Сложение двух когерентных колебаний, направленных под произвольным углом друг к другу Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.951

СЛОЖЕНИЕ ДВУХ КОГЕРЕНТНЫХ КОЛЕБАНИЙ, НАПРАВЛЕННЫХ ПОД ПРОИЗВОЛЬНЫМ УГЛОМ ДРУГ К ДРУГУ

© Н.Я. Молотков, Н.В. Хвостова

Molotkov N.Y.. Khvostova N. V. Combining two coherent waves at a random angle with respect to one another.

В научной и учебной литературе обычно рассматривается сложение двух однонаправленных или взаимно перпендикулярных колебаний [1-6]. В связи с этим представляет шггерес рассмотреть вопрос о сложении двух когерентных колебаний, направленных под произвольным углом друг к другу. Тогда сложение однонаправленных и взаимно перпендикулярных колебаний можно рассматривать как частные случаи общего подхода.

Пусть имеются два произвольных гармонических колебания одинаковых частот, «данные уравнениями:

а, =А, cos(cof+ 6,); о, = A1 cos (a)t + 62),

(1)

(2)

где А] и Л2 - амплитуды колебаний, 6| и б2 - их начальные фазы, 6 = 8] - 62 - разность фаз.

Допустим, что угол между направлением этих колебаний равен а (рис. 1). Первое колебание составит с осью ОХ утол схь а второе колебание составит с той же осью утол а2. Очевидно, что

а = а2-осі.

(3)

Разложим амплитуды каждого колеоания на ортогональные составляющие:

А -Ах+Ау-А 2 = Л2х + Л2у.

(4)

Рис. 1

Численные значения ортогональных составляющих мог\т быть найдены из выражений:

Яь. = At cosa,; ,-Ь. = /Ь cosa2;

А]У=Аі sintX]: Л2і. = Л2 sina?.

(5)

(6)

С учетом заданных начальных фаз исходных колебаний (1) уравнения четырех колебании могу т быть записаны в виде:

= Л|д. cos(cof + бі) = А і cosurcos(o)f + 6i); (7)

= ,-i|v COS(Q)t + 6|) = . .-11 smarcos(cof + 6)): (8)

= ,-l2v COS(Wf + 62) = A2 cosa2-cos((of + 62): (9)

= A2i cos(cof + 62) = A2 sina2-cos((of + 62); (10)

Чтобы найти уравнение результирующего ДВИЖЄ-

ния, построим векторную датаграмму этих четырех колебаний (рис. 2).

Из векторной диаграммы можно найти вектор ам-—>

плитуды /1 результирующего колебания по оси X и

—>

вектор амплитуды Аг результирующего колебания по оси У:

Ах - Ах + А1х'-

а=аІ.+аІ..

(П)

Численное значение результирующей амплитуды по оси X, согласно векторной диаграмме, определяется формулой:

Рис. 2

а; =АІ +АІ + 2АіхА2х соб б.

(12)

Начальную фазу результирующего колебания по оси X также можно найти из векторной диаграммы:

А\х БІІіб] + Л2х. 5ІП £>2

Аи С05+Л2х сое 52

(13)

Аналогично из векторной диаграммы найдем численное значение результирующей амплитуды и начальную фазу у2 результирующего колебания по оси У:

А; = А{у +А2у +2А1уА2у сое 5:

&У2 =

Аи, біп5, +А?„ 5Іп82

Аи, С05 8, +А1у со5 82

(14)

(15)

Разность фаз между результирующими колебаниями по осям X и У равна:

У = У2 - Ті-

(16)

Таким образом, результирующие колебания по осям X и У можно записать в краткой форме:

а% — Ах сойсоГ ау = Ау соз(о)Г + у),

(17)

где величины 72 и Ах, Ау и у определяются формулами (12-16). '

Исключая из (17) время г, получим уравнение траектории результирующего движения:

• - 2 х ' СОБ У + — = бій- у.

а: ахау а■

(18)

Таким образом, можно сделать вывод: при сложении двух когерентных колебаний, направленых под произвольным утлом друг к другу, траектория результирующего движения представляет сооой в оо-щем случае эллипс, ко торый в зависимости от амплитуд и начальных фаз складываемых колебаний, а также утла между ними, может вырождаться в окружность или прямую линию.

В качестве примера рассмотрим частный случай сложения двух когерентных колебатшй, направленных под утлом 30° друг к друту. Пусть уравнения колебаний имеют вид:

а} - А, сое (со/ + 8,); а2 =А2 сов(со1 +82)

где А\ — /42= 5 см, б) = о;= 0°, то есть 6 - 0 .

Угол между направлением этих колебаний равен а = 30°. Первое колебание составляет с осью X у гол = 0°, а второе колебание составляет с той же осью утол сх2 = 30е. С учетом начальных условий числен-

ные значения ортогональных составляющих будут равны:

А\,- 5 см; Аъ - 4,33 см; А\у = 0; /12> = 2,5 см.

В данном случае численные значения рез\лыи-рующих амплигуд по осям X и У равны:

Ах = 9,33 см; Ау - 2,5 см.

А начальные фазы результирующего колебания по осям X и У соответственно равны:

у, = 0°; 72 = «°'- У = °°

Таким образом, уравнение траектории результирующего движения имеет вид:

(

ах ау 9.33 2.5

= 0.

ау -021ах.

Данное уравнение представляет собой прямую линию, составляющую с осью ОХ утол ср ~ 15 .

Для случая, когда ^ = 0°, а 6; = 30°, при таком же угле (X = 30°, уравнение траектории результирующего движения имеет вид:

/Г . -> „

_____ї-----2-----------:----сой 17' + —= апГ 17

9 014” 9,014 ■ 2,5 2,5"

Данное уравнение представляет собой неканоническое уравнение эллипса. Полуоси эллипса не совпадают с осями прямоугольных координат. Рассмотрим дна специальных случая:

1. Сложение однонаправленных колебаний. Пусть колебания (1-2) направлены вдоль оси X, то есть пусть а, = а2 = 0. Согласно формуле (3) имеем а = 0. Учитывая эти начальные условия, из выражений (5-6) получим:

■4ь = .4,:.41г = .42:Ли, = 0;Л

(19)

Учитывая эти соотношения, из выражении (12-16) получим амплитуды результирующих колебаний по осям X и У и начальные фазы результирующих колебаний также по осям X и У:

.42 =А; +А; +2А,А, сое8;

,1: =0:

#Уі

А, БІпб, +Л, БІІібп

(20)

(21)

(22)

(23)

Таким образом, уравнение результирующей траектории имеет вид:

ах = Ах соз(ю/ + Уі).

(24)

Аналогичный результат получим дня случая, когда колебания (1-2) направлены вдоль оси У, то есть а, = а2 = 90°. Согласно формуле (3) имеем а = 0. Согласно выражениям (5-6) получим:

А и = 0; А1х - 0; А і „ - А і; Л2у - А2.

(25)

Учитывая эти соотношения, ш выражений (12-16) получим:

А1 = °’

Уі =°;

Ау — Л]” Л-> +2Л|.д1т соб 6.

^У2 =

А] 5ш6, +А2 5Іп52 А, С05 5, +А-, созб-

(26)

(27)

Таким образом, уравнение результирующей траектории имеет вид:

= Ау + у2).

(28)

2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Пусть колебание (1) направлено по оси X, то есть а] = 0°, а колебание (2) направлено по оси У, то есть а2= 90°. Тогда по формуле (3):

а = а2- щ = 90°. (29)

Учитывая эти условия, из выражений (5-6) получим:

А1х = АьА2х = 0:А]у = 0:А2у = А2. (30)

Учитывая эти соотношения, из выражений (12-15) получим амплитуды результирующих колебаний по осям X и У и их начальные фазы:

Л; у, =#6,:

А; -А\\ tgy2 =tg?^2■

то есть:

Лх = АйЛу = А2\ уі = бі; 72=62

(31)

(32)

Учитывая эти соотношения, иг5 выражения (16) получим:

у = б2— 8і — 6.

(33)

Учитывая выражения (32-33), уравнение результирующей траектории примет вид:

сС , ахау

2 х у-сов 8 н—4- = біп* 8.

А{

А-

Таким образом, из теории сложения дглх когерентных колебаний, направленні,їх под произволь-

Рис. 3. Схема экспериментальной установки для проведения опытов 110 сложению двух электрических колебаний ничкои частоты

ИЫМ углом друг к другу, следуют как частные случаи законы сложения однонаправленных и взаимно перпендикулярных колебаний.

Полученные выше теоретические результаты МОГУТ' быть наглядно подтверждены опытами по сложению двух -электрических колебаний низкой частоты. Схема -экспериментальной установки дчя проведения опытов показана на рис. 3. Она состоит из /{вух цепей. Первая цепь состоит из двух реостатов К, и К2, включенных параллельно друг другу. Вторая цепь включает в себя один реос тат Кт..

На нходХ1-Х2 первой цепи подают переменное напряжение от генератора ГЗШ-1 с частотой V = 400 1ц. Напряжения, снимаемые с реоста тов К і и К2, имеюі одинаковые частоты и ііачатілилс фазы, тю различные амплитуды, которые определяются положением ручек реостатов. Напряжения с реостатов Д| и К2 подают соответственно на входы «X» и «У» осциллографа С1-1. На экране осциллографа наблюдают результирующее движение -электронного луча в виде прямой линии под некоторым углом к осям X и У. Изменяя напряжение на реостатах, мы можем изменять угол наклона результирующего движения электронного луча к осям X и У.

Отключив первый генератор, подают на вход ХЗ-Х4 переменное напряжение от генератора I ЗШ-2 той же частоты — 400 1 ц. І Іапряжетіие с реосіаіа Н-к. подают на вход X того же осциллографа. На экране осциллографа наблюдают' колебание электронного л уча вдоль оси X.

Таким образом, мы имеем два колеоания: одно направлено под произвольш.ш утлом а к оси X, а другое колебание направлено вдоль оси X осциллографа. При одновременной работе да ух генераторов на одной и той же частоте на экране осциллографа наблюдаем результирующее движение электронного луча от сложения двух когерентных колебаний, направленных иод произвольным углом друг к другу. Если частоты, на которых работают генераторы, отличаются на небольшую величину, то это приводні к периодическому изменению разности фаз 6 двух складываемых колебаний от 0 до 2л, что, в свою очередь. ведет к изменению траектории результирующего движения. Установка позволяет изменять как амплитуды двух складываемых колебаний, так и утол а между ними. В частном случае имеется возможность исследовать как сложение однонаправленных, так и взаимно перпендикулярні,їх колебаний

ВЫВОДЫ

1. Рассмотрена теория сложения двух когерентных гармонических колебаний, направленных под произвольным углом друг к другу. В общем случае траектория результирующего движения представляет собой эллипс, который в зависимости от амплитуд и начальных фаз складываемых колебаний, а так же угла между ними, может вырождаться в окружность или прямую линию.

2. Из теории сложения двух когерентных колебаний, направленных под произвольным углом друг к другу, следуют как частные случаи законы сложения однонаправленных и взаимно перпендикулярных колебаний.

3 Полученные выводы подтверждаются экспериментально с помощью сложения низкочастотных электрических колебаний, направленных под произ-

волыгым углом друг к другу. Траектория результирующего движения наблюдается с помощью электронного осциллографа. Установка позволяет изменять амплитуды, начальные фазы складываемых колебаний и угол между ними от 0 до 90°.

ЛИТЕРАТУРА

I Лноронов Л.Л.. Нытт Хайкин С.'). Теория колебании М:

1 Іаука. і98 1 568 с

2. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний М. Наука. 1964 437 с

3. Горелик Г.С. Колебания и волны. М ГИФМЛ. 1959 572 с

4 Молов И.Н. Основы теории колебаний М.' Просвещение. 1971

198 с.

5 ХайкинС.Э. Физические основы механики М. Наука. 1971 751 с

6. Ми.-ютков II.>1 Изучение колебаний на основе современного

•жеперимента Киев'Радянська школа. 1988 160 с

Поступила к редакцию 22 мар та 1999 г.