Трещина в форме дуги окружности, расположенная вблизи поверхности раздела материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТРЕЩИНА В ФОРМЕ ДУГИ ОКРУЖНОСТИ,

РАСПОЛОЖЕННАЯ ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА МАТЕРИАЛОВ*

В. М. Мальков1, Ю. В. Малькова2

1. С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, ст. препод., [email protected]

В механике трещин актуальны задачи, когда трещина находится недалеко от границы, разделяющей две разные материальные среды, или пересекает её. Близость трещины к межфазной границе оказывает существенное влияние на величину напряжений в окрестности самой трещины, а также на величину напряжений на линии раздела материалов. Для инженерных приложений важно знать поля напряжений и перемещений в окрестности трещины и на линии раздела, что позволит предсказать поведение трещины, а также оценить прочность соединения материалов.

Ниже рассматривается плоская задача (плоская деформация или плоское напряженное состояние) для двухкомпонентной плоскости с криволинейной трещиной в виде дуги окружности, расположенной в окрестности поверхности раздела материалов. Трещина находится целиком в нижней полуплоскости и не соприкасается с границей раздела (такие трещины называют внутренними). На берегах трещины приложена внешняя поверхностная нагрузка. На бесконечности заданы напряжения и углы поворота. Для решения задачи используется метод комплексных потенциалов Колосова—Мусхе-лишвили в сочетании с методом суперпозиции. Решение исходной задачи построено в виде суммы решений двух частных задач. Получены формулы для коэффициентов интенсивности напряжений.

Подобная задача для криволинейной трещины решена впервые, раньше рассматривались либо прямолинейные трещины, либо слабо искривленные трещины, мало отличающиеся от прямолинейной. В последнем случае для решения задач использовался метод возмущений по малому параметру в уравнении трещины. Достаточно полный обзор работ в данной области механики трещин сделан Ю. В. Мальковой [1].

Систематическое изучение задач о слабо искривленных трещинах вблизи линии раздела было начато в работе [1]. Этой проблеме посвящены также статьи [2, 3]: в [2] рассмотрена теоретическая сторона вопроса, а в [3] основное внимание уделено анализу напряжений на линии раздела материалов для внутренних трещин частного вида.

В публикациях более детально исследован случай прямолинейных трещин. Решение задач преимущественно осуществлялось численными методами. Применялись также методы решения, основанные на введении функций дислокаций.

Трещина, параллельная границе раздела двух полуплоскостей, рассмотрена в работах [4-7], внутренняя трещина, перпендикулярная границе раздела, —в работах [8-14]. Внутренняя наклонная трещина вблизи границы раздела рассмотрена в статьях [15-21]. В некоторых работах учитывался контакт берегов трещины [19-21].

* Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей

школы РФ (2009—2010 годы)» (проект №4504) и РФФИ (проект №09-01-00656).

© В.М.Мальков, Ю.В.Малькова, 2010

Краевые задачи для трещин, заканчивающихся на линии раздела или пересекающих её, можно выделить в отдельный класс, поскольку они существенно отличаются от задач для внутренних трещин как по методам решения, так и по свойствам напряжений у конца трещины [8-12, 22-29]. Наиболее важный результат анализа состоит в том, что показатель сингулярности напряжений зависит от параметров задачи, в том числе от модулей упругости материала полуплоскостей, угла наклона трещины и находится в пределах между 0 и 1, вместо привычного значения, равного 0,5.

1. Постановка задачи. Метод суперпозиции

Рассматривается плоскость S, состоящая из двух полуплоскостей Si и S2, выполненных из разных материалов. В декартовых координатах (x1, x2) прямая x2 =0 является линией раздела полуплоскостей. Предполагаем, что криволинейная трещина расположена целиком в нижней полуплоскости S1. Введем другую систему декартовых координат (£1 , £2) с началом координат в центре окружности O1, на которой расположена трещина (рис. 1), радиус окружности обозначим r = а. Для комплексных переменных z = x1 + ix2 и Z = £1 + i£2 имеем зависимость z = z1 + Z, где z1 —положение центра окружности. В полярных координатах (r, в) трещине соответствует промежуток в1 < в < в2. На рис. 1 показаны два вида трещин — выпуклая вверх и выпуклая вниз. Радиусы окружностей трещин одинаковы и равны а. Центр второй окружности O2 может находиться в нижней полуплоскости. Координаты центров окружностей связаны зависимостью z2 = z1 + 2aei(01+a) cos a, где a = (в2 — в1)/2 — половина угла раствора трещины.

Рис. 1. Двухкомпонентная плоскость с криволинейной трещиной в окрестности межфазной линии.

Решение краевой задачи строится в виде суммы решений двух задач: первой является задача для двухкомпонентной плоскости без трещины со скачками напряжений и перемещений на линии сопряжения полуплоскостей, второй — задача для однородной плоскости с криволинейной трещиной. Этот метод был предложен М. А. Грековым [30] в задаче о прямолинейной внутренней трещине для частного вида внешней нагрузки на берегах.

Основная сложность получения решения с помощью данного метода суперпозиции состоит в том, что скачки напряжений и перемещений первой вспомогательной задачи и поверхностная нагрузка на берегах трещины второй вспомогательной задачи явля-

ются неизвестными функциями. Для нахождения этих четырех функций с помощью граничных условий исходной задачи получена система четырех уравнений. Путем преобразований эти уравнения сведены к одному интегральному уравнению Фредгольма второго рода в комплексной форме относительно одной искомой функции. Это уравнение достаточно сложно, чтобы можно было говорить о построении аналитического решения. Решение интегрального уравнения строится в виде полинома, неизвестные коэффициенты которого ищутся методом коллокации.

Граничные условия задачи. На бесконечности при |^| —> заданы напряжения

и углы поворота (свои для каждой полуплоскости Бк, к = 1, 2)

— тт, ^ — ^кто, и —о, (1.1)

причем

_1^ __

712 = 712 = 712, 722 = 722 = 722 •

На линии сопряжения полуплоскостей Х2 =0 имеем условия непрерывности напряжений и производных перемещений

(^22 - *7"21) + (х1) = (722 - *^21)-(х1),

_ (!.2)

(и[ + ш2)+(х1) = (и1 + *и2) (Х1),

штрих означает производную по переменной Ж1.

На берегах криволинейной трещины Ь задана внешняя нагрузка

(&ии + *7^)+ = Р*(гс), (ст„„ + *7^)“ = ?*(^с), (1.3)

где апп и аП1 — компоненты тензора напряжений в базисе нормали и касательной к контуру трещины, гс — значение координаты на трещине. Внешняя нагрузка в общем случае различна на двух берегах трещины и может быть несамоуравновешенной. Функции р*(гс), ц*(гс) непрерывны и удовлетворяют условию Гёльдера.

Метод суперпозиции. Напряжения и перемещения представим в следующем виде: аг] = (аг] )1 + (аг] )2, иг = (и®)1 + (м*)2, 2 € Б1,

(1.4)

= (& 13 ) 1, иг = (иг ) 1, ^ € Б2 .

Из этих формул видно, что решение рассматриваемой задачи в нижней полуплоскости Б1 складывается из решений первой и второй вспомогательных задач, соответственно отмеченных индексами 1 и 2, для верхней полуплоскости Б2 используется решение только первой задачи.

Преобразование граничных условий. Граничные условия первой задачи на линии раздела таковы:

[(<722 - *721)1] + - [(<722 - *021)1]“ = Дст(ж1),

; , . , _ , (1.5)

[(и1 + *и2)]+ - [(и1 + *и2)] = Ди7(ж1).

Учитывая соотношения (1.2), (1.4), условия (1.5) преобразуем к виду

[(<722 - *721)2]“ = Д7 (Х1), [(и! + *и2)2]“ =Ди'(ж1). (1.6)

Граничные условия второй задачи на трещине имеют вид

[(7„„ + *стп4)2]+ = р(гс), [(ст„„ + *а„4)2]- = 9(гс). (1.7)

Вычтем (1.7) из (1.3):

[(Яии + І^п4)і]+ = Р*(гс) -Р (гс), [(а„„ + *ст„4)і]- = 9*(гс) - 9 (гс). (1.8)

Система четырех уравнений (1.6), (1.8) служит для нахождения четырех неизвестных функций, каковыми являются функции скачков напряжений и производных перемещений Да (хі), Дм/(жі) на линии сопряжения полуплоскостей первой задачи и функции внешней нагрузки р (гс) и 9 (гс) на берегах трещины во второй задаче.

Так как напряжения первой задачи непрерывны на трещине,

Р*(гс) - Р (^с) = 9* (^с) - 9 (^с) и уравнения (1.8) можно записать как одно уравнение:

(апп + іаиь)і = 0, 5[(р* + 9*) - (р + 9)](гс). (1.9)

Приведем решения задач 1 и 2, участвующих в методе суперпозиции.

Задача 1. На линии раздела полуплоскостей имеют место скачки напряжений и производных перемещений, на бесконечности решение должно удовлетворять условиям (1.1). Подобная задача была рассмотрена в [1]. Напряжения и производные перемещений по координате ж і запишем через комплексные потенциалы Колосова—Мусхели-швили [31]:

(ст22 - і сг2і)і = Фк{г) + Фк(г) + гФ'к(г) + Фй(.г),

(сгц + * <тіг)і = Ф&(.г) + Ф&(^) — гФ'к(г) — Я>к(г), (1-Ю)

2цк(и'і + Ц)і = ккФк(г) ~ Фк(г) ~ гФ'к(г) - ^к{г)-

Комплексные потенциалы Фк (г) и Фк(-г) в этих формулах свои для каждой полуплоскости Б к, к = 1, 2.

Условия (1.5) на линии раздела в комплексных потенциалах таковы:

[Ф2(г) + Ф2(г) + гФ'2(г) + ^2{г)]+ - [Фі(-г) + Фі(-г) + гФ[(г) + Фі(.г)]_ = Аа(х{),

Мі[«2Ф2(^) - Ф2{г) - гФ'2(г) - ^2{г)]+ -

- /л2[кіФі(г) - Фі(г) - гФ[(г) - Фі(г)]- = 2/хі/х2Дг/(жі).

Преобразуем эти соотношения следующим образом:

[Ф2(г) - Фі(-г) - гф[(г) - Фі(,г)]+ - [Фі(-г) - Ф2(г) - гф'2(г) - Ф2(.г)]_ = Аа(жі),

[Мі«2Ф2(^) +М2Фі(^) +М2^Ф/і(^) +М2Ф2(^)]+ -

- [іл2кіФі(г)іліФі(г) + ^гф'^г) + = 2іл1іл2Ли(х1). (1.11)

(1.12)

Введем комплексные функции, аналитические всюду, кроме линии раздела,

_ {Ф2(г) - $1(2:) - гф[(г) - г € 52,

[Ф^-г) - Ф2(г) - гф'2(г) - Ф2(-г), 2 € 5ь

(м^Фг!» +М2Ф1(^) +М2^ф/1(^) +/Л2^1(г), г € 52,

Г £ = < _ —/ _

+ М^^) + ^1^Ф2(г) + ^1^2(2), 2 € Б1.

Тогда граничные условия (1.11) примут вид

Л+(£) - ^“(£) = Дс(£), г+(£) - г“(£) = Ди^). (1.13)

Решения граничных задач Римана—Гильберта (1.13) выражаются через интегралы типа Коши:

М*) = — Г”д<г(11)<Ь1+м°о),

ж і - г

МіМ2 Ди/(жі) ЙЖі

г (г) = --------------------------Ьмоо).

п* ж і - г

(1.14)

Постоянные Л.(о) и г(о) находятся из граничных условий на бесконечности:

_ 1 / 1то , 2ю . <^\ / ^ ■ <^\ . 2*М1. 1^ 2*М2 2ю

'4°°) — 7(а11 +а11 + а22) “ (а22 “ гсг21) + ^ ^ 1

4 1 + К1 1 + К2

^ ( ^-2оо | ^оо | ^М2 2оо\ ^ / ^-1°о | .^оо , 1оо\ (~оо ' от____

°°' — 2( 11 +а22+ 1_|_К2 /4 V 11 22 Х+«1 )+М2(сг22-*сг21) —

1 (^\оо | ^оо | Доо^\ ^ {„2оо | ^оо | ^М2 ,2оо^\ , , / „оо ■ ^оо \

— -^2«1 I <7ц + ^22 + 1 _|_ ^ ш /_4 V 1 + К2 )+МДСГ22 “гсг21)-

Отметим, что напряжения и углы поворота на бесконечности нельзя задавать независимо.

Из соотношений (1.12) получим

(М2 + М1К2) Ф2(^) = г(г) + ^2^(2), 2 € Б2,

(М1 + М2К1) Ф^-Ю = г(з) + ^1^(2), 2 € Бь

Ф2(г) - Ь\г) = Ф^г) + гф[(г) + Ф^-г) = ^1(2), г € 52, Ф^г) - Ь\г) = Ф2(г) + -гФ^-г) + Ф2(г) = Г22(г), г € йь

Комплексные потенциалы выразим через функции ^(г) и г(г):

Ф2(г) = !І£І±»М, аі{і) = гег!!,

М2 + Мік2 М2 + Мік2

фі(а)=Ф!+иМ£)_ Пд(г) = Ф)~'12"'1',(г), гєЬ’,.

Мі + М2кі Мі + М2кі

(1.15)

Задача 2. Рассматривается однородная плоскость с трещиной в виде дуги окружности, на берегах трещины приложена внешняя нагрузка общего вида. На бесконечности

напряжения и углы поворота отсутствуют. Решение подобной задачи имеется в ряде работ, например в [31]. Случай плоскости с круговым включением из другого материала с трещиной на линии раздела рассматривался в работах [32-34] и других. Ниже дано решение задачи о трещине, полученное другим, более простым методом, чем в упомянутых работах. Ради общности изложения и лучшего понимания метода сначала решим задачу для двухкомпонентной плоскости с круговым включением при наличии трещины, затем решение требуемой задачи для однородной плоскости получим как частный случай. Круговое включение |£| < а обозначим Н1, внешность круга |£| > а — Н. В полярных координатах (г, 0) напряжения и перемещения следующим образом выражаются через комплексные потенциалы [31]:

Из условий непрерывности напряжений и перемещений на окружности вне трещины получим соотношения

---- -------- С-------

вгг + І8гв = Ф(С) + Ф(С) — СФЧС) — £ ^(0;

----- --------- С---------

= Ф(0 + Ф(0 + СФ'(С) + ^ Ф(0,

2[л(уг + IVв) = [к<Ж) - - "0(0] е 1в•

■ ------- ---- ґ-----:

ФіЮ + ФіЮ-СФ'іЮ-ріЮ

+

' -------- ------ ґ------

ЫС) + ЫС)-СЩС)--С^2{С)

" ---- ------- С------г Г ----- ------- С------:

М2 кіФі(С) - Фі(С) + СФІ(С) + І Фі(С) =М1 К2ф2(0-ф2(0 + с^(0 + р2(0

Перепишем их так:

Здесь было использовано равенство £ = а?/ Введем новые комплексные функции

г Є Ні, г Є #2,

"(С) =

( / ч -- / 2 \ 2--/ / 2 \ 2 -- / 2 ^

| М2кіФі(С) + Мі^г ( ^~ ) — Мі^-^ ( ^” ) — Мі ^2

л2

|мі«2Ф2(С) + МгФ

[ й \ . й л-ч ( й \ . й лТг I ®

1 ( — ) - М2 — Фі ( — ) -М272Ф1 ( —

г Є #і, г Є #2.

Из этих соотношений получим

(Мі + М2«і)Фі(С) = КС) + МіМС), г Є #і,

(М2 + Мі«2)Ф2(С) = КС) + М2^(С), г Є #2,

*.к> - МО = ф2 (|) - (£) - (|) = «ью,

*2(0-40 = *! (0 - ^ф; (0 -рФі (0 =Пі(0,

(1.16)

г Є #і, г Є #2.

Комплексные потенциалы Фк(С), ^к(С) выражаются через функции Л.(С) и г(С) по формулам вида (1.15).

Условия на трещине имеют вид

[вгг + *вге]+ = р(0), [вгг + *вге]- = 9(0), 0! < 0 < 02,

где р(0), 9(0) —поверхностная нагрузка. Запишем эти условия в потенциалах

и с~ли с2 ^Vс

— І а? \ а? —і Ґ а? \ а? — (а‘

С

Фг(С) + $2 -г - -гФ2 у -77Ф2 у

С

о с2

с

Учитывая формулы (1.16), получаем

[Фі(С)]+ + [Ф2(0 - Ь(С)]- = р(0), [Ф2(С)]- + [Фі(0 - МС)]+ = 9(0).

Вычтем из первого равенства второе:

[Ь(0)]+ - [^(0)]- = р(0) - 9(0).

= р(0), = 9(0).

(1.17)

(1.18)

Сложим уравнения (1.17) и заменим в них функции Ф&(С) согласно формулам (1.15):

КС) +щЦС)

Мі + М2кі

+

КС) + М2^(С)

М2 + МіК2

= ^(р + зО(0) + н Ш-

Это уравнение можно преобразовать к виду [34]

[г(с) - Ш(С)]+ + 6[КС) - яь(С)Г

і(мі +М2к)[(р + д)(9) +С(р - <?)(0)], (1.19)

где С, Д, 6 — константы, зависящие от параметров упругости.

Уравнения (1.18) и (1.19) являются граничными задачами Римана—Гильберта нахождения кусочно голоморфной функции по ее скачку на кривой. Их решения можно

+

2

2

+

найти стандартными методами, при этом нужно знать поведение функций в точке С = 0 и на бесконечности. Функции Фх(С) и Фх(С) ограничены в точке С = 0, а функции Ф2(С) и Ф2(С) ограничены при |£| ^ то. Следовательно, функция г(£) + М1^(С) ограничена при £ = 0, а функция г(£) + ^2^(С) ограничена на бесконечности. Из формул (1.16) видно, что функции Л.(£) и г(С) имеют в точке £ = 0 полюс второго порядка.

Учитывая сказанное, получаем решения граничных задач (1.18), (1.19):

кс) - і ]ь {р г - с(і) *+н{оо)+^4+^

( Х(С) [ ЇІІ)Л , {г-тт = ^.1ьхцт-о+х{с)

ас + в + Пі — + в2 ^2

(1.20)

в этих формулах /(£) —правая часть уравнения (1.19), X(£) —известная функция, £ = ае®0, причем 01 < 0 < 02; Л-(то), А, В, Л-1, Л-2, ^1, ^2 —некоторые константы, их значения имеются в работе [34]. Все величины прведены ниже для случая однородной плоскости.

Из формул (1.15) следует, что для однородной плоскости потенциалы Ф^(С), (С)

одинаковы в обеих полуплоскостях, обозначим их Ф(С) и П(£):

ф(() = п(0 = .-(0-^(0 (1 21) /х(1 + к) /л(1 + к)

Потенциал Ф(С) вычисляется по формуле, получаемой из (1.16),

*(0 = ^Ф(С)-^Ф'(0-^(|). (1.22)

Для постоянных и функций в формулах (1.20) имеем следующие значения (напряжения и углы поворота на бесконечности отсутствуют):

(7 = 0, И = — 1), А = 0, В = —ц ( 1 И—к ) —, /1(00) = 0,

2 у 2 ) 2п

К 1

^'1 = О (л—I Г7 = ^ ^1 = _ -^2 =

2п(1 + к) 2

/(*) = ^(1 + «)0+ ?)(*), х(с) 1

2 л/ (С — *і)(С - Ь)

і і = ае 1, І2 = ае 2. Параметры упругости однородной плоскости берутся те же, что и параметры нижней полуплоскости.

Если внешняя нагрузка одинакова на берегах трещины р = 9, то формулы для комплексных потенциалов существенно упрощаются:

*<« = 0‘« = Ш$га “■“>

Интеграл типа Коши легко вычисляется в явном виде для некоторых практически важных классов функций, в частности, если функция (р + 9)(і) является полиномом или рациональной.

2. Вывод интегрального уравнения

В формулах (1.6) скачки напряжений и производных перемещений запишем через комплексные потенциалы второй задачи:

Да(х1) = Ф(Со) + Ф(Со) + СсФ,(Со) + Ф(Сс),

Аи\Х1) = — [кФ(Со) - Ф(Со) - СоФ'(Со) - *(Со)], 2м

где £о = Х1 — ^о — значение переменной £ на линии раздела.

Теперь по формулам (1.14) найдем функции ^(2) и г(г):

ь( л ь( ^ /Ф(^)? 2 е ^2;

п{г) = п{ оо) + '

(2.1)

—Ф(С1) — СФ,(С1) — *(С1), 2 е 51,

, ч , ч . /м2к1Ф(С); 2 е 52, г (г) = г( оо) + < ------ ------ -----

\^2[Ф(С1) + СФЧС1) + Ф(С1)], *€£1;

(2.2)

здесь в правых частях £ = 2 — 20, С1 = 2 — 2о-

В ходе преобразований нужно было вычислять интегралы типа Коши по бесконечной прямой от функций в правых частях формул (2.1).

Используя выражения (2.2), (1.15), найдем комплексные потенциалы Ф&(2) и (2)

первой задачи:

Ф2(2) = Ф2(то) + (1 — а2)^(2), ^1(2) = ^1(то) — а2^(2), 2 е 52,

(2.3)

Ф1 (2) = Ф1(то) — а1^(2), ^2(2) = ^2(то) — (1 + а1)^(2), 2 е 51,

где функция ^(2) берется для соответствующей полуплоскости (без слагаемого Л-(то)):

ф) = —Ф(С1) — СФ,(С1) — Ф(С1), 2 е 51, (2.4)

Ф) = Ф(0, 2 е 52,

М2 — М1 М1К2 — М2К1

«1 — -----;------, <32 — -;------.

М1 + М2К1 М2 + М1К2

Учитывая равенства а„„ = огг, = оГ0, уравнение (1.9) запишем так:

(ой + 022)1 — (022 — 011 — 2*ст12)1е-2г0 = [(р* + 9*) — (р + д)](2с).

Напряжения выразим через комплексные потенциалы нижней полуплоскости, где находится трещина:

Ф1(2с) + Ф1(2с) — [2сФ1(2с) + ^1(2с)]е ® = 0, 5[(р* + 9*) — (р + 9)](2е). (2-5)

Теперь комплексные потенциалы в уравнении (2.5) заменим их выражениями (2.3):

а\[Кхс) + Нхс)\ + [а\КхС) - аЛхс - хс)к'{гс) + а2к(гс)]е 2гв

= 0, 5[(р + д) - (р* + д*)\(гс) + $1(00) + $1(00) + [ф1(оо) - ^1(оо)]е 2гв

Запишем это уравнение через потенциалы, функция Л.(2е) дана формулой (2.4), а функция Ь\гс) = Ф(С1):

«1 [Ф(С1) + ФШ + СФЧСО + +

+ К (Ф(С1) + СФ'(С1) + *(С1)) + «1 (*с - г с) (2ф' (С1) + СФ" (С1) +

Уравнение (2.6) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода относительно функции (р + 9)(в) на промежутке 01 < в < 02. Комплексные потенциалы в этом уравнении вычисляются по формулам (1.21), (1.22) с привлечением формул (1.20).

3. Решение интегрального уравнения

Уравнение (2.6) имеет единственное решение, которое непрерывно на рассматриваемом промежутке. Предположим, что внешняя нагрузка одинакова на берегах трещины. Это предположение не является принципиальным, но существенно упрощает последующие выкладки. Искомую нагрузку на трещине в уравнении (2.6) представим полиномом

где функции ^ (£) определяются известным способом. Комплексные коэффициенты разложений ей, к = 0, то можно найти методом коллокации, как это было сделано в работе [1] для случая слабо искривленной трещины.

4. Вычисление коэффициентов интенсивности напряжений (КИН)

Вычисление КИН будем проводить, используя соотношение

плюс соответствует правому концу трещины в = 01, минус — левому в = 02. Напряжения первой задачи не имеют особенности на трещине и потому в КИН не участвуют. Приближение к концу трещины идет вдоль окружности г = а, напряжения вычисляются по формуле

где комплексные потенциалы даны формулами (1.21).

Для нагрузки (3.1) и комплексных потенциалов (3.2) формулы для напряжений на окружности г = а и КИН имеют вид

+ *%)) — а2Ф(С1)]е-2^ = —0, 5[(р + 9) — (р* + 9*)](2С) —

— Фх(оо) — Фх(оо) — [Фх(оо) — ^1(оо)]е 2гв. (2.6)

т

(3.1)

й=о

здесь используется безразмерная переменная £. Комплексные потенциалы (1.23) станут такими:

(3.2)

(вгг + *вге)2 — Ф(с) + П(£), С — ^ — ае®0,

Практический интерес представляет вопрос о влиянии трещины на величину напряжений на линии раздела полуплоскостей. Эти напряжения находятся по формулам

здесь участвуют напряжения только первой задачи, так как берется верхняя полуплоскость. Комплексные потенциалы определяются выражениями (2.3)

Поскольку комплексные потенциалы второй задачи известны, то вычисление напряжений не вызывает затруднений.

Литература

1. Малькова Ю. В. Некоторые задачи для двухкомпонентной плоскости с криволинейными трещинами. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2008. 160 с.

2. Греков М. А. Слабо искривленная трещина около границы соединения двух различных материалов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2008. Вып. 1. С. 93-101.

3. Греков М. А., Малькова Ю. В. Взаимодействие трещины с границей раздела двух сред // Труды междунар. научн. конф.: «Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения». СПб.: С.-Петерб. политехн. ун-т. 2008. Т. 2. С. 98-102.

4. Hutchinson J. W., Mear M. E., Rice J. R. Crack paralleling an interface between dissimilar materials // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1987. Vol. 54. N4. P. 828-832.

5. Erdogan F. Bonded dissimilar materials containing cracks parallel to the interface // Engng. Fract. Mech. 1971. Vol. 3. N3. P. 231-240.

6. Zhao L.-G., Chen Y.-H. Interaction between an interface crack and a parallel subinterface crack // Intern. J. of Fracture. 1995. Vol. 76. N3. P. 279-291.

7. Otsu T., Wang W-X., Takao Y. Asymmetrical cracks parallel to to an interface between dissimilar materials // Intern. J. of Fracture. 1999. Vol. 96. N1. P. 75-100.

8. Cook T. S., Erdogan F. Stresses in bonded materials with a crack perpendicular to the interface // Intern. J. of Engng. Sci. 1972. Vol. 10. N8. P. 677-697.

9. Lu Ming-Che, Erdogan F. Stress intensity factors in two bonded elastic layers containing cracks perpendicular to and on the interface. I. Analysis // Engng. Fract. Mech. 1983. Vol. 18. N 3.

10. Lu Ming-Che, Erdogan F. Stress intensity factors in two bonded elastic layers containing

1977. N 1. P. 19-27.

13. Sung J. C., Liou J. Y., Lin Y. Y. Some phenomena of cracks perpendicular to an interface between dissimilar orthotropic materials // Trans. ASME, Ser. E. J. Appl. Mech. 1996, Vol. 63. N1. P. 190-202.

(1.10):

(^22 - i 02i)l(xi) = Ф2+(жх) + ^2 (xi);

(СТ22 — iCT21)1(x1) = (^22 — ia21) +

M 2(1 + Kl) М2 + M1K2

м 2(1 + ki)

М1 + М2К1

[Ф(Со)+СоФ/(Со)+Ф(Со)].

P. 491-506.

cracks perpendicular to and on the interface. II. Solution and results // Engng. Fract. Mech. 1983.

Vol. 18. N 3. P. 507-528.

11. Goree J. G., Venezia W. A. Bonded elastic half-planes with an interface crack and a perpendicular intersecting crack that extends into the adjacent material. I // Intern. J. of Engng. Sci.

1977. N 1. P. 1-17.

12. Goree J. G., Venezia W. A. Bonded elastic half-planes with an interface crack and a perpendicular intersecting crack that extends into the adjacent material. II // Intern. J. of Engng. Sci.

14. Erdogan F., Aksogan O. Bonded half-planes containing an arbitrary oriented crack // Intern. J. of Solids and Structures. 1974. Vol. 10. N 6. P. 569-585.

15. Tamate O., Iwasaka N. Interaction between a bimaterial interface and an arbitrarily oriented crack // Trans. JpSME. 1976. Vol. 42. ^5З. P. 2З-З0.

16. Isida M., Noguchi H. Plane problems of arbitrary oriented cracks in bonded dissimilar materials // Trans. JpSME. 198З. Vol. 49. ^З7. P. З6-45.

17. Isida M., Noguchi H. Plane elastostatic problems of bonded dissimilar materials with an interface crack and arbitrarily located cracks // Trans. JpSME. 198З. Vol. 49. N 4З8. P. 1З7-146.

18. Zhao L.-G., Chen Y.-H. Further investigation of subinterface cracks // Archive of Appl. Mech. 1997. Vol. 67. N 6. P. З9З-406.

19. Yang M., Kurth R. E. Stress intensity factors for subinterface cracks with crack-face contact zone // Trans. ASME, AMD. Appl. Mech. Division. 199З. Vol. 159. P. 27З-282.

20. Yang M., Kim K.-S. Behavior of subinterface cracks with crack-face contact // Engng.

Fracture Mech. 199З. Vol. 44. N1. P. 155-165.

21. Xiao Z. M., Fan H. On the contact zone and stress singularities of a subinterface crack // Engng. Fracture Mechanics. 2001. Vol. 68. N1. P. 77-88.

22. Erdogan F., Biricikoglu V. Two bonded half planes with a crack going through the interface // Intern. J. of Engng. Sci. 197З. Vol. 11. N7. P. 745-766.

23. Bogy D. B. On the plane elastostatic problem of a loaded crack terminated at a material

interface // Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech. 1971. Vol. З8. N4. P. 911-918.

24. Atkinson C. On the stress intensity factors associated with cracks interacting with an interface between two elastic media // Intern. J. of Engng. Sci. 1975. Vol. 1З. N 5. P. 489-504.

25. Chen D. H. A crack normal to and terminated at a bimaterial interface // Ingng. Fracture Mech. 1994. Vol. 49. N 4. P. 517-5З2.

26. Gharpuray V. M., Dundurs J., Keer L. M. Crack terminating at a slipping interface between two materials // Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech. 1991. Vol. 58. N4. P. 960-96З.

27. Wijeyewichrema A. C., Dundurs J., Keer L. M. Singular stress field of a crack terminating at a frictional interface between two materials // Trans. ASME, Ser. E., J. Appl. Mech. 1995. Vol. 62. N 2. P. 289-29З.

28. Li X.-F., Xu L. R. Transient response of a finite bimaterial plate containing a crack perpendicular to and terminated at the interface // Trans. ASME, Ser. E. J. Appl. Mech. 2006. Vol. 7З. N 4. P. 544-554.

29. Chang J., Xu J.-Q. The singular stress field and stress intensity factors of a crack terminating at a bimaterial interface // Intern. J. of Mech. Sci. 2007. Vol. N 7. P. 888-897.

30. Греков М. А. Сингулярная плоская задача теории упругости. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2001. 192 с.

31. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука. 1966. 708 с.

32. England A. H. An arc crack around a circular elastic inclusion // Trans. ASME, Ser. E. J. Appl. Mech. 1966. Vol. ЗЗ. N З. P. 6З7-640.

33. Perlman A.B., Sih G. C. Elastostatic problems of curvilinear cracks in bonded dissimilar materials // Intern. J. of Engng. Sci. 1967. Vol. 5. N11. P. 845-867.

34. Мальков В. М., Малькова Ю. В., Иванов В. А. Бесконечная плоскость с круговым включением, имеющим отслоение на части границы // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 4. С. 152-166.

Статья поступила в редакцию 29 сентября 2009 г.