 2. Pp. 78-92].
4. Ладыженска О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с. [Ladyzhenskaya О. A. Boundary value problems of mathematical physics. Moscow: Nauka, 1973. 407 pp.]
5. Garding L. Cauchy’s problem for hyperbolic equations. Helsinki: Mercators Tryckeri, 1958; русск. пер.: Гординг Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. М.: Иностр. лит., 1961. 120 с.
6. Треногим В. А. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 2002. 484 с. [Trenogin V.A. Functional analysis. Fizmatlit: Nauka, 2002. 484 pp.]
Поступила в редакцию 10/X/2011; в окончательном варианте — 11 /XI/2011.
MSC: 35L20
MIXED PROBLEM WITH INTEGRAL CONDITION FOR THE HYPERBOLIC EQUATION
N. D. Golubeva
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443100, Russia.
E-mail: depcy@yandex. ru
In this paper we consider a nonlocal problem with integral condition of the first kind.
Existence and uniqueness of a solution of this problem are proved. The proof is based
on a priori estimates and auxiliary problem method.
Key words: nonlocal problem, integral condition, a priori estimates.
Original article submitted 10/X/2011; revision submitted ll/XI/2011.
Natali D. Golubeva (Ph.D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept, of Higher Mathematics and Applied Informatics.
