Смешанная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения гиперболического типа с вырожденным ядром Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция ««Математические методы моделирования, управления и анализа данных»

УДК 517. 968

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ

А. Г. Лоскутова Научный руководитель - Т. К. Юлдашев

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева

Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 Е-шай: [email protected], [email protected]

Рассмотрены вопросы об однозначной разрешимости смешанной задачи для нелинейного ин-тегро-дифференциального уравнения Фредгольма гиперболического типа с вырожденным ядром. Метод вырожденного ядра, разработанный для интегрального уравнения Фредгольма второго рода, развит для случая гиперболического интегро-дифференциального уравнения. Использован метод Фурье разделения переменных. Получена счетная система нелинейных интегральных уравнений. Применен метод последовательных приближений в сочетании его с методом сжимающих отображений.

Ключевые слова: смешанная задача, интегро-дифференциальное уравнение, уравнение гиперболического типа, вырожденное ядро, счетная система алгебраических систем уравнений, однозначная разрешимость.

MIXED VALUE PROBLEM FOR NONLINEAR INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION OF HYPERBOLIC TYPE WITH DEGENERATE KERNEL

A. G. Loskutova Scientific supervisor - Т. К. Yuldashev

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected], [email protected]

It is considered the questions of one value solvability of the mixed problem for a nonlinear hyperbolic type Fredholm integro-differential equation with degenerate kernel. The method of degenerate kernel designed for Fredholm integral equations of the second kind is developed to the case of hyperbolic integro-differential equation. It is used the Fourier method of separation of variables. It is obtained the countable system of nonlinear integral equations. It is used the method of successive approximations combined it with the method of compressing maps.

Keywords: mixed problem, integro-differential equation, hyperbolic type equation, degenerate kernel, countable system of algebraic systems of equations, one valued solvability.

Математическое моделирование многих процессов, происходящих в реальном мире, часто приводит к изучению смешанных задач для уравнений математической физики. Теория смешанных задач для уравнений в частных производных в силу ее прикладной важности в настоящее время является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений. Данная работа является дальнейшим развитием методики работ [1-6].

В настоящей работе предлагается методика изучения смешанной задачи для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма гиперболического типа с вырожденным ядром. Использованные в данной работе символы и обозначения заимствованы из [7].

В области D рассматривается уравнение

д2u(t,x) K(t,s)d2u(2x) ds =f fx,)\h(£,z)u(£,z)dzdl ^

д t2 ' 0 д x2

V oo

(1)

со смешанными условиями

и ((, х )| г=0 =Ф1(х), и1 ^,х )| /=0 =Ф2( X), и ((, X )| х=0 = и ^, х )| Х=1 = 0, (2)

Т I

где

/ (х, •) е С (От х К); К (Г, 5) = £ а, (Г) Ъ1 (5); 0 < аг (Г); Ъ1 (5) е С (От ); {{| Н (Г, х)\dxdt

г=1 0 0

Ф к (х )е С3(О,); фк (х)|х=0=Фк(х)|х=, = 0; к = 1,2; ц - параметр; Б= От хО,; От = [ 0, Т ];

О1 = [ 0,1 ],0 < I <да ,0 < Т <да.

да

Решение задачи (1), (2) ищем в виде ряда Фурье и^,х) = X и п (t)•» п (х),

п =1

где » (х) = л/у втЯпх; Яп = -у-, п = 1,2, ....

По предположению

( Т I

/

, ||Н (£, 2) и (£ , 2) dzd £ =Х /п (•)А (х)

х

V 00

п =1

I

( Т I

\

где /п (•) = |/ У,ЦН(£,2)X ик (£)к (2)dzc

» п (У) dy.

0 V 0 0 к =1 )

Тогда из уравнения (1) получаем следующую счетную систему интегро-дифференциальных уравнений:

1'„ ^) + ЦЯ п |К^,5)ип (5)ds = /п (•),

(3)

где ип (0 = |и ^,у)» п (У)dУ.

0

С помощью обозначения

Т

С,п =| Ъ, (5)ип (5)ds 0

путем двукратного интегрирования по t из (3) получаем

т

ип К) = Ф1 п +Ф2 nt - ЦЯ2 X С'п9> ^ ) +/п (•),

г=1

(4)

(5)

где д, ^) = |(t - 5)а, (5)ds; г = 1,т; Фкп =|фк (у)»п (у)dy , к = 1,2. 00 Подстановка выражения (5) в (4) дает счетную систему систем алгебраических уравнений (СССАУ)

Сгп XС;пА,7 = В1,п + В2,п/п (•), г = 1,

т

(6)

1=1

где

Т Т 1 Т

=| ъ, (5) д 1 (5) ds > 0; =|Ъг (5) (ф1п + 4^)) В 2,п = у |Ъг (5) 5 2 ds.

0 0 0 СССАУ (6) однозначно разрешима при любых конечных правых частях, если выполняется следующее условие:

2

Л п (ц) =

ЦЯЙ А1т

1+ЦЯ п Ац ц^2 л12 ...

ЦЯ 2 А 21 1 + ЦЯ 2 А 22 ... ЦЯ 2 А 2т

цЯ2 А , цЯ2 А 2 1 + цЯ2 А

г" п т1 г" п т2 • • • г" п т

* 0.

(7)

Секция «Математические методы моделирования, управления и анализа данных»

Рассмотрим такие регулярные значения ц, при которых выполняется условие (7). Тогда решения СССАУ (6) записываются в виде

Л 1,п (Ц) , ,, Л 2,п (Ц) . Т—

=-+ ;„ (•)--, г = 1,т

Л п (ц)

Л п (ц)

(8)

где

Лкгп (Ц) =

1 + ц^2 А11 ... Ц^2 А1(г-1) Вк 1 п Ц^ 2 А цЯ пА21 ... цЯ 2 А2(Ш-1) Вк 2п

Ц^ П А

1(г+1)

п 1 т

цЯ 2пА

п 2(г+1)

цЯ 2пА

п 2 т

цЯ п Ат1 ... цЯ 2 Ат(г-1) Вк тп цЯ 1Ат(г+1) ... 1 + цЯ

к = 1,2.

Подставляя (8) в (5), получим

/ ( Т /

,(г, ц) = вп (г, ц) + ф п (г, ц) | / у, Ц Н (%, г) X ик (%, ц)-д к (2) йгй %

о V оо

к =1

д п (у) Лу,

(9)

где вя (г, ц) = Ф1п +Ф2п^-цЯ 2 X ^^ д, (г); Ф п (г, ц) = ^-цЯ 2 X д, (г).

Ш=1 Л п (ц) 2 Л п (ц)

Подставляя (9) в ряд Фурье, получаем формальное решение смешанной задачи (1), (2)

да

и (г, х, ц ) = Х д п ( * ) Х

п =1

/ [ Т I

вп (г,ц) + Фп (г,ц)|/ у,Цн(%,2)X ик (%,ц)-дк (2)й2й%

0 V оо

Теорема. Пусть выполняются условие (7) и

к =1

<да;

д п (у) Лу\

(1о)

!) ъ =11 в (г, ц)11 в 2(Т) ; ъ =||ф (г ^„в

2) М = ||/(х,и)||ь2(/) <да; /(х,и)еЬШр{ь(х),и} , 51 = ||Ь(х)||

Ь 2(/)

< да;

т /

3) 5 2 ={{| Н (г, х)\ёхёг < да; р = У2 6162 63 <1, 5 3 =]£|д п (х )|2[ <да. о о [ п =1 ]

Тогда счетная система нелинейных интегральных уравнений ССНИУ (9) имеет единственное решение в пространстве В2(Т) . Это решение можно найти методом последовательных приближений:

и о (г, ц) = вп (г, ц), ип+1(г, ц) = вп (г, ц) +

/ ( т /

\

+Фп(г,ц)•{/ у,ЦН(%,2)X ик(%,ц)-дк(2)й2С

д п( у ) Лу .

(11)

о V о о к =1

Доказательство. В силу условий теоремы из (11) имеем следующие оценки:

и (г, ц)

В 2(Т)

<У1;

и 1(г, ц) - и о(г, ц) ^ (Т) <у 2\\ / (х, -)|| ь 2(/) =У М;

В 2(Т)

(12)

и]+1(г, ц) - и1 (г, ц) В2(Т) <|]Т|Ф п (г, ц)

1

2 ] 2

Х

I

п=1

/ Т /

I ь (У) {{I н £, г )| I\ы{ , ц) - и{, ц) |-|д к (г)\dzdi „ (у)\ау

0 0 0

к =1

<у2 5 2 5з и] (^, ц)-и] , ц)

<Р

и} ((, ц) - и}-1((, ц)

в 2(Т)

В 2(Т)

I

п=1

{ь (у) .|дл (у)\ау

и} ((, ц) - и}-1((, ц)

в 2(Т)

(13)

Из (12) и (13) следует, что оператор в правой части (9) является сжимающим. Следовательно, ССНИУ (9) имеет единственное решение и ^, ц) е В 2(Т). Теорема доказана.

Рассмотрим ряд (10) и

,}+1

да да

(I, х, ц) = 1 иП+ , ц) -д п (х) = 1д п (X) .{ Оп (Г, ц)

п =1

/ ( Т! да

+Ф п ((, ц).{ / у, {{ н (^, г) I ик £, ц) .д к (г) ¿гс

п =1

Л

д п (у) ¿у

(14)

0 V 0 0 к =1

Нетрудно показать, что последовательность функций (14) сходится к функции (10) при ] ^да .

Библиографические ссылки

1. Юлдашев Т. К. О разрешимости смешанной задачи для линейного параболо-гиперболи-ческого интегро-дифференциального уравнения Фредгольма // Журн. СВМО. 2013. Том 15. № 3. С. 158 - 163.

2. Юлдашев Т. К. Обратная задача для одного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма в частных производных третьего порядка // Вестн. СамГТУ. 2014. Т. 34. № 1. С. 56-65. Сер. Физ.-мат. науки.

3. Юлдашев Т. К. Двойная обратная задача для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма эллиптического типа порядка // Вестн. СамГТУ. 2014. Т. 34. № 2. С. 39-49. Сер. Физ.-мат. науки.

4. Юлдашев Т. К., Лоскутова А. Г. Обратная задача для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма в частных производных первого порядка // Решетневские чтения : материалы XVIII Ме-ждунар. науч. конф. (11-14 ноября 2014, г. Красноярск) : в 3 ч. / под общ. ред. Ю. Ю. Логинова ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2014. Ч. 2. С. 168-170.

5. Юлдашев Т. К., Лоскутова А. Г. Обратная задача для эллиптического интегро-дифференциального уравнения Фредгольма // Журн. СВМО. 2014. Т. 16. № 3. С. 87-93.

6. Юлдашев Т. К., Шабадиков К. Х. Обратная задача для гиперболического интегро-дифференциального уравнения Фредгольма // Таврическ. вестн. информатики и математики. 2014. Т. 24. № 1. С. 73-81.

7. Юлдашев Т. К. Приближенное решение точечной подвижной задачи оптимального управления для нелинейного гиперболического уравнения // Моделирование и анализ информационных систем. 2014. Т. 21. № 3. С. 106-120.

© Лоскутова А. Г., 2015

1