Слабо искривленная трещина около границы соединения двух различных материалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2008, вып. 1

М. А. Греков

СЛАБО ИСКРИВЛЕННАЯ ТРЕЩИНА ОКОЛО ГРАНИЦЫ СОЕДИНЕНИЯ ДВУХ РАЗЛИЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ 1

1. Введение. На практике широкое распространение получили слоистые структуры, представляющие собой соединение различных материалов (керамика, металлы, полимеры и др.). К ним относятся многослойные композиты, применяемые во многих отраслях техники, в том числе при создании электронных и оптоэлектронных приборов и устройств. Оценка и повышение надежности таких неоднородных структур является одной из приоритетных задач механики и материаловедения. В связи с этим особое внимание уделяется анализу поведения трещин и подобных им дефектов, появление которых на межфазной границе и вблизи нее является следствием технологии изготовления композитов, а также результатом внешнего силового и температурного воздействия. Изучению таких трещин посвящено достаточно много работ (см., например, [1-3] и цитируемую там литературу), однако все они имеют дело с прямолинейными трещинами. В действительности, форма реальной трещины, как правило, является искривленной. Более того, первоначально прямолинейная приграничная трещина чаще всего развивается по криволинейной траектории [4] из-за неоднородности поля напряжений, вызванного взаимодействием трещины с границей. Как и в работе [4], в которой использовались комплексные гиперсингулярные интегральные уравнения для анализа распространения первоначально прямолинейной трещины около свободной границы полуплоскости, криволинейные трещины частного вида в той же полуплоскости изучались в [5] с применением системы сингулярных интегральных уравнений. Попытки оценить влияние формы трещины, расположенной около межфазной границы, на ее предельное состояние до сих пор, по-видимому, не предпринимались.

В данной работе строится решение задачи о слабо искривленной трещине, расположенной около плоской границы, разделяющей два различных упругих материала, при действии нагрузки на трещине и на значительном удалении от нее. Для этого используется метод возмущений, предложенный в работе [6], и метод суперпозиции, описанный в [7]. Соответствующие комплексные потенциалы ищутся в виде рядов по степеням малого параметра. Решение задачи сведено к последовательному решению интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Для каждого приближения эти уравнения отличаются лишь правой частью, зависящей от предыдущих решений. Нулевому приближению отвечает прямолинейная трещина, интегральное уравнение для которой получено в [7]. Нахождение последующих приближений может быть осуществлено по выведенным в работе формулам. Аналогичный подход был использован в задаче о прямолинейной трещине, расположенной около слабо искривленной границы полубесконечного тела [8].

2. Постановка задачи. Рассмотрим двухкомпонентное упругое тело, находящееся в условиях плоской деформации или плоского напряженного состояния. Межфазная поверхность данного композита является плоской. Это позволяет сформулировать соответствующую двумерную задачу теории упругости для плоскости комплексного пе

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-00274). © М.А.Греков, 2008

ременного г = XI + 1x2, состоящей из двух полуплоскостей Ии = (г : (-1)кх2 > 0} (к = 1, 2). В области Л1 расположена криволинейная трещина Гс = {г : г = гс}, которая является малым возмущением прямолинейной базовой трещины длины 21, составляющей угол а1 с границей раздела Г (рис. 1).

Рис. 1.

В локальной декартовой прямоугольной системе координат £1, £2 граница криволинейной трещины Гс определяется уравнением

Z = Zc = £1 + ief (£1), |£i| <l. (l)

Считаем, что e > 0, e л 1, а функция f (£1) непрерывна и max | f (£i) | = l,

|/(£i) | < M (M = const). Связь между системами координат £1, £2 и xi, x2выражается равенством

Z = (z + ih) exp-iai, h>l sin аь 0 < а і < п. (2)

На границе раздела Г имеют место условия идеального сцепления

u-(xl) = u+(xl), a-(xl ) = a+(xl), xl G Г,(3) а на трещине действуют самоуравновешенные усилия

а± (zc ) = po(Zc), zc G Гс.(4) Здесь u±(xl) = lim u(z), о±(xl) = lim a(z) в (3), a±(zc) = lim a(z) в (4), z—>xi±i0 z —>xi±i0 Z — ACcii0

u = ul + iu2, 0 = Onn + i&nt, ul ,u2 -компоненты вектора перемещений, соответственно, вдоль осей xl и x2; Onn, Ont —нормальное и касательное усилия на площадке с нормалью n (в

условиях (3) и (4) вектор n перпендикулярен к соответствующей границе, а направление вектора t совпадает с положительным направлением касательной). Орты n, t определяют правую систему координат n, t.

Условия на бесконечности имеют вид

lim Oij(z) = аул, lim w(z) = wkTO (z G ttk), (5)

| z | —>tt | z | —>tt

где а] и ш —компоненты тензора напряжении в системе координат хі, Ж2 и угол поворота материальном частицы.

3. Метод суперпозиции. В соответствии с принципом суперпозиции [2] решение задачи ищем в виде

где СТс(г), Ио(г) —усилия и перемещения, возникшие в однородной плоскости с упругими свойствами среды 01 при раскрытии в ней криволинейной трещины Гс под действием некоторых усилий, подлежащих определению; а"Ь(г), и(г) —усилия и перемещения, возникшие в двухкомпонентной плоскости при отсутствии в ней внутренних источников возмущения, условиях на бесконечности (5) и наличии скачков усилий Доъ = а+ — а— и перемещений Дзд = и+ — и' на границе раздела Г. Подставив (6) в (3), находим

где Шс = (3 — У£с)/(1 + УГс) при плоском напряженном состоянии, Шс = 3 — 4у£с при плоской деформации; УГс и л& — соответственно, коэффициент Пуассона и модуль сдвига среды 0£с. Дифференцирование в (8) производится в направлении вектора 1, который составляет с осью х1 угол а, отсчитываемый от оси х1 против часовой стрелки.

выражающее решение исходной задачи в виде суммы двух вспомогательных:

Из (6) и (8) вытекает основное соотношение принципа суперпозиции,

О(г) = Оь(г) + Ос(г)Лс1, г О 0&.

Здесь Лс1 = 1 при к = 1 и Лс1 = 0 при к = 2.

4. Криволинейная трещина в однородной плоскости. Пусть на берегах трещины самоуравновешенные усилия, определяемые некоторой функцией q(Cc):

а±^с) = q(Zc), гс О Гс.

Считаем, что функция q(Cc) удовлетворяет условию Гельдера почти всюду на Гс, Согласно [6] усилие ас на площадке с нормалью п и перемещение ис вне равенства

(9)

Гс, расположенной в неограниченной плоскости со свойствами среды 01, действуют

и выполнены нулевые условия на бесконечности, аналогичные (5). (10)трещины Гс выражаются через комплексные потенциалы Ф, У при помощи

где в — угол между направлением площадки 1 и осью £1, отсчитываемый от оси £1 против часовой стрелки. Функции Ф(£), Т(^) голоморфны вне конечной области, ограниченной кривой Гс и Гс ЛГс = ^ : Z = Сс}) • Заметим, что соотношение (11) является приближенным. Оно становится точным в случае прямолинейной трещины, для которой Гс = Гс. Перейдем в (11) к пределу при Z л 2с О Гс, в Л вс где вс — угол наклона касательной к кривой Гс в системе координат £1, £2. Тогда при учете очевидного равенства

а граничные значения функций ФдЛ), Уи(^) на Гс и функции qn(Zc) —в виде соответствующих рядов Маклорена в окрестности £2 = 0, рассматривая переменную £1 как параметр:

Приравнивая в последнем равенстве суммарный коэффициент при каждом степени (т — 0. 1, ...) нулю, приходим к последовательности краевых условий

Здесь

(&) + (Ы - ) + я,| (Ь), |ех I < I.

и.

(15)

(6) - - Е £т » (ф-'°(6) + (-1)*Т^Й)«1) + 2(—1)Ь-1А-Ф«,(й)(^1)) +

т = 0 |_

+ 2(—1 (:2/'' • ': ф”'' т,/

7 ( — I

' Е

я,

(*Д6)) ' (к'., Г ч - л г /,г(

—-----—---7т(Ы, «^о, к = п-т. (16;

Г Я\ а!

Условия (15) приводят к двум задачам Гнлт.берта для нахождения функций Ф„.(£). ТГ(С V [(>!■ Решение этих задач запишем в виде

Ф„(С) - ф„„(0 + Ф.д',;. Т„(0 - Т„„(0 + т^(0,

где

Фпг^О Т„и1С) 2тХ{С) ] t

(Й,

Фпк\С) - ^ (С) + Я(2(0) ^ Т„Й(С) — Фп/'ЛС) - ЛаЮ;

(17)

(18) (19)

^1(0 = IЯкШ Иг‘и}л, 1п-2(о =. IА; 11:;п: и"1 ■//. (20)

2тггЛД

1-е,

У^> ./

1-С

ЛГ(С) V -V; / • ±Л^(/) ■ V

Здесь важно отметить, что на основании (16) функции H±(t) выражаются через все предыдущие решения и, таким образом, при отыскании п-го приближения Фпк(С), Ynk(Z) —известные функции, а функции Фии(С), Ynu(Z) подлежат определению.

5. Двухкомпонентная плоскость с прямолинейной межфазной границей.

Выразим теперь функцию ОЬ через неизвестные пока функции Ф и У. Усилие аь на площадке с нормалью п и перемещение пъ в задаче о совместной деформации двух однородных полуплоскостей с различными упругими свойствами определяются по формуле

При условиях на бесконечности (5) и условиях контакта (7) для функций Ак справедливы равенства

/И + МзГ-' (^)

(^12 > ^ ^2 :

Л^:::-."У,:

/7] Г7^

Здесь

7Г1 ,/ / — .

ос>

(22)

- Ит с,к(г), г 6 О,-. А;, ^ - 1: 2,

1~1

_ К ос | —Л: с

Н-кк ~ аку ~ Л22 ~ 1(712 : акк

4 хк | 1

Подставим (11) в (22). Тогда, используя свойства интеграла типа Котпи [7, ст]-). 53],

с учетом (5) получим

ЛГ,Ф(С) I «12,

^(Я>

ЭД

У К-2 Ф(?(.’) I ^Т(?(.') — Ф(?с) — {10 — ()Ф,{1о)у-'2гП1 (] - К|)Ф(С) I (Ь'П,

(К-2— 1) Ф(й>) | (т^ш) — Ф(77т) — {'ю — С)Ф'(^)')Г'21'

.г е И2>

I п.и, геПи

Z еИ-2, | 0,2 | , £ И \ :

ГДС

, •; ■, га, , ■ /'1^2 - /'2^1 ,,, № - М2

>0 — (,? — г/г) с 1, Л 1 — ----------------;-----------, К-2 ~

/.о> I Ц1 а-) ;(1 ( М2^1

При учете иисл^дних соотношен ии выражения дин функции Оъ в (21) преобразуются к следующему виду: при г е 0-|

Сь(г)-М(Т, Ф,х,а,щ) I 6'£~, (23)

при г е Из

ед-^(]-л',)Ф(о I [о-л’оо-г 2“)-(/^-1)^ - '• | -2; )]ф'С:

-(А-2-1)с- 2^Т(С) I [(К2-1)(С-Ти) I . I - /м - ' (г-г)\с 2“Ф'(0 I ■ ^)

В (23), (21) постоянные С’^' и б’^' значения соответствующих функции на бесконечности, которые! определяются условиями (5). Кроме того, в (23) введено опо'шачепие

М (Т, Ф, г, «, 1/х) - -тК2сМп’Г(и') - К?1~ 1 (1 - С -1п) Т(г

-1]\К2{ 1-с-га,)Ф(-) I К~>е -,Л| (1 -г -га) (— — С) Ф'(“) —

-[Л'2(1 27,К1)(1-с *'*) + 2"‘] ФрЭ) + //, К*{ю - С) е^Ф'Сй»)-

—ЛЧ(г — г) [т^иЛ I 2 {с‘2{а' - 1) Ф'(«?) - («г - С ) Ф"(«?)1 с ,(2п' ■Зй|). (25)

Значению Л2 = 0 отвечает трещина в полуплоскости Л1 при отсутствии Л2- В этом случае соотношение (23) совпадает с точностью до знака и постоянного слагаемого ОЛ с равенством (10.35) в [7] при по = 1, а правая часть (24) обращается, естественно, в ноль.

6. Интегральное уравнение п-го приближения. Формулы (13), (17)-(20) определяют функции $(г), Y(z) через неизвестную функцию q, которую найдем, удовлетворив граничному условию (4). Для этого подставим (11), (23) в (9) при ш = 1 и в полученном равенстве устремим г л гс, а л ас. Тогда с учетом (4) и (12) приходим к уравнению

q(Zc) + аь(гс, ас) = ро^с), Zc О Гс. (26)

Заменим аь(гс, ас) в (26) его выражением из (23). Тогда в силу разложений (13) уравнение (26) сводится к следующему:

Е ^к'- ; ' м ^ ’)] (27)

/г—и

ГДС

\ I ^ 1осЛ 1ос , _1оо | /'1^ , о' 1х \ 2глс

2а (ас) — 2 (апп \ шпЬ ) — а22 I ап | (а22 - стц | 2тп ) с .

Им. ;я в вид}-, что ас = ах I /% и гс = *о I г^/(^1)ст1 ■ и<с = и>о I г;\/’(ц 1 2"Л1 -

2п — £] е’"1 — Иг. и>о — (го — И’*) е1"1. по аналогии с (14) предстаппм функции в (27) 1?

виде рядов Маклорена. Тогда (27) принимает вид

^

Е гг Е Щг- к*5^) - к^'п1.........^(^)-

П! ^ к!

п=0 к=П

1\2■ \У < (е2“' М Т../'

-(-1)*е-2‘(*-1)а| (А'а (1 — е-2*а|) (е2<а| -5) I А'х5) Ф^(«?о)-

—К2^ка' (1 - е2*а|) Ф:^(-,л + К2с2Кк~1)а' (и-о - ет - а/ (1 - (2“')) ф^ ' 1)№о)+

+А'г(—1 )*е_2*(к_2)а| (е2*а| - 5) (й?0 - ^ (1 - е_2,;'Д|)) Ф^^^о)-

/\: I:''.' (^0-го | | г^а|)).9х

(^■’^(и-о) + 2 (е2^1 - 1) Ф1,;+1)(й?о) - (ш0 - ет + (1 - е-2^1))^-2^^))

-Е Ш[и))крок)(ъ) -^2{Л1 Е (-*пъ))г

д=о

(28)

Собирая в уравнении (28) коэффициенты при г”, приходим к последовательности итттегралвттых уравнений Фредгольма второго рода:

«„(&) + М (Т„и; Ф„„, аь1)- Р,^), |^11 < /, п 0 1 ... (29)

Из (18) и (25) видно, что оператор М в (29) это интегральный оператор Фредгольма с непрерывными ядрами, действующий па функцию д„ и ей сопряженную. Можно

показать, что при А2/А1 = 0 и А2/А1 А ж этот оператор с точностью до знака совпадает с оператором (10.35) в [7], а интегральное уравнение (29) в нулевом приближении совпадает в этих случаях при а1 = 0 с соответствующими интегральными уравнениями, рассмотренными в [7] для прямолинейной трещины, параллельной свободной и жесткой границе полуплоскости. Заметим, что однородное уравнение, соответствующее уравнению (29), не имеет нетривиальных решений, и, таким образом, решение уравнения (29) единственно для любого приближения. Действительно, ненулевое решение этого однородного уравнения означало бы, что при отсутствии внешней нагрузки и других источников возмущений (например, дислокаций) композит находится в напряженном состоянии. Это противоречит постановке задачи.

Функции Еп легко получить из (28) для любого п. Для нулевого и первого приближений они имеют следующие выражения:

Формулы (9), (11), (13), (17)-(20), (23)-(25), (28) и (29) фактическидают алгоритм определения напряженно-деформированного состояния двухкомпонентного тела со

слабо искривленной трещиной, расположенной около межфазной границы, при любой степени приближения. Сначала в нулевом приближении при решении

интегрального уравнения (29) с известной правой частью Fo находится функция qo. Затем с использованием формул (17), (19) и (20) определяется выражение для

функции Fi в (30). После подстановки функции Fi в уравнение (29) находится его решение qi. Следующие приближения строятся по той же схеме.

Для построения численного решения уравнения (29) можно воспользоваться комбинированным методом решения подобного вида интегральных уравнений, который

хорошо зарекомендовал себя на примере прямолинейной трещины около границы полуплоскости и в полосе при различных видах нагрузок, включая действие

сосредоточенных сил на трещине и на границе полуплоскости [7].

Summary

M. A. Grekov. A slightly curved crack near the interface in dissimilar materials.

The perturbation method is used to solve a plane elasticity problem for a slightly curved crack located near the interface in dissimilar materials. Based on Kolosov's complex potentials and superposition technique of elastic problems, the solution of the problem is reduced to a successive solution of Fredholm integral equations of second kind for each approximation. An algorithm is carried out for computing any-order perturbation solution.

Литература

1. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений: В 2 т. / Под ред. Ю. Му- раками. М.: Мир, 1990. Т. 2. 1016 с.

2. Suo Z., Hutchinson J. W. Steady-state cracking in brittle substrates beneath adherent films // Intern. J. Solids and Structures. 1989. Vol. 25. N 11. P. 1337-1353.

3. Huang H., Kardomateas G. A. Mixed-mode stress intensity factors for cracks located at or parallel to the interface in bimaterial half planes // Intern. J. Solids and Structures. 2001. Vol.38. P. 3719-3734.

4. Dobroskok A., Ghassemi A., Linkov A. Extended structural criterion for numerical simulation of crack propagation and coalescence under compressive loads // Intern. J. Fracture. 2005. Vol. 133. P. 223-246.

5. Морозова Т. М. Коэффициенты интенсивности напряжений для криволинейной трещины, расположенной вблизи границы полуплоскости // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986. №6. С.130-134.

6. Греков М. А. Слабо искривленная трещина в изотропном теле. Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2002. Вып. 3. С. 81-88.

7. Греков М.А. Сингулярная плоская задача теории упругости. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2001. 192 с. С. 74-80.

8. Греков М. А., Макаров С. Н. Метод возмущений в задаче о трещине, расположенной около слабо искривленной границы упругого тела // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела. Сб. трудов научн. школы акад. В. В. Новожилова. СПбГУ. 2002. Вып. 6. С. 128-134.

Статья поступила в редакцию 13 сентября 2007 г.

8