Нелокальная задача с переменными по времени краевыми условиями Стеклова для гиперболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ПЕРЕМЕННЫМИ ПО ВРЕМЕНИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ СТЕКЛОВА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

© 2010 Л.С. Пулькина, А.В. Дюжева1

В работе доказано существование единственного обобщенного решения краевой задачи с нелокальными условиями

ai(t)ux(0,t) + a2{t)ux{l,t) + a3(t)u(0,t) + aA{t)u(l,t) = 0,

b1{t)ux{0,t) + &2(t)Ux(l,t) + b3(t)u(0,t) + &4(t)u(l,t) = 0. Доказательство базируется на полученных априорных оценках и методе Га-леркина.

Ключевые слова: гиперболическое уравнение, нелокальные условия, обобщенное решение.

Рассмотрим смешанную задачу в прямоугольнике Q = (0,1) х (0,T) для уравнения

Utt - uxx + c(x,t)u = f (x,t) (1)

с начальными данными

u(x, 0) = <^(x), ut(x, 0) = ф(х) (2)

и граничными условиями

al(t)ux(0,t) + a2 (t)ux(1,t) + a3(t)u(0,t) + a4(t)u(1,t) h(t)ux(0,t) + b2(t)ux(1,t) + hs(t)u(0,t) + b4(t)u(1,t)

0, 0.

(3)

Условия (3) являются краевыми условиями со смещением, поэтому в рамках принятой в настоящее время терминологии задача (1)—(3) принадлежит классу нелокальных задач.

Заметим, что условия вида (3), в которых постоянны, расматривались

еще В.А. Стекловым в [1] при исследовании смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Задача с такими нелокальными условиями является математической моделью процесса охлаждения неоднородного твердого тела.

В работе [4] А.И. Кожановым исследована краевая задача с нелокальными условиями (3) для параболического уравнения щ — ихх + с(х,1)и = /(х,Ь).

Смешанную задачу для однородного гиперболического уравнения

ии — ихх + д(х)и = 0

с условиями вида (3), где — постоянные, изучал Н.Л. Лажетич [2, 3] и дока-

зал ее одназначную разрешимость методом Фурье. При этом существенную роль

1Пулькина Людмила Степановна ([email protected]), Дюжева Александра Владимировна ([email protected]), кафедра уравнений математической физики Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

играло предположение, что оператор С(у) = -у"(х) + д(х)у(х) и краевые условия (3) с постоянными коэффициентами определяют самосопряженный оператор.

В нашем случае метод Фурье применять нельзя, так как коэффициенты аг, Ьг в условии (3) зависит от переменной Ь.

Будем предполагать, что линейные формы условий (3) линейно независимы. Поэтому, по крайней мере, одна из разностей щЬ^ — а^Ьг, г, к = 1, 2, 3, 4, отлична от нуля.

Пусть Д = аЬ — а2Ь\ = 0. Тогда условия (3) можно разрешить относительно пх(0,г), пх(1,г):

пх(0,г) = а1(г)п(0,г) + в1 (ь)и(1,ь),

Пх(1,Ь) = а2(Ь)и(0,Ь) + в2(Ь)и(1,Ь). ( )

Введем понятие обобщенного решения задачи (1), (2), (4), пользуясь известной процедурой [5]: умножим обе части (1) на функцию у(х,Ь) € ^У^^т) = {^(х,Ь) : у(х,Ь) € W2l(Qт), у(х,Т) = 0} и после интегрирования по Qт получим: т I т

J !\-UfVt + ихух + еиу)3,хдЬ + J у(0,Ь)[а1(Ь)и(0,1) + в1 (Ь)и(1,Ь)]3,Ь —

0 0 0

т I т I

^У v(l,t)[a2(t)u(0,t) + в2(Ь)и(1,Ь)]ЗЬ = J ф(х^(х, 0)3х + У J ^¿хА. (5) 0 0 0 0 Определение. Обобщенным решением задачи (1), (2), (4) будем называть функцию и(х,Ь) € W21(Qт), удовлетворяющую условию и(х, 0) = ^(х) и тождеству (5) для любой функции v(x,t) € ).

Теорема. Пусть выполняются следующие условия:

1) с(х,Ь) € С(^т), Ф) € W!(0,l), ф(х) € 12(0,1), /(х,Ь) € Ь2^т),

2) оц(Ь),&(Ь) € С1[0,Т], а1(Ь) > 0, ^ < 0,

3) а1(Ь)£ + (в1(Ь) — а2Ш1& — №)$ > 0,

4) а2(Ь) + в1(Ь)=0 УЬ € [0,Т],

тогда существует единственное обобщенное решение задачи (1), (2), (4). Доказательство. 1. Единственность решения.

Предположим, что существует два различных решения, и1(х,Ь) и и2 (х,Ь). Тогда и(х,Ь) = и1(х,Ь) — и2(х,Ь)— решение соответствующей однородной задачи. Это означает, что и(х, 0) =0 и выполняется тождество (5) с ф(х) = 0, /(х,Ь) = 0. Положим в этом тождестве

у(х:ь) = | I и(х,п)^, 0 <Ь < т, (6)

[ 0, т < Ь < Т.

Из представления (6) видно, что v(x,t) € W1(Qт), vt(x,t) = и(х,Ь), v(x,т) = 0. Несложные преобразования и условие а2 (Ь) + в1(Ь) = 0 приводят к равенству:

I т I

22

I Ыт4 хм. = 22 Ц +

0 0 0

т

+ ! [в2 (Ь^2(1,Ь) + (а'2(Ь) — в1 (Ь)^(0,ф(1,Ь) — а[(ф2(0,Ь)]А +

0

+в2(0У(1,0) + (а2(0) — в1(0)М0,0^(1, 0) — а1 (0>2(0,0). (7)

Рассмотрим правую часть равенства (7). В силу условий 1), 2) теоремы найдутся числа к > 0, оо > 0 такие, что

тах а(ь), а'М), @ъ(ь), Р[(1ъ)\ ^ к, тах\с(х,ь)\ ^ с0. [0,т] <Эт

Тогда, применив для оценки произведений \ю(х,ь)\\ю1(х,ь)\ и \ю(0,ь)\\ю(1,ь)\ неравенство Коши, получим:

cvvtdxdt

о о

< / / (V2 + v2)dxdt;

оо

[в2 (ь)ю2(1,ь) + (а2 (ь) — (ь))ю(0,ь)ю(1,ь) — а[(ф2(0^)^

Т

< (V2(0,Ь)+ V2(1,Ь)^.

о

Для дальнейших оценок используем следующие представления:

I

<

X

из которых вытекают неравенства

I

г(1,Ь) < Ь !(VX(х,Ь) + v2(x,t))dx,

(8)

I

\0,Ь) < Ь^(юХ(х,Ь) + ю2(х,Ь)^,

(9)

где Ь = тах{21, 2}• Из представления (6) функции v(x,t) легко получить нера-

венство:

2(х,ь)= u(x,n)dn\ ^ т ^ vx(x,t)dt•

Теперь обратим внимание на то, что в силу условия 3) теоремы

/32(0)ю2(1, 0) + (а2(0) — в1(0))ю(0,0)ю(1,0) — а1(0)v2(0, 0) < 0, что вместе с полученными неравенствами (8), (9) приводит к оценке

т i

Т I

оо

оо

где М = 4кЬ + с0.

(10)

![ю2(х,т) + v2(х, 0)^х < ! ю2х(x,t)dxdt + М ^ J vX(x,t)dxdt, (11)

Т

Т

Т

V

V

2

V

г

Введем функцию т(х,Ь) = — / их(х,ц)^. Тогда

0

г

^(х,ь) = 1их(х,п) = т(х,т) — ФЛ^ 0) = т(х,т).

т

С помощью введенной функции из (11) получим:

I I

¡^(х,т) + Мх,т)]3х < 4кЬт !^2(х,т)<ь +

^г (х,т) + т2(х,т)\ах ^ 4кЬт I т

00

т I т I

+4кЬ у у т2(х,Ь)ЗхЗЬ + Му J v2(x,t)dxdt. (12)

0 0 0 0 Пользуясь произволом т € [0, Т], выберем его так, чтобы выполнялось неравен-

2. Тогда для всех т € [0, 8кт]

ство 1 — 4кЬт > 0. Пусть 1 — 4кЬт ^ 2. Тогда для всех т € [0, „кт] справедливо

неравенство

I т I

J[v2(x,т)+ т2 (х,т)^х ^ N J J[v'2(x,t) + w'2(x,t)]dxdt, 0 0 0 где N = 2шах{4кЬ, М}, применив к которому лемму Гронуолла, получим

I

I «хт*хг V < 0.

0

Так как vг(x,т) = и(х,т), то из последнего неравенства следует, что и(х,т) = = 0 Ут € [0, 81т ]. Повторяя рассуждения для т € [^Гт, 4кт], а затем продолжая этот процесс, приходим к равенству и(х,т) = 0 для всех т € [0, Т], а это и означает, что существует не более одного обобщенного решения задачи (1), (2), (4). 2. Существование решения.

Пусть {тг(х)}^=1 — линейно независимая и полная в W2l(0,l) система функций, тг(х) € С'2[0,1], (тг,т{)т2{0 I) = . Будем искать приближенные решения задачи (1), (2), (4) в виде

т

ит (х, Ь) = ^2 ¿н(Ь)тк (х) (13)

к=1

из соотношений

I

J (ит т] (х) + иЭД (х) + ситт] + т] (0)[а1(Ь)ит(0,Ь) + в1(Ь)ит(1,Ь)] —

0

I

—т^ (1)[а2(Ь)ит(0,Ь) + в2(Ь)ит(1,Ь)] = ! / (х,Ь)т^ (х^х. (14)

0

Это соотношение представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенную относительно старших производных, причем в силу условия (тн,т1)т2(0,1) = матрица при старших производных единичная. Запишем ее в виде

т

В к] (Ь^к (Ь) = / (Ь), (15)

к=1

где обозначено

В] (Ь) = ! (ю'к (х)ю] (х) + с(х,Ь)юк(х)ю] (x))dx+

о

+а1(Ь)ю] (0)ю к (0) + /З^Ю] (0)ю к (I) — a2(t)wj (1)ю к (0) — в2(Ь)ю] (1)ю к (0),

I

/ (Ь) = ! /(х, Ь)ю] (х^х.

Добавив начальные условия

dj(0)= 1к, ] (0) = (ф(х),Юк (х))ь2, (16)

приходим к задаче Коши для системы (15). Начальные условия ^к подбираются

т

так, что суммы рт(х) = ^ ^кЮк (х) аппроксимируют при т ^ ж функцию р(х)

к = 1

в норме Ш21(0,1). В силу условий теоремы коэффициенты системы (15) суть ограниченные функции, а свободные члены /(Ь) € Ь1(0,1). Поэтому задача Коши (15), (16) однозначно разрешима и ^(Ь) € Ь1(0,Т). Таким образом, последовательность приближенных решений {ит(х,Ь)} построена.

Следующим шагом доказательства является обоснование существования предела построенной последовательности, а затем возможности перехода к пределу в (14). Для этого нам потребуется априорная оценка, к выводу которой мы и приступим.

3. Априорная оценка.

Умножим каждое из (14) на ^у, (Ь), просуммируем по к от 1 до т, а затем проинтегрируем по Ь от 0 до т. В результате получим:

т I

ии иг

оо

Т

т т т т т т

(ии иг + их ихЛ + си иг )ахаЬ+

+ ! ит(0,Ь)[а1(Ь)ит(0,Ь) + в1(Ь)ит(1, Ь)^Ь—

Т I

— ^ и™(1,Ь)[а2(Ь)ит(0,Ь) + /З^Щ^^Ь^Ь = ! J /(x,t)umdxdt• о 0 0

Преобразуем это равенство, интегрируя по частям:

Т I I I

1)11 итumdxdt = Ц(ит(х, т))2dx — 2/(ит(х, 0))2dx; 0 0 о о

Т I I I

33 ттdxdt = ц(ит(х,т))2dx — 2/(итх0))2с

0 0 о о

т

т/ п _ 1 (\ (г,.т (а _\\2 1 /п\ („,т (

3) / a1(t)um(0,t)um(0,t)dt = 1 а1(т)(ит(0,т))2 — 1 а1(0)(ит(0, 0))2 —

о

—1 ] a'1(t)(um(0,t))2dt;

2о

4) ] в1(Ь)ит(0, Ь)ит(1, Ь^Ь = — ] в1 (Ь)ит(0, Ь)ит(1, Ь^Ь — ] в1(Ь)ит(0, Ь)ит(1, о 0 0

+ в1(т)ит(0,т)ит(1,т) — в1(0)ит(0, 0)ит(1, 0);

Т

5) — I а2(ь)ит(1,ь)ит(0,ьум;

0

6) — } в2(Ь)ит(1,Ь)ит(1,Ь^Ь = — 2в2(т)(ит(1,т))2 + 2в2(0)(ит(1, 0))2+

0

+ 2 I в2(Ь)(ит(1,Ь))2сИ.

20

Эти простые преобразования мы привели здесь подробно для того, чтобы обратить внимание на трудности, возникающие из-за нелокальных условий при получении оценки: подчеркнутые интегралы в 4) и 5) содержат значения искомого решения и его производной в различных точках границы. Однако в силу условия 4) теоремы сумма подчеркнутых интегралов равна нулю, и проблема ликвидирована.

Теперь запишем результат преобразований и применения условия теоремы:

Ц [(ит(х,т ))2 + (ит(х,т ))2]сх+

+1-[а1(т )(ит(0,т ))2 + (в1(т) — а2(т ))ит(0,т )ит(1,т) — в2(т )(ит(1,т ))2]

I

Ц[(итх 0))2 + итх 0))2]сх+

+ ^[а1(0)(ит(0, 0))2 + (в1(0) — а2(0))ит(0, 0)ит(1, 0) — в^(0)(ит(1, 0))2] —

сит^ЧхСЬ + I /итСхСЬ. (17)

00

00

Применив неравенство Коши, получим оценку интегралов правой части равенства (17):

т I т I

У ! с(х,Ь)ититС,хЖ < у У ![(ит)2 + (um)2]dxdt, 0 0 0 0 - I т I т I

У у /(х^^^хсь < 1 f f /2схсь +1 У J(um)2dxdt,

[а'1(Ь)(ит (0,Ь))2 + (в1 (Ь) — а'2(Ь))ит(0,Ь)ит(1,Ь) — 0'2 (Ь)(ит (¡,Ь))2]Л

<

т

< К I[(ит(0,Ь))2 + (ит(1,Ь))2]Л.

Из условия 3) теоремы

[а1(т)(ит(0,т))2 + (в1(т) — а2(т))ит(0,т)ит(1,т) — в2(т)(ит(1,т))2] > 0,

Ут € [0,Т],

т

т

т

поэтому из равенства (17) получаем неравенство:

I

Ц[(ит(х,т ))2 + (ит(х,т ))2у1х < о

т I I

< с^ ¡[{ит(х,Ь))2 + (um(x,t))2]dxdt +1![(ит(х, 0))2 + (ит(х, 0))2]0х + о о о

т I Т

+1.1.1 / 2dxdt + к\[(ит(0,Ь))2 + (ит(1,Ь))2 ]0Ь. (18)

о о о

Последний интеграл правой части этого неравенства содержит неизвестные нам значения функции на границе. Поэтому снова воспользуемся представлениями функции через интеграл от производной, которые позволяют получить неравенства:

I

(ит(0,Ь))2 < Ь ![(ит(х,Ь))2 + (ит(х,Ь))2]0Ъ, (19)

о

I

(ит(1,Ь))2 < Ь ![(ит(х,Ь))2 + (ит(х, Ь))2]с1х, (20)

о

где по-прежнему Ь = тах{21, 2}. Аналогично из представления

Т

ит(хт ) = ] ^ + ^о)

получим неравенство

I Т I I

У (ит(х, т))2ох < т^ J(umdt + !(ит(х, 0))20х

0 ооо

и прибавим его к неравенству (18). Затем воспользуемся неравенствами (19) и (20), что приведет к неравенству

1

I[(ит(х, т))2 + (ит(х, т))2 + (ит(х, т))2]ох <

о

Т I

< М ! У [(ит)2 + (ит)2 + (у^ЦхЛЬ +

оо

(\М\^(о,0 + ШЪт + \\/\\Ь2 (ЯТ)). (21)

Здесь мы воспользовались тем, что I I

У (ит(х, 0))20х < \ж\|2(0,0, I[(ит(х, 0))2 + (ит(х, 0))2]0х < \м\^(о,0-

оо Применив к (21) лемму Гронуолла, получим

IKWwUQt) < C, (22)

где C зависит лишь от входных данных и области и не зависит от т.

Благодаря (22) и в силу компактности ограниченного множества в гильбертовом пространстве из последовательности {um(x,t)} можно выбрать подпоследовательность, слабо сходящуюся в W2(Qt) и равномерно по t G [0, T] в норме L2(0,l) к некоторому элементу u(x,t) G W2(Qt). Покажем, что этот предел и есть обобщенное решение задачи (1), (2), (4). За выделенной последовательностью сохраним то же обозначение во избежание излишней громоздкости.

Начальное условие u(x, 0) = <^(x) выполняется в силу сходимости подпоследовательности um(x,t) к u(x,t) в L2(0,l) и того, что um(x, 0) ^ <p(x) в L2(0,l).

Докажем справедливость тождества (5). Для этого умножим каждое из соотношений (13) на Cj(t) G W2(0,T), просуммируем по j от 1 до m, а затем проинтегрируем по t от 0 до T. В результате этих действий получим

T l

J J(u^V + umnx + cumn)dxdt+

0 0

T

+ J n(0,t)[a1(t)um(0,t) + el(t)um(l,t)]dt-

0

T T l

-J n(l,t)[a2(t)um(0,t) + e2(t)um(l,t)]dt = J J fndxdt,

0 0 0

где обозначено

m

n(x,t) = ^2 cj (t)wj(x). j=i

После интегрирования первого слагаемого, стоящего под интегралом левой части этого равенства, получим

T l l

(-umrn + umnx + cumn)dxdt - J umn(x, 0)dx +

0

T

+ j n(0,t)[a1(t)um(0,t) + ei(t)um(l,t)]dt -

0

T T l

-J n(l,t)[a2(t)um(0,t) + l32(t)um(l,t)]dt = J J fndxdt. (23)

0 0 0

Зафиксировав в (23) n(x,t), перейдем к пределу и увидим, что тождество (5) выполняется для предельной функции u(x,t), если v(x,t) = n(x,t). Поэтому пока еще нельзя утверждать, что u(x,t)- искомое обобщенное решение, так как тождество (5) пока выполняется не для всех функций v(x,t) G W2(Qt), а только

m

для функций вида n(x,t) = Cj (t)wj (x). Однако множество всех функций плот-

j=i

но в W2(Qt) (см. [5, с. 215; 6, с. 330-331), поэтому утверждение о существовании решения задачи из пространства доказано полностью.

00

Замечание 1. Условие 4) может показаться искусственным либо вынужденным из-за того, что мы не можем оценить интегралы, содержащие произведения значений функций и производных в точках разных частей боковой границы. Однако именно это условие в случае постоянных aвг является условием самосопряженности оператора L(v) = -v"(x) + q(x)v(x) с нелокальными условиями (3) [2].

Замечание 2. Условие 3) возникает и при изучении нелокальной задачи для уравнения теплопроводности с условиями (4) при постоянных аг, вг [1, с. 69].

Литература

[1] Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. М.: Наука, 1983. 433 с.

[2] Лажетич Н.Л. О классической разрешимости смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. № 8. С. 1072-1077.

[3] Лажетич Н.Л. О существовании классического решения смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. № 5. С. 682-694.

[4] Кожанов А.И. О разрешимости некоторых пространствено нелокальных задач для линейных параболических уравнений // Вестник СамГУ. 2008. № 3(62). С. 165-174.

[5] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.

[6] Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 424 с.

Поступила в редакцию 30/Л/2010; в окончательном варианте — 30/Л/2010.

NONLOCAL PROBLEM WITH TIME-DEPENDENT STEKLOV'S BOUNDARY CONDITIONS FOR HYPERBOLIC EQUATION

© 2010 L.S. Pulkina, A.V. Duzheva2

In this article, the solvability of boundary-value problem for hyperbolic equation with nonlocal conditions

ai (t)ux (0, t) + a2{t)ux{1,t) + a3(t)u(0,t) + aA(t)u(1,t) = 0,

b1{t)ux{0,t) + b2(t)Ux(1,t) + b'3(t)u(0,t) + b4(t)u(1,t) = 0

is proved. The proof is mainly based on a priori estimates and Galerkin procedure

Key words: hyperbolic equation, nonlocal conditions, generalized solution. Paper received 30/Л/2010. Paper accepted 30/Л/2010.

2Pulkina Ludmila Stepanovna (louiseasamdiff.ru), Duzheva Alexandra Vladimirovna (aduzhevaSrambler.ru), the Dept. of Equations of Mathematical Physics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.