Обратная задача для псевдопараболического интегро-дифференциального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром

Юлдашев Т.К.; Шабадиков К.Х.

Решетнеескцие чтения. 2015

Библиографические ссылки

1. Юлдашев Т. К. Обратная задача для одного ин-тегро-дифференциального уравнения Фредгольма в частных производных третьего порядка // Вестник СамГТУ. Сер. «Физ.-мат. науки». 2014. № 1. С. 56-65.

2. Юлдашев Т. К. Об одном интегро-дифференциальном уравнении Фредгольма в частных производных третьего порядка // Изв. вузов. Математика. 2015. № 9. С. 74-79.

3. Yuldashev T. K. A double inverse problem for a partial Fredholm integro-differential equation of fourth order // Proc. of Jangjeon Math. Society. 2015. Vol. 18, No 3. P. 417-426.

References

1. Yuldashev T. K. [Inverse problem for a partial Fredholm integro-differential equations of third order] // Vestn. Samar. gos. tekhn. univ. Ser. Fiz.-mat. nauki. 2014. No. 1, рp. 56-65 (In Russ.).

2. Yuldashev T. K. A certain Fredholm partial integro-differential equation of the third order // Russian Mathematics. 2015. Vol. 59, no. 9, рp. 62-66.

3. Yuldashev T. K. A double inverse problem for a partial Fredholm integro-differential equation of fourth order // Proc. of Jangjeon Math. Society. 2015. Vol. 18, no. 3, рp. 417-426.

УДК 517. 968

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ

Т. К. Юлдашев1, К. Х. Шабадиков2

1 Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: [email protected] 2Ферганский государственный университет имени Улугбека Узбекистан, 150100, г. Фергана, ул. Мураббийлар, 19 E-mail: [email protected]

Рассмотрены вопросы об однозначной разрешимости обратной задачи для одного нелинейного псевдопараболического интегро-дифференциального уравнения типа Фредгольма с вырожденным ядром. Разработан метод вырожденного ядра для случая рассматриваемого псевдопараболического интегро-дифференциального уравнения типа Фредгольма третьего порядка. Использован метод ряда Фурье разделения переменных. Применен метод последовательных приближений в сочетании его с методом сжимающих отображений.

Ключевые слова: обратная задача, интегро-дифференциальное уравнение, псевдопараболическое уравнение, вырожденное ядро, однозначная разрешимость.

INVERSE PROBLEM FOR A FREDHOLM PSEUDOPARABOLIC INTEGRO-DIFFERENTIAL

EQUATION WITH DEGENERATE KERNEL

T. K. Yuldashev1, K. H. Sabadikov2

1Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected]

2Fergana State University named after Ulugbek 19, Murabbiylar str., Fergana, 150100, Uzbekistan E-mail: [email protected]

The paper considers the questions of one value solvability of the double inverse problem for a nonlinear Fredholm type pseudoparabolic integro-differential equation with degenerate kernel. The method of degenerate kernel is developed to the case of considering Fredholm type pseudoparabolic integro-differential equation of the third order. The Fourier method of separation of variables is used. The method of successive approximations is proposed combining it with the method of compressing maps.

Keywords: inverse problem, integro-differential equation, pseudoparabolic equation, degenerate kernel, a valued solvability.

Прикладная математика

Математическое моделирование многих процессов, происходящих в реальном мире, часто приводит к изучению обратных задач для уравнений, не имеющих аналогов в классической математической физике. Представляют большой интерес с точки зрения приложений дифференциальные уравнения в частных производных третьего порядка.

В области Б рассматривается уравнение

д u (t, x) д u (t, x)

f„, д u (s, x) , -|JK(t,s)-ds =

дt дt д;

д x2

( t i

= n(t)g (x) + f

x, Ця (9, y) u (9, y) dyd 9

V 0 0

с условиями

u (t, x )| t =0 =ф( x) , u (t, x )| x =o = u (t, x )| x=i =0, u (t 0, x) ds = у( x), 10 e( 0; T ), где n (t) e C(DT); f (x, y) e С (Di x R); g (x) e C (Di) - функция восстановления;

(1)

(2)

у (x )e C(Di);

t i

K (t, s) = Z a, (t) Ьг (s); at (t), bt (s) e C ( Dt ); JJ| Я (t, x) |dxdt <ад; ф (x )e C3 (Di); ф (x), х=0=Ф (x), x=l = 0;

i=1 0 0 параметр; D = DT x D¡; DT = [ 0, T ]; D¡ = [ 0, i ]; 0 < i <ад,0 <T <ад. Решение данной задачи ищем в виде ряда Фурье:

ад

u (t, x) = Z un (t)-S „ (x),

n =1

где Sn(x)= sinxnx; -n = ; n =1,2...

Используя метод вырожденного ядра, получаем [1-5]:

un (t, l) = Qn (t, l) + gn (l) - Gn (t, |) + fn (Y)-Ф n (t , l),

где

Q (t ) m A 1n (l) (.) G ) p (t) m A 2in (l) )

Qn (t, l) = Ф n -IT n Z A , ч Чг (t); Gn (t, l) = ^TT-IT n Z A , ч Чг (t);

tí A n (l) 1 + - 2 tí A n (l)

Ф.

t m

(t,l) = -ITn Z

1 +-

A 3in (l) A n (I)

qt (t);

i=1 n

Akin (l) =

X 2

тn = - 2 ; P(t) = Jn(s)ds; Чг (t) = Jai (s)ds;

1+ - n 0 0

1 + |TnA11 ... |TnA1( i-1) Bk 1 n |TnA1( i+1) ... |TnA1m

IT n A21 ... ITnA

B

nA2(i-1) Bk 2n |TnA2(i+1) ...

ITnA

n 2 m

A n (I) =

n " mm

k = 1,3;

0, AtJ =J bi (s)q} (s) ds;

IT n A21 1 + ITn A22 . . . ITn A2m |TnAm1 |T n Am 2 . . . 1 +|TnAm?

t : T ! t

B1in =J bi (s)Ф nds; B 2 in =—-г J bi(s) p (s) ds; B 3in ='—J bi(s) sds;

0 1 + -n 0 1 + -n 0

i i gn =Jg(y)Sn(y)dy; fn (Y) = J f (y,y)Sn(y)dy.

(3)

Решетнееские чтения. 2015

Для определения функции восстановления, используя дополнительное условие из (2), получаем

I ( т I ю А

gn(ц) = а 1и(ц) + а2„ f y, JJH(9,z)£ uk (6,ц)-S к (z)dzd9

к =1

S n ( y) dy,

(4)

где а ^п (Ц) = -—; а 2 п М = -т; У п = |У (У) 3 п (У) ЛУ •

°п V 0 , МО °п V 0 , МО 0

Подставляя (4) в (3), окончательно получаем счетную систему нелинейных интегральных уравнений (ССНИУ)

I ( т I т Л

" 3 п (У) Лу,

Un (t, ц) = Fn (t, ц) + En (t, ц) -J f y, JJ H (9, z) X uk (9, ц)-S к (z) dzd 9

0 v 0 0 к =1

где Fn (t, ц) = Qn (t, ц) + ain (ц) - Gn (t, ц); En (t, ц) = Фп (t, ц) +a2n (ц)-Gn (t, ц). Лемма. Если

1) Gn (t о, ц) * 0, t е DT ; Yi =|| F (t, ц)|| в ^ <» ; у 2 = || E (t, ц)|| в ^ <» ;

2) M f ( x, u)||i2(Z) <» ; f ( x, u) е Lip {l (x)| u}; 51 =|| L (x)||L2(l) <« ;

(5)

T l

3) 5 2 = IM H (t, x) \ dxdt <œ ; p = y2 5152 53 <1; 5 3 =

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0 0

Z|S n ( x)|2 <»,

n =1

то ССНИУ (5) имеет единственное решение в пространстве В 2(Т).

Теорема. Пусть выполняются условия леммы. Тогда существует единственная пара решений обратной зада-

чи

(1), (2): { u (t,x) е С1,2 (D), g (x) е С (Dl) }.

Библиографические ссылки

1. Юлдашев Т. К. Обратная задача для одного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма в частных производных третьего порядка // Вестник СамГТУ. Сер. «Физ.-мат. науки». 2014. № 1. С. 56-65.

2. Юлдашев Т. К. Двойная обратная задача для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма эллиптического типа // Вестн. СамГТУ. Сер. «Физ.-мат. науки». 2014. № 2. С. 39-49.

3. Юлдашев Т. К., Новоселов О. В. Об одном ин-тегро-дифференциальном уравнении Фредгольма в частных производных четвертого порядка с вырожденным ядром // Журнал СВМО. 2015. Том 17, № 1. С. 128-134.

4. Юлдашев Т. К. Об одном интегро-дифференциальном уравнении Фредгольма в частных производных третьего порядка // Изв. вузов. Математика. 2015. № 9. С. 74-79.

5. Yuldashev T. K. A double inverse problem for a partial Fredholm integro-differential equation of fourth order // Proc. of Jangjeon Math. Society. 2015. Vol. 18, № 3. P. 417-426.

References

1. Yuldashev T. K. [Inverse problem for a partial Fredholm integro-differential equations of third order] // Vestn. Samar. gos. tekhn. univ. Ser. Fiz.-mat. nauki. 2014. No. 1, рp. 56-65 (In Russ.).

2. Yuldashev T. K. A double inverse problem for Fredholm integro-differential equation of elliptic type // Vestn. Samar. gos. tekhn. univ. Ser. Fiz.-mat. nauki. 2014. No. 2, рp. 39-49 (In Russ.).

3. Yuldashev T. K., Novoselov O. V. [On a Fredholm partial integro-differential equations of fourth order with degenerate kernel] // Journal of Middle Volga Math. Society. 2015. Vol. 17, no. 1, pр. 128-134 (in Russ.).

4. Yuldashev T. K. A certain Fredholm partial integro-differential equation of the third order // Russian Mathematics. 2015. Vol. 59, no. 9, рp. 62-66.

5. Yuldashev T. K. A double inverse problem for a partial Fredholm integro-differential equation of fourth order // Proc. of Jangjeon Math. Society. 2015. Vol. 18, no. 3, рp. 417-426.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Юлдашев Т. К., Шабадиков К. Х.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Юлдашев Т. К., Шабадиков К. Х.

INVERSE PROBLEM FOR A FREDHOLM PSEUDOPARABOLIC INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION WITH DEGENERATE KERNEL

Текст научной работы на тему «Обратная задача для псевдопараболического интегро-дифференциального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром»